换元法求函数值域
换元法求值域
3 4
x2
x
3 4
(
x
2)2 3
1 3
，而由
y2
x
x2 4
0得
x [0, 4] ； 所 以
u x2 y2 值域为[0,16].
四、换元法
换元法是求函数值域的重要方法，其目的是通过换元把复杂的函数化为常见、简单的函 数.
（一）一般换元
1.形如 y a[ f (x)]2 bf (x) c(a 0) 或可化为此形的
于是 r2
1
2
3 2
sin 2
[72 , 2] ，所以
f
(x,
y)
x2
y2
r2
[
2 7
, 2].
5.形如 y ax b k cx2 dx e 及其变式的
686
典型例题：求函数 y 2x 1 2 x2 2x 3 的值域.
解 ： 函 数 化 为 y 2x 1 2
4 (x 1)2
，设
设 f (x) t 化为二次函数的条件值域，然后再求.
典型例题：若 f (x) 1 log2 x(1 x 4) ，求函数 g(x) f (x2 ) [ f (x)]2 的值域.
解：变形为
g(x)
log
2 2
x
4 log2
x
2
；因为
f
(x)
的定义域为[1, 4] ，则
f
(x2 )
的定义
域为[2, 1] [1, 2] ，[ f (x)]2 的定义域为[1, 4] ，所以 g(x) 的定义域为[1, 2] .设 log2 x t ，
1.若
x,
y
R
，且
x
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
用换元法求函数值域
1用换元法求函数值域【自我诊断】1. 函数f (x )＝1 x ＋1＋1的值域为_________． 【答案】(0，1]．2．函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为_________．【答案】[72，＋∞)． 【解析】方法一、2x －3，4x －13在定义域[134，＋∞)上都是增函数，所以f (x )≥f (2)．方法二、f (x )的定义域是[134，＋∞)，令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)，则y ＝2×14(t 2＋13)－3＋t ＝12(t ＋1)2＋3，在t ∈[0，＋∞)单调递增， y ∈[72，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为[72，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为_________．【答案】[3，＋∞)．【解析】f (x )的定义域是[134，＋∞)，令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)，则y ＝2×14(t 2＋13)－3－t ＝12(t －1)2＋3，在[0，1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增， y ∈[3，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为[3，＋∞)．4.函数y ＝e x3＋e x的值域为___________． 【答案】(0，1)．【解析】f (x )的定义域是R ，令3＋e x ＝t ，x ∈R ，则e x ＝t －3，t ∈(3，＋∞)，则y ＝t －3t ＝1－3t ， 由t ∈(3，＋∞)，得3t ∈(0，1)，－3t ∈(－1，0)，1－3t∈(0，1)． 函数y ＝e x3＋e x的值域为(0，1)． 5. 函数y ＝ln e x3＋e x的值域为___________． 【答案】(－∞，0)．6.函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是___________．2 【答案】[－494，＋∞)． 【解析】令t ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，x ∈R ，则t ∈[－2，＋∞)，y ＝t 2＋3t －10＝(t ＋32)2－494，t ∈[－2，＋∞)，在[－2，－32]单调减，在[－32，＋∞)单调增，当t ＝－32，y ＝－494． 函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是[－494，＋∞)．【跟踪训练】1．（1）y ＝x ＋x －1的值域是________；（2）y ＝x －x －1的值域是________．【答案】（1）[1，＋∞)；（2）[34，＋∞)．2．函数y ＝2e x3＋e x 的值域为___________．【答案】(0，2)．。
换元法求函数值域
换 元 法 求 函 数 值 域某些函数能够利用代数或三角代换将其化成值域简单确立的另一函数，进而求得原函数的值域， 其题型特点是函数分析式含有根式或三角函数公式模型。
形如 y ax bcxd (a 、 b 、 c 、 d 均为常数，且 a ≠0) ，能够令 t = cx d (t0), 则有 t 2cx d ∴ xt 2 d∴ y a t 2 db t ； 进而就把原函数化cc成了对于 t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域， 值得一提的是要 注意参数 t 的取值范围。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一， 在求函数的 值域中相同发挥侧重要的作用。
例 1、求函数 y 3x 1 3x 的值域。
剖析：函数 y3x1 3x 形如 y axbcx d (a 、b 、c 、 d 均为常数，且 a ≠0) ，所以，能够考虑用换元法。
解：令 t13x(t0) ，则 t 21 3x1 t 2∴ x3∴原函数可化为 y31t 2 t = t 2 t 1= (t 1)2 5324∴ 其函数图像如图 1 所示 ∴当 t1时，即 x1 时245y 获得最大值 y max = , 无最小值。
∴函数 y 3x 1 3x 的值域为（ -∞，5] 。
4例 2、求函数 y 4x 12x 3 的值域。
解：[换元法]令 t 2x 3t 2 3(t 0) ，则 x2∴原函数可化为 yt 23 1 t 2t 2t1 )2 39425 2(t84∵t 0∴当 t0时，即 x 3时， y 获得最小值y min =5，无最大值。
2∴函数 y4x12x 3的值域为 [ 5，+∞）。
例 3、求函数 y x1x2的值域。
[4]剖析：函数y x1x2的定义域为 [-1， 1] ，我们注意到 1 sin t 1 (t),所以,对于定义域为[-1，1]的函数,我们能够考虑用22x sin t (2t) 进行三角换元。
2解：函数y x1x2的定义域为 [-1 ，1] ，设 x sin t (t) ，22则原函数 y x1x2可化为y sin t cost = 2 sin(t)4∵t∴t324442看图像（图 2）可知2sin(t)124∴ 1 2 sin(t) 2 ∴1y24即原函数的值域为 [-1 ，2] 。
换元法求二次型函数的值域
换元法求二次型函数的值域作者：刘亚丽来源：《新校园·学习版》2009年第09期一元二次函数的值域非常重要,但在实际学习中,直接求二次函数的值域的情况并不是很多,相反,以其他函数为载体,需要转化成二次函数后再求值域的二次型问题却非常多,本文对如何使用换元法求常见的几种二次型函数的值域作一简单介绍.1.含有二次根式的二次型[分析]观察其中自变量x出现的位置及其指数的情况,可以发现加号前面的有理项中的x的次数是加号后面无理项中的 x 的次数的2倍(前面的 x 是一次的,后面的 x 是二分之一次的),这两项构成了事实上的二次项和一次项的关系,因此可以使用换元法转化成二次函数的值域问题.说明:使用换元法的时候,无论在什么情况下,都要保证新的变元与换掉的代数结构的取值范围相一致,这围,以防出错.2.含有指数式的二次型例2:求函数 y =4 x + 2 x+1 +3的值域.[分析]根据指数式的运算法则,4 x =(22)x= (2 x)2,2 x+1 = 2 x·2 1 = 2·2 x,因此可考虑把原函数看成是关于 2 x 的二次函数来解决问题.解:∵ y =(2 x)2 + 2·2 x+3,令2 x=t,则 t >0,且y = t2 +2 t +3=( t +1)2+2,( t >0).∵t >0,∴y>(0+1)2+2=3.∴函数 y = 4 x+2 x+1 +3 的值域为( 3,+∞).3.含有对数式的二次型例3:求函数 y =( log 2 x )2+log 2 x2+2 的值域.[分析]根据对数的运算法则,log 2 x2=2 log 2 x,因此可以把原函数看成是关于 log 2 x 的二次函数.解:∵y=( log 2 x )2 +2 log 2 x+2,令log 2 x = t,则 t∈R,且 y = t 2+2 t+2=( t+1 )2+1,( t∈R ).∴函数y=(log 2 x)2 + log 2 x2+2 的值域为[1,+∞).4.含有特殊三角函数式的二次型例4:求函数 y = cos2x+4sinx 的值域.[分析]原函数是由两个不同名也不同角的三角函数相加而成,因此先要根据二倍角公式 cos2 x=1-2sin2 x,将它们化成同角同名的三角函数.这样就可以把原函数看成是关于 sin x 的二次函数了.解:∵cos2x=1-2sin2x ,∴y=1-2sin2x+4sinx.令sinx= t,则-1≤ t ≤1,并且 y =-2 t2+4 t+1=-2(t-1)2+3.∵-1≤t≤1,∴-2(-1-1)2+3≤y≤-2(1-1)2+3,即-5≤y≤3.∴函数 y = cos 2 x + 4 sin x 的值域为 [-5,3].说明:如果在一个关于三角函数的解析式中同时出现了 sinx ± cosx 和 sin x cos x 这样两种结构,并且除来确定.。
函数值域之换元法
综合理论课程教育研究292 学法教法研究换元法是数学中一个非常重要且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
然而换元法在高考求值域问题中也是相当重要的。
一、一般换元法【例1】求函数的值域. 解：令，则且，函数的值域为【变式.重要公式： 有着本质的联系！【例2】(2005福建)已知实数满足，求.● 反思: 角的范围为什么这么取？【变式1】 求函数的最大值.答案：.【例4】(2009辽宁竞赛) 函数解：，令所以答案是.三、双换元【例5】求函数的值域.解：方法1：平方 当时，；当或1时，.函数的值域为. 方法2：双换元 令，则，其中，则解函数值域之换元法谢金辉（福建省晋江市内坑中学 福建 晋江 362200）【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2018） 11-0292-02综合理论课程教育研究学法教法研究 293五、结论换元当待解题目的条件较繁而结论形式简单时，可考虑改变常规的习惯，逆向思考，结论换元，化未知为已知，获得简单方法。
【例8】已知，且，求的取值范围. 解：设，令，六、小结通过结论换元为用三角代换创造了条件，而且整体代入已知等式，转化为三角问题，十分巧妙，值得一学.【变式1】实数满足，设，求的最大值和最小值.解：设，则而《溶液中的离子反应》为化学反应原理三大“支柱”之一。
因其涵盖内容广，涉及化学反应原理的核心，成为高考化学的重要热点，该部分内容常以“溶液中离子浓度大小比较”形式呈现，其题型多为选择题，这种题型考查的知识点多、灵活性、综合性较强，有较好的区分度，它能很有效地考查学生对强、弱电解质、电离平衡、电离度、水的电离、pH 值、离子反应、盐类水解等基本概念的掌握。
高中数学 函数值域求法十一种(详解)
智愛高中數學 函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1. 求函数x 1y =的值域。
解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞2. 求函数x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，Rx ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,215. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。
下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
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换元法求函数值域 Prepared on 24 November 2020
换元法求函数值域
某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。
形如y ax b cx d =+±+ (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，可以令t cx d + ≥0),则有2
t cx d =+ ∴2t d x c -= ∴2t d y a b t c -=⋅+± ； 从而就把原函数化成了关于t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数t 的取值范围。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。
例1、求函数313y x x =+- 分析：函数313y x x =-形如y ax b cx d =++ (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，因此，可以考虑用换元法。
解：令13(0)t x t =-≥，则213t x =-
∴2
13
t x -= ∴原函数可化为2133t y t -=⋅+=21t t -++=215()24
t --+ ∴ 其函数图像如图1所示
∴当12t =
时，即14
x =时 y 取得最大值max y =54,无最小值。
∴函数313y x x =-的值域为（- ∞，54
]。
例2、求函数4123y x x =-+-
解：[换元法] 令23t x =- (0)t ≥，则232
t x += ∴原函数可化为222313941252()248
t y t t t t +=⋅-+=++=++
∵0t ≥
∴当0t =时，即32
x =时，y 取得最小值min y =5，无最大值。
∴函数4123y x x =--的值域为[5 ，+∞）。
例3、求函数21y x x =-[4] 分析：函数 21y x x =-的定义域为[-1，1] ，我们注意到1sin 1t -≤≤ ()22t π
π
-≤≤,因此,对于定义域为[-1，1]的函数,我们可以考虑用sin ()22x t t π
π=-≤≤进行三角换元。
解：函数 21y x x =-的定义域为[-1，1]， 设sin ()22x t t π
π
=-≤≤， 则原函数21y x x =-可化为sin cos y t t =+2)4
t π+ ∵22t ππ-≤≤ ∴3444t πππ-≤+≤ 看图像（图2）可知2sin()124
t π-≤+≤ ∴12)24
t π-≤+≤∴12y -≤≤即原函数的值域为[-12]。