换元法求值域
值域_求值域的方法大全及习题加详解
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的X 围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
求函数值域的几种常见方法
求函数值域的几种常见方法(总5页)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March求函数值域的几种常见方法河北涿州中学高二数学组------李瑞英初等函数的值域是由函数的定义域和对应法则两个因素确定的，常常一个问题要覆盖多个知识点，涉及多种数学方法，渗透多种数学思想，因此它是高中阶段的一个难点。
现对高中阶段常用的方法总结如下：方法一：配方法 一般适用于二次函数类型的函数例1.求函数[]4,1,0!6)(2∈+-=x x x x f 的值域 解析：[][]5,1)(4,1,1)3()(2∈∴∈+-=x f x x x f方法二：换元法：适用于含根式、分式、三角函数类型的函数，且在还原过程中需注意还原后t 的取值范围例2．求函数x x y 21--=的值域 解析：令x t 21-=则2t 1x 02-=≥且t 1)1(212++-=∴t y 即]21,(-∞∈y 方法三：分离常数法：适用于分式类型的函数，且在解题过程中注意变量的范围例3．求函数521+-=x xy 的值域 解析：由题意可知函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠25/x x 104721521++-=+-=x x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈∴,2121,y方法四：单调性法：主要适用于能够判断单调性的复合函数、和函数。
例4．（1）求函数42221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的值域（2）求函数x x y 21--=的值域解析：（1）令422+-=x x t 则3)1(2+-=x t 3≥∴t 而ty ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是减函数]81,0(∈y （2）由题意可知函数的定义域为]21,(-∞ x x g x x f 21)(,)(--== 在定义域内都是单调增函数)()(x g x f y +=∴在定义域内也是单调增函数∈∴y ]21,(-∞方法五;反解法（利用反函数的原理）例5．求函数2211x x y +-=的值域 解析：由题意可知函数的定义域为R02≥∴x 而函数2211x x y +-=可化为y y x +-=112 011≥+-∴y y 即]1,1(-∈y 方法六：不等式法：柯西不等式、基本不等式、绝对值不等式，在适用中注意适用范围例6.(1) 求函数1log log 33-+=x x y （x>1）的值域 (2) 求函数x x y 21015-+-=的值域（3）求函数12-++=x x y 的值域解析：（1） 令x 3log t =则 t>0 111211=-⋅≥-+=∴t t t t y 当且仅当t t 1=即t=1时等号成立 ),1[+∞∈∴y(2) 由函数知其定义域为[1，5]，且y>0 36427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x x x y（3）),3[3121212+∞∈∴=-++≥-++=-++=y x x x x x x y 方法七：判别式法：一般转化为含参数y 的一元二次函数，注意二次项的系数 例七．求函数1122+-+=x x x y 的值域 解析：由函数可知定义域为R函数1122+-+=x x x y 可化为01)1(2=-+--y yx x y （*）有解 当y-1=0即y=1时，（*）式可化为-x=0即x=0,满足题意当1y ,01≠≠-即y 时0)1y (4)y (22≥---=∆ 解得232≤≤y 1y 232≠≤≤∴且y 综上：函数的值域为]2,32[方法八：平方法：注意定义域例8．求函数x x y -++=21的值域解析：由题意可知函数的定义域为[-1，2]函数x x y -++=21可化为[][]6,3y 6,349)21(23)2)(1(3222∈∈∴+--+=-++=即y x x x y方法九：导数法：适用于次数比较高的整式函数例9．求函数)51(,2249)(23≤≤++-=x x x x x f 的值域 解析：令24183)(2'+-=x x x f =0得4,2==x x方法十：构造法：构造距离、构造斜率，需数形结合求得例10．求函数102422++++=x x x y 的值域 解析：2222)30()1()20()0(-+++-+-=x x y的距离和到点轴上的点可看作函数C(-1,3)B(0,2),)0,x (A x y ∴作B(0,2)关于x 轴的对称点D(0,-2)则线段CD 的长度就是y 的最小值且26=CD 所以函数的值域为),26[+∞练习：1、求函数[]2,2,33-∈-=x x x y 的值域 2、求函数3221++-=x x y 的值域3、求函数122+--=x x x x y 的值域 4、求函数12222+---=x x x x y 的值域 5、求函数x xy cos 2sin --=的值域6、求函数)1(112->+++=x x x x y 的值域7、求函数122+=x xy 的值域 8、求函数x x y 2+=的值域9、求函数[]3,0,924421∈+⋅-=-x y x x 的值域 10．求函数45cos 3sin 2-+=x x y 的值域 11．求函数()176log 22+-=x x y 的值域总结：求初等函数的值域问题是一个综合性的问题，要想用单一的方法求函数的值域是不可能，但也不是杂乱无章的，只要我们灵活的掌握数学基础知识、思想和方法，并根据所给解析式的特征，结合定义域灵活的选择方法，并力求一题多解方可达到举一反三的效果。
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
用换元法求函数值域
1用换元法求函数值域【自我诊断】1. 函数f (x )＝1 x ＋1＋1的值域为_________． 【答案】(0，1]．2．函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为_________．【答案】[72，＋∞)． 【解析】方法一、2x －3，4x －13在定义域[134，＋∞)上都是增函数，所以f (x )≥f (2)．方法二、f (x )的定义域是[134，＋∞)，令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)，则y ＝2×14(t 2＋13)－3＋t ＝12(t ＋1)2＋3，在t ∈[0，＋∞)单调递增， y ∈[72，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为[72，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为_________．【答案】[3，＋∞)．【解析】f (x )的定义域是[134，＋∞)，令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)，则y ＝2×14(t 2＋13)－3－t ＝12(t －1)2＋3，在[0，1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增， y ∈[3，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为[3，＋∞)．4.函数y ＝e x3＋e x的值域为___________． 【答案】(0，1)．【解析】f (x )的定义域是R ，令3＋e x ＝t ，x ∈R ，则e x ＝t －3，t ∈(3，＋∞)，则y ＝t －3t ＝1－3t ， 由t ∈(3，＋∞)，得3t ∈(0，1)，－3t ∈(－1，0)，1－3t∈(0，1)． 函数y ＝e x3＋e x的值域为(0，1)． 5. 函数y ＝ln e x3＋e x的值域为___________． 【答案】(－∞，0)．6.函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是___________．2 【答案】[－494，＋∞)． 【解析】令t ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，x ∈R ，则t ∈[－2，＋∞)，y ＝t 2＋3t －10＝(t ＋32)2－494，t ∈[－2，＋∞)，在[－2，－32]单调减，在[－32，＋∞)单调增，当t ＝－32，y ＝－494． 函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是[－494，＋∞)．【跟踪训练】1．（1）y ＝x ＋x －1的值域是________；（2）y ＝x －x －1的值域是________．【答案】（1）[1，＋∞)；（2）[34，＋∞)．2．函数y ＝2e x3＋e x 的值域为___________．【答案】(0，2)．。
换元法求函数值域
换 元 法 求 函 数 值 域某些函数能够利用代数或三角代换将其化成值域简单确立的另一函数，进而求得原函数的值域， 其题型特点是函数分析式含有根式或三角函数公式模型。
形如 y ax bcxd (a 、 b 、 c 、 d 均为常数，且 a ≠0) ，能够令 t = cx d (t0), 则有 t 2cx d ∴ xt 2 d∴ y a t 2 db t ； 进而就把原函数化cc成了对于 t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域， 值得一提的是要 注意参数 t 的取值范围。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一， 在求函数的 值域中相同发挥侧重要的作用。
例 1、求函数 y 3x 1 3x 的值域。
剖析：函数 y3x1 3x 形如 y axbcx d (a 、b 、c 、 d 均为常数，且 a ≠0) ，所以，能够考虑用换元法。
解：令 t13x(t0) ，则 t 21 3x1 t 2∴ x3∴原函数可化为 y31t 2 t = t 2 t 1= (t 1)2 5324∴ 其函数图像如图 1 所示 ∴当 t1时，即 x1 时245y 获得最大值 y max = , 无最小值。
∴函数 y 3x 1 3x 的值域为（ -∞，5] 。
4例 2、求函数 y 4x 12x 3 的值域。
解：[换元法]令 t 2x 3t 2 3(t 0) ，则 x2∴原函数可化为 yt 23 1 t 2t 2t1 )2 39425 2(t84∵t 0∴当 t0时，即 x 3时， y 获得最小值y min =5，无最大值。
2∴函数 y4x12x 3的值域为 [ 5，+∞）。
例 3、求函数 y x1x2的值域。
[4]剖析：函数y x1x2的定义域为 [-1， 1] ，我们注意到 1 sin t 1 (t),所以,对于定义域为[-1，1]的函数,我们能够考虑用22x sin t (2t) 进行三角换元。
2解：函数y x1x2的定义域为 [-1 ，1] ，设 x sin t (t) ，22则原函数 y x1x2可化为y sin t cost = 2 sin(t)4∵t∴t324442看图像（图 2）可知2sin(t)124∴ 1 2 sin(t) 2 ∴1y24即原函数的值域为 [-1 ，2] 。
复合函数求值域方法总结
复合函数的值域【学习目标】1．掌握复合函数求值域的几种常见方法．【学习重难点】1．熟练应用换元法求值域．【知识精讲】1．复合函数设y 是u 的函数()y f u =，u 是x 的函数()u x ϕ=，如果()x ϕ的值全部或部分在()f u 的定义域内，则y 通过u 成为x 的函数，记作()()y f x ϕ= ，称为由函数()y f u =与()u x ϕ=复合而成的复合函数。
如y ()2sin 1y x =-；()tan 31y x =+等都是复合函数。
2．换元法求值域 换元的常用方法有：（1）局部换元：又称整体换元；是指在已知或未知中，某个代数式几次出现，我们用一个字母或一个符号来代替它从而简化问题．（2）三角换元：应用于去根号，或变换为三角形式易求，或表达式中有明显三角含义时进行换元，比如说：平方关系221x y +=，则可令cos ,sin x y αα==． 3．分离常数求值域（1）有界函数值域：（分离常数） ①识别出有界函数； ②反解出有界函数；③利用有界函数求原函数值域. （2）对勾函数图像求值域：①分离常数后形成对勾函数或分离常数后换元形成对勾函数； ②先确定定义域，然后根据对勾函数图像确定值域。
x)()0,.+∞)(2,abab +∞,b a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和奇偶性：奇函数，其图像关于原点中心对称渐近线：对勾函数共有两条渐近线，分别为0x =和y ax =.【经典例题】例1. 函数()22log 4y x x =-的值域为（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],2-∞C ．(]0,2D ．(],0-∞【答案】B 【解析】∵()22log 4y x x =-， ∴240x x ->，∴04x <<， 令24t x x =-，∴2log y t =，∴原函数的值域转化为函数2log y t =的值域， 24t x x =-，且04x <<，易求得04t <≤， ∴2log 2t ≤，∴2log y t =的值域为：(],2-∞， 故选：B ．【变式】 求函数()()()[]()1322,2x x f x x -+=∈-的值域．【答案】116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】[]2,2x ∈-时()()13x x -+的范围是[]4,5-， 则()f x 的值域是116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例2.求函数y【答案】[]0,3 【解析】∵ (]245,9x x -++∈-∞， ∴开根号得到[]0,3 所以函数值域为：[]0,3．【变式】求函数y =【答案】⎝⎦【解析】令()()221311124g x x x x x x ⎛⎫=--=-+=-+ ⎪⎝⎭,∴ ()g x 的值域为:3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,由()()1f xg x =得,()max 14334f x ==,∴函数()()1f x x =的值域为:40,⎛⎤ ⎥⎦. 综上y=⎛ ⎝⎦．例3. 函数y x =（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],1-∞C ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[]0,1【答案】C【解析】令t =0t ≥， ∴21t x =-， ∴21x t =-，∴21y t t =-+，其中0t ≥，∴21524y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，易得所求函数的值域：5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：C ．【变式】函数4y x =+ （ ）A ．[)0,+∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令t =，其中0t ≥，∴212t x =-，∴212t x -=，∴()221y t t =-+， ∴222y t t =-++， ∴178y ≤，∴值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 故选：C ．例5. 求函数求函数()3423x x f x =⋅-+，[]1,2x ∈-的值域【答案】13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令[]2,1,2x t x =∈-，则1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2133,,42y t t t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦.因为函数233y t t =-+的对称轴为16t =，所以函数在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故函数()f x 的值域为13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6. 求函数22121242y x x x x x ⎛⎫=+---≤- ⎪⎝⎭的值域． 【答案】[)2,+∞【解析】()22212112426y f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==+---=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1t x x=+，12x ≤-，(],2t ∴∈-∞-()()2262f t t t t ∴=--≤-()[)2,f t ∴∈+∞ 即函数的值域是[)2,+∞．【变式】已知函数()()()22,0x x y e a e a a R a -=-+-∈≠ ，求y 的最小值．【答案】当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ； 当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-【解析】()()22222x x x x y e e a e e a --=+-++- ，令x x t e e -=+，则()22222f t t at a =-+-．2x x t e e -=+≥，()()222f t t a a ∴=-+-的定义域为[)2,+∞，抛物线的对称轴方程是t a =，∴ 当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ；当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-．例7.求函数()2222x y x R x =∈+的值域．【答案】[)0,2【解析】由题意2222x y x =+，可得222yx y =-，又因为20x ≥ ∴2202yx y=≥-，解得02y ≤< 因此函数的值域为[)0,2．【变式】已知函数[]()20,12xx e y x e =∈+,求函数的值域．【答案】22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦【解析】24222x x x e y e e ==-++ []0,1x ∈]时1x e e ≤≤ 设x e t =,则422y t =-+随t 的增大而增大 所以y 的值域为22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．例8. 已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值．【答案】5m n ==【解析】函数2328l o g 1m x x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2⇔函数2281m x x n y x ++=+的定义域为R ， 值域为 22[1,9](1)8y x mx x n ⇔=+=++使方程 ，即2()8()0m y x x n y -++-=有实数解的y 的取值范围为[]()()1,96440m y n y ⇔∆=---≥ 的解集为[]1,9()2y 160m n y mn ⇔-++-≤的解集为[]1,9105169m n m n mn +=⎧⇔⇔==⎨-=⎩． 【变式】 已知函数()21ax bf x x +=+的值域为[]1,4-，求,a b 的值 【答案】4a =,3b =或4a =-,3b = 【解析】21ax by x +=+等价于()20x y ax y b -+-= 这个关于x 的方程有实数解则判别式0∆≥ ∴()240a y y b --≥22440y by a --≤值域[]1,4-即不等式的解集是14y -≤≤∴1-和4是对应的方程22440y by a --=的根∴ 4144b-+=,2144a -⨯=-23,16b a ==，∴4a =,3b =或4a =-,3b =．例9. 设函数()2,1,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，()g x 是二次函数，若复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域【答案】[)0,+∞【解析】函数()f x 的图像如下，由于()g x 是二次函数，它的值域只有两种形式[),k +∞和(],k -∞，其中k 为二次函数顶点的纵坐标，数形结合可知，只有当()g x 的值域为[)0,+∞时，()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为[)0,+∞．【变式】设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，解不等式()()2f f x ≤【答案】2x ≤【解析】()()f f x 是()f x 的二次迭代，记()u f x =，则()2f u ≤，如下左图，由()2f u ≤数形结合可得2u ≥-，即()2f x ≥-；如下右图，由()2f x ≥-可得2x ≤．【课后练习】1．函数y 的值域为 .2．求函数2462x x y ++=的值域．3．求函数()22231x y x R x -=∈+的值域．【课后练习答案】1．【答案】[]0,2【解答】令24x x t -=，则必有0t ≥，根据二次函数的值域求法，新变元t 的范围是[]0,4， 根据二次根式函数的性质，原函数的值域为[]0,2．2．【答案】[4,)+∞【解析】令246u x x =++，则2.u y =因为()2245222u x x x =++=++≥，所以222 4.u y =≥=即函数2462xx y ++=的值域为[4,)+∞．3．【答案】[)3,2- 【解析】()222222152352111x x y x x x +--===-+++ 平方项恒非负，20x ≥ 211x +≥ ∴25051x <≤+ ∴25501x -≤-<+ ∴253221x -≤-<+ 函数的值域为[)3,2-．。
换元法求函数值域
换 元 法 求 函 数 值 域某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的 值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。
形如y ax b . cx d （a 、b 、c 、 d 均为常数，且0）,可以令t 二Jex d （t 0）,则有t 2 cx d值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数 t 的取值范围。
换元法是数学方法中几种 最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。
例1、求函数y 3x ,1 3x 的值域。
1 t 2…x3••• t 0 .•.当t 0时，即x -时，y 取得最小值y min =5，无最大值。
2•函数y 4x 1 ,2x 3的值域为［5，+^）0t 2 d a cb t ;从而就把原函数化成了关于 t 的二次函数，求出这个函数分析：函数y 3x - 1 3x 形如y 此，可以考虑用换元法。
ax b . cx d (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ^0），因解：令 t J 3x(t0)，则 t 2 13x•原函数可化为y .••其函数图像如图 •当 t 1时，2y 取得最大值ymax3 上 t = t 231所示 丄时45，无最小值。
41= (t•••函数y 3x 、、1 3x 的值域为（-x ， 5] 例2、求函数y 4x 1. 2x 3的值域。
2- ,，/ 戶d-i 心亞砧M\ 1 /! a-*7 \解：［换元法］令t t 23 .2x 3 (t 0)，则 x -32•原函数可化为y 4— 1 t 店 t 5 2(t24)239 8例3、求函数y x 、.厂X2的值域。
⑷ 分析：函数y x .1 x2的定义域为［-1,1］，我们注意到1 sint 1( t )，因此,对于定义域为［-1,1］的函数，我们可以考虑用x sint( t )进行三2 2 2 2角换元。
解：函数y x.1x2的定义域为［-1,1］,设x sint(t-),22x2可化为y si nt cost — 2 s in (t )则原函数y x、1••• 一t -二-t — 3 4t 二t2 2 4 4 42看图像(图2)可知—sin(t -) 12 41 』2 sin(t —) ■■■..■ 21 y J24即原函数的值域为［-1 , 、2］。
换元法求值域(人教A版)(含答案)
换元法求值域（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)
1.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：换元法求值域
2.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：换元法求值域
3.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：换元法求值域
4.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：换元法求值域
5.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：换元法求值域
6.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：换元法求值域
7.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：换元法求值域
8.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：换元法求值域
9.若函数的定义域是，则函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：复合函数
10.若函数的定义域是，则函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：换元法求值域。
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3 4
x2
x
3 4
(
x
2)2 3
1 3
，而由
y2
x
x2 4
0得
x [0, 4] ； 所 以
u x2 y2 值域为[0,16].
四、换元法
换元法是求函数值域的重要方法，其目的是通过换元把复杂的函数化为常见、简单的函 数.
（一）一般换元
1.形如 y a[ f (x)]2 bf (x) c(a 0) 或可化为此形的
于是 r2
1
2
3 2
sin 2
[72 , 2] ，所以
f
(x,
y)
x2
y2
r2
[
2 7
, 2].
5.形如 y ax b k cx2 dx e 及其变式的
686
典型例题：求函数 y 2x 1 2 x2 2x 3 的值域.
解 ： 函 数 化 为 y 2x 1 2
4 (x 1)2
，设
设 f (x) t 化为二次函数的条件值域，然后再求.
典型例题：若 f (x) 1 log2 x(1 x 4) ，求函数 g(x) f (x2 ) [ f (x)]2 的值域.
解：变形为
g(x)
log
2 2
x
4 log2
x
2
；因为
f
(x)
的定义域为[1, 4] ，则
f
(x2 )
的定义
域为[2, 1] [1, 2] ，[ f (x)]2 的定义域为[1, 4] ，所以 g(x) 的定义域为[1, 2] .设 log2 x t ，
1.若
x,
y
R
，且
x
y
1，求函数 t
4 x
9 y
的值域.
解：设 x
cos2 , y
sin2 ,
R
，得 t
4 cos2
9 sin2
4 sec2
9 csc2
13 4 tan2 9 cot2 25 .即 t [25, )
典型例题
2.若 a, b
R
，且 0
x
1，求函数 t
a2 x
有最小值 2 ；所以函数值域为[2, 2 17 ] .
687
x 1 2sin
，
[
2
,
2
]
，则
x 2sin 1 ，所以 y 4sin 3 4 cos 4
2
sin(
4
)
3
，由于
[
2
,
2
]
，
得
4
[
4
,
3 4
]
，则
y
[1,
4
2 3] .
（四）其他换元
典型例题：若
a, b,
c
为非负数，求函数
t
b
a
c
b 2c
a
a
c 2b
的值域.
解：设
b c x 2c a a 2b
y z
解之得
a b c
2x 2
2x y 4
2x y 4
y z z
z
，
则
t
2x y 2x
z
2x y 4y
z
2x y z 4z
3 2
y 2x
z 2x
x 2y
z 4y
x 2z
y 4z
1，当且仅当
x2 y2 z2 即 b c, a 0 时取等号.
（五）多次换元
典型例题：求函数 f (x) 4 x2 2x x2 2x 4 的值域.
684
g(x) 2t2 t(0 t
5) 5
，此时
g
(x)
[0,
1] 8
.当
f
(x) (0,
1] 时，t 4
(0,
1] 2
，f
(x)
t2
，
函数化为
g(x)
2t 2
t(0
t
1) 2
，此时
g(x)
[0,1]
.综上可知函数的值域为 [0,1]
.
（二）平均值换元
一般来说在条件为对称式，其他方法不易做出时可以考虑用平均值换元法.
则函数化为 g(x) t2 4t 2(0 t 1) ，由图像知所求函数的值域为[2, 7] .
2.形如 y ax b cx d 或可条件值域，然后再求.
典型例题 1.求函数 f (x) x 1 2x 的值域.
解：设
1 2x
t
，则 t
典型例题：若 x, y R 且 x y 1，求 u x4 y4 的值域.
解：设
x
1 2
t
、y
1 2
t
，t
R
，化为 u
x4
y4
(12
t)4
(12
t)4
2t 4
3t 2
1 8
，
所以
u
[
1 8
,
)
.
（三）三角换元
题目中如果出现“ m2 x2 ”、“ x2 y2 1”、“ x2 y2 r2 ”、“ x, y R ，且 x y 1”、 “ a, b R ，且 0 x 1”、“ 2x2 3xy 2 y2 1 ”、“1 x2 y2 2 ”等等特征式时就可
解：设
x
cos ,
y
sin
,
R
，得
t
1
1 2
sin
2
[ 12
,
23 ]
.
典型例题
2.若
x2 a2
y2 b2
1， a,b
0 ，求函数
f
(x,
y)
xy
的值域.
解：设
x
a cos ,
y
b sin ,
R
，则
f
(x,
y)
1 2
ab sin
2
[
1 2
ab,
1 2
ab] .
3.含有 x y 1及其变式的
典型例题
解：设 x2 2x t ，则 t [0, ) ，得 y 4t 4 t2 ，则 t [0, 2] ；再设 t 2sin ，
[0,
2
]
，得
y
8 sin
2 cos
2
17
sin(
)
，其中
tan
1 4
，于是
(0,
4
)
，
则
[ ,
2
] ，故当
2
时函数有最大值
2
17 ，当 即 0 时函数
b2 1 x
的值域.
解：设
x
cos2 ,
R
，得 t
a2 cos2
b2 sin2
a2 sec2
b2
csc2
a2 b2 a2 tan2 b2 cot2 ( a b ) 2 .即 t [(a b)2 , )
4.含有 a2 x2 y2 b2 及其变式的
典型例题 1.若1 x2 y2 2 ，求函数 f (x, y) x2 xy y2 的值域.
1 x2 cos sin
2
sin(
4
)
，当
[0,
]
时，
y [1, 2] .
注意：还可以设
x
sin
,
[
2
,
2
]
等.而设
x
sin
,
R
不妥，原因是开方后含
有“ ”号.
2.含有 x2
y2
r
2
或
x2 a2
y2 b2
1及其变式的
685
典型例题 1.若 x, y R ，且 x2 y2 1，求函数 t 1 xy 的值域.
解：设 x r cos, y r sin, R,1 r
2
，则
f
(x,
y)
r 2 (1
1 2
sin
2
)
[
1 2
, 3] .
典型例题 2.若 2x2 3xy 2 y2 1 ，求函数 f (x, y) x2 y2 的值域.
解：设 x r cos , y r sin , R ，则 2r2 3r2 sin cos 1，
0，
x
1
t 2
2
，函数化为
y
1 2
t
2
t
1 (t 2
0) ，由图象
可知函数值域为 y (,1] .
典型例题
2.若
f
(x) [
1 5
,
1 ] ，求函数 4
g(x)
2
f
(x)
f (x) 的值域.
解：设
f (x)
t ，当
f
( x) [
1 5
, 0]
时
，
t
[0,
5 5
]
，
f (x) t2 ， 函 数 化 为
以考虑利用“ sin2 cos2 1 ”进行三角换元法，转化成三角函数的值域问题.其思维过
程体现的是转化思想.
1.含有 m2 x2 及其变式的
典型例题：求函数 y x 1 x2 的值域.
解：函数定义域为 x [1,1] ，为了开方后不含绝对值符号，换元时要讲究技巧，设
x cos , [0, ] .得 y x