函数求值域方法之值域换元法

函数求值域方法之值域换元法
求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。

五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法（难度较大）；③三角换常值换元法；④双换元法；⑤整体换元法
类型一：一般换元法 形如：y=ax+b ±d cx +
方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令t=d cx +，用t 表示x ，带入原函数得到一个关于t 的二次函数，求解值域即可。

例1：求函数1)(--=x x x f 的值域
分析：本题),1[+∞∈x ，在取值区间内，x 单调增，1-x 单调增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。

解：另1-=x t （0≥t ），则12+=t x ，
代入)(x f 得1)(2+-=t t x f （0≥t ）
本题实求二次函数在指定区间内的范围 当0≥t ，4
3)(≥
x f 所以),43
[)(+∞∈x f
变式：求函数1)(-+=x x x f 的值域
分析：本题),1[+∞∈x ，在取值区间内，x 单调增，1-x 单调增，两个单调增的函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以)1()(f x f ≥即可 答案：),1[)(+∞∈x f
由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习
练习：求1332)(+-+=x x x f 的值域
类型二：三角换元
记住一句话：三角换元 一个大原则，三个常用公式 A 、一个大原则：x 有界，换成θθcos ,sin
x 无界，换成θtan
B 、三个常用公式：①遇到2x ，且前面系数为1-，常用1cos sin 22=+θθ ②遇到2x ，且前面系数为1，常用
θθ
22
tan 1cos 1
+= ③巧用万能公式：2
tan 12tan
2sin 2θ
θ
θ+=
2
tan 12tan 1cos 2
2θ
θθ+-=
三角换元时，尤其注意确定好θ的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明。

例2：求21)(x x x f -+=的值域
分析：本题若使用一般换元法，则只能得到2x 与2t 之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三角换元，因为2x 前面的系数是-1，所以使用公式①换元 解：令θsin =x ， 012≥-x ，∴]1,1[-∈x ，]1,1[sin -∈∴θ
另]2
,2[π
πθ-
∈（原因：方便后面化出来的θcos ，不用讨论正负性了）
代入)(x f ，得θθ2sin 1sin )(-+=x f =|cos |sin θθ+
]2
,2[π
πθ-
∈，θθcos sin )(+=∴x f 辅助角公式，合一变形得：)4sin(2)(πθ+=x f （]2
,2[π
πθ-∈）
]4
3,4[4
π
ππ
θ-
∈+
，∴]2,1[)(-∈x f
变式：求22)(x x x f -+=的值域 分析：另θsin 2=x 即可 答案：]2,2[-
例3 ：求 1
1
)(2-+=x x x f 的值域
分析：本题2x 前面的系数是1，所以考虑使用公式② 解：1,01012≠∴≠-≥+x x x ，
另)4,2(,tan π
πθθ-
∈=x U )2
4(π
π， )4
sin(21cos sin 1cos cos sin cos 1
1tan 1tan )(2
2πθθθθθθθθθ-=-=-=-+=x f
）
（4,2π
πθ-
∈ U )2,4(ππ，)0,4(4ππθ-∈-U )4
,0(π
]2
2
,()(-
-∞∈∴x f U ),1(+∞
变式： 求1
1
2)(2+++=
x x x x f 的值域
分析：1111,20,1,022-≤+≥+∴-≤≥∴-≠≥+x x x x x x x 或或 0,11
1
1≠≤+≤
-但x ，使用三角公式 具体过程问群主哟 答案：]2,1[]1,2[)(⋃--∈x f
例4：求4
2321)(x
x x
x x f ++-=的值域 分析：本题是高次式求值域，通过常规的解法很难操作，因而我们通过转化，进行三角换元，再求解值域。

解： 1
x 1
·1)1()1()(2222
22+-+=+-=x x x x x x x f 到这一步以后，自然而然想到我们的第三个三角公式—万能公式
2
tan 12tan
2sin 2
θ
θ
θ+=
2tan 12tan 1cos 2
2θ
θθ+-=
对f （x ）再进行转化
令)2
,2(,,tan π
πθθ-
∈∴∈=R x x
θθθθθθθ4sin 4
1
)2cos (·2sin 211tan 1tan ·tan 1tan 221)(222-=-=+-+=
x f 2
2211
·12·21)(x
x x x x f --+=
]41
,41[)(),2,2(4-∈∴-∈x f ππθ
类型三：三角换常值换元法
本类型主要是三角函数求值域下的一类，由于涉及换元，所以在本专题下讲解，此类题目主要是针对分式形式的三角函数，用到的换元方法是万能公式的逆向应用。

由于θθ
θ
θθθcos 2tan 12tan 1,sin 2tan 12tan 22
22=+-=+，可令θ2tan =t ，则θθcos ,sin 就转化成了关于t 的函数，再根据一般函数求解值域的办法求解（在另外专题中讲解）
例5：求x
x
x f cos 2sin )(-=
的值域
分析：本题解法颇多，这里主要讲解两种方法。

利用万能公式我们可以把正余弦转发为关于t 的函数；当然本题也可用斜率的相关知识求解。

解：方法一：万能公式法
x x x
x x x
x
x x f 2tan 312tan 22tan 12tan 122tan 1tan 2cos 2sin )(2222+=+--
+=
-= 令有范围要求虽然x x R x x t x 2tan ,,0cos 2,2tan ∈∴≠-= ，但是R x ∈整体2tan ，
R t ∈∴ 2
312)(t t x f +=
，当t
t x f t x f t 132
)(0,0)(0+=≠==时，时，，分母是对勾函数，应
用对勾函数的相关性质，可得值域]3
3,33[)(-
∈x f 方法二：斜率法（联系 群主 要哦）
类型四：双换元法
例6：求31)(++-=x x x f 的值域
分析：本题含有两个根号，使用一次换元，无法把根号去掉。

有根号的题目，要么换元，要么平方，要么分子分母有理化。

本题介绍两种解法。

解：方法一：平方法
322432231)(222+--+=+--+++-=x x x x x x x f
1303,01≤≤-⇒≥+≥-x x x
本题实求在]1,3[-∈x 时，322+--x x 的取值范围，二次函数求范围
43202≤+--≤∴x x ，]8,4[)(2∈∴x f ，]22,2[)(∈x f
方法二：双换元法
令13,3,1≤≤-+=-=x x n x m
20,20≤≤≤≤∴n m 43122=++-=+x x n m
本题等价于：已知4
2=
2
m，求n
+n
)
=
(
x
f+
m
接下来有两种思路：
思路一：。