高中数学 三角函数综合练习课教案 新人教A版必修1
【新教材】新人教A版必修一 任意角的三角函数 教案
当 k＝1 时，α＝错误!＋错误!＝错误!，终边在第二象限．
当 k＝－1 时,α＝－错误!＋错误!＝－错误!,终边在 y 轴的非正半轴上，故选 D.
答案：D
2．已知 sinα〉0，cosα〈0，则错误!α 所在的象限是( )
A．第一象限
B．第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
解析：因为 sinα>0，cosα〈0，所以 α 为第二象限角,即2π＋2kπ<α〈π＋2kπ，k∈Z，则错误!
又角 θ 与－θ 的终边关于 x 轴对称．
∴角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称． 答案：C 知识点二弧度的概念与公式 在半径为 r 的圆中
分类
定义(公式）
1 弧度的角
角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算
弧长公式 扇形的面积公式
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角，用符号 rad 表
1．（2015·东城期末）若角 α 满足 α＝错误!＋错误!(k∈Z），则 α 的终边一定在( ） A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或 x 轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或 y 轴非正半轴上 解析:由 α＝错误!＋错误!,k∈Z，
当 k＝0 时，α＝π6，终边在第一象限．
当 k<0 时,r＝－错误!k，
－3k
∴sinα＝
＝错误!，
－ 10k
错误!＝错误!＝－错误!，
∴10sinα＋错误!＝3错误!－3错误!＝0.
综上,10sinα＋错误!＝0.
用定义法求三角函数值的两种情况
(1）已知角 α 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数 的定义求解．
高中数学第5章三角函数5.7三角函数的应用教学案新人教A版必修第一册
5.7 三角函数的应用(教师独具内容)课程标准：1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．教学重点：用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题． 教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型.【知识导学】知识点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)中，A ，ω，φ的物理意义 (1)简谐运动的□01振幅就是□02A . (2)简谐运动的周期T ＝□032πω. (3)简谐运动的频率f ＝1T ＝□04ω2π.(4)□05ωx ＋φ称为相位． (5)□06x ＝0时的相位φ称为初相． 知识点二 三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中□01周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画□02周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．知识点三 建立函数模型的一般步骤【新知拓展】运用三角函数模型解决问题的几种类型(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y ＝A sin(ωx ＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π.( )(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) 答案 (1)√ (2)× 2．做一做(1)某人的血压满足函数式f (t )＝24sin(160πt )＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π s B．π s C．0.5 s D ．1 s(3)电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流I 为________．答案 (1)C (2)D (3)52 A题型一 三角函数在物理中的应用例1 交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300 s 时第一次获得最大值．金版点睛三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．[跟踪训练1] 如图所示，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm ，周期为3 s ，且物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时．(1)求物体离开平衡位置的位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式； (2)求t ＝5 s 时，该物体的位置．解 (1)设位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式为x ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)，则由振幅为3 cm ，周期为3 s ，可得A ＝3，T ＝2πω＝3，得ω＝2π3.又物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时， ∴当t ＝0时，x ＝3sin φ＝3，∴sin φ＝1. ∵0≤φ＜2π，∴φ＝π2，从而所求的函数关系式是x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋π2＝3cos 2π3t .(2)令t ＝5，得x ＝3cos 10π3＝－1.5，故t ＝5 s 时，该物体在O 点左侧且距O 点1.5 cm 处．题型二 三角函数模型的简单实际应用例 2 在美国波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数D (t )的表达式是D (t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)＋12，其中t 表示某天的序号，t ＝0表示1月1日，以此类推．(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？[解] (1)白昼时间最长的一天，即D (t )取得最大值的一天，此时t ＝170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t ＝353时，D (t )取得最小值，即12月20日白昼最短．(2)D (t )>10.5，即3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)＋12>10.5，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)>－12，t ∈[0,365]， 所以49<t <292,292－49＝243.所以约有243天的白昼时间超过10.5小时． 金版点睛解三角函数应用问题的基本步骤[跟踪训练2] 某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图所示，且满足y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)．(1)根据图中数据求函数解析式；(2)从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？ 解 (1)由图象可知y max ＝900，y min ＝700， 且A ＋b ＝y max ，－A ＋b ＝y min ， 所以A ＝y max －y min 2＝900－7002＝100，b ＝y max ＋y min2＝800，且T ＝12＝2πω，所以ω＝π6.将(7,900)看作函数图象的第二个特殊点，得π6×7＋φ＝π2.所以φ＝－2π3.因此所求的函数解析式为y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －2π3＋800. (2)由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，又T 2＝122＝6.所以从7月1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个高峰或一个低谷.题型三 数据拟合问题例3 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多长时间可供冲浪者进行活动？[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cosπ6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)因为y ＞1时，才对冲浪爱好者开放， 所以y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0，2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3＜t ＜12k ＋3(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15. 金版点睛建立三角函数拟合模型的注意事项(1)在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． (2)在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．(3)在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．[跟踪训练3] 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y ＝f (t )的图象可近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]答案 A解析 对表中数据作近似处理，得下表：可见k ＝12，A ＝3，且T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝3时，y ＝15，代入选项检验得正确答案为A.1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6答案 C解析 由图象，知A ＝3－12＝1，T 2＝5π6－π6＝2π3，则T ＝4π3，ω＝2πT ＝2π4π3＝32.由5π6×32＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z .令k ＝0，得φ＝－3π4. 2．动点A (x ，y )在圆心为原点的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12]答案 D解析 由已知可得该函数的最小正周期为T ＝12，则ω＝2πT ＝π6.又当t ＝0时，A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴此函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3，t ∈[0,12]，可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．3．一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 C解析 函数y ＝－sin π2x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.4．如图所示是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4解析 设函数解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝2，由图象可知T ＝2×(0.5－0.1)＝45，∴ω＝2πT ＝5π2，∴5π2×0.1＋φ＝π2.∴φ＝π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4.5．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.。
人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：5.2.1 三角函数的概念(一)
5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念（一）课前自主学习知识点 三角函数的定义1．设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )． (1)把点P 的叫做α的正弦函数，记作sin α，即y ＝sin α； (2)把点P 的叫做α的余弦函数，记作cos α，即x ＝cos α；(3)把点P 的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即yx ＝tan α(x ≠0)．它是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． 2．将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ； 余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ； 正弦函数y ＝tan x ，x ≠π2＋k π(k ∈Z )．3．一般地，设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P (x ，y )(不与原点重合)，点P 到原点的距离是r ，则由相似三角形性质知：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .『微体验』1．若α的终边与x 轴负半轴重合，则sin α＝__________，cos α＝__________，tan α＝__________.2．已知角α的终边经过点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α＝______，cos α＝________，tan α＝________. 课堂互动探究探究一 已知角的终边上一点求三角函数值例1(1)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为35，则tan α＝________.(2)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.『方法总结』求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(点P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)求值．在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．跟踪训练1 如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12B ．－12C ．－32D ．－33探究二 已知角α终边所在直线求三角函数值例2已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．『方法总结』已知角终边所在直线求三角函数值时应注意的问题在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ba 2＋b 2，cos α＝a a 2＋b 2，tan α＝ba .跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝x 上，求sin α＋cos α的值．探究三 含参数的三角函数定义问题例3已知角α终边经过点P (－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－32D ．32『方法总结』当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 跟踪训练3 已知角α的终边经过点P (5m,12)，且cos α＝－513，则m ＝________.随堂本课小结1．任意角的三角函数定义三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(或坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．本节课的易错点是已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．——★ 参*考*答*案 ★——课前自主学习知识点 三角函数的定义 1．(1)纵坐标y (2)横坐标x (3)y x 『微体验』 1．0 －1 0『『解 析』』当α的终边与x 轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0. 2．－12 －32 33『『解 析』』因为⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫－122＝1，所以点⎝⎛⎭⎫－32，－12在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－12，cos α＝－32，tan α＝33.课堂互动探究探究一 已知角的终边上一点求三角函数值 例1 (1)34或－34 (2) －1213 513 －125『『解 析』』(1)由题意，设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫x ，35， 所以x 2＋⎝⎛⎭⎫352＝1，解得x ＝45或－45. 当x ＝45时，角α在第一象限，tan α＝3545＝34；当x ＝－45时，角α在第二象限，tan α＝35－45＝－34.(2)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋(－12)2＝13， 则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125.跟踪训练1 C『『解 析』』由题意知P (1，－3)，所以r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 探究二 已知角α终边所在直线求三角函数值 例2解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上， 所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3aa＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa ＝ 3.跟踪训练2 解 在角α的终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝x ， 当x >0时，r ＝x 2＋y 2＝2x ，sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝22＋22＝2，当x <0时，r ＝x 2＋y 2＝－2x ，sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－22－22＝－ 2.探究三 含参数的三角函数定义问题 例3 A『『解 析』』点P 的坐标可化为(－8m ，－3)， 由r ＝(－8m )2＋(－3)2＝64m 2＋9，由三角函数的定义知cos α＝x r ＝－8m 64m 2＋9＝－45.即100m 2＝64m 2＋9，解得m ＝±12.当m ＝－12时，点P 的坐标为(4，－3)，则cos α为正，不符合题意，故m ＝12.跟踪训练3 －1『『解 析』』cos α＝－513<0，则α的终边在第二或三象限，又点P 的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m <0，由5m 25m 2＋144＝－513，解得m ＝－1.。
人教A版高中数学必修第一册 同步教案 三角函数的图象与性质
5.4 三角函数的图象与性质最新课程标准：(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质．5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象 画法 五点法五点法关键 五点(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1,(2π,0)(0,1),⎝⎛⎭⎪⎫π2，0,(π,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0,(2π,1) 状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x,x∈[2kπ,2(k ＋1)π],k∈Z 的图象与x∈[0,2π]上的图形一致,因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸,可以由y ＝sin x,x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确,但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时,函数自变量要用弧度制,自变量与函数值均为实数,因此在x 轴、y 轴上可以统一单位,这样作出的图象正规便于应用．[教材解难] 1．教材P 196思考如图,在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆,⊙O 与x 轴正半轴的交点为A(1,0)．在单位圆上,将点A 绕着点O 旋转x 0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B 的纵坐标y 0＝sin x 0.由此,以x 0为横坐标,y 0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(x 0,sin x 0)．2．教材P 197思考由诱导公式一可知,函数y ＝sin x,x∈[2kπ,2(k ＋1)π],k∈Z 且k≠0的图象与y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象．3．教材P 198思考在函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象上,以下五个点：(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1,(2π,0)4．教材P 198思考对于函数y ＝cos x,由诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2得,y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R.而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R 的图象可以通过正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以,将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度,就得到余弦函数的图象．5．教材P 200思考能．以函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象为基础,将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度,所得图象即函数y ＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象．能．以函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象为基础,作它关于x 轴对称的图象,所得图象即函数y ＝－cos x,x∈[0,2π]的图象． [基础自测]1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x∈[2kπ,2(k ＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象,根据图象可知A,B,D 三项都正确．答案：C2．不等式sin x>0,x∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0,π] B ．(0,π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B3．下列图象中,是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称,故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x,x∈R 的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是________． 解析：令2x ＝0,π2,π,3π2和2π,得x ＝0,π4,π2,34π,π.答案：0,π4,π2,34π,π题型一 用“五点法”作三角函数图象[教材P 199例1] 例1 画出下列函数的简图： (1)y ＝1＋sin x,x∈[0,2π]； (2)y ＝－cos x,x∈[0,2π]． 解析：(1)按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来：(2)按五个关键点列表：x 0 π2π3π22πcos x 1 0 －1 0 1－cos x －1 0 1 0 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来：用五点法作图关键先找出5个关键点,再用平滑的曲线连接．教材反思作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos x的简图．解析：(1)列表,如下表所示x 0 π2π3π22πy＝cos x 1 0 －1 0 1y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 (2)描点,连线,如图所示：利用五点作图法画简图．题型二正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题]例2 根据正弦曲线求满足sin x≥－32在[0,2π]上的x的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y＝sin x与y＝－32的图象,如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形,满足sin x≥－32的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π,所以满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤43π或5π3≤x≤2π}.(或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π)在同一坐标系内作y＝sin x与y＝－32的图象,利用图象求x的范围.方法归纳利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤(1)作出直线y＝a,y＝sin x(或y＝cos x)的图象．(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．[注意] 解三角不等式sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同名三角函数值相等,写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x 的集合为π3＋2kπ,5π3＋2kπ,k∈Z.在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象,利用图象求x 的范围.课时作业 33 一、选择题1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称,故C 错误． 答案：C2．下列各点中,不在y ＝sin x 图象上的是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π,1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π,0),而不是(π,1)． 答案：D3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上,则m 等于( )A ．0B ．1三、解答题8．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121(2)9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x≤12,x∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y ＝1－cos x,x∈[0,2π]； (2)y ＝|sin x|,x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的简图,再作出y ＝cos x,x∈[0,2π]关于x 轴对称的简图,即y ＝－cos x,x∈[0,2π]的简图,将y ＝－cos x,x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y ＝1－cos x,x∈[0,2π]的简图,如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y ＝sin x,x∈ [0,4π]的简图,再将该简图在x 轴下方的部分翻折到x轴的上方,即得到y＝|sin x|,x∈[0,4π]的简图,如图2所示．。
人教A版新课标高中数学必修一教案《三角函数的概念》
《三角函数的概念》♦教材分析L _______ J本课是《任意角的三角函数》这一章的概念课，具有核心地位、统领全局的作用.在此之前，学生已经学习了锐角三角函数，弧度制，对三角函数(正弦，余弦，正切)有一定的了解，了解了锐角三角函数在解三角形中的作用. 为本节课的学习提供了知识准备.本节将学习任意角三角函数的概念、表示及关系.借用单位圆直观的表示三角函数的对应值.♦教学目标1•了解任意角三角函数概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；2•掌握任意角三角函数的代数表示，理解任意角三角函数的正弦，余弦，正切概念，体会用单位圆进行数学研究的一般过程.♦教学重难点♦教学重点：本节的重点是利用单位圆模型理解任意角三角函数概念的形成过程.'♦课前准备"I♦1•教学问题：(1)学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数是可能会出现障碍，由于学生在此之前学习了直角三角形中的锐角三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比来表示锐角三角函数，要克服这一点，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系；(2)学生在理解将终边上任意一点去在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会形成障碍.(3)学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，可能会受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题.2.教学支持条件：计算机，几何画板，科大讯飞问答系统.♦教学过程I【问题1】在初中，我们学过锐角三角函数，如图1,在直角三角形OMP中，M是直角那么根据锐角三角函数的定义，0的正弦，余弦，正切分别是什么？【设计意图】帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义.【预设师生活动】教师提出问题，学生回答.【问题2】在上节课的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在说说的角可以是任意大小的正角，负角和零角•那么任意角的三角函数又该怎么定义呢?【设计意图】引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数.【预设师生活动】老师引导学生：(1)能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？(2 )将锐角推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？(3)如图2:在平面直角坐标系中如何定义任意角的三角函数？(4)终边是0P的角一定是锐角吗？如果不是，能用直角三角形的边长来定义吗？当的终边不在第一象限该怎么办？(5 )我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的一条边长呢？(渗透数形结合的思想)(6)利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？【问题3】大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？【设计意图】为引入单位圆做铺垫.【预设师生活动】教师提出问题后，课组织学生展开讨论，在学生不能回到正确时，可启发他们思考：(1)我们在定义1弧度的角时，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂？(2)对于一个三角函数，比如y sin •它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定后，能不能取终边任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单易懂些？怎样取？(加强与几何的联系))【问题4】大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？【设计意图】引导学生在用单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义.【预设师生活动】由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理【设计意图】让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更/>)【问题5】根据任意三角函数的定义，要求角的三个三角函数值其实就是求什么?能突出三角函数概念的本质.【预设师生活动】在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值例1已知角的终边过点P (1, 3)，求角的正弦、余弦和正切值.2 2【设计意图】从最简单的问题入手，然后通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想.【预设师生活动】在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识.5变式1：求的正弦、余弦和正切值.3变式2: 已知角的终边过点P (- 3, - 4)，求角的正弦、余弦和正切值.【问题6】你们能否给出正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域？【设计意图】研究一个函数，就是要研究其三要素，而三要素中最本质的是对应法则和定义域，三角函数的对应法则已经有定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域，通过利用定义求定义域，即完善了三角函数概念的内涵，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】学生求出定义域，教师进行整理【问题7】上述三种函数的值在各象限的符号会怎么样？【设计意图】通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想.【预设师生活动】学生回答，教师进行整理.例2.求证：(1)当不等式组Sin 0成立时，角为第三象限角；tan 0sin 0(2)当角为第三象限角时，不等式组成立.tan 0【设计意图】通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练；【问题8】三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？【设计意图】引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.【预设师生活动】在教师的引导下，由学生讨论完成.例3先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值；Q A A(1)sin —；(2)cos3 ;(3)tan( ------- );(4)cos( 672°)4 6 '【设计意图】将确定函数值的符号与求函数值这两个问题结合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】先完成题(1)，再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题.练习(1)填表.(2)设是三角形的一个内角，在sin , cos , tan , tan?中，有可能取负值的是---------------(3)选择“ >”，“ <”，“=”填空：4 o osin( —) 0; tan 556 0; cos( 450 ) 0;317ta n( —) _______ 0;(4)选择(1)sin 0;(2)sin 0;(3) cos 0;(4) tan 0; (5) tan 0 中适当的关系式的序号填空:例4 (备选) 如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为 h0,它的直径为2R ,逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发(如图1所示)，过了 30秒后，你离地面的高度为多少？过了 t0秒呢？ 【设计意图】通过应用三角函数定义， 熟悉和记忆特殊角的三角函数值， 三角函数值的符号，公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解.【预设师生活动】 根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容做具体调整. 5.小结【问题9】从锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义，你能回顾一下我们是 如何借助单位圆给出任意角的三角函数的定义的吗？锐角三角函数与解直角三角形相关，在初中我们是利用直角三角形边的比值来表示锐角的三角函数.通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广， 但它与解三角形已经没有什么关系了，我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数.借助平面 直角坐标系中的单位圆， 我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系， 进而利用单位圆点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数. 【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容. 【预设师生活动】在学生给出定义后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点.【问题10】今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用，能不 能归纳一下，今天我们利用定义解决了那些问题？【设计意图】回顾和总结三角函数在本节课中的应用.(1) 当角 为第一象限角时， _______________ ，反之也成立； (2) 当角 为第二象限角时， _______________ ，反之也成立； (3) 当角 为第三象限角时， _______________ ，反之也成立； (4) 当角 为第四象限角时， ________________，反之也成立；7 (5 )求 的正弦，余弦和正切值.6(6) 已知角 的终边经过点P (-12, 5)，求角 的正弦，余弦和正切值.(7) 求下列三角函数值：cos1109°; tan19 3；si n(10500);ta n( 31 4)；图1【预设师生活动】在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生定义应用过程中所蕴含的数形结合的思想．。
2019-2020学年新人教A版必修一 三角函数和其它知识的整合 教案
【知识要点】在高考中，三角函数主要和三角恒等变换的整合，和平面向量的整合，和解三角形的整合. 【方法点评】【例1】已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值. （Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭又因为06()5f x =，所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦从而04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭所以0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=【点评】(1)三角函数和三角恒等变换的整合中，重要的公式有①二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-②降幂公式21cos 2cos 222cos 1sin 2αα-=③辅助角公式：sin cos a b αα+().αϕ=+（2）三角恒等变换要注意三看（看角、看名和看式）和三变（变角、变名和变式）.【反馈检测1】函数2()6cos 3sin 3(0)2wx f x wx w 在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ）若08()35f x ，且0102(,)33x ，求0(1)f x 的值.【例2】已知向量(cos,sin ),(cos ,sin ),[,]22222x x x π==-∈且a b .（1）若||+>a b ，求x 的取值范围；（2）函数()||f x =⋅++a b a b ，若对任意12,[,]2x x ππ∈，恒有12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围. （2）213()||cos 22cos 2(cos )22f x x x x =⋅++=-=--a b a b . 【点评】三角函数和平面向量的整合时，主要掌握以下几个公式：①设(,)a x y =，则2a x y =+，222||a a a aa a ===.②设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=（(竖乘相加等于零).③设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ||b 12210x y x y ⇔-=（斜乘相减等于零）学科#网【反馈检测2】若,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数()()f x t =⋅++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当[0,]3x π∈时，()f x 的最大值为1.（1）求函数()f x 的解析式； （2）若1()[0,]2f x x π=-∈，求实数x 的值.【例3】已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间； （Ⅱ）已知ABC ∆的内角分别是,,A B C ，A 为锐角，且14,cos sin 21225A f B C π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求的值.【解析】（Ⅰ）由周期12πππ,2362T =-=得2ππ,T ω==所以.2=ω 当π6x =时，1)(=x f ，可得πsin(2) 1.6ϕ⋅+=因为π,2ϕ<所以π.6ϕ=故π()sin(2).6f x x =+由图像可得)(x f 的单调递减区间为π2ππ,π,.63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣Z【点评】（1）本小题是求函数()sin()f x A x ωϕ=+的解析式，可由“五点法”得结论，首选由图象得周期，再由周期可得ω，再由点(,1)6π结合ϕ的范围可求得ϕ，最后利用正弦函数的单调性可得()f x 的单调减区间；（2）代入条件12122A f π⎛⎫-=⎪⎝⎭可求得角A ，利用两角和的正弦公式可求得sin C sin()A B =+．【反馈检测3】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos cos 2A BB - （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第30讲：三角函数和其它知识的整合参考答案【反馈检测1答案】（1）w ＝4π，函数()f x 的值域为[－；（2）0(1)f x +＝5. 【反馈检测1详细解析】(1)由已知可得，()3cos f x wx wx =＝3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又正三角形ABC 的高为4BC =， 所以函数()f x 的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，w ＝4π.函数()f x 的值域为[－．【反馈检测2答案】（1）1())32f x x π=--；（2）3124x ππ=或.【反馈检测2详细解析】由题意得cos ,sin )x x x ωωω+=+-m n ，【反馈检测3答案】（1）3cos 5A =-；（2. 【反馈检测3详细解析】()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-.()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).BA B 故向量BA在BC方向上的投影为cos。
高中数学第一册三角函数习题课教案
作业要求
01
要求学生认真完成作业 ，不得抄袭或敷衍了事 。
02
要求学生独立思考，自 主完成作业，遇到问题 可以向老师或同学请教 。
03
要求学生按时提交作业 ，不得拖延或迟交。
04
要求学生认真对待作业 的批改和反馈，及时改 正错误，提高学习效果 。
06
教学反思与总结
教学反思
教学内容反思
本次习题课主要涉及三角函数的基本概念、性质和图像，通过例题和练习题加深学生对知 识的理解和掌握。但在教学过程中，发现部分学生对三角函数的图像变换掌握不够扎实， 需要加强练习。
高中数学第一册三角函数习题课教 案
汇报人： 202X-12-18
目录
• 教学目标与要求 • 教学内容与重点难点 • 教学方法与手段 • 教学过程与步骤 • 作业布置与要求 • 教学反思与总结
01
教学目标与要求
教学目标
掌握三角函数的基本 概念、性质题的能 力。
教学总结
成功之处
本次习题课通过讲解与练习相结合的方式，使学生更好地理解和掌握了三角函数的基本概念、性质和图像。同时，通 过小组讨论等方式提高了学生的学习兴趣和参与度。
不足之处
在小组讨论环节，部分学生参与度不高，需要改进讨论方式。另外，在图像变换方面的教学还需加强，需要针对学生 的薄弱环节加强辅导和练习。
改进措施
针对学生的薄弱环节，可以增加一些针对性的练习题和辅导，以提高学生对三角函数图像变换的掌握程 度。同时，可以改进小组讨论方式，增加学生的互动和交流，提高学生的学习兴趣和参与度。
算和分析。
培养学生的自主学习能力和合作 学习能力，能够通过阅读教材、 查阅资料等方式自主学习，并与
同学合作交流学习。
三角函数的概念(性质)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
5.2.1 三角函数的概念（2）【教学内容】三角函数值的符号判断，诱导公式一及应用.【学习目标】1.掌握各象限角的三角函数值的符号规律.2.掌握三角函数诱导公式一的简单应用.【教学重难点】教学重点：三角函数值的符号判断，诱导公式一.教学难点：诱导公式一的应用.■微思考 1三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示：根据三角函数的定义，三角函数值由单位圆和角终边交点坐标决定，所以其符号由角的终边所在的象限决定.1.三角函数值的符号如图所示：正弦：一、二象限正，三、四象限负；余弦：一、四象限正，二、三象限负；正切：一、三象限正，二、四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：sin(α＋k·2π)＝sinα，π 4 π4 cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中 k ∈Z.■ 微思考 2根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？提示：不一定，如sin α = 1 ，则α = π + 2kπ或α = 5π + 2kπ(k ∈Z )． 2 6 6探究点 1 三角函数值符号的判定例 1 确定下列三角函数值的符号（1）cos 250°；（2）sin − ；（3）tan −672°；（4）tan 3π；（5）tan 120°sin 269°.【解】（1）因为 250°是第三象限角,所以 cos250°＜0.（2） 因为− π是第四象限角, 4 所以 sin − ＜0.（3） 因为 tan （ − 672°） = tan(48° − 2 × 360°),而 48°是第一象限角，所以 tan −672°＞0.（4） 因为 tan3π = tan π + 2π = tanπ,而π的终边在 x 轴上,所以 tanπ = 0.（5） 因为 120°角是第二象限角，所以tan 120°＜0.因为 269°角是第三象限角，所以sin 269°＜0. 所以tan 120°sin 269° > 0 .11π 6正弦、余弦函数值的正负规律探究点 2 公式一的简单应用例 2 求下列三角函数值：(1) cos 9π； 4(2) tan − ；(3)sin810° + tan 1125° + cos 420°.【解】（1） cos 9π4= cos= cos π 4 + 2π = 2; 2（2） tan − = tan= tan π 6− 2π = 3. 3 3原式= sin 2 × 360° + 90° + tan 3 × 360° + 45° + cos (360° + 60°)= sin90° + tan 45° + cos 60°π 4 11π 6 π 6= 1 + 1 + 12= 52利用公式一求解任意角的三角函数的步骤课堂小结：本节课学习了两个知识点1.三角函数值的符号正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.诱导公式一sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z。
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第二十五教时
教材：综合练习课
目的：复习和角、差角、二倍角及半角，积化和差、和差化积、万
能公式，逐渐培养熟练技巧。
过程：
一、小结本单元内容——俗称“加
法定理”
1．各公式罗列，其中和、差、
倍角公式必须记忆，要熟
知其结构、特点
2．了解推导过程（回顾）
3．常用技巧：
1︒化弦 2︒化“1”
3︒正切的和、积
4︒角变换 5︒“升幂”
与“降次” 6︒辅助角
二、例题：
例一、《教学与测试》基础
训练题
1．函数
x
x
y2
cos
)
2
3
sin(
3-
-
π
=
的最小值。
（辅助
角）
解：
x
x
x
y2
cos
2
1
2
cos
)
2
sin
2
1
2
cos
2
3
(3=
-
-
=
1
)
2
6
sin(-
≥
-
π
=x
2．已知
的值
，求x
x2
sin
13
5
)
4
sin(-
=
π
-
（角变换）
解：
)]
4
(2
cos[
)
2
2
cos(
2
sin=
π
-
=
-
π
=x
x
x
3．计算：(1
+3)tan15︒-3
（公式逆用）
解：原式= (tan45︒+
tan60︒)tan15︒-3=tan
105︒(1-tan45︒tan60︒)ta n15︒ -3 = (1 -
3)
tan105︒ tan15︒ -3= (1 -3)×(- 1)-3 = - 1 4． 已知sin(45︒ - α) =
3
2
-，且45︒ < α < 90︒，求sin α （角变换）
解：∵45︒ < α < 90︒ ∴-45︒ < 45︒-α < 0︒ ∴cos(45︒-α) = 3
5
cos2α = sin(90︒-2α) =
sin[2(45︒-α)]
=
2sin(45︒-α)cos(45︒-α) =9
5
4-
即 1 - sin 2
α =
9
5
4-
， 解之得：sin α = 6
10
22+
例二、已知θ是三角形中的一个最小的内角， 且
12
sin 2cos 2sin 2cos 2222
+=θ
-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围
解：原式变形：
)2
sin 2(cos )2sin 2(cos 2222
=θ-θ-θ-θa
即
1cos )1(+=θ-a a ，显然
1≠a （若1=a ，则 0 = 2） ∴
1
1
cos -+=θa a 又∵3
0π
≤
θ<，
∴
1cos 2
1
<θ≤ 即：11
1
21<-+≤a a 解之得：3-≤a
例三、试求函数
2
cos sin 2cos sin +++=x x x x y 的最大值和最小值。
若]2
,0[π∈x 呢？ 解
：
1
．
设
]
2,2[)4
sin(2cos sin -∈π
+=+=x x x t
则
x x t cos sin 212+= ∴
1cos sin 22-=t x x
∴
]
23,4
3
[41)21(122+∈++=++=t t t y
∴
43
,23min max =
+=y y 2．若]2
,0[π∈x ，则
]2,1[∈t ，∴]23,3[+∈y
即
3,23min max =+=y y
例四、已知tan α = 3tan(α +
β)，6
π
=
β，求sin(2α + β)的值。
解
：
由
题
设
：
)
cos()
sin(3cos sin β+αβ+α=αα 即sin α cos(α + β) = 3sin(α + β)cos α
即sin(α + β) cos α +
cos(α + β)sin α = 2sin α cos(α + β) - 2cos αsin(α + β)
∴sin(2α + β) =
-2sin β 又∵6π=
β ∴sin β2
1= ∴sin(2α + β) = -1
三、作业：《教学与测试》P117—118 余下部分。