第3章 整数规划补充题
整数规划习题解答PPT演示课件
（增加了人工变量x4）
1
练习
（2）不增加人工变量，通过对约束方程组进行行变换得到 初始可行基
max z x2 2 x3
x1 2 x2 x3
s.t
.
x2 x2
3 x3 x3
2
x4
1
x5 2
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
以x1 , x4 , x5为基变量，B ( p1 , p4 , p5 ) E为初始可行基， 运用单纯性法求解，得到的最终单纯性表为
11
1
- 2 x4 2 x5 x6 2
加入上面的最终单纯性表，得
4
练习
cj
0 1 -2 0 0 0
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x1 13/2 1 0 0 -1/2 5/2 0
1 x2 5/2 0 1 0 -1/2 3/2 0
-2 x3 1/2 0 0 1 -1/2 1/2 0
练习
将其标准化： （1）采用M法
max z x2 2 x3 Mx4
x1 2 x2 x3 x42源自s.t .x2 x2
3 x3 x3
x5
1
x6 2
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
以x4 , x5 , x6为基变量，B ( p4 , p5 , p6 ) E为初始可行基， 运用单纯性法求解
0 x6 -1/2 0 0 0 -1/2 -1/2 1
-z
-3/2 0 0 0 -1/2 -1/2 0
5
练习
由对偶单纯性法可得
cj
0 1 -2 0 0 0
CB XB
七年级数学上册第三章整式及其加减3.5探索规律与表达规律同步作业试题(共2页)
班别姓名(xìngmíng)
根底题：
1．观察以下一组数：1，4，9，…，那么第4个数是______，第n个数是________．
2.观察以下一组数：1
3
，
2
5
，
3
7
，
4
9
，
5
11
，…，根据该组数的排列规律，可推出第
10个数是________．
3.下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2021个数应是
〔〕
A..
B..2002
2－1 C.. D. 以上答案不对
4.百货大楼进了一批花布，出售时要在进价〔进货价格〕的根底上加一定的利润，其数量x与售价y如下表：
数量x(m) 1 2 3 4 …
售价y
〔元〕
…
以下用数量x表示售价y的关系中，正确的选项是〔〕
A.y=8x+0.3
B.y=(8+0.3)x
C.y=8+0.3x
D.y=8+0.3+x
5.如图是用火柴拼成的图形，那么第n个图形需________根火柴棒．
6.如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，那么第n个图案中有____________根小棒．
进步(jìnbù)题：
如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼〞…，那么搭n条“金鱼〞需要火柴
____________根．
内容总结
（1）班别姓名
根底题：
1．观察以下一组数：1，4，9，
（2），那么第n个图案中有____________根小棒．
进步题：
如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼〞。
运筹学整数规划例题
练习 4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元, 拟在今后五年考虑用于下列项目的投资: 项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资, 并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4 万元, 第二. 三. 四年不限.项目B:第三年初需要投资, 到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为 5 万元.项目C:第二年初需要投资, 到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为 4 万元, 或为 6 万元, 或为8 万元.项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还, 并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额, 使到第五年末拥有最大的资金收益.(1)x 为项目各年月初投入向量。
(2)x ij 为i 种项目j 年的月初的投入(3)向量c中的元素cij为i 年末j种项目收回本例的百分比(4)矩阵A中元素aij为约束条件中每个变量xij的系数。
(5)Z为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为max Z 1.15 x4 A 1.28 x3B 1.40x2C 1.06 x5 D束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金第 1 年年初该投资者拥有10 万元资金, 故有x1A x1D 100000 .第 2 年年初该投资者手中拥有资金只有 1 6% x1D , 故有x2A x2C x2D 1.06 x1D .第3 年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 1.06x2D , 及从项目 A 中第1 年投资收回的本金: 1.15x1A , 故有max=1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d; x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0; -1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0; -1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0; x2c=40000 ; x2c=60000; x2c=80000; x2c=20000; x3b>=30000; x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0; x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0; x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0; x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;x 3A x 3B x 3D 1.15 x 1A 1.06 x 2 D同理第 4年、第 5 年有约束为 x 4A x 4D 1.15 x 2 A 1.06 x 3 D ,x5D1.15 x 3 A 1.06x 4DVariable Value Reduced Cost X4A 22900.00 0.000000X3B 50000.00 0.000000X2C 40000.00 0.000000X5D 0.000000 0.000000X1A 62264.15 0.000000X1D 37735.85 0.000000X2A 0.000000 0.000000X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000X3D 21603.77 0.000000X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000X1B 0.000000 0.000000X2B 0.000000 0.000000X4B 0.000000 0.000000X5B 0.000000 0.000000X1C 0.000000 0.000000X3C 0.000000 0.000000X4C 0.000000 0.000000X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10 某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11 给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4 ，表示消防站1，2，⋯11 表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间对所负责的区域的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习 4.10某城市的消防站总部将全市划分为11 个防火区，现有四的。
整数规划
4
例1.某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货 物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表 所示。(P163)
甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件， 可使获得利润最大。
5
解：设x1、x2分别为甲、乙两种货物托运的件数， 建立模型 目标函数： Max z = 2x1 +3 x2 约束条件： s.t. 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤4 x1，x2 ≥ 0 为整数。 如果去掉最后一个约束，就是一个线性规划问题。 利用图解法
maxZ (或 minZ ) c j x j
j 1
n
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
3
整数线性规划问题的种类：
纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数 值的整数线性规划。 混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取 整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。 0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的 整数线性规划。
6
得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为 14.66。由图表可看出，整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标 函数值为14。
7
性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规 划或混合整数规划的最大目标函数值小于或 等于相应的线性规划的最大目标函数值；任 何求最小目标函数值的纯整数规划或混合整 数规划的最小目标函数值大于或等于相应的 线性规划的最小目标函数值。(P165)
变量约束：
22
整数规划问题解的特征：
高一下数学必修五第3章 3.3.2 简单的线性规划问题练习题课件
易错点1 忽略截距与目标函数值的关系而致错
9．设E为平面上以A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝ 4x－3y的最大值与最小值．
解
易错 警示
把目标函数z＝4x－3y化为y＝43x－13z.根据条件画出可行域如图所示， 当动直线y＝43x－13z经过点B(－1，－6)时，z取得最大值； 当动直线y＝43x－13z经过点C(－3，2)时，z取得最小值． 故zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
3.3.2 简单的线性规划问题 刷基础
题型1 线性目标函数的最值问题
2．[山东青岛2018高三二模]设实数x，y满足 A．有最小值2，最大值3 B．有最大值3，无最小值 C．有最小值2，无最大值 D．既无最大值也无最小值
则z＝x＋y( C )
解析 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)： 由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x＋z，
x+ x∈
4y ≤ 11 Z, y ∈ Z
，求S＝5x＋4y的最大值．
x > 0, y > 0
解
依据已知条件作出图形如图所示，
因为B(2，1)是可行域内的整点，由此得SB＝2×5＋1×4＝14，
同理，可得C(1，2)，SC＝5×1＋4×2＝13，由于14>13，故Smax＝14.
题型3 线性规划的实际应用
6．[福建厦门2017高二上学期期末]4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支
铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是( B )
A．0.5元
B．1元
C．4.4元
D．8元
最新人教A版高中数学必修5同步培优训练第三章 习题课——数学规划的简单应用
第三章不等式习题课——数学规划的简单应用课后篇巩固提升基础巩固1.已知x ,y 满足约束条件{x ≥0,y ≥0,x +y ≥1,则(x+3)2+y 2的最小值为( )A .√10B .2√2C .8D .10(图中的阴影部分),(x+3)2+y 2表示可行域中的点(x ,y )与点(-3,0)之间的距离的平方.由图形可知,当点(x ,y )为点(0,1)时,点(x ,y )与点(-3,0)之间的距离最小,等于√10,因此(x+3)2+y 2的最小值为10.2. 已知变量x ,y 满足约束条件{y ≥-1,x -y ≥2,3x +y ≤14,若使z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是( ) A .{-3,0} B .{3,-1} C .{0,1}D .{-3,0,1},如图中的阴影部分所示.易知直线z=ax+y 与x-y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1或-a=-3,所以a=-1或a=3.3. 已知实数x ,y 满足不等式组{x ≥1,y ≥0,x -y ≥0,则y -1x 的取值范围是( )A .[-1,1)B .[-1,1]C .(-1,1)D .[-1,+∞)画出可行域(图中的阴影部分),设w=y -1x ,所以y=wx+1(x ≠0),w 表示直线y=wx+1(x ≠0)的斜率.由图可知,满足条件的直线夹在直线y=-x+1与y=x+1之间,故-1≤w<1.4. 已知变量x ,y 满足条件{x +y ≤a ,x +y ≥8,x ≥6,若不等式x+2y ≤14恒成立,则a 的取值范围是( )A .(-∞,10]B .[8,10]C .(-∞,-6]D .(-∞,-10]a ≥8,否则可行域无意义,由图可知x+2y 在点(6,a-6)处取得最大值,则有2a-6≤14,因此a ≤10,所以8≤a ≤10.5. 已知变量x ,y 满足约束条件{x -y +2≤0,x ≥1,2x +y -8≤0,则yx的取值范围是 .(图中的阴影部分),易得A (2,4),B (1,6),因为它们与原点连线的斜率分别为k 1=2,k 2=6,又因为yx =y -0x -0,所以k 1≤yx ≤k 2,即2≤yx ≤6.故yx 的取值范围是[2,6].6.不等式组{x >0,y >0,4x +3y <12表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有个.,如图中的阴影部分(不含边界),由图知满足题意的整点有(1,1),(1,2),(2,1),共3个.7.已知x ,y 满足约束条件 {x +y ≥1,x -2y ≥-2,3x -2y ≤3,若x 2+y 2≥a 2恒成立,则实数a 的取值范围是 .(图中的阴影部分),x 2+y 2表示可行域中的点(x ,y )与原点距离的平方.由图可知,x 2+y 2的最小值应为原点到边界直线x+y=1的距离的平方,而原点到边界直线x+y=1的距离等于√22,所以x 2+y 2的最小值是12,因此要使x 2+y 2≥a 2恒成立,应有a 2≤12,故-√22≤a ≤√22. 答案-√22,√228. 已知x ,y 满足线性约束条件{x -2y +7≥0,4x -3y -12≤0,x +2y -3≥0,求函数z=x 2+y 2的最大值和最小值.{x -2y +7≥0,4x -3y -12≤0,x +2y -3≥0,在同一平面直角坐标系中,画出可行域,如图阴影部分所示.由{x -2y +7=0,4x -3y -12=0,解得A (9,8). 所以z max =(x 2+y 2)max =|OA|2=145. 又因为原点O 到直线BC 的距离为√5=3√55, 所以z min =(x 2+y 2)min =95. 故函数z=x 2+y 2的最大值为145,最小值为95.9. 某人有一幢楼房,室内面积共计180 m 2,拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m 2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15 m 2,可住游客3名,每名游客每天住宿费50元.装修大房间每间需要1 000元,装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8 000元用于装修,且游客能住满客房,则他应隔出大房间和小房间各多少间,才能使每天获得的住宿费最多?x 间,小房间为y 间,每天获得的住宿费为z 元.根据题意得{18x +15y ≤180,1 000x +600y ≤8 000,x ,y ∈N ,即{6x +5y ≤60,5x +3y ≤40,x ,y ∈N ,目标函数为z=200x+150y.作出约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示,把目标函数z=200x+150y 化为y=-43x+z150,由图易知当直线经过点M 时,z 取得最大值,解方程组{6x +5y =60,5x +3y =40,得M (207,607).因为最优解(x ,y )中,x ,y 必须都是整数,所以点(207,607)不是最优解.验证可知当直线过整点(3,8)和整点(0,12)时,z 取得最大值,所以当大房间为3间,小房间为8间或大房间为0间,小房间为12间时,可使每天获得的住宿费最多,最多为1 800 元.能力提升1.已知a>0,x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3),若z=2x+y 的最小值为0,则a 等于( )A .14B .12C .1D .2,如图阴影部分所示.由z=2x+y ,得y=-2x+z ,可将z 的最小值转化为直线在y 轴上的截距最小.由图知当直线z=2x+y 经过点B 时,z 最小.因为点B 的坐标为(1,-2a ),将其代入z=2x+y ,得2-2a=0,得a=1.2.已知O 为坐标原点,点M 的坐标为(2,1),若点N (x ,y )满足不等式组(x -4y +3≤0,2x +y -12≤0,x ≥1,则使OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值的点N 的个数是( ) A.1B.2C.3D.无数个M (2,1),N (x ,y ),得OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+y.令z=2x+y ,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值即为目标函数z=2x+y 的最大值.由图(图略)易知,当直线y=-2x+z 与直线2x+y-12=0重合时,z 取得最大值,所以使OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值的点N 的个数有无数个.3.若不等式组{x +2y ≥0,2x -y ≥0,x ≤a(a>0)表示的平面区域的面积为5,且直线mx-y+m=0与该平面区域有公共点,则m 的最大值是( ) A.43B.34C.0D.-13(图中的阴影部分),可求得A (a ,2a ),B (a ,-a2),三角形区域的面积为12·a ·5a2,所以12·a ·5a2=5,解得a=2,这时A (2,4).而直线mx-y+m=0可化为y=m (x+1),它经过定点P (-1,0),斜率为m.由图形知,当直线经过点A 时,斜率m 取最大值,且k AP =4-02-(-1)=43.故m 的最大值是43.4.若实数x ,y 满足{y ≤2,|x |-y +1≤0,则z=x+y x -2的最小值为( )A.-2B.-3C.-4D.-5,如图阴影部分所示.z=x+yx -2=x -2+y+2x -2=1+y+2x -2,设k=y+2x -2,则k 的几何意义为区域内的点与定点D (2,-2)的连线的斜率.由图可知,AD 的斜率最小,由{y =2,x -y +1=0,得{x =1,y =2,即A (1,2),此时AD 的斜率k AD =2+21-2=-4, 则z min =1+k AD =1-4=-3, 即z=x+yx -2的最小值为-3.故选B .5.若x ,y 均为整数,且满足约束条件{x +y -2≤0,x -y +2≥0,y ≥0,则z=2x+y 的最大值为 ,最小值为 .作出可行域,如图阴影部分所示.由图可知在可行域内的整点有(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),(-1,1),(0,1),(1,1),(0,2),分别代入z=2x+y 可知,当x=2,y=0时,z 取最大值4;当x=-2,y=0时,z 取最小值-4.-46.若实数x ,y 满足不等式组{2x +y ≤4,x ≥0,则当y -xx+1≤2a 恒成立时,实数a 的取值范围是 .画出可行域(图中的阴影部分),由于y -xx+1=y+1-1-xx+1=y+1x+1-1,其中y+1x+1表示可行域中的点(x ,y )与定点(-1,-1)连线的斜率k ,由图形可知k ∈[13,5],所以y+1x+1-1∈[-23,4].因此,当y -xx+1≤2a 恒成立时,应有2a ≥4,解得a ≥2.+∞)7.已知x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y ≤1,y ≥0,若目标函数z=ax+y (其中a 为常数)仅在点(12,12)处取得最大值,求实数a 的取值范围.x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y ≤1,y ≥0,画出此约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由目标函数z=ax+y ,得y=-ax+z.因为z 仅在点(12,12)处取得最大值,所以-1<-a<1,故实数a 的取值范围是(-1,1).8.已知x ,y 满足约束条件{x -4y ≤-3,3x +5y ≤25,x ≥1,试求解下列问题:(1)z=√x 2+y 2的最大值和最小值; (2)z=yx+2的最大值和最小值; (3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值..(1)z=√x 2+y 2表示的几何意义是区域中的点(x ,y )到原点(0,0)的距离,由图易知z max =√29,z min =√2.(2)z=yx+2表示区域中的点(x ,y )与点(-2,0)连线的斜率,由图易知z max =2215,z min =27. (3)z=|3x+4y+3|=5×|3x+4y+3|5,而|3x+4y+3|5表示区域中的点(x ,y )到直线3x+4y+3=0的距离,则z max =26,z min =10.。
整数规划作业
整数规划作业
1、某企业在A1地已经有一个工厂，其产品生产能力为30千箱，为了扩大生产，打算在A
2、 A
3、 A
4、 A5地中再选几个地方建厂。
已知在A2地建厂的固定成本175千元，在A3地建厂的固定成本300千元，在A4地建厂的固定成本375千元，在A5地建厂的固定成本500千元，另外， A1的产量，A2 、 A3、 A4、 A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价（每千箱运费）如表。
（1）问在哪建厂，在满足销量的前提下，使得总的固定成本和总的运费之和最小；
（2）如果由于政策要求必须在A2、 A3两地建一个厂，应在哪几个地方建？
2、某公司在今后5年内考虑给以下项目投资，已知：
项目A ：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为4万元，第二、三、四年不限；
项目B ：从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128%，但规定最低投资额为3万元，最高为5万元；
项目C ：第二年年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为4万元，或为6万元或为8万元。
项目D ：五年内每年初可购买公债，于当年归还，并加利息6%，此项投资额不限。
该部门现有资金10万元，问：应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年拥有的资金本利总额最大？
20
20
30
销量（千箱）
40
2 4 10 A5
30 5 7 9 A4 20 4 3 4 A3 10 3 2 5 A2 30 3 4 8 A1 产量（千箱） B3 B2 B1。
整数规划习题
1. 用分枝定界法求解整数规划模型：
且为整数
0,3/1+2-14
/51)14/9(+..+=max 2121212
1≥≤≤x x x x x x t s x x Z
2. 某水电开发公司计划在某一流域的干、支流上投资建设若干座水电站。
共有7个技术可行的站点可供选择，其中干流的两个站点A 1，A 2中至少选择1个，支流1的3个站点A 3，A 4，A 5中至多选择两个，支流2的两个站点A 6，A 7中至少选择1个。
站点A i 的投资c i 及年利润b i 如表1所示，在投资总额不超过1亿元的情况下，应选择哪几个电站投资建设才能使得公司的年利润最大？
3. 有4人（A 1，A 2，A 3，A 4）被指派完成4项任务（B 1，B 2，B 3，B 4），各人完成任务所需时间如表所示。
如何指派才能使得完成任务的总时间最小？列出数学模型并求解。
4. 用割平面法求解：
为整数
212212121,0≥,25+46≤+2+=max x x x x x x x x x Z 1x 0≤
5. 某地区有5个考虑的投资项目，其期望收益与需投资额见表3。
由于各工程项目之间有一定联系，Ⅰ、Ⅲ和Ⅴ 之间必须选择一种更，而且也仅需要选择一项；同样Ⅱ和Ⅵ 之间也只能选择一项，并且必须选择一项；Ⅲ和Ⅳ 两个项目是密切相连的，项目Ⅲ的实施必须以项目Ⅳ的实施为前提条件。
该地区共筹集到资金15万元，究竟应该选择哪些项目，其期望纯收益才能最大呢？
表3 各工程项目的收益及投资。