北师大版等腰三角形
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，
∠F=180°－(∠D+∠E)
B
CE
F ∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
返回
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
5
议一议, 做一做
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来. (2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
求证：∠B=∠C.
证法二:
BD C
证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SAS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
9
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
2.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，
BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
返回
13
1.如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且 AC⊥BD，AC=BC=CD. （1）求证：△ABD是等腰三角形; （2）求∠BAD的度数.
14
感谢各位领导和同仁， 请多批评指正！
15
1
1 能够用综合法证明有关三角形
和等腰三角形的一些结论。
2 进一步熟悉证明的基本步骤
和书写格式。
2
“三线合一” 推论证明
“等边对等 角”定理证
明
等腰三角形
盘点收 获
走进中 考
“AAS”定理 证明
达标检 测
3
基本事实:
1.两直线被第三条直线所截,如果__同_位__角___相等,那么这 两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,__同_位__角___相等; 3. _两__边__及__其_夹__角__对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4. _两__角__及_其__夹__边__对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5. _三__边__对应相等的两个三角形全等; （SSS）
A
求证：∠B=∠C.
证法三: 证明：在△ABC和△ACB中
B
C
∵ AB=AC, ∠A=∠A, AC=AB,
∴ △ABC≌△ACB (SAS)
返回
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
点拨：此题还有多种证法，不论怎样证， 依据都是全等的基本性质。
10
想一想
在上面的图形中,线段AD还具有怎样 的性质?为什么?由此你能得到什么结论?
A
推论: 等腰三角形顶角的平分 线、底边上的中线、底边上的高互 B D C 相重合. (三线合一)
返回
11
1.AAS定理： 2.“等边对等角”定理： 3.“等腰三角形三线合一”推论：
返回
12
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点， 且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ）
A. 40° B. 36° C. 30° D. 25°
证法一: 证明：取BC的中点D, 连接AD.
BD C
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SSS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
8
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
A
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
你能证明下面的推论吗？
推论 两角及其中一角的对边对应相等的
两个三角形全等.（AAS）
4
定理 两角及其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等.（AAS）
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
A
D ∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质， 然后再小组交流，互相弥补不足.
A
A
A
→
→
BD
C
BD C
B(C) D6Biblioteka 大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
7
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
A
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
北师大版八年级数学(下)第一章 等腰三角形
1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。
北师大版七年级下等腰三角形难题
北师大版七年级下等腰三角形难题
本文档将介绍一些关于北师大版七年级下册的等腰三角形的难题。
以下是一些典型的等腰三角形难题及其解法。
难题1: 确定等腰三角形的高
问题描述：已知等腰三角形的底边长为8cm，顶角的度数为45°，求这个等腰三角形的高。
解法：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的底边上的高和顶角的度数有关。
我们可以利用三角函数来求解此问题。
设等腰三角形的高为h，则有正弦关系式：sin(45°) = h/8。
通过计算得到：
h = 8 * sin(45°)
计算结果为：
h = 8 * 0.7071 ≈ 5.657cm
所以，该等腰三角形的高约为5.657cm。
难题2: 计算等腰三角形的面积
问题描述：已知等腰三角形的底边长为12cm，高为10cm，求
该等腰三角形的面积。
解法：等腰三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 底边
长 * 高 / 2。
将已知条件代入公式，得到：
面积 = 12 * 10 / 2
计算结果为：
面积 = 60
所以，该等腰三角形的面积为60平方厘米。
以上是两个关于等腰三角形的典型难题及解法。
通过这些例题，我们可以更好地理解和应用等腰三角形的性质和计算方法。
希望对
你的学习有所帮助！。
第1讲 等腰三角形八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第1讲 等腰三角形 1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 知识点01 等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . 2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形 目标导航知识精讲等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【知识拓展1】根据等边对等角求角度例1．（2021·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？例2．（2021·黑龙江省八五一一农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB 的度数例3．（2021·广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，D是BC上一点，且DA＝DB，∠B＝15°．求∠CAD的度数．例4．（2021·广西三江·八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．【即学即练1】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【知识拓展2】利用三线合一求解与证明例1．（2021·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD ＝CE．⊥，垂足为D，E是BC延长线上的一点，例2．（2021·重庆·八年级期中）如图：已知等边ABC中，BD AC=，且CE CD（1）求证：BD DE=；（2）若M为BE中点，求证：DM平分BDE∠．例3．（2021·河南镇平·八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB 上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．①求证：△CEF ≌△DFE ；②求证：△PEF 是等腰三角形；③小军作图得到的射线OP 是∠AOB 的平分线吗？请判断并说明理由．例4．（2021·广东广州·八年级阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AB ：AD ：13BD =：12：5，ABC 的周长为36，求ABC 的面积．例5．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）已知：在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为CD 上一点，且DE ＝AD ，连接BE 并延长交AC 于点F ，连接DF ．（1）求证：BE ＝AC ；（2）若AB ＝BC ，且BE ＝2cm ，则CF ＝ cm ．例6．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC ＝16m，上弦长AB＝10m，求中柱AD的长．【即学即练1】（2021·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．【即学即练2】（2021·黑龙江五常·八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与△BAD，BC与AD交于点E，若AC＝BD，BC＝AD．（1）如图1，求证：CE＝DE；AB的线段．（2）如图2，当∠C＝90°，∠AEB＝2∠AEC时，作EF⊥AB于F，请直接写出所有等于12【即学即练3】（2021·吉林·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为边BC 的中线，E 是边AB 上一点（点E 不与点A 、B 重合），过点E 作EF BC ⊥于点F ，交CA 的延长线于点G ．（1）求证：AD //FG ；（2）求证：AG AE =；（3）若3AE BE =，且4AC =，直接写出CG 的长．【即学即练4】（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，BC 交x 轴于点D ．（1）若A （﹣8，0），C （0，6），直接写出点B 的坐标 ；（2）如图2，三角形△OAB 与△ACD 均为等腰直角三角形，连OD ，求∠AOD 的度数；（3）如图3，若AD 平分∠BAC ，A （﹣8，0），D （m ，0），B 的纵坐标为n ，求2n ＋m 的值．【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论例1.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【即学即练】如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF 的周长为（ ）A ．13B ．12C ．15D ．20【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用例1、已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ， BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．知识点02 等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识拓展4】等边三角形例1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【即学即练】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
第1课时 等腰三角形的性质PPT课件(北师大版)
A．5
B．4
C．3
D．2
3．(2015·永州)如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5， AE＝2，则CE＝__3__．
4．(2015·南宁)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的 度数为( ) A
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．(2015·黄石)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC， ∠ABC＝72°，则∠ABD等于( )B A．36° B．54° C．18° D．64°
知识技能： 1．三角形全等的判定方法中至少有一边对应相等． 2．“三线合一”是证明线段相等、角相等或两直线垂直的重要根据． 易错提示：“三线合一”的前提条件是在等腰三角形中．
C A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AB＝BC D．∠BAC＝90°
12．(202X·滨州)如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且 AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )D
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
13．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE.
第1章 三角形的证明
1．1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质
1．(2015·海南)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是( )D A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB
2．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是( )A
∴△AMD≌△AND(SAS)，∴DM＝DN
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB.AE＝CE，求证： (1)△AEF≌△CEB； (2)AF＝2CD.
北师大版数学八下1.等腰三角形的判定与反证法课件
点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF
三者有何数量关系？
A
分析：可证BE=DE,CF=DF
E
F
D
∴EF=DE-DF=BE-CF B
G C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个
角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量
关系？
A
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
E OF
B
C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平
分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
A
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：（1）2个：△BOE、△FOC
E
OF
（2）成立
B
C
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交
E
D
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
B
C
∴BE=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形.
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
新课探索
Part 3 典例Part精1 析
第3课时 等腰三角形的判定PPT课件(北师大版)
14．如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是 AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
解：OE和AB相互垂直．理由：在△ABC和△BAD中，AB＝BA， ∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，∴△ABC≌△BAD(SAS)，∴∠ABC＝∠BAD
，∴OA＝OB，∵点E是AB的中点，∴OE⊥AB
5．如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平 分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是____ cm5 .
6．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时
，应先假设( )
D
A．有一个锐角小于45°
B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45°
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若添加下列条件中的一个： ①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角
形的有__①__②．(填序号)
4．如图，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°，AB＝3， 则CD＝___3_．
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40 海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处， 则N处与灯塔P的距离为( ) D
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 12．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE交 AD于点F，则下列结论错误的是( ) C A．AD＝BD B．BF＝AC C．AD＝BF D．∠DCF＝45°
D．每一个锐角都大于45°
7．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是正数”是假命 题．你举的反例是___－_．2 (写出一个x的值即可)
北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示等腰三角形的基本性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《等腰三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两边长度相等的三角形？”（如剪刀、自行车架等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等腰三角形的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等腰三角形的基本概念。等腰三角形是指有两边相等的三角形。它的重要性体现在其独特的性质和应用上。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了等腰三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等腰三角形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
总的来说，今天的课堂教学有成功之处，也有需要改进的地方。在今后的教学中，我会针对以下几点进行优化：
八年级等腰三角形的性质北师大版数学课件
证明后的结论,以后可以直接运用.
隋堂练习P4 1
成功者的摇篮
1.证明:等边三角形的三个角都相等并且每个角都 等于600. 2. 如图,在△ABD中, C是BD上的一点,且 AC⊥BD,AC=BC=CD. (1).求证:△ABD是等腰三角形; (2). 求∠BAD的度数.
A
B
D
C
第2题
下课了!
结束寄语
已知:
A
如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.
分析:
要证明∠B=∠C,只要能使∠B、∠C为 两个全等三角形的一对对应角即可.因 此，需要作辅助线“过点A作高线AD”. 证明: 过点A作AD⊥BC,交BC于点D.
在Rt△ABD与Rt△ACD中 ∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）, ∴ △ABD≌△ACD（HL）.
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上
的已高知:互相重合(三线合一).
A
如图,在△ABC中, AB=AC, ∠1=∠2.
求证:BD=CD,AD⊥BC.
分析:
12
要证明BD=CD,AD⊥BC,只要能证明
△ABD≌△ACD即可.由公理(SAS)易证. 证明: 在△ABD与△ACD中 ∵ AB=AC （已知）,
证明: ∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）
A′ ●
● ● C′
∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）.
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′ （已知）, AB=A′B′（已知）,
驶向胜利 的彼岸
∠B=∠B′ （已证）,
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
回顾与思考 6
几何的三种语言
第28课时等腰三角形课件北师大版
【解析】∵DF=DE，∴∠E=∠DFE=1 ∠GDC，同理，
∠GDC=1 ∠ACB,∴∠E= 1∠ACB.又△2ABC是等边三角形，
2
4
∴∠ACB=60°，
∴∠E=15°.
答案：15
【技巧点拨】 等边三角形判定的三种思路 1.证三角形的三条边相等. 2.证三角形的三个角相等. 3.先证三角形的一个角为60°，再证有两条边相等.
【即时检验】 1.在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=1_0_0__°_. 2.△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，∠BAD=20°，则∠7C0°=___.
3.△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=60_°___． 4.在Rt△ABC中，如果∠BCA=90°，∠A= 30°，AB=4，则BC2=__.
等边三角形的性质与判定 【例2】（8分）(2011·綦江中考)如图， 等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线， D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方 作等边△CDE,连接BE. (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)延长BE至Q， P为BQ上一点，连接CP， CQ，使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长.
一、等腰三角形 1.概念： 有_两__条__边__相等的三角形是等腰三角形；_三__条__边__相等的三角形 是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫_正__三__角__形__.
2.性质： (1)等腰三角形的两个_底__角__相等(简写成“等边对_等__角__”). (2)等腰三角形的顶角_平__分__线，底边上的_中__线、底边上的_高__ 相互重合(通常称作“三线合一”). 3.判定：如果一个三角形有两个_角__相等，那么这两个角所对 的_边__也相等(简写成“等角对_等__边__”).
北师大版七年级下册 第13讲等腰三角形--基础班
第13讲 等腰三角形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，12BD AB =，∴∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，②如下图，当高在三角形外部时，12BD AB =，则∠BAD=30°，∴∠BAC=150°，∴∠ABC=∠ACB=15°，所以此三角形的底角等于75°或15°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，得2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13，此时底边长为13-12=1，满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当底边长为x+12时，根据题意，得2x+x+12=27，解得x=5，此时底边长为5+12=17，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1．（2018•哈尔滨）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为__________．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，故答案为：130°或90°．2．（2018•杨浦区三模）如果等腰三角形的两内角度数相差45°，那么它的顶角度数为________．【解答】解：设顶角为x度，则当底角为x°﹣45°时，2（x°﹣45°）+x°=180°，解得x=90°，当底角为x°+45°时，2（x°+45°）+x°=180°，解得x=30°，∴顶角度数为90°或30°．故答案为：90°或30°．3．（2018•东莞市二模）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为_____．【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故答案为：2cm．4．（2018•澄海区一模）若等腰三角形的两条边长是3和4，则它的周长为_____．【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，能组成三角形，周长=3+3+4=10，②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，能组成三角形，周长=3+4+4=11，综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．5．（2017秋•滕州市期末）一等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为______【解答】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°=70°，②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°=70°，则底角为：（180°﹣70°）×=55°，∴底角为70°或55°．故答案为：70°或55°．知识点2 等腰三角形的性质---边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【解析】解：设∠ACE=x，∠ECD=y，∠DCB=z，∵BC=BE，+，∴∠CED=∠ECB=y z∵AC=AD，+，∴∠ADC=∠ACD=x y+-，在△CDB中，∠B=x y z+-，在△ACE中，∠A=y z x在△ABC中，∠ACB=90°，+-++-=90°，∴∠A+∠B=90°，即x y z y z x∴2y=90°，解得y=45°．于是∠DCE=45°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=（AB+AC+BC）-（AC+BC）=AB，∴AB=40﹣24=16．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解.【随堂练习】1.（2017秋•番禺区期末）如图，△ABC中∠A=∠ABC，DE垂直平分BC交BC 于点D，交AC于点E（1）若AB=5，BC=8，求△ABE的周长；（2）若BE=BA，求∠C的度数．【解答】解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC，∵AB=5，BC=8，∴△ABE的周长=5+8=13，（2）∵BE=BA，∴∠A=∠AEB，∵BE=CE，∴∠EBC=∠C，∴∠A=∠AEB=∠EBC+∠C=2∠C，∵∠A+∠ABC+∠C=5∠C=180°，解得：∠C=36°．2．（2017秋•濮阳期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC的长．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．∵∠BEC=∠A+∠ACE=72°，∴∠B=∠BEC，∴BC=CE=5．知识点3 等腰三角形的性质---三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.【典例】1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．【方法总结】本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.【随堂练习】1．（2017秋•南平期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．2．（2017秋•惠城区期末）如图，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求∠DBC的度数？【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=65°，∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．知识点4 等腰三角形的判定与性质1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.【典例】1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．【答案】9【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；②以AB作为等腰三角形的一个腰，当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，综合①②可知，符合条件的点C共有9个.故答案是：9.【方法总结】本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．或10【答案】103【解析】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：当P点在O的左侧时，∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t∴当PO=QO时，10﹣2t=t；解得t=103时，△POQ是等腰三角形；即当t=103如图2所示：当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形，∵∠BOC=60°，∴△POQ是等边三角形，∴PO=QO=PQ∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；∴2t﹣10=t；解得t=10；或10．故答案为：103【方法总结】本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．【解析】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．【方法总结】本题主要考查的是“平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢. 模型如下：如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）上述条件任意两个成立则第三个也成立.即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.【随堂练习】1．（2018•平谷区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF 垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵EF垂直平分CD，∴ED=EC．∴∠EDC=∠C．∴∠EDC=∠B．∴DE∥AB．2．（2017春•郓城县期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA．【解答】证明：∵MD⊥BC，且∠B=90°，∴AB∥MD，∴∠BAD=∠D又∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD，∴MA=MD综合运用1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.【答案】2【解析】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故答案为：2．2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE其中正确的结论有_________．【答案】①④【解析】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；④∵D是BC的中点，∴BD=DC，∵AB=CE，∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确．故其中正确的结论有①④．故答案为：①④．3.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE=AF ，求证：DE=DF ．【解析】证明：连接AD ，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD=∠FAD ，在△AED 和△AFD 中，AE AFEAD FAD AD AD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE=DF ．4.如图，AD ∥BC ，∠BAC=70°，DE ⊥AC 于点E ，∠D=20°．（1）求∠B 的度数，并判断△ABC 的形状；（2）若延长线段DE 恰好过点B ，试说明DB 是∠ABC 的平分线．【解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=90°，∵∠D=20°，∴∠CAD=90°-∠D =90°-20°=70°，∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD=70°，∵∠BAC=70°，∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC- ∠C =40°，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，∴DB是∠ABC的平分线．5.已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．【解析】解：如图，在△ABC 中，AB=AC ，且AD=BD ．设AB=AC=x ，BC=y ，（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时， 根据题意得，152x x +=，122x y +=， 解得x=10，y=7．（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时， 根据题意得，122x x +=，152x y +=， 解得x=8，y=11，故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．6.如图，O 是△ABC 的∠ABC ，∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=16，求△ODE 的周长.【解析】解：∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO=∠DBO ，又OD ∥AB ，∴∠ABO=∠DOB ，∴∠DBO=∠DOB ，∴OD=BD ，同理OE=CE，∵BC=16，则△ODE的周长为：OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．21。