安徽省天长中学2020届高三4月调研考试 数学(理)试题

2020届高三下学期4月调研

理科数学

全卷满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.已知集合2{|280}P x x x =--≤， {|}Q x x a =≥， ()C P Q ?=R R ，则a 的取值范围是

A. ()2,∞-+

B. ()4,∞+

C. (],2∞--

D. (],4∞- 2.若复数z 满足1zi

z i

=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 A.

2

B. 2

C. 22

D. 42 3.已知平面

，则“

”是“

”成立的

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

4.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为

A. 720

B. 768

C. 810

D. 816 5.函数()sin 2e

x x

f x =

的图象的大致形状是

6.设数列{}n a 为等差数列， n S 为其前n 项和，若113S ≤， 410S ≥， 515S ≤，则

4a 的最大值为

A. 3

B. 4

C. 7-

D. 5-

7.已知: 3

sin cos 2

αβ+=

，则cos2cos2αβ+的取值范围是 A. []2,2- B. 3,22??

-???? C.

32,2??-????

D. 33,22??

-????

8.已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>，12,F F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴

端点外的任一点，G 为12F PF ?内一点，满足123PG PF PF =+u u u v u u u v u u u u v

，12F PF ?的内心为I ，且有12IG F F λ=u u v u u u u v

（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（ ） A ．13 B ．12 C ．2

3 D ．

32

9.将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为

（ ）

A. B.

C.

D.

10.已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且

()()()()1234f x f x f x f x ===，则

1234

1111

x x x x +++= A. 2 B. 4 C. 8 D. 随a 值变化

11.已知12F F 、是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双

曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M N 、均在第一象限，当直

线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()22

2,f x x x x

=+-，则()f e =

A. 1

B. 3

C. 2

D.

5

12.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()331f x f x '+>，

()116f =

，则()11

620x f x e

--+≤的解集为 A. [)1+∞， B. ()1+∞， C.

(]1-∞，

D. ()1-∞， 第II 卷 非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________． 14.已知实数，满足约束条件则

的最小值是_________.

15.已知集合

，从集合中取出

个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，

则

的最大值为____．

16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体

中，，过球心，若该四面体的体积为1，且

，

则球的表面积的最小值为______.

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本题满分12分）在

中，内角，，所对的边分别为，，，且．

(Ⅰ)求； (Ⅱ)若

，点，是线段

的两个三等分点，

，，求的值． 18. （本题满分12分）如图，在边长为4的正方形中，点

分别是

的中

点，点在

上，且

，将

分别沿

折叠，使点重合于点

，如图所示.

试判断与平面的位置关系，并给出证明； 求二面角

的余弦值.

19. （本题满分12分）已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上， 1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3,23-， ()2,0-，

()4,4-， 22,2?． （1）求1C ， 2C 的标准方程；

（2）是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交于不同的两点,M N 且

满足OM ON u u u u v u u u v

？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．

20. （本题满分12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.

（1）求这4000名考生的半均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生考试成绩z 服从正态分布

，其中

分别取考生的

平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？

（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到

0.001） 附：①；

②，则

； ③

.

21. （本题满分12分）已知函数.

（1）当时,讨论函数的单调性；

（2）当时,若不等式

在

时恒成立,求实数的取值

范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立

极坐标系.已知直线的极坐标方程为cos 33πρθ?

?+= ??

?，曲线C 的极坐标方程为

4cos a ρθ=（0a >）.

（Ⅰ）设t 为参数，若1

2

y t =，求直线l 的参数方程；

（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于P ， Q ，设(0M -，

，且3||PQ MP MQ =?，求实数a 的值.

23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()223,23 2.f x x a x g x x =-++=-+ （Ⅰ）解不等式()5g x <；

（Ⅱ）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，试求实数a 的取值范围.

参考答案

1.C

2.A

3.A

4.B

5.A

6.B

7.D

8.B

9.D 10.A 11.C 12.C

13.14.-8 15.44 16.

17.(1)；(2).

解：(Ⅰ)∵，

则由正弦定理得：，

∴，∴，

又，∴

(Ⅱ)由题意得，是线段的两个三等分点，设，

则，，

又，，在中，由余弦定理得，

解得（负值舍去），则，又在中，. 或解：在中，由正弦定理得：，

∴，又，

，∴，

∴为锐角，∴，∴，

又，∴，∴，∴，，

∴在中，

．

18. 解：（1）平面．证明如下：在图1中，连接，交于，交于，则，

在图2中，连接交于，连接，在中，有，，

． 平面，

平面

，故

平面

；

（2）连接交与点，图2中的三角形

与三角形PDF 分别是图1中的与

，，又

，

平面

，则

，又

，

平面

， 则为二面角

的平面角．

可知，则在中，

，则

． 在

中，

，由余弦定理，得

．

二面角

的余弦值为．

19.解：（Ⅰ）设抛物线()2

2:20C y px p =≠，则有()2

20y p x x

=≠， 据此验证四个点知(3,23-， ()4,4-在抛物线上， 易得，抛物线2C 的标准方程为22:4C y x =

设椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>，把点()2,0-，

22,2?

代入可得224,1a b == 所以椭圆1C 的标准方程为2

214

x y +=

（Ⅱ）由椭圆的对称性可设2C 的焦点为F （1，0）， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =

直线l 交椭圆1C 于点33,1,M N ?? ????

·0OM ON ≠u u u u r u u u r ，不满足题意

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-， 并设()()1122,,,M x y N x y

由()2

2

1{

44

y k x x y =-+=，消去y 得， ()()222218410k x k x k +-+-=，

于是()

22

121222

418,?1414k k x x x x k k -+==++ 2

122

3·14k y y k

-=+ ①， 由OM ON ⊥u u u u r u u u r

得12120x x y y += ② 将①代入②式，得

(

)2222

22

4134

0141414k k k k k k

----

==+++，解得2k =± 所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为220x y --=或220x y +-= 20.（1）

分；（2）634人；（3）0.499

解：（1）由题意知： 中间值 概率

∴

，

∴

名考生的竞赛平均成绩为

分. （2）依题意服从正态分布，其中

，，，

∴服从正态分布

，而

，

∴

.∴竞赛成绩超过分的人数估计为

人

人.

（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，

∴

.

21.解：（1）

在

上单调递增，在

上单调递减；（2）

.

解析：（1）由题意，知,

∵当a<0，x>0时，有

.

∴x>1时，；当0

∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减. （2）由题意，当a=1时，不等式在x ∈(1，+∞)时恒成立.

整理，得在(1，+∞)上恒成立.

令

.

易知，当b≤0时，，不合题意. ∴b>0 又

，

. ①当b≥时，.又

在[1，+∞)上单调递减.

∴在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减.

所以,符合题意；

②时，

,

,

又

在[1，+∞)上单调递减,

∴存在唯一x 0∈(1，+∞)，使得

. ∴当h(x)在(1，x 0)上单调递增，在(x 0，+∞)上单调递减.

又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x 0)上恒成立，不合题意. 综上所述，实数b 的取值范围为[，+∞ ).

22. (Ⅰ) 32

{

1

232

x y t

=

=-（t 为参数）；(Ⅱ) 51a =.

解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为cos 33πρθ?

?+= ??

?

所以13cos sin 32ρθθ=，即13

32x y =， 因为t 为参数，若1

232

y t =-，代入上式得32x t =，

所以直线l

的参数方程为2

{

1

2

x y t

=

=-（t 为参数）；

（Ⅱ）由4cos a ρθ=（0a >），得24cos a ρρθ=（0a >）， 由cos x ρθ=， sin y ρθ=代入，得224x y ax +=（0a >） 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，

得)21120t a t -++=.（*）

)()2

21412140a a ???=+-?=+->??

. )121t t a +=+， 1212t t =，

设点P ， Q 分别对应参数1t ， 2t 恰为上述方程的根. 则1MP t =， 2MQ t =， 12PQ t t =-， 由题设得21212||t t t t -=.

则有)2

1600a ??-+-=??

，得1a =

或1a =--因为0a >

，所以1a =.

23.(Ⅰ) {}|0 3 x x <<；(Ⅱ) ()[),51,.-∞-?-+∞ 解析：（Ⅰ）由题设，得2325x -+<，

2333233x x ∴-

03x ∴<<，

∴所求不等式的解集为{}|0 3 x x <<，

（Ⅱ）由题意，知(){}(){}| | y y f x y y g x =?=，

()()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+Q ，

()2322g x x =-+≥， 32a ∴+≥，

32a ∴+≤-或32,5a a +≥∴≤-或 1.a ≥- 故所求实数a 的取值范围是()[),51,.-∞-?-+∞