汪培庄(因素库)

第32卷第10期 辽宁工程技术大学学报（自然科学版） 2013年10月 V ol.32 No.10 Journal of Liaoning Technical University （Natural Science ） Oct. 2013收稿日期：2013-05-20基金项目：教育部高校博士学科点专项科研基金资助项目（20102121110002） 作者简介：汪培庄（1936-），男，湖北 黄冈人，教授，博士生导师，主要从事模糊数学、智能科学与知识的数学表示理论等方面的研究. 文章编号：1008-0562(2013)10-0-08因素空间与因素库汪 培 庄（辽宁工程技术大学理学院 数学与系统科学研究所，辽宁 阜新 123000)摘 要：针对现有的信息系统理论和形式概念分析在数据库中的应用背景，本文在因素空间框架下提出了因素库,一种新的的数据库理论.文中介绍了因素库对属性划分及概念格提取的特有方法，给出了对于概念分析表的概念格提取的多项式算法。

结果表明：因素空间是KDD 的一种自然有效的数学表现框架。

因素库是因素空间数学理论在数据库中的一种应用，可以丰富和扩大数据库在智能工程中的作用.关键词：因素空间；概念；划分；内涵；外延；因素库；信息系统；形式概念分析 中图分类号：C 931.1 文献标志码：AFactor spaces and Factor Data-basesWANG Peizhuang(Institute of Mathematics and Systems Science, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, China) Abstract: This paper proposes a new kind of data-base, the Factor Data-base based on the theory of Factor Space., and focuses on the introduction on how to use factor data-bases to do classification and the concept lattice forming. And some polynomial algorithms are presented for extracting the concept lattice from concept analysis table. The results indicate that the theory of Factor Space is a natural and effective approach for KDD performing knowledge discovering and concept generation. Factor data-base is an application of the mathematical theory of Factor Space in the database, which can rich and expand the functions of database in information processing.Key words: Factor spaces; concept; partition; intension; extension; Factor Data-bases; information systems; formal concept0 引 言1989年在美国底特律召开的国际第十届人工智能大会上提出了知识发现数据库(KDD)[1]，标志着现代数据工程的诞生.现代数据工程是研究能反映知识的结构化数据表示、数据管理和数据应用的一门学科，与之相连的知识工程是研究知识获取、知识表示、知识管理和知识利用的一门学科[2].将这两种工程有机地结合起来可以产生智能工程.狭义地讲，智能工程是用机器表现和运用智能的一门学科. 广义地讲，智能工程可理解为在现有任何一门工程中加入智能. 钱学森在20世纪八十年代就多次强调：“当务之急，是要建立人工智能的理论”[3].在这方面，有几个值得提到的事件：（1）Wille 在1982年提出了形式概念分析理论[4]，有关专著[5]问世于1999年；（2）Pawlak [6]在1982年提出了粗糙集理论，并在1989年出了关于该理论的专著[7]；(3)何新贵在1994年出版了《模糊知识处理的理论与技术》[8].（4）笔者在1982提出了因素空间理论[9]，并与李洪兴合写《知识表示的数学理论》一书出版于1994年[10]..以上四本专著是国际上最早出现的以知识和概念为主题的数学著作，前三个学派在数据库的实际应用中已经取得了重要的进展.因素空间在这段时期中也沉淀了自己特有的理论储备，由于它建立了事物描述的普适坐标架，具有更深刻地反映认识论的特点，它应当而且可能在智能数据科学的成长中贡献更多的力量.2013年5月， 在辽宁工程技术大学(阜新)召开了“智能科学与模糊数学学术研讨会”，笔者在会上发表了一些研讨意见，现在整理出来，谨以因素空间和因素库为题呈献于读者.限于篇幅，本文不全面介绍因素空间的数学理论及其在因素库中的应用全貌，只是围绕概念划分与概念格提取这一主题，简单介绍基于因素空间的因素库所特有的理论与方法，文中所有定理的证明均不写出.1 因素空间辽宁工程技术大学学报（自然科学版） 第32卷1.1 因素与属性划分概念是思维的基本单元，概念出自划分.大千世界，差异万千，风马牛不相及的东西没有可比性， 如何划分？生物学家要作对比，先看基因，它是引起差异的原因，它是进行对比的基准，应当抓住事物属性划分中的基因. 因温度的变化而生冷热，因身高的变化而分高矮，温度和身高就是事物属性的基因. 一般而言，因其变化而改变事物属性的东西叫因素，温度、身高、年龄、籍贯、职业、性格、稳定性、安全性、可靠性、满意性、…等等都是因素，因素乃是属性划分的基因.因素的提取是一个分析过程，因素是分析的角度，它把事物抽象到同一维度上进行划分，因素就是分析维度的维名.给定因素f ，它所对应的维度形成一个集合， 叫做f 的值域，记作()X f . 有两种形态：（1） ()X f 是实空间(1)n R n ≥的一个子集，此时，()X f 叫做定量值域；（2）1ˆ(){,,}mXf a a = ，其中ia 是有语义的词或其代表符号，此时，ˆ()Xf 叫做定性值域. 通常，一个因素兼有两种值域.例如，温度t 可以有定量值域()[273,100]X t =-（℃），也可以有定性值域ˆ(){X t =很冷，较冷，适中，较热，很热}.()X f 中的值叫做点，ˆ()Xf 中的值叫团粒或属性,团粒是()X f 的子集或模糊子集，ˆ()Xf 比()X f 高一个层次. 注意, ()X f 中的单点集{}x 是粒而不是点，不应混淆. 在概念分析中，要用定性值说出内涵，但往往是先有定量值域，再由它定性化. 量与质是对立的统一，采用值域的二元论，ˆ()Xf 与()X f 兼顾，统称为性态空间. 于福生和罗承忠提出粒子因素空间[11]，正体现了定量值域向定性值域的转化.因素是一个映射，其定义域是论域U ，包含给定问题所讨论的全体对象. 定量映射:()f U X f →把对象映射到数量值，定性映射ˆ:()f U Xf →把对象映射到属性，因素f 是这一串属性的串名.以两个定性值为值域的因素叫二态因素. 例如性别，只有雌、雄，可分别用符号11-，记之.有一类二态因素的定性值可用“有(1)、无(0)”二态，在这种场合，因素名和属性名最容易混淆.再次强调一下因素与属性的区别：界定 1 因素(Factor)是分析事物的要素，一个简单因素把事物抽象到一个单一的维度并命其名， 藉以进行对比，划分出一串属性并命其串名.界定2 属性(Attribute, Feature)是对事物分类结果的内涵描述，一串属性来自一项划分，由一个因素统领.与属性相比，因素是提纲挈领的东西.不要把因素和属性混为一谈.现存的元数据描述中，有把因素叫做属性而将属性叫做属性值的.可以沿袭已有的叫法，但必须避免将属性与属性值相混的情况.定义11{,,}n H H =⊆ H 叫做U 上的一个划分，如果1n H H U = 且对任意,{1,,}i j n ∈ ，若i j ≠则i j H H =∅ .定理 1 因素确定划分 每一因素f 在U 中确定了一个划分H ：1u 与2u 同属一类当且仅当12()()f u f u =.1.2 因素空间-事物描述的坐标架认识是一个分析综合的过程. 因素是分析事物的要素，每一个因素都对应着一个坐标维度，要对诸因素的分析进行综合，将各个维度交叉地支撑起来，就形成事物描述的一种普适坐标架.设因素集为1{,,}n f f Φ= ，对于Φ的任意一个子集1{,,}ki i f f ()k n ≤来说，这k 个因素是k 个映射， 它们分别将U 中的对象映射到k 个不同值域上， 这些值域的笛卡尔乘积是1()()ki i X f X f ⨯⨯ ，由之产生一个笛卡尔乘积映射1()ki i f f ⨯⨯ 满足1()()k i i f f u ⨯⨯= 1((),,())k i i f u f u . 将这个笛卡尔乘积映射看作是一个新因素，记为1ki i f f ∨∨ ，叫做1,,k i i f f 的合因素. 为了与Φ中子集的并运算相对应，只能记1ki i f f ∨∨ 而不能记为1ki i f f ∧∧ ，从概念的属性而不是从概念的外延来说，1ki if f ∨∨ 又只能叫合因素而不能叫析因素. 所以，在对格运算符号∧与∨究竟谁是析取谁是合取的叫法上，本文与传统的叫法正好是相反的.记F 为所有Φ中因素及所有合成的因素集， 若再数学地定义一个零因素0取值域为{∅}， 则F 共有2n 个因素，它与Φ的幂集同构.在中的并运算对应于因素的合取，交运算则可取名为析取，记作∧，例如，<色香>∧<香味>=<香>，<色味>∧<香味>=<味>. 合取运算使因素从简单到综合，析取运算使因素从综合到简单. 类似定义余运算c ，全体因素按,,c ∨∧三种运算形成一个布尔代数(,,,,)c F =∨∧10. 于是，从数学上就可定义一个系统，叫做因素空间.定义2[10] 称集合族(){()}f F ΨX f ∈=为U 上的一个因素空间，如果满足公理：（1）指标集(,,,,)c F =∨∧10是一个完全的布尔代数；（2）X (0)={∅}；（3）对任意T F ⊆，若第10期 汪培庄，等：因素空间与因素库3(,)()s t T s t s t ∀∈≠⇒∧=0，则({|})()f T X f f T X f ∈∨∈=∏；（4）,f F ∀∈都有一个映射:()()(())f D f X f D f U →⊆.F 叫做因素集，其最大、最小元1，0分别叫做全因素和零因素，()X f 叫做f -性态空间.因素空间就是以因素为标号的一束性态空间，ψ叫做正则因素空间，如果对所有f T ∈，都有 ()D f U =.定义2引自文献[10]，但略作修改，增加了（4）. 定义3 (){()|}f U f u u U =∈叫做一个f -背景， 它是()X f 的一个子集.若1k f f f =∨∨ ，它又叫做1,,k f f 间的一个背景关系：1(){((),,())|}k R f U f u f u u U ==∈ 1()()k X f X f ⊆⨯⨯ .定义 4 因素s 与t 叫做现实独立，如果()()()()s t U s U t U ∨=⨯.相对而言，如果0s t ∧=，则因素s 与t 叫做泛独立.泛独立不一定现实独立，不是现实独立的因素之间呈现各种关系. 在事物的相互作用中， 因素又是因果关系的分析要素.合因素是事物描述的广义坐标名称，因素空间为客观事物的描写提供了一个普适的坐标架.见图1，个人张三就成了全性态空间中的一个点. 如果全因素足够全，任意不同的二人都有不同的性态来加以区别，则这个全性态空间就可以取代实际事物，因素是描述事物构成的基本要素.图1 人的因素空间性态表述Fig. 1 Person expressed in factor space1.3 概念的内涵和外延定义 5 背景()f U 又叫做f 的表现论域，相对而言，U 叫做原论域或反馈论域. 概念α在U 中的外延A 叫原外延或反馈外延，()f A 叫做α在()X f 中的表现外延.外延与内涵是相对的，表现外延就是原外延的内涵，概念在析因素定性性态空间中的表现外延就是它在合因素性态空间中表现外延的内涵.定义6 就因素1n f f f =∨∨ 而言，若有A U ⊆使有1()()()n f A f A f A =⨯⨯ ，则1(,()())n A f A f A α= 叫做一个概念，A 叫做它的外延，1()()n f A f A 叫做它的内涵，如果因素映射取的是定性值.2 因素库因素库是一种新的数据库，它是因素空间理论的数据实现，它对数据的处理采用一系列的基本表格形式.2.1 概念分析表在给定问题中，个体的未经分类的对象叫原子对象[2]，或个体对象，否则叫做结构对象[2]，或群体对象.定义7 一张对象信息表是一个m n ⨯格子表， 按不同对象分行，行左为不同对象名， 按不同因素分列，列顶为不同因素名.第i 行第j 列所对应的格内填写对象i u 在因素j f 映射下的值，可以是定性值，也可是定量值.对象可以是原子对象，也可以是结构对象.对象信息表的形式见表1，其中对象是原子对象或结构对象，因素值域为定性或定量值域. 对象信息表所描写的是因素空间理论中因素1n f f f =∨∨ 的映射，表的第k 列是因素k f 的映射向量.表1 对象信息 Tab.1 Object Information对象因素f 1f 2…f nu 1u 2u m一张表叫做是对象完满的，如果对象的范围不必再扩大了.一张完满表就是因素1n f f f =∨∨ 的映射本身，否则，这张表只是f -映射的一个样本.一种表作业叫做是受样本局限的，如果它的有效性会随着样本大小的改变而改变.受样本局限的操作所带来的信息和推理都是不可滥用的，应当运用统计原理建立可信度估计.对象信息表通常都不是对象完满的，且定性定量混杂，它只是对对象信息的一种记录，若不加工，便难以进行有效的操作.定义 8 对象信息表叫做是概念分析表， 如果表中的因素都取定性值且对象的数目m 要足够大， 对小m 表来说，对象必须是结构对象.概念分析表的形式如表2所示，其中对象完满或是结构对象，因素值域均为定性值域.一张概念分析表有可能是对象完满的，它是因素空间中的一组辽宁工程技术大学学报（自然科学版） 第32卷因素的映射表示，可以用来进行概念分析.表2 概念分析 Tab.2 Concept Analysis对象因素f 1f 2 … f n u 1 u 2u m概念分析是要根据一组因素对论域U 进行概念划分，在尽量约简的情况下求取获得终结划分的极小(不一定是最小)概念格.从表中来寻求概念，不是越多越好，因为，它的数目会随着表的大()m n ⨯而按指数函数增加，需要尽量缩减中间的过渡概念，用尽量少的因素获取尽量多的信息. 2.2 从概念分析表提取概念格由于U 是有限集，将因素确定划分的定理直接运用到对象完满的概念分析表上，可以得到下面的算法.（1）单因素划分算法给定U 及因素f 的映射向量1((),,())n f u f u 或映射表，见表3.表3 映射 Tab.3 mappingU f 11u 2 f (u 2) … … u nf (u n )设置:ff f =；对1k = to n ，若在ff 中的第k 分量ˆ()k f u 不为*，则在ff 中将所有与ˆ()k f u 相等的值均改为*，开辟一个新类，记为ˆ(;())k k f u ；否则，用原向量f 的第k 分量ˆ()k f u 去寻找占有属性ˆ()k f u 的已开类ˆ(,;())kr f u ，并将k 添入该类，记为ˆ(,,;())k k r f u .若ff 的所有分量全为*，则停止. 输出：① 划分H : (所有新开和已开类) ② 由f 划分出的子类个数()|()|g f f U =. 附注：算法中对类的记法是带属性的记法.例如，(;())k k f u 表示此类是{}k ，它只包含一个对象k ，后面所附的()k f u 是此类对象所共有的属性，这样记出的类叫附性类，它兼有外延和内涵两个项目，形成一个概念格. 本算法分出的每一个子类都是一个概念.例1 对于给定的U 及因素的映射向量见表4.表4 映射向量1k = 因ff 中的第1分量是而不是*， 将ff中所有的都改成*，:{*,,,,,*,,,}ff b e c b d e f =；开新类(1;)a .简记为 1a .2k = :{*,*,,,*,*,,,}ff e c d e f =；开新类2b ； 3k = :{*,*,*,,*,*,,*,}ff c d f =；开新类3e ； 4k = :{*,*,*,*,*,*,,*,}ff d f =；开新类4c ； 5k = 因ff 中的第5分量为*，用原向量f 的第5分量b 去寻找属性为b 的已开类2b .将5添入， 该类改为25b ；6k = 因ff 中的第6分量为*，用原向量f 的第6分量a 去寻找占有属性a 的已开类1a .将6添入该类，改为16a ；7k = :{*,*,*,*,*,*,*,*,}ff f =；开新类7d ； 8k = 因ff 中的第8分量为*，用原向量f 的第8分量e 去寻找占有属性e 的已开类3e .将8添入该类，改为38e ；9k = :{*,*,*,*,*,*,*,*,*}ff =；开新类9f ，因ff 的所有分量全为*，停止.输出：① 划分H :16,25,38,4,7,9a b e c d f ； ② ()|()||{,,,,,}|6g f f U a b c d e f ===.（2）概念格的提取定义 9 由合因素12f f f =∨所诱导出来的U 上划分H 是这样规定的：12,u u 同属于一类当且仅当12()()f u f u =（亦即111()()f u f u =且2122()()f u f u =).对于两个以上因素的合因素所诱导的划分，也可类似定义.定理 2 设12f f f =∨，若1=H 111{,,}m H H 及2=H 212{,,}n H H 分别是1f 及，在U 上所形成的划分，则由合因素12f f f =∨所诱导出来的划分H 可以写成12{i j H H =⋂≠H ∅|1122,}i j H H ∈∈H H ， 简记为12=⨯H H H .定义10 设H 是U 的一个子集，1{,,}m H H = H 是因素f 在U 上所诱导出的划分，记1|{,,}H m H H H H =⋂⋂ H ，它是H 上的一个划分，第10期 汪培庄，等：因素空间与因素库 5叫做H 在上的限制.定义11 U 上的一个划分H 叫做是由因素2f 在1f 先导下所诱导出来的划分，记作12H ，如果11222||n H H =⋃⋃ HH H ，其中11{,,}m H H = H .形象地说，所谓2f 在1f 先导下所诱导出来的划分，就是先用因素1作单因素划分，然后，再利用因素2，在前面分好的每一个类中去作它的单因素划分，最后把所有细分的类算在一起，叫做所说的划分.定理 3 (叠加划分可逐类划分) 合因素所诱导出的划分等于其中一个因素在另外一个因素先导下所诱导出的划分，且与这两个因素的先后次序无关：122112⨯==H H H H .定理3可以自然地推广到多重叠加，因素的多重划分可以逐类细分，这给划分带来操作的简易性.易知，一个含有m 行的表有2m 个不同的行间组合；一个含有n 列的表有2n 个不同的列间组合.划分涉到行列间的比较，若把所有行间或列间的某项信息都要搜索一遍的话， 运算量就会随m 和n 的增长而指数爆炸，定理3可以帮助找到一种避免指数爆炸的多项式算法.多因素叠加划分算法 给定n 个因素映射向量1,,n f f 的概念分析表见表5.Step 1 :1k =1:ff f =，按单因素1f f =划分法则，得子类个数1g 及划分111{,,}g H H = H ；Step 2 k :=k+1:k ff f =，对划分1k -H 中的各个子类H i 作单因素划分，亦即对11,,k i g -= ，取对象集:i U H =，按单因素k f f =划分法则，得划分；当i 循环完毕时，11:k k g-=⋃⋃ H H H ；:k k g =H 中子类的个数；若1k k g g -=，则删去因素(被简约)； 返回Step 2；当所有类都只含单对象，或不可再分时，划分完毕.定理 4 无论因素按什么次序参与划分，多因素叠加划分算法都保证能得到给定概念分析表的最细划分.定理所说的最细划分叫做概念分析表的结局划分. 结局划分由每个表所唯一确定，但结局划分的附性表示却是五花八门的，所附属性个数越多表明所动用的因素越多，要在同样的结局划分中找尽可能简单的附性表示.例2 给定概念分析表，见表5.表5 概念分析Tab.5 Example of concept analysis对象 因素f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 1 w t s n i a 2 w u s n i b 3 x v r p l e 4 x v r p k c 5 w t s m k b 6 w u q m l a 7 x t q o j d 8x u r n h e 9xtrohg{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =,1(){,}X f w x =, 2(){,,}X f t u v =，3(){,,}X f q r s =，4(){,,,}X f m n o p =， 5(){,,,,}X f h i j k l =,6(){,,,,,}X f a b c d e g =.Step 1 :1k =1:(,,,,,,,,)ff f w w x x w w x x x ==，{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =.按单因素1f f =划分法则，得划分1H {1256w,34789x}=; 1|{,}|2g w x ==. Step 2 :12k k =+=2:=(,,,,,,,,)ff f t u v v t u t u t =，对划分1H 中的各个子类i H 作单因素划分：1i = 1:{1,2,5,6}U H ==.按单因素2f 划分法则，得划分1H {15,26}wt wu =；2i = 1:{3,4,7,8,9}U H ==.按单因素2f 划分法则，得划分2H {34,79,8}xv xt xu =；212:=⋃=H H H {15,26,34,79,8}wt wu xv xt xu ； 21|{,,,,}|5g wt wu xv xt xu g ==>. 返回Step 2.省略此过程，最后当k=5时得到5H ={1, 5, 2, 6, 3, 4,7, 9, 8};wtsni wtsmk wusni wuqml xvrpl xvrpk xvqoj xvroh xuqnh辽宁工程技术大学学报（自然科学版） 第32卷54|{, , , , , ,, , }|9;g wtsn wtsm wusn wuqm xvrpl xvrpk xvqo xvro xuqn g ==>因5H 的所有子类都只含一个对象，不可再分，划分完毕.这一划分过程(从最左列的U 到最右列的结局划分)可以画出一个概念格，见图2.图 2 依次由因素f 1, f 2 f 3, f 4, f 5Fig. 2 concept lattice partitioned in the order of factor f 1, f 2f 3, f 4,f 5在例2中，只用5个因素就将表划分，第6个因素没有用.定义12 一个因素称为在表中是可以被简约的，如果由其它因素就能得到表的结局划分.定义13 若一组因素f 1, …, f k ，的取值都确定以后，因素 f k+1的值也随之而确定，则称因素 f k+1是因素f 1,…,f k 的函数.定理 5 一个因素f 在表作是可以被简约掉的当且仅当f 是表中某些因素f 1,…, f k 的函数.一个可以被简约的因素，不一定是对划分不重要的因素.实际上，例子中的第6个因素是表中最重要的因素.如果把因素出场次序改变一下，由f 6与f 5这两个因素就能得到结局划分，其概念格如图3.U16a 9g38e 7d 25b4c 1ai 6al 2bi 5b3el 8eh 4ck7dj9gh图 3依次由因素f 6, f 5划分得到的概念格Fig. 3 Concept lattice partitioned in the order of factor f 6, f 5概念格中的概念个数从32减少到16，附性表示也简单得多，这说明因素6f 对于划分来说是十分重要的，因此，因素约简问题还存在许多变数.定义14 设因素j f 的定性值域()j X f 所包含的属性个数为()s j ，称表中因素的一个排序1,...,nj jf f 是一个递减序列，如果满足1()()n s j s j ≥≥.定理 6 若按递简序列的顺序操作多因素叠加划分算法，则所得的概念格所约简掉的因素个数必定最多.定理 7 用多因素叠加划分算法求得概念分析表结局划分的复杂性(())O mn n n -，是强多项式算法，其中，m 是表中对象的个数，n 是表中因素的个数，n 是该算法中被约简掉的因素个数.由例2可以看到许多7d − 7dj ，9g − 9gh 的分类，值得探讨.每个附性态都可记成一个二元组(A ，α)，其中，A 是论域U 的一个子集，α是1ˆˆ()()nX f X f 的一个子集，亦即，α是由表中某些属性所组成的集合.定义15 如果在划分过程中出现一个子类不被分细，只是附性表示中的属性增加了，称此动作为一个虚分.每一虚分(A , α)−(A,β ) (α⊆β) 都提供一个正确的推理：若α则β.在概念格中能产生许多推理，但推理的方向都是从右向左的. 例如，在上例中有箭头连接的两个附性类38e →8eh . 若将这个箭头的两端互换，则产生一个推理句: eh →e ，意思是：若u 具有属性eh ，则u 必具有属性e . 这样的推理可以归为一句话:多属性蕴含少属性. 虚分则不然，它从少属性体推出多属性体，这是很稀罕的事.当然，关键在于前件和后件的外延相同，二者是同一概念的不同叙述，后件所多出的属性，是冗余的属性.可以把所有虚分拿出来，将所得的推理句放入推理知识库.需要强调的是，这些推理句可用的前提是：本概念分析表必须是对象完满的，对象集U 一旦有大的改变，这些推理句就不再正确.1wtsni 5wtsmk1wtsn 5wtsm 15wts 15wt 2wusni 6wuqml wusn 2wus 6wuq 268xuqnh xuqn 8xuq 8xu 7xvqoj 9xvroh xvqo xvro 7xvq 9xvr 79xt3xvrpl 4xvrpk34xvr 34xv第10期 汪培庄，等：因素空间与因素库7拿走虚分以后，图2和图3中概念格分别变成图4中（a ）和（b ）形式.U16a 9g38e 7d 25b 4c 1ai 6al 2bi 5b 3el 8eh（a ） (b)图4不含虚分的概念格Fig. 4 Concept lattice without invalid partition这样的概念格比原来更简单. 为了得到它， 只须将划分算法略改一下：凡遇到虚分，便把虚分放到推理知识库中去，对该类不作划分.多因素叠加划分简化算法 给定n 个因素映射向量1n f f 的概念分析表.Step 1 :1k =1:ff f =，按单因素1f f =划分法则，得子类个数1g 及划分111{,,}g H H = H ；Step 2 :1k k =+:k ff f =，对划分1k -H 中的各个子类i H 作单因素划分.亦即对11,,k i g -= ，取对象集:i U H =，按单因素k f f =划分法则.若有{}i i H =H ，则得虚分，记入推理知识库; :1i i =+；否则，得划分i H ，:1i i =+；当i 循环完毕时，记11:k k g-=⋃⋃ H H H ；:k k g =H 中子类的个数.返回Step 2.当所有类都只含单对象，或不可再分时，划分完毕.（2）与信息系统和形式背景的关系信息系统由粗糙集的创始人Pawlak 提出. 定义16[12] 称(,,)U A F 为一个信息系统，其中1{,,}n U u u = 为对象集，1{,,}m A a a = 为属性集，{:}j F f j m =≤是一组按属性而定的映射:j j f U V →，j V 是属性j a 的值域.如果把属性二字改为因素，把属性值改为属性，那么，一个信息系统表就是本文所说的概念分析表，信息系统所研究的主题是属性划分及概念格的提取.引用粗糙集理论，按分类关系，用分辨矩阵进行简约，理论不错，但仍面临着如何避免指数爆炸的算法问题.按照由Wille 提出的形式概念分析, 有 定义17[5]是一个形式背景，其中，G 是对象集，M 是属性集，I 是G 与M 间的一种关系.(,)g m I ∈或者说gIm 表示对象g 具有属性m .形式背景中所说的属性与本文所说的属性是一致的，形式背景表与本文的概念分析表在相当宽泛的条件下可以相互转化，所研究的主题也是概念生成和概念格的提取过程，也面临着如何避免指数爆炸的算法问题.在信息系统表和形式背景表中，都有一“属性”项需要填写，但形式背景中的所说的属性乃是信息系统中所说的属性值，而属性与属性值又是不能混淆的两个概念.如果一个数据库要同时运用信息系统理论和形式概念分析理论，则属性一词的填写便会出现矛盾，在数据库的元描述中应对此加以澄清.3 结 论用因素空间来研究和处理因素库，除了能干净利落地从其概念分析表进行属性划分和概念格的提取外，还有很多更加深入的理论和应用，主要研究的表型还有：（1）因素分析表（定量值域生成定性值域，因素相关分析，事件因果分析）；（2）加入目标因素进行优化的多目标决策表；（3）加入安全因素进行评估的安全警示表；（4）加入控制因素进行调节的稳定调节表；（5）因素词典及因素表头库的建立. 关心因素空间与因素库的研究者，请注意其未来!感谢郭嗣琮教授，石勇教授和李洪兴教授对本wtn xtq wus wuqwtm xtr xuxvl xvk辽宁工程技术大学学报（自然科学版）第32卷文的支持，感谢汪华东同学对本文的校阅和画图. 参考文献：[1] Clos K J, Pedrycz W, Swiniarski R. 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