决胜高考全国名校试题数学(理)分项汇编(新课标Ⅰ特刊)专题12 概率和统计(第03期)

一．基础题组1. 【汕尾市2016 届高三学生调研考试】在区间（0,100）上任取一数x ， 则lg x ＞1的概率是 ( )A ．0.1 B.0.5 C.0.8 D.0.9 【答案】D【考点】几何概型2. 【广东省韶关市2016届高三1月调研测试】已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，若(3)0.977P ξ<=，则(13)P ξ-<<=（ ）A. 0.683B. 0.853C. 0.954D. 0.977【解析】因为已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，所以正态曲线关于直线1x =对称，又(3)0.977P ξ<=，所以(3)10.9770.023P ξ>=-=，(13)P ξ-<<,所以1(1)(3)P P ξξ=-<-->12(3)10.0460.954P ξ=->=-=，故选C3. 【湖南省东部六校2016届高三联考】某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如下图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为（ ） A ．158B ．94C ．35D ．91【答案】C 【解析】试题分析：日加工零件个数的样本均值171920212530226x +++++==，6名工人加工零件个数大于22件的有2人，所以从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为2426315CPC=-=，故选C.考点：1.茎叶图；2.古典概型.4. 【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考】某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)[)20,40,40,60[)[)60,80,80,100,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )A．45B．50C．55D．60【答案】B考点：频率分布直方图5. （2016郑州一测）若不等式222x y+≤所表示的平面区域为M，不等式组26x yx yy x-≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．【答案】24π【解析】211(2)42124382OABPSπππ∆⨯===⨯⨯．6. 【湖北省优质高中2016届高三联考试题】某单位为了了解用电量y 度与气温x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表 气温（C ） 1813 101-用电量（度）2434 38 64由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中ˆ2b =-，预测当气温为4-C 时，用电量的度数是 ． 【答案】68考点：回归直线方程7. 【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】 （本小题满分12分） 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. （1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到(*)n n N ∈分的概率. 【答案】（1）分布列略，152；（2）11[2()]32n+-. 【解析】（1）所抛5次得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===， 其分布列如下105555115()22i i E iC ξ-===∑（2）令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面.因为“不出现n 分”的概率是1n P -，“恰好得到1n -分”的概率是1n P -， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1112n n P P --=， 即1212()323n n P P --=--. 于是2{}3n P -是以121213236P -=-=-为首项，以12-为公比的等比数列. 所以1211()362n n P --=--，即11[2()]32nn P =+-.恰好得到n 分的概率是11[2()]32n+-.考点：等可能事件的概率；分布列和数学期望；“恰好”事件的概率. 8. 【惠州市2016届高三第三次调研考试】（本小题满分12分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠。

已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的。

（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望。

9. 【汕尾市2016 届高三学生调研考试】（本小题满分12 分）为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高X（单位：cm）服从正态分布N（160，），已知P(X<150）=0.2，P(X≥ 180)=0.03.(1) 现从该市高三学生中随机抽取一位学生，求该学生身高在区间[170,180)的概率；(2) 现从该市高三学生中随机抽取三位学生，记抽到的三位学生身高在区间[150,170)的人数为，求随机变量的分布列和数学期望E.【考点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列（2）服从二项分布B(3，0．6)，所以所以的分布列为：所以E()=10. 【广东省韶关市2016届高三1月调研测试】（本小题满分12分）某厂生产一种零件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于8为优质品，小于8大于等于4为正品，小于4为次品．现随机抽取这种零件100件进行检测，检测结果统计如下：测试[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]指标零件28323820数若以上述测试中各组的频率作为相应的概率.（Ⅰ）试估计这种零件的平均质量指标；（Ⅱ）生产一件零件，若是优质品可盈利40元，若是正品盈利20元，若是次品则亏损20元；若从大量的零件中随机抽取2件，其利润之和记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.11. 【2016年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：x1 2 3 4 5 y7.06.55.53.82.2（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =-；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：1122211()()()-()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb a y b x x x xnx====---===--∑∑∑∑，19.12. 【河北省正定中学2015-2016学年高三第一学期期末考试】（本小题满分12分） 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：95,90,85,80,75,70,65,60，物理分数从小到大排序是：95,93,90,88,84,80,77,72.①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：根据上表数据，用变量y 与x 的相关系数或散点图说明物理成绩y 与数学成绩x 之间线性相关关系的强弱.如果具有较强的线性相关关系，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到01.0）；如果不具有线性相关性，请说明理由.参考公式：相关系数∑∑∑===----=ni ni i i ni iiy y x x y y x x r 11221)()())((；回归直线的方程是：a bx y +=∧，其中对应的回归估计值∑∑==---=ni ini iix x y yx x b 121)())((，x b y a -=，∧i y 是与i x 对应的回归估计值.参考数据：5.77=x ，875.84=y ，1050)(812≈-∑=i ix x ，457)(812≈-∑=i i y y ，688))((81≈--∑=i iiy yx x ，4.321050≈，4.21457≈，5.23550≈.【答案】（1）315525CC ；（2）①114；②线性回归方程是73.3366.0+=∧x y . 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关. ...............9分设y 与x 的线性回归方程是a bx y +=∧，根据所给数据，可以计算出66.01050688≈≈b ， 73.335.7766.0875.84≈⨯-=a ，所以y 与x 的线性回归方程是73.3366.0+=∧x y . .......12分考点：分层抽样，分步乘法原理，古典概型，线性回归方程． 13. 【湖北省优质高中2016届高三下学期联考】（本小题满分12 分）当前，网购已成为现代大学生的时尚。

某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物. （1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（2）用,ξη分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X ξη=，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X .【答案】(1)32=P ;(2)详见解析.考点：离散型随机变量的分布列和数学期望14. 【湖南省东部六校2016届高三联考】（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，)35,30[，)40,35[，)45,40[，)50,45[，)55,50[等七组，其频率分布直方图如下图所示．已知)40,35[之间的参加者有8人．（1）求N 和)35,30[之间的参加者人数1N ；（2）已知)35,30[和)40,35[之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率?（3）组织者从[)45,55之间的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望ξE .【答案】（1）12;（2）1388;（3）分布列为：ξ 1 2 3P15 35 15数学期望为2ξE =考点：1.频率分布直方图；2.古典概型；3.离散型随机变量的分布列与期望.15. 【江西省吉安一中2015-2016学年度上学期期中考试】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，记其质量指标为k ，当85k ≥时，产品为一级品；当7585k ≤<时，产品为二等品；当7075k ≤<时，产品为三级品. 现用两种配方（分别称为A 配方和B 配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率） A 配方的频率分布表B配方的频率分布表7057（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P(C)；（2）若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足如下关系：22,855,7585,7075t ky t kt k≥⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩（其中1176t<<），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【答案】（1）3764；（2）投资A．考点：条件概率，随机变量分布列，数学期望．16. 【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考】（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式【答案】（1）有关（2）18（3）12考点：卡方公式，几何概型概率，数学期望 二．能力题组1. 【江西省吉安一中2015-2016学年度上学期期中考试】8.2015年11月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则(|)P B A =（ ） A ．34 B ．14 C ．110 D ．310【答案】A 【解析】试题分析：设两个腊肉馅的粽子为,A B ，三个豆沙馅的粽子为,,d e f ，则事件A 含有的基本事件有“,,,AB de df ef ”四个事件，而事件B 有“,,de df ef ”三个事件，因此(|)34P B A =．故选A ．考点：条件概率．2. 【河北省邯郸市第一中学2015-2016学年一轮收官考试题（一）】某水池的容积是203m ，向水池注水的水龙头A 和水龙头B 的流速都是13m /h ，它们在一昼夜内随机开放（024~小时），水池不溢出水的概率为 ． 【答案】2572考点：几何概型.3. 【2016届广东云浮、揭阳、清远、阳江等八市联考】某学校组织知识测试，设置A 、B 、C 三组测试项目供参赛同学选择．甲、乙、丙三名同学参加比赛，其中甲参加A 组测试，甲通过测试的概率为；乙参加B 组测试，乙通过测试的概率为；丙参加C 组测试，C 组共有6道试题，丙只能答对其中4道题．根据规则，丙只能且必须选择4道题作答，至少答对3道才能通过测试．（1）求丙通过测试的概率；（2）记A 、B 、C 三组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望 【解析】：（1） 设丙通过测试为事件A ，则P （A ）== …4分（2）ξ可取值为0，1，2，3，……5分 P （ξ=0）=，P （ξ=1）=++=，P （ξ=2）=++=，P （ξ=3）== …9分则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3P……11分所以ξ的期望是Eξ=0×+1×+2×+3×=．……12分4. 【河北省邯郸市第一中学2015-2016学年一轮收官考试题（一）】（本小题满分12分）已知正方形CD AB 的边长为2，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、C B 、CD 、D A 的中点．（1）在正方形CD AB 内部随机取一点P ，求满足2PE <的概率；（2）从A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE ．【答案】(1)36π+;(2) 随机变量ξ的分布列为： ξ 12458P27 17314271147ξE =随机变量ξ的数学期望为21321241245877147147ξE =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：（1）几何概型；2.离散型随机变量的概率分布列与期望. 三．拔高题组1. （2016郑州一测）（本小题满分12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二无雨有雨无雨有雨收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．（1）若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； （2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．则其预期收益()200.6100.416E Y a a =⨯+⨯-=-（万元），()() 1.6E Y E X a -=-，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人； 成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．2. 【湖南省2016届高三四校联考试题】（本小题满分12分）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在mL mg 100/80~20（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上时，属醉酒驾车.”2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名.下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点） （2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，...,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x 、)100/(mL mg y ，则事件10≤-y x 的概率是多少？【答案】（1）3；（2）47；（3）12．考点：1.频率分布直方图；2.古典概型．。