第三章 网孔分析法和结点分析法
电路分析网孔分析法和节点分析
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
节点和网孔分析法
根据基尔霍夫电压定律（KVL），可以建立每个网孔的电压方程。对于每个网孔，其电压降等于该网 孔上所有元件电压降的代数和。通过列写网孔电压方程，可以得到一组以网孔电流为未知数的线性方 程组。
网孔阻抗矩阵形成与求解
阻抗矩阵形成
在列写网孔电压方程时，需要将电路中 的电阻、电感、电容等元件用阻抗表示 。将各元件的阻抗按照网孔电流的流向 排列成矩阵形式，即可得到网孔阻抗矩 阵。该矩阵是一个方阵，其阶数等于网 孔数。
在多个领域进行了实际应用验证，证明了 节点和网孔分析法的有效性和实用性。
未来发展趋势预测
跨领域应用拓展
随着节点和网孔分析法的不断完善，其应用领域将进一步拓展，包括 社交网络、交通网络、生物网络等多个领域。
动态网络分析
未来研究将更加注重动态网络的分析，探索网络结构和行为的动态演 化规律。
多层网络分析
节点导纳矩阵形成与求解
形成节点导纳矩阵
将节点电压方程中的系数按照一定规则排列成矩阵形式，得到节点导纳矩阵。 矩阵中的元素表示各节点之间的电导连接关系。
求解节点电压
根据节点导纳矩阵和给定的电流源，可以求解出各节点的电压值。一般采用高 斯消元法或迭代法进行求解。
03
网孔分析法
网孔定义及分类
网孔定义
随着多层网络研究的兴起，节点和网孔分析法将进一步拓展到多层网 络分析领域，揭示不同层级网络之间的相互作用和影响。
算法优化与创新
针对现有算法存在的问题和不足，未来研究将致力于算法的优化和创 新，提高节点和网孔分析法的准确性和效率。
THANKS。
05
节点和网孔分析法在电路中的 应用
复杂电路分析
01
02
03
节点分析法
第3章网孔分析法和节点分析法
5 13 1 2 1 2
i1 i3 2ia
补充方程
5i1 10 4i3 4 5i2 8 4ib
18 i1 8
1 i2
0
0 i3 0
练习
10Ω
_ 4ib +
+ 2ia _
ib
+
+
4Ω
8V
_
u_a 5Ω
0.2ua
ia
作业
+ 4ix _ 4Ω
ix
2Ω
2Ω
2Ω
1A
3.2 节点（结点）电压法 (node voltage method)
4Ω
网孔1和网孔2看
i
+ 4V _
3
成一个网孔，即 超级网孔
2Ω 2Ω
4Ω
2Ω
+ 12V_
i
i
2A
1
2
+ 6_V
超级网孔 方程
超级网孔 自电阻
4i1 6i2 6i3 12 6 4
i1 i2 2 补充方程 2i1 4i2 10i3 4
超级网孔 与网孔3的
互电阻
作业1
列写网孔方程，并求出u0 4Ω
3Ω
i
+
4Ω
3
6Ω
8V
_
i
2Ω i
1
2 2A
网孔电流等于支路电 流等于电流源电流
i2 2A
6i1 2i2 4i3 8 i2 2A 4i1 6i2 13i3 0
6i1 4i3 12 4i1 13i3 12
6 4
4
13
i1 i2
12 12
2、等效变换
5Ω + 6V _
电路分析网孔分析法和节点分析
电路分析网孔分析法和节点分析电路分析是电路理论和实际电路设计中的重要部分。
在电路分析中，有两种主要的方法，即网孔分析法和节点分析法。
本文将详细介绍这两种方法，并从理论和实践两个层面对这两种方法进行比较和对比。
首先，我们来看网孔分析法。
网孔分析法是通过将电路划分为若干个网孔来进行分析的方法。
网孔是由电路元件组成的闭合路径。
在网孔分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个网孔中的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，网孔分析法适用于复杂的电路，因为通过合理划分网孔，可以降低计算复杂度。
其次，我们来看节点分析法。
节点分析法是通过将电路划分为若干个节点来进行分析的方法。
节点是电路中的交叉点或连接点。
在节点分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个节点的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，节点分析法适用于简单的电路，因为节点分析法只需要解线性方程组，计算较为简单。
接下来，我们比较和对比这两种分析方法。
首先，网孔分析法和节点分析法都是基于基尔霍夫定律和欧姆定律进行分析的。
这两个定律是电路分析的基础，无论是网孔分析法还是节点分析法，都离不开这两个定律。
其次，网孔分析法和节点分析法在计算复杂度上有所不同。
网孔分析法需要对每个网孔进行分析和计算，所以在实际应用中可能需要解较多的方程，计算复杂度较高。
而节点分析法只需要解线性方程组，所以计算复杂度相对较低。
因此，网孔分析法适用于复杂的电路，而节点分析法适用于简单的电路。
最后，网孔分析法和节点分析法在电路分析结果的表示上有所不同。
在网孔分析法中，我们通常会得到各个网孔中的电流值，而在节点分析法中，我们通常会得到各个节点的电压值。
所以，在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的方法，以得到更加直观和实用的分析结果。
综上所述，网孔分析法和节点分析法都是重要的电路分析方法，在不同的场景下，可以选择不同的方法进行电路分析。
网孔分析法及节点分析法概述
网孔分析法及节点分析法概述概述网孔分析法和节点分析法是电路分析中常用的两种方法，用于求解复杂电路中的电流和电压。
本文将对这两种方法进行概述，并介绍它们的应用范围和优缺点。
一、网孔分析法网孔分析法，也称为基尔霍夫第二定律法，通过应用基尔霍夫定律来分析电路中的电流和电压。
该方法基于电流的守恒定律和电压的环路定律。
1. 应用范围网孔分析法适用于回路数较少且每条支路中包含较多元件的电路。
它将电路拆分为若干个网孔，每个网孔中的电流可以通过基尔霍夫定律来求解。
这种方法在使用电流源或需要求解电路中的电流时非常有效。
2. 求解步骤网孔分析法的求解步骤如下：1) 选择合适的回路方向，并给每个回路方向标记正向箭头。
2) 为每个网孔选择一个未知电流作为变量，并为其标记符号。
3) 列出每个网孔中基尔霍夫定律的方程。
4) 根据基尔霍夫定律的方程组，解出未知电流的值。
5) 利用欧姆定律和基尔霍夫定律，求解电路中的电压和电流。
3. 优缺点网孔分析法的优点在于能够简化复杂电路的分析过程，将电路分解为多个小型网孔进行分析，提高了计算的精确性。
然而，该方法对于回路较多且元件较少的电路并不适用，因为这样的电路更适合使用节点分析法来求解。
二、节点分析法节点分析法，也称为基尔霍夫第一定律法，通过应用基尔霍夫定律来分析电路中的电流和电压。
该方法基于电压的守恒定律和电流的汇聚定律。
1. 应用范围节点分析法适用于回路数较多且每个节点连接的支路数较多的电路。
它将电路拆分为若干个节点，通过节点电流和基尔霍夫定律来求解电路中的电压和电流。
该方法在使用电压源或需要求解电路中的电压时非常有效。
2. 求解步骤节点分析法的求解步骤如下：1) 选择一个节点为参考节点，将其电位定义为零。
2) 为每个节点选择一个未知电流作为变量，并为其标记符号。
3) 列出每个节点处的基尔霍夫定律方程。
4) 根据基尔霍夫定律的方程组，解出未知电流的值。
5) 利用欧姆定律和基尔霍夫定律，求解电路中的电压和电流。
【推荐】电路原理基础：第三章 节点分析法
R4 i4
uo －
②式解出ub，因虚短 ua = ub代入①式得
uo
R2 R1
u1
R2 R1
R2 R1
1 u2
R3 R4
1
由题中条件得:
uo
R2 R1
(u2
u1)
差动运算电路
输出与两输入之差成正比， 被称作差动运算电路。
二、含理想运放的节点法
3
i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 – uS3 ) （*）
节点: 列写KCL方程：
n1 : n2 :
i1 i2 iS1 i2 i3 iS2
将（*）式代入
① + u2 -②
+
i2 G2 +
+
uS3
iS1
u1 G1 i1
u3
un3 R2
uo R3
ui R1
R3
(1 R4
1 R5
)
1 R5
uo
0
节点③和④：不列写！
由虚短得 un1 0
R2
R1
＋ ui
① -∞
+
③
+ -
∞
②
－
R4
R5
④ ＋ uo
un2 un3
－
可得： uo R2R3 (R4 R5 ) ui R1(R3R4 R2R4 R2R5 )
例(解节．：点求节电u点压A③)、的、方iB④程．的组电。位有分受别控为源时，G12
网孔分析和节点分析
20I1 35I2 U 10
2I1 2I2 8I3 U 0
I2 I3 0.1
说明：
当所选网孔包括电流源时电流 源的端电压要列入网孔方程中，同 时增加一个电流源支路方程。
如能使电流源只出现在一个网 孔中则该网孔方程不用列出，该网 孔电流由电流源决定。
例3 列出如图所示电路的节点电压方程
u3
u14 = u1 u24 = u2 u34 = u3
uu122 = u1 uu233 = u2 uu133 = u1 -
i5 i1 i5 iS 0 u1 i1 i1 i2 i3 0 i
i3 i4 i5 0 S u1
u2
i2
u2
i3 u3 i4
u3
i1 G1(u1 u2 ) i5 G5 (u1 u3 ) i2 G2u2 i3 G3 (u2 u3 ) i4 G4u3
24 0.706 10
2.471A
=0
§3-4 含运算放大器的电阻电路
OpAmps Resistance circuit
内容： 一、运算放大器及等效电路； 二、理想运算放大器；
三、含有运算放大器的电阻电路分析。
一、运算放大器及其等效电路
反相输入端
u-
u+
同相输入端
差分输入电压
uo=A( u+- u-) =Aud
…… …… …… …… …… …… …… ……
Gn1u1 + Gn2u2 + ……+ Gnnun = iSnn
电源
自电导本节点电压+互电导相邻节点电压=流入本节点电流 源电流代数和
含有电压源的节点法说明：
1.若存在电压源串联电阻的有伴电压源模型，则可将其串联组合转换 成电流源并联电阻模型；
相量模型的网孔分析法和节点分析法
相量模型的网孔分析法和节点分析法相量模型是一种用于分析电力系统中电流和电压的工具，它将复数形式的电流和电压表达为矢量的形式，以便更好地理解和计算电力系统中的各种参数。
相量模型有两种分析方法，分别是网孔分析法和节点分析法。
一、网孔分析法：网孔分析法也称为基尔霍夫电压法，是一种用于解决小型电路中电流和电压分布的方法。
它基于基尔霍夫定律，通过电压的正负符号来确定电压的方向和大小。
网孔分析法的基本思想是，在每个闭合回路中，电压的代数和为零。
具体步骤如下：1.标记电路中的所有分支电流和电压源。
2.在回路中选择一个方向，并标记所有的电流方向，通常需要满足电压降的方向。
3.在每个回路中应用基尔霍夫第一定律，列出等式。
4.通过解这些等式，计算未知电流和电压。
网孔分析法的优点是能够减少未知量的个数，简化计算。
但是，该方法通常适用于电路规模较小和电压源较多的情况下，对于复杂的电路往往不适用。
二、节点分析法：节点分析法也称为基尔霍夫电流法，是一种用于解决大型电路中电流和电压分布的方法。
它基于基尔霍夫定律，通过电流的代数和为零来确定电流的大小和方向。
节点分析法的基本思想是，在每个节点上，电流的代数和为零。
具体步骤如下：1.标记电路中的所有分支电流和电压源。
2.选择一个节点作为参考节点，并将其电势设为零。
3.在每个节点上应用基尔霍夫第一定律，列出等式。
4.通过解这些等式，计算未知电流和电压。
节点分析法的优点是可以应用于复杂电路，计算比较方便。
缺点是需要处理大量的方程，对于大型电路，求解过程可能比较复杂。
总结：相量模型的网孔分析法和节点分析法是两种基于基尔霍夫定律的分析电路的方法。
网孔分析法适用于较小的电路，通过回路中电压的正负来确定电压的大小和方向；节点分析法适用于大型电路，通过节点上电流的代数和为零来确定电流的大小和方向。
这两种方法各有优缺点，应根据实际情况选择合适的方法进行电路的分析。
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第三章 网孔分析法和结点分析法 一、 网孔分析法网孔分析法以假想的沿着网孔边界流动的网孔电流作为变量，列出b-(n-1) 个独立网孔的KVL 方程，求解网孔方程后得到全部网孔电流，由网孔电流导出电路中各支路的电压和电流。
该方法方程数少，方法简便。
适合于对平面电路进行分析求解。
（一） 网孔分析法的步骤1、 在电路图上选定包含全部支路的若干网孔2、 在选定的每个网孔中标明网孔电流方向3、 利用全部网孔电流形成的电压降和电路中独立源两端的电压来列出每个网孔的KVL 方程4、 联立求解网孔电流方程，得出网孔电流值5、 根据网孔电流求出各支路电流值⎪⎭⎪⎬⎫-=++--=-+++=++++3S 314326332S 326215221S 31421511)()()()()()(u i i R i i R i R u i i R i i R i R u i i R i i R i R S236265215)(u i R i R R R i R =-+++3S 36432614)(u i R R R i R i R -=+++-1S 34251541)(u i R i R i R R R =++++326215314 i i i i i i i i i -=+=+=（二） 网孔分析法的特点1、网孔分析法既可以用于平面连通电路，也可用于平面非连通电路2、网孔分析法只适用于平面电路，不适用于立体电路3、对于含电流源的支路须视条件作等效变换，或增设电流源两端的电压变量4、网孔分析法的计算结果只能用KVL 来校核，不能用KCL 校核 （三） 例题例3－1 用网孔分析法求图3-2电路各支路电流。
解：选定两个网孔电流i 1和i 2的参考方向，如图所示。
解得： i 1 = 1A, i 2 =－3A, i 3 = i 1 － i 2 = 4A 。
⎩⎨⎧-=Ω+Ω+Ω-=Ω-Ω+ΩV10)21(1V5)1()11(2121i i i i例3－2 用网孔分析法求图3－3电路各支路电流。
例3－3 用网孔分析法求图3－4电路的支路电流。
解：设电流源电压为u ，考虑了电压u 的网孔方程为：补充方程为解得：V6V 25)163()6()1(V 12V 18)6()362()2(V 18V 6)1()2()212(321321321-=Ω+Ω+Ω+Ω-Ω--=Ω-Ω+Ω+Ω+Ω--=Ω-Ω-Ω+Ω+Ωi i i i i i i i i V10)2(V 5)1(21-=-Ω=+Ωu i u i A721=-i i V 2 A 4 A 321=-==u i i例3－4 用网孔分析法求解图3－5电路的网孔电流。
解：当电流源出现在电路外围边界上时，该网孔电流等于电流源电流，成为已知量，此例中为i 3 = 2A 。
此时不必列出此网孔的网孔方程。
网孔方程和补充方程如下：结点分析法对于具有n 个结点的连通电路来说，它的(n -1)个结点对第n 个结点的电压是一组独立电压变量。
用这些结点电压作变量建立的KCL 方程，称为结点方程。
这样，只需求解(n -1)个结点方程，就可得到全部结点电压，然后根据KVL 方程可求出各支路电压，根据VCR 方程可求得各支路电流。
（一） 结点分析法步骤1、 指定连通电路中任一结点为参考结点（零电位），用接地符号表示。
标出各独立结点电压，其参考方向总是独立结点为 “ + ”，参考结点为 “ － ” 。
2、 对每一个独立结点列写出以结点电压为变量的KCL 方程，方法如下：A 10)3()35(V 20)1()1(213231=-=-Ω-Ω+Ω=+Ω-Ωi i u i i u i i（1）流出结点的电流为正，流入结点的电流为负； （2）结点自身电压形成的电流为正（流出），相邻结点电压形成的电流为负（流入）；（3）不相邻结点的电压对结点电流无贡献。
3、联立求解结点电流方程，得到各结点电压值 4、根据各结点电压求出各支路电流值结点方程)(0)()(2S 3643261436265215S134251541⎪⎭⎪⎬⎫-=+++--=-+++-=--++i U G G G U G U G U G U G G G U G i U G U G U G G G )( )( )( 326621553144333222111U U G i U U G i U U G i U G i U G i U G i -=-=-====（二） 结点分析法的特点1、结点分析法不仅适用于平面电路，还适用于立体电路2、结点分析法不能用于非连通电路3、对于含有电压源的支路须视条件作等效变换，或增设电压源支路的电流变量。
4、结点分析法的计算结果只能用KCL 校核，不能用KVL 校核。
（三） 例题例3－5 用结点分析法求如图3-7电路中各电阻支路电流。
解：用接地符号标出参考结点，标出两个结点电压u 1和u 2 的参考方向，如图所示。
列出每个结点的KCL 方程：解得：⎩⎨⎧-=++-=-+A 10)S 2S1()S 1(A 5)S 1()S 1S 1(2121u u u u V3V 121-==u u A4))(S 1( A 6)S 2( A 1)S 1(2132211=-=-====u u i u i u i例3－6 用结点分析法求如图电路各支路电压。
解: 参考结点和结点电压如图所示。
列出三个结点的KCL 方程解得结点电压A6A 25)S 3S 6S 1()S 6()S 1(A 12A 18)S 6()S 6S 3S 2()S 2(A 18A 6)S 1()S 2()S 1S 2S 2(321321321-=+++---=-+++--=--++u u u u u u u u u V 3V 2V 1321==-=u u u V1V 3V 4236215134=-=-=-==-=u u u u u u u u u例3－7 用结点分析法求图(a)的电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联，如图(b)所示。
对结点电压u来说，图(b)与图(a)等效。
只需列出一个结点方程。
解得：A5A5)S5.0S1S1(+=++uV4S5.2A10==uA32V10V4A11V4V521-=Ω-==Ω-=ii例3－8 用结点分析法求如图3-10所示电路的结点电压。
解：选定6V 电压源电流i 的参考方向。
计入电流变量i 列出两个结点方程。
补充方程为 解得：A2)S 5.0(A 5)S 1(21-=-=+i u i u V621=-u u 1AV,2,V 421=-==i u u例3－9 用结点分析法求如图3-11电路的结点电压。
解：由于14V 电压源连接到结点①和参考结点之间，结点 ①的结点电压u 1=14V 成为已知量，可以不列出结点①的结点方程。
考虑到8V 电压源电流i 列出的两个结点方程为：补充方程为： 解得：)S 5.0S 1()S 5.0(A 3)S 5.0S 1()S 1(3121=-++-=+++-i u u i u u V832=-u u 1AV 4V 1232-===i u u三、含受控源的电路分析受控源是人们针对晶体管、运算放大器等元件抽象出的一种电路分析模型。
1、受控源的分类受控源可以分成四种类型，分别称为电流控制的电压源(CCVS)，电压控制的电流源(VCCS)，电流控制的电流源(CCCS)和电压控制的电压源(VCVS)。
2、理想受控源的特点1）受控源的伏安特性与独立源类似受控电压源的电压只受控制变量的控制，不受外电路影响，流过受控电压源的电流由电路的KCL 决定。
受控电流源的电流只受控制变量的控制，不受外电路影响，受控电流源两端的电压由电路的KVL决定。
2）受控源电路图中必须标注控制量3）受控源实际上是一种有源器件4）受控源的本质是一种电阻元件，它不能独立提供电流或电压3、含受控源电路的计算举例在分析含受控电压源和受控电流源的电路时，先将受控源视为独立源，按照KCL 、KVL 列写电路方程，再将受控电源的控制量用电路方程变量表示。
这里的电路方程变量包括支路电流法中的支路电流、支路电压法中的支路电压、网孔分析法中的网孔电流、结点分析法中的结点电压说明：含受控源的电阻单口网络在这里暂不讲授，该节内容放到第四章专门讨论。
例3－13 列出图3-17电路的网孔方程。
解： 在写网孔方程时，先将受控电压源的电压ri 3写在方程右边：将控制变量i 3用网孔电流表示，即补充方程（本题求解过程省略）323213S 23131)()(ri i R R i R u i R i R R -=++-=-+213i i i -=例3－14 图3-18电路中，已知μ =1,α =1。
试求网孔电流。
解：以i 1, i 2和α i 3为网孔电流，列出网孔1和网孔2的网孔方程分别为：表达控制变量与网孔电流i 1和i 2关系的补充方程如下：1321321)2()6()2(V16)2()2()6(u i i i i i i μαα-=Ω-Ω+Ω-=Ω-Ω-Ω21311)2(i i i i u -=Ω=例3－15 列出图3-19电路的结点方程。
解：列写结点方程时，将受控电流源gu 3视为独立源写在方程右边：表达控制变量u 3与结点电压关系的补充方程如下：323213S 23131)()(gu u G G u G i u G u G G -=++-=-+213u u u -=例3－16 电路如图3-20所示。
已知g =2S ，求结点电压和受控电流源发出的功率。
解：当电路中存在受控电压源时，应增加电压源电流变量i来建立结点方程。
补充方程为求解可得u 1=4V , u 2=3V , u 3=5V 。
受控电流源发出的功率为23232121)S 2()S 1(0)S 1()S 3()S 1(A 6)S 1()S 2(gu i u u u u u i u u =-+-=-+-=+-)(5.05.032431u u u u u -==-W30W 325)(23=⨯⨯==gu u p。