建筑结构抗震计算题及例题答案

《建筑结构抗震》（清华大学出版社）计算题及例题解答1.某两层房屋计算简图如图1所示。

已知楼层集中质量为1100t m =，250t m =，每层层高均为h ，楼板平面内刚度无限大，沿某抗震主轴方向的层间剪切刚度为120000kN m k =，210000kN m k =。

求该结构体系在该抗震主轴方向的自振周期、振型和振型参与系数。

图1 动力模型计算简图【解】1m 100t =，2m 50t =，m /kN 20000k 1=，m /kN 10000k 2=（1）自振圆频率⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±++=ω）（2212112222112212122,1m k 2m k k 2m k m k m k m k m k k 21⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯++⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-±++=）（50100002100100002000021001000050100001002000050100001001000020000212）（30020030021±+==100400⎧⎨⎩ s /rad 101=ω∴，s /rad 202=ω∴（2）自振周期628.01014.322T 11=⨯=ωπ=314.02014.322T 22=⨯=ωπ=（3）振型第一主振型：210000101001000020000k m k k X X 22211211112=⨯-+=ω-+=第二主振型：110000201001000020000k m k k X X 22221212122=⨯-+=ω-+=（4）振型参与系数3225011002501100X m X m X m X m Xm Xm 222122211112211121i 21ji21i 1ii1=⨯+⨯⨯+⨯=++==γ∑∑== 3115011001501100X m X m X m X m Xm X m 222222221122221121i 22ii21i 2ii2=-⨯+⨯-⨯+⨯=++==γ∑∑==）（）（2. 某三层钢筋混凝土框架，如图2和图3所示。

已知：设防烈度为8度，设计基本地震加速度为0.20g ，设计地震分组为第一组，建造于1Ⅰ类场地，结构阻尼比0.05ξ=。

各楼层层高均为4m ，各层重力荷载代表值分别为12800kN G G ==,3520kN G =。

各层抗侧刚度分别121400kN m k =，219200kN m k =，317600kN m k =，结构沿某抗震主轴方向的自振圆频率分别为18.92rad ω=、224.74rad s ω=、338.71rad ω=，相应的振型分别为{}10.4450.9201.000X =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、{}20.6540.5891.000X -=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、{}3 1.6541.2891.000X =-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

试用振型分解反应谱法确定多遇地震作用下在该抗震主轴方向的框架层间地震剪力和层间位移角，并绘出层间地震剪力分布图。

图2 框架图 图3 动力模型计算简图【解】12800kN G G ==，3520kN G =，121400kN m k =，219200kN m k =，317600kN m k =18.92rad s ω=，{}11112130.4450.9201.000=X X X X =⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224.74rad s ω=，{}22122230.6540.5891.000==X X X X --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭338.71rad s ω=，{}3313233 1.6541.2891.000==X X X X -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122 3.140.704s 8.92T πω⨯===2222 3.140.254s 24.74T πω⨯===3322 3.140.162s 38.71T πω⨯===设防烈度8度，0.20g ，设计地震分组第一组，1Ⅰ类场地，查表知，max =0.16α，0.25(s)g T =当阻尼比0.05ξ=时，得2 1.0η=，0.9γ=由于10.65s 5 3.25s g g T T T =<<=， 故 110.90.9max20.25 1.00.160.0630.704g T T αηα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⨯⨯=又由于10.65s g T T <=，且20.65s g T T <=， 故23max 2= 1.00.16=0.16ααηα=⨯=11121231312222221112123138000.4458000.92052011.1898000.4458000.9205201G X G X G X G X G X G X γ++⨯+⨯+⨯===++⨯+⨯+⨯ 1212223232222222121222323800(0.654)800(0.589)52010.416800(0.654)800(0.589)5201G X G X G X G X G X G X γ++⨯-+⨯-+⨯===-++⨯-+⨯-+⨯1312323333222222131232333800 1.654800( 1.289)52010.201800 1.654800( 1.289)5201G X G X G X G X G X G X γ++⨯+⨯-+⨯===++⨯+⨯-+⨯ （1）求各振型下的地震作用：1111111121112213111330.063 1.1890.44580026.67kN 0.063 1.1890.92080055.13kN 0.063 1.189152038.95kN F X G F X G F X G αγαγαγ==⨯⨯⨯=⎧⎪==⨯⨯⨯=⎨⎪==⨯⨯⨯=⎩ 2111211221122223112330.16(0.416)(0.654)80034.82kN 0.16(0.416)(0.589)80031.36kN 0.16(0.416)152034.61kN F X G F X G F X G αγαγαγ==⨯-⨯-⨯=⎧⎪==⨯-⨯-⨯=⎨⎪==⨯-⨯⨯=-⎩3111311321132233113330.160.201 1.65480042.55kN 0.160.201( 1.289)80033.16kN 0.160.201152016.72kN F X G F X G F X G αγαγαγ==⨯⨯⨯=⎧⎪==⨯⨯-⨯=-⎨⎪==⨯⨯⨯=⎩ （2）求各振型下的地震作用效应：13131213121113121138.95kN 38.9555.1394.08kN38.9555.1326.67120.75kN V F V F F V F F F ==⎧⎪=+=+=⎨⎪=++=++=⎩ 23232223222123222134.61kN 34.6131.36 3.25kN34.6131.3634.8231.57kN V F V F F V F F F ==-⎧⎪=+=-+=-⎨⎪=++=-++=⎩33333233323133323116.72kN 16.7233.1616.44kN16.7233.1642.5526.11kN V F V F F V F F F ==⎧⎪=+=-=-⎨⎪=++=-+=⎩ （3）求体系总的地震作用效应： 层间剪力：（见图4）222222111213122222221222322222223132333120.7531.5726.11127.51kN94.08( 3.25)(16.44)95.56kN 38.95(34.61)16.7254.72kN V V V V V V V V V V V V ⎧=++=++=⎪⎪=++=+-+-=⎨⎪=++=+-+=⎪⎩层间位移： 图4 层间剪力V i 分布图（kN ）311132223222222112131112131111222222122232122232222222131******** 6.0mm 95.5610 5.0mm 19200127.51++21400++++V u K V u K u V V V u u u K K K V V V u u u K K K V u u u K ∆==++==⨯=∆==++==⨯=∆==⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆∆∆ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆∆∆ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∆∆∆33322223333310 3.1mm 54.7217600V K V V K K ++==⨯=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎩层间位移转角：31131322323333222112131111222122232111222132333111 6.01.5104105.01.3104103.10.8410u h u h u h u u u h h h u u u h h h u u u h h h θθθ--∆=++===⨯⨯∆=++===⨯⨯∆=++===⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆∆∆ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆∆∆ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆∆∆ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭310-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩3. 某三层钢筋混凝土框架，已知条件和计算要求同第2题，试用底部剪力法计算框架层间地震剪力和结构顶层总位移，并绘出层间地震剪力分布图。

【解】（1）求地震影响系数由表知，在多遇地震下，设防烈度为8度，设计基本地震加速度为0.20g 时，16.0max =α 由表知，当设计地震分组为第一组，建造于1Ⅰ类场地时，0.25(s)g T = 由18.92rad s ω=得，1122 3.140.704s 8.92T πω⨯===当阻尼比0.05ξ=时，得2 1.0η=，0.9γ=由于10.65s 5 3.25s g g T T T =<<=，故 110.90.9max20.25 1.00.160.0630.704g T T αηα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⨯⨯=（2）求结构总水平地震作用由12800kN G G ==，3520kN G =得，3180025202120kN kk G==⨯+=∑3eq 10.850.852*******kN k k G G ===⨯=∑Ek 1eq 0.0631802113.53kN F G α==⨯=（3）求楼层地震作用因为10.704 1.40.35g T s T s =>=，所以由表得，10.080.070.126n T δ=+= 顶点附加地震作用： 0.126113.5314.305kN n F ∆=⨯=31122331=++4800(44)800(444)52015840kN m kkk H G H G H G H G==⨯++⨯+++⨯=∑333Ek n n 3112520(1)113.53(10.126)14.30553.39kN15840kkk H G F F F H Gδ=⨯=-+∆=⨯⨯-+=∑222Ek n 318800(1)113.53(10.126)40.09kN 15840kkk H G F F H Gδ=⨯=-=⨯⨯-=∑111Ek n 314800(1)113.53(10.126)20.05kN 15840kkk H G F F H Gδ=⨯=-=⨯⨯-=∑（4）求层间地震剪力3353.39kN V F ==22340.0953.3993.48kN V F F =+=+= 112320.0540.0953.39113.53kN V F F F =++=++=（5）绘出地震剪力分布图（见图5）（6）验算在多遇地震作用下的层间弹性变形多遇地震作用下的弹性层间位移： 图5 层间剪力V i 分布图（kN ）33e3332e2231e1121401920176053.3910 2.49mm 093.4810 4.87mm 0113.5310 6.45mm 0V u k V u k V u k ∆==⨯=∆==⨯=∆==⨯= （7）求结构顶层总位移3123 6.45 4.8++7 2.4913.81mm u u u ++=∆=∆∆∆=4. 某四层砌体房屋剖面如图6所示，已知各层重力荷载代表值G1=5200 kN ，G2=4950 kN ，G3=4950 kN ，G4=4820 kN ，G5=340 kN ，αmax ＝0.08。