初二数学--勾股定理复习
初二数学 勾股定理复习
一、知识点： 1、勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学式子：
∠C=900
⇒222a b c +=
2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2
＋b 2
＝c 2
，那么这个三角形是直角三角形. 数学式子：
222a b c +=⇒∠C=900
满足a 2＋b 2＝c 2
三个数a 、b 、c 叫做勾股数。
要点回顾
【知识点 1】 勾股定理内容： 〖基础回顾〗
1、 在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠C =90°，已知,a b 则c = ； 已知,a c 则b = 。
2、在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B =90°，已知a =6，b =10，则c= 。
3、在ABC Rt ∆中，,4,3cm b cm a == 则=c 。
4、在Rt △ABC 中，已知两边长分别是6和8，则其面积为 。
【知识点 2】 勾股数 回忆常见的勾股数 〖基础回顾〗
1、下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A ．72425a b c === B ． 1.52 2.5a b c === C ．111345
a b c =
== D ．15817a b c === 2、、判断a 、b 、c 是否是勾股数。
（1）a=7，b=24，c=25 （2）a=5，b=13，c=12 （3）a=4，b=5，c=6 ⑷
A
a
【知识点 3】定理与逆定理的应用 〖基础回顾〗
1、三角形的三边长为ab c b a 2)(2
2
+=+,则这个三角形是 。
2、已知a 、b 、c 为三个正整数，如果a +b +c =12，那么以a 、b 、c 为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是______．
3、在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。
【知识点 4】 勾股定理与方程的综合运用 〖基础回顾〗
1、 AC =6c m ，BC =8c m ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合， 你能求出CD 的长吗？
2、 在长方形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ， 求DE.
【知识点 5】 利用割补法求面积 〖基础回顾〗
如图，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，求图中阴影部分的面积和边长。
C
B
A
D
E
【知识点 5】勾股定理数学图形内的应用
〖基础回顾〗
1、已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，求它底边上的高
3、如图，在△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，
求AC.
【知识点 6】最近问题
〖基础回顾〗
1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，
求从顶点A到顶点C’的最短距离．
2、如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的
最短路径是_______ cm （结果用带根号和π的式子表示）．
例1若直角三角形有一条直角边的长为13，另外两条边的长都是自然数，则其周长为？
练习：
1用计算器计算下列式子的值：2
2
34+，2
2
3344+，2
2
333444+，仔细观察计算所得结果，试猜
想200920093344+2
2
个
个
…33?44=____________．
例2如图，沿AE 折叠长方形ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果AB=8 cm ，BC=10 cm ，求EC 的长．
练习：
如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且DF=1
4
DC ，试判断BE 与EF 的位置关 并说明理由．
2．如图所示，在∆ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，把∆ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分(阴影部
分)的面积．
A B
C c b a
例3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象台观测，距沿海某城市A 的正南方向240千米的B 处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米／时的速度沿北偏东30°的方向往C 移动，如图所示，且台风中心的风力不变．若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响． (1)该城市是否会受台风的影响?请说明理由．
(2)若会受到台风影响，则台风影响城市的持续时间有多长? (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
练习：
1如图，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P,能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说
明理由.
2如图，ΔABC 中AB=AC,D 在AB 上，F 在AC 的延长线上，且BD=CF ，连接DE 交BC 于E 。
求证：DE=EF 。
例4如图所示，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 、直角边为b a ,的全等直角三角形，你能利用这个图说明勾股定理吗？写出理由．
图8
练习
1如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别是a 和b ，斜边长为c ．图8（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．
（1）画出拼成一个能验证勾股定理的图形． （2）用这个图形验证勾股定理．
（3）假设图8（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图8（1）中所给的直角三角形拼出另一 个能验
勾股定理的图形吗？请画出拼成后的示意图（无需说明理由）
c
c b c
a
a
c b
(2)
(1)
．
2科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0．618时，看起来最美，某成年女士身高为153 cm ，下肢长
为92 cm ，该女士穿的高跟鞋的鞋跟的最佳高度约为______cm ．(精确到0．1 cm)
例5如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋
转60得ADC △，连接OD ． （1）试说明：COD △是等边三角形；
（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；
A
C
D
O
110
α
（3）探究：当 为多少度时，AOD
△是等腰三角形？
练习
1细心观察图形2.1－3，解答问题.
（1）算出210
OA的长.
（2）请用含有n（n是正整数）的代数式表示上述2n
OA. （3）求出21
OA+22
OA+23
OA+ (2)
OA的值.
1
A2
图2.1－3。
八年级勾股定理的知识点
八年级勾股定理的知识点作为初中数学的重要知识点之一，勾股定理在八年级学生的学习中扮演着重要的角色。
勾股定理的概念和应用可以帮助学生理解和求解同类问题，并为进一步学习更高级别的数学知识奠定基础。
以下是勾股定理在初中八年级阶段的知识点。
一、勾股定理的定义勾股定理是指直角三角形中长边平方等于两短边平方和的关系。
即在一个直角三角形中，长边的平方等于其他两边平方和。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²其中，a、b 代表短边，c 代表长边。
这个公式是勾股定理的基本表达形式。
二、三角形中的勾股定理应用勾股定理不仅仅是为了了解概念，同样也是一种有用的工具来解决各种三角形问题。
在三角形中，有两种使用勾股定理的方式：已知两个边长求第三个边长和已知三角形的三个角度和一个边长，求任意一边长。
2.1 已知两边长求第三边长当我们知道任意两边长的长度时，我们可以使用勾股定理来求解第三边长的长度。
我们可以先将已知的两边长的平方和计算得出，然后再对这个结果求平方根来得到第三边长的长度。
例如，当我们知道一个三角形的两边分别为 3 和 4，需求出第三边长，我们可以使用勾股定理进行计算：(3)² + (4)² = c²9 + 16 = c²25 = c²c = √25 = 52.2 已知三个角度和一个边长，求任意一边长在已知三个角度和一个边长的情况下，我们可以使用正弦、余弦、正切等三角函数结合勾股定理来求解三角形任意一边长。
例如，假设我们知道一个三角形的三个角分别为 60 度、30 度和 90 度，此三角形的一个边长为 5，需求出另外两边长的长度。
我们可以利用下列公式进行计算：sin(60°) = 对边 / 斜边 = c / 5c = 5 sin(60°) = 4.33(约)cos(60°) = 邻边 / 斜边 = b / 5b = 5 cos(60°) = 2.5(约)根据勾股定理，我们可以求出第三条边的长度：a² + b² = c²a² + (2.5)² = (4.33)²a² = (4.33)² - (2.5)²a² = 9 - 6.25a = √2.75 = 1.66(约)通过这种方式，我们可以使用勾股定理解决许多有关三角形的问题。
初二数学知识点梳理：勾股定理
初二数学知识点梳理：勾股定理知识点总结一、勾股定理：勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
２.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：确定最大边；算出最大边的平方与另两边的平方和；比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
常见考法直接考查勾股定理及其逆定理；应用勾股定理建立方程；实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
八年级数学下册《勾股定理》知识点总结
八年级数学下册《勾股定理》知识点总结八年级数学下册《勾股定理》知识点总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下：BC=AB∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下：CD=AB=BD=ADD为AB的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°CD⊥AB6、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
八年级数学《勾股定理》知识点
八年级数学《勾股定理》知识点一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段1。
八年级数学下册勾股定理知识点
八年级数学下册勾股定理知识点八年级数学下册《勾股定理》知识点11.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。
勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7《点评》此题是一道易错题目，同学们应该认真审题!例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )a.斜边长为25b.三角形周长为25c.斜边长为5d.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择c八年级数学下册《勾股定理》知识点2勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在**称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的.直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
人教版八年级下册数学《勾股定理的应用》勾股定理说课教学课件复习
解（1）∵AC⊥AB(已知)
∴ AC2+AB2=BC2(勾股定A理B =3).00 cm
∵ AB=3cm,BC=5cm
CA = 4.11 cm BC = 5.08 cm
∴AC BC2 AB2 52 32 4AcDm= 2.03 cm DC = 3.52 cm
7 .观察下列表格：
列举
3、4、5
……
5、12、13
7、24、25
13、b、c
猜想
32=4+5 52=12+13 72=24+25
…… 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c= 85
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？
D C
13、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，
1
且CE= BC，则AF⊥EF，试说明理由
4
解：连接AE
∵ABCD是正方形，边长是4，F是 A A
D
DC的中点，EC=1/4BC
∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1
F
∴根据勾股定理，在 Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20
B
EC
23
2
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知
几个条件?
（2）求AB的长
A
23
3
B
13
1
D2 C
例1、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB
八年级数学勾股定理期末复习
【典例精析】 如图,将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD,绕 点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE,连接AF.通过用不同 方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理,请你写出验证 的过程.
【思路点拨】梯形的面积可用(上底+下底)×高× 1 来表示,或用三个直角三
2
角形△ABC,△CEF,△ACF的面积和表示,整理可得.
【方法归纳】翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换.折叠前后图形的形 状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.解题时,我们常常设要求的线段 长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择 适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时,应 认真审题,设出正确的未知数.
圆柱侧面展开图是
()
解:选B.因圆柱的展开面为长方形,AC展开应该是两线段,且有公共点C.
2.如图,将一根长为8 cm(AB=8 cm)的橡皮筋水平放置在桌面上,固定两端A和B,
然后把中点C竖直地向上拉升3 cm至D点,则拉长后橡皮筋的长度为
()
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm
解:选B.在Rt△ACD中,AC= 1AB=4 cm,CD=3 cm;
2
根据勾股定理得:AD2=AC2+CD2=25,AD=5 cm;
同理可得BD=5 cm,
∴AD+BD=10 cm,
故拉长后橡皮筋的长度为10 cm.
考点四 勾股定理与折叠问题 【典例精析】 如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点D与点B重合,点C落在C′的位置上. (1)若∠BFE=65°,求∠AEB的度数. (2)若AD=9 cm,AB=3 cm,求DE的长.
专题复习：勾股定理(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过制作直角三角形模型，演示勾股定理的基本原理。
1.数学抽象：通过勾股定理的学习，使学生能够从实际问题中抽象出数学模型，理解数学概念的本质，提高数学思维能力。
2.逻辑推理：培养学生运用不同的证明方法，理解和掌握勾股定理的推理过程，提高逻辑思维能力和解题技巧。
3.数学建模：学会将勾股定理应用于解决实际问题，建立数学模型，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学反思
在今天《勾股定理》的复习课上，我发现学生们对于定理的概念和应用有了较好的掌握，但在证明过程中还存在一些困难。我尝试用生活中的实例引入勾股定理，让学生感受到数学与生活的紧密联系，这一点效果不错，大家都很感兴趣。但在教学过程中，我也注意到了几个问题。
首先，对于定理的证明方法，尤其是代数法的证明，部分学生感到难以理解。在今后的教学中，我需要更加耐心地引导他们，通过多举例、多解释，帮助他们突破这个难点。
-掌握至直角三角形的边长比例关系，如30°-60°-90°和45°-45°-90°直角三角形。
-例：通过实际例题，如计算墙壁上悬挂画框的合适位置，强调勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学难点
-理解勾股定理的证明过程：学生需要理解并掌握从具体实例中抽象出定理的过程，以及不同证明方法背后的逻辑。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
初二数学复习,知识要点
初二上学期数学复习资料一、勾股定理要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；(3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；若时，△ABC是锐角三角形；若时，△ABC是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.二、实数要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.要点二、二次根式的除法1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化1.分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.2.有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式.②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式.要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.三、位置与坐标要点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.要点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：要点诠释：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：①坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．③平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补要点三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．要点诠释：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．(2)图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．四、一次函数要点一、函数图象及一次函数的定义1.函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.2.一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.3.画函数图象的一般步骤总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．要点二、一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：3.、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4.两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交；（2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.五、一元二次要点一、二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.2．二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.要点诠释：（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个.要点二、二元一次方程组的解法1．解二元一次方程组的思想2．解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.（3）图像法解二元一次方程组的一般过程：①把二元一次方程化成一次函数的形式．②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点．③交点坐标就是方程组的解．要点诠释：二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点）二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点）二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点）利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.要点四、二元一次方程（组）与一次函数1．二元一次方程与一次函数的关系（1）任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.（2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程.要点诠释：1．以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2．一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3．以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.2. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.3．用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1．确定所求问题含有待定系数解析式.2．根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3．解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.要点五、三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.等都是三元一次方程组.要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．六、数据的分析要点一、算术平均数和加权平均数一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.要点诠释：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.要点二、中位数和众数1.中位数一般地，n个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.2.众数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述要点四、极差、方差和标准差1.极差一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据.要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.2.方差方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是：，其中，是，，…的平均数.要点诠释：。