清华大学传热学课件-传热学-5-2
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传热学讲义 学习课件
t
λ变化，第一类边界条t1 件
➢方程：d（ λ dt/dx）/dx=0
t2
➢定➢两解无个条内件表热：面源x分x==，0别δ，，λ维t==tλ=持t10t2（均1匀+b而t）恒，定壁的厚温δ度已0 t知δ1、。t2。x ➢温度分布：
（t+1/b）2= （ t1+1/b）2+[2/b-（ t2+ t1）]（ t1 - t2 ）x/δ b ≠0时，温度分布是二次曲线方程，曲线凹凸与b的关系？
➢温度分布：t=（ t2 - t1 ）x/δ + t1
➢热流密度：q=- λ（t2-t1）/δ=Δt/（ δ / λ ）
➢热流量：Φ=Aq=-Aλ（t2-t1）/δ=Δt/（ δ /A λ）
t
λ为常数，第三类边界 tf1,h1 条件 t1 t2 tf2,h2
➢方程：d2t/d2x=0 ➢定➢侧解无流条内体件热的：源温x，=度0λt，为f1，-常λ表d数t/面d，x换壁=h热厚1（系δt已数f1-知ht）1。；在在xx==0δ0处处δ壁壁面面 x
导热微分方程式
➢依 据 ： 能 量 守 恒 定 律 、 傅 里 叶 定 律 ➢假 设 ：
➢各向同性的连续介质 ➢比热容、密度、导热系数为已知 ➢物体内具有内热源φ（w/m3）***
定解条件
➢导热问题完整的数学描述：
导热微分方程式 + 定解条件
➢定 解 条 件 ： 包 括 初 始 条 件 和 边 界 条 件
通过单层平壁的导 热
➢λ为常数，第一类边界条件 ➢λ为常数，第三类边界条件 ➢λ变化，第一类边界条件
t
λ为常数，第一类边界条件
t1
t2
➢方程：d2t/d2x=0 ➢定➢面解无分条内件别热：维源x持x==，0均δ，，λ匀t为=t=而t常1t2恒数定，的壁温厚度δ 已t 1 、知0t。2δ。两 个 表x
传热学2Chap5
(eKm A A
1)
tm
t t ln t
t
5.2 换热器中的传热过程
➢逆流
tm
t t ln t
t
t t1 t2 t t1 t2
统一表达形式
tm
tmax tmin ln tmax
tmin
tmax max t, t tmin min t, t
5.2 换热器中的传热过程
几点说明
算术平均温差
tm n i1
Φi / tmi
i 1
➢ 其他流型 温差修正系数 tm tm,逆
f P, R
P t2 t2 t1 t2
R t1 t1 t2 t2
反映了复杂流型的传热性能接近逆流的程度， <1
5.2 换热器中的传热过程
温差修正系数线算图
5.2 换热器中的传热过程
温差修正系数线算图
5.2 换热器中的传热过程
（2）平均传热温差tm计算 ➢顺流
基本假定： ① 换热器无散热损失，只有冷、热流体通过固体壁 面的传热 ② 流体流量及比热容都为常量 ③ 沿换热面传热系数不变 ④ 换热面沿流动方向导热不计 ⑤ 在换热器中，任一种流体都不能既有相变又有单 相介质换热
5.2 换热器中的传热过程
平均传热温差tm定义
A
A
第五章 传热过程及换热器
主要内容
传热过程及其控制 通过管壁（圆筒壁）的传热过程 通过肋壁的传热 传热过程的控制
换热器中的传热过程 换热器的分类 换热器的热计算
5.1 传热过程及其控制
传热过程
定义：高温流体通过固体壁把热量传给低温流体的过 程称为传热过程
传热方程 ？？
KA(t f 1 t f 2 ) KAtm
《传热学基本知识》PPT课件
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教学目标：
➢了解稳定传热的根本概念； ➢理解稳定tbt1)F
q(tbt1)
Q －单位时间的对流换热量。
q －对流换热热流强度。
F －墙壁的换热面积。 t b －墙面的温度。
t 1 －流体的温度。
－对流换热系数，
其大小反映了对流换热的强弱。
变换公式的形式，可得：
q tb t1 tb t1
1
R
R －对流换热热阻，与对流换热系数成反比。
▪ 黑体：能吸收全部热射线的物体，即 。1
▪ 白体：能反射全部热射线的物体，即 。1 ▪ 透明体：能透过全部热射线的物体，即 。1 ▪ 在自然界中，绝对黑体、白体和透明体的是不存在的。
三、热辐射的根本定律 在所有的物体中，黑体辐射能力最强，
其他物体辐射能力小于黑体，称灰体。
c( T )4 100
3、传热的根本方式 导热 热对流 热辐射 4、稳定传热的根本概念 稳定传热
传热中温度差保持一恒定值，即不随时间有 所变化。 不稳定传热 传热中温度差随时间变化而变化。
§2－2 稳定导热
一、定义
温度不同的物体直接接触，温度较高的 物体把热能传给温度较低的物体，或 在同一物体内部，热能从温度较高的 局部传给温度较低局部的传热现象。
本概念； ➢了解稳定传热的过程及传热的增强与削弱。
▪ 传热学是研究热量传递过程规律的一门学 科。
▪ 本章介绍传热的根本方式，分析导热、热 对流和辐射的根本特性及应用。
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教学目标：
➢了解稳定传热的根本概念； ➢理解稳定tbt1)F
q(tbt1)
Q －单位时间的对流换热量。
q －对流换热热流强度。
F －墙壁的换热面积。 t b －墙面的温度。
t 1 －流体的温度。
－对流换热系数，
其大小反映了对流换热的强弱。
变换公式的形式，可得：
q tb t1 tb t1
1
R
R －对流换热热阻，与对流换热系数成反比。
▪ 黑体：能吸收全部热射线的物体，即 。1
▪ 白体：能反射全部热射线的物体，即 。1 ▪ 透明体：能透过全部热射线的物体，即 。1 ▪ 在自然界中，绝对黑体、白体和透明体的是不存在的。
三、热辐射的根本定律 在所有的物体中，黑体辐射能力最强，
其他物体辐射能力小于黑体，称灰体。
c( T )4 100
3、传热的根本方式 导热 热对流 热辐射 4、稳定传热的根本概念 稳定传热
传热中温度差保持一恒定值，即不随时间有 所变化。 不稳定传热 传热中温度差随时间变化而变化。
§2－2 稳定导热
一、定义
温度不同的物体直接接触，温度较高的 物体把热能传给温度较低的物体，或 在同一物体内部，热能从温度较高的 局部传给温度较低局部的传热现象。
本概念； ➢了解稳定传热的过程及传热的增强与削弱。
▪ 传热学是研究热量传递过程规律的一门学 科。
▪ 本章介绍传热的根本方式，分析导热、热 对流和辐射的根本特性及应用。
传热学课件课件
传热学课件引言传热学是研究热量传递规律的学科，是工程热力学和流体力学的重要分支。
在实际工程应用中，传热问题无处不在，如能源转换、化工生产、建筑环境等领域。
因此，掌握传热学的基本原理和方法，对于工程技术人员来说具有重要意义。
本文将简要介绍传热学的基本概念、原理和方法，并探讨其在工程实际中的应用。
一、传热学基本概念1.热量传递方式热量传递方式主要包括三种：导热、对流和辐射。
（1）导热：热量通过固体、液体或气体的分子碰撞传递，其传递速率与物体的导热系数、温度差和物体厚度有关。
（2）对流：热量通过流体的宏观运动传递，其传递速率与流体的流速、密度、比热容和温度差有关。
（3）辐射：热量以电磁波的形式传递，其传递速率与物体表面的温度、发射率和距离有关。
2.传热方程传热方程是描述热量传递规律的数学表达式，主要包括傅里叶定律、牛顿冷却公式和斯蒂芬-玻尔兹曼定律。
（1）傅里叶定律：描述导热过程中热量传递的规律，公式为Q=-kA(dT/dx)，其中Q表示热量传递速率，k表示导热系数，A表示传热面积，dT/dx表示温度梯度。
（2）牛顿冷却公式：描述对流过程中热量传递的规律，公式为Q=hA(TwTf)，其中Q表示热量传递速率，h表示对流换热系数，Tw 表示固体表面温度，Tf表示流体温度。
（3）斯蒂芬-玻尔兹曼定律：描述辐射过程中热量传递的规律，公式为Q=εσA(T^4T^4)，其中Q表示热量传递速率，ε表示发射率，σ表示斯蒂芬-玻尔兹曼常数，T表示物体表面温度。
二、传热学原理和方法1.传热问题的分类传热问题可分为稳态传热和非稳态传热两大类。
（1）稳态传热：系统内各部分温度不随时间变化，热量传递速率恒定。
（2）非稳态传热：系统内各部分温度随时间变化，热量传递速率随时间变化。
2.传热分析方法（1）解析法：通过对传热方程的求解，得到温度分布和热量传递速率。
适用于简单几何形状和边界条件的问题。
（2）数值法：采用数值离散化方法求解传热方程，适用于复杂几何形状和边界条件的问题。
传热学课件课件
❖ 3 ）教育思想发生了本质性的变化
❖ 传热学课程教学内容的组织和表达方 面从以往单纯的为后续专业课学习服务转 变到重点培养学生综合素质和能力方面， 这是传热学课程理论联系实际的核心。从 实际工程问题中、科学研究中提炼出综合 分析题，对培养学生解决分析综合问题的 能力起到积极的作用。
❖ 2 、研究对象 ❖ 传热学研究的对象是热量传递规律。 ❖ 3 、研究方法
❖ （ 3 ）非导电固体：导热是通过晶格结构 的振动所产生的弹性波来实现的，即原子、 分子在其平衡位置附近的振动来实现的。
❖（ 4 ）液体的导热机理：存在两种不同的 观点：第一种观点类似于气体，只是复杂些， 因液体分子的间距较近，分子间的作用力对 碰撞的影响比气体大；第二种观点类似于非 导电固体，主要依靠弹性波（晶格的振动， 原子、分子在其平衡位置附近的振动产生的） 的作用。
❖ 黑体在单位时间内发出的辐射热量服从于 斯忒藩——玻耳兹曼定律，即
AT 4 （1-7）
其中 T ——黑体的热力学温度 K ；
——斯忒潘—玻耳兹曼常数（黑体辐 射常数），其值为 5.6710-；8 W/ m2 K4
A——辐射表面积 m2 。
实际物体辐射热流量根据斯忒潘——玻耳 兹曼定律求得：
⑤热辐射现象仍是微观粒子性态的一种宏 观表象。
⑥ 物体的辐射能力与其温度性质有关。这 是热辐射区别于导热，对流的基本特点。
2 、热辐射的基本规律：
❖ 所谓绝对黑体：把吸收率等于 1 的物体
称黑体，是一种假想的理想物体。
❖ 黑体的吸收和辐射能力在同温度的物体中
是最大的而且辐射热量服从于斯忒藩—— 玻耳兹曼定律。
二、讲授传热学的重要性及必要性
1 、传热学是热工系列课程教学的主要内容 之一，是建环专业必修的专业基础课。是 否能够熟练掌握课程的内容，直接影响到 后续专业课的学习效果。
传热学第五版课件完整版PPT课件
d 2t qV 0 2 dx
7.物性参数λ 、 ρ 、c均为常数，一维稳态温度场，无内热源：
d 2t 0 2 dx
第四节
通解
导热过程的单值性条件
特解
作用：用来对某一特定的导热过程进行进一步的具体说明
四种单值性条件：
几 何 条 件 时 间 条 件 物 理 条 件 边 界 条 件
δ,l,d……
q z
t z
第二节
导热系数
每种物质的导热系数可通过实验确定 常用物质可查表获取
一 般 规 律
固相>液相>气相 金属>非金属 晶体>无定形态 纯物质>有杂质物质 纯金属>合金
导热系数的主要影响因素：温度、压力
气体的导热系数：
随温度升高而增大（由于分子运动速度和比定容热容增大），
压力对其影响不大（密度增大但自由程减小）
第三节
导热微分方程式
研究目标：确定物体内的温度场
研究基础： 导热微分方程式＝能量守恒定律＋傅立叶定律 研究对象： 右 图 中 的 六 面 微 元 体
根据能量守恒定律： 导入和导出微元体的净热量＋微元体中内热源的发热量 ＝微元体热能（内能）的增加
在一定时间dτ内: 导入微元体的净热量： 导出微元体的净热量：
t t t t c qV x x y y z z
——导热微分方程式
在几种特殊条件下对导热微分方程式的简化：
1.物性参数λ 、 ρ 、c均为常数：
q z dz q z q z dz z
q y
代入上式
再将傅立叶定律代入，得出： 三个方向导入与导出微元体的净热量：
传热学第五章_对流换热原理-2
3 能量微分方程
能量微分方程式描述流体温度场—能量守恒
[导入与导出的净热量] + [热对流传递的净 热量] +[内热源发热量] = [总能量的增量] + [对外作膨胀功]
Q = E + W
Q — Q导热 Q对流 Q内热源
W — 体积力(重力)作的功 表面力作的功 （1）压力作的功： a) 变形功；b) 推动功 （2）表面应力作的功：a) 动能；b)
流体的连续流动遵循质量守恒规律。
从流场中 (x, y) 处取出边长为 dx、dy 的微元 体，并设定x方向的流体流速为u，而y方向上 的流体流速为v 。 M 为质量流量 [kg/s]
单位时间内流入微元体的净质量 = 微元体内流 体质量的变化。
mass balance
v v dy y
mass mass mass
作用力 = 质量 加速度（F=ma）
①控制体中流体动量的变化率
从x方向进入元体质量流量 在x方向上的动量 ：
v v dy y
udy 1 u
从x方向流出元体的质量流 u
量在x方向上的动量
dy
u u dx x
u u dx dy 1 u u dx
x x
dx v
从y方向进入元体的质量流量在x方向上的动量为 ：
作用在x方向上表面力的净值为 :
yx dxdy 1 x dxdy 1
y
x
作用在y方向上表面力的净值为
xy dxdy 1 y dxdy 1
x
y
斯托克斯提出了归纳速 度变形率与应力之间的 关系的黏性定律
xy
yx
u y
v x
x
p 2
u x
y
能量微分方程式描述流体温度场—能量守恒
[导入与导出的净热量] + [热对流传递的净 热量] +[内热源发热量] = [总能量的增量] + [对外作膨胀功]
Q = E + W
Q — Q导热 Q对流 Q内热源
W — 体积力(重力)作的功 表面力作的功 （1）压力作的功： a) 变形功；b) 推动功 （2）表面应力作的功：a) 动能；b)
流体的连续流动遵循质量守恒规律。
从流场中 (x, y) 处取出边长为 dx、dy 的微元 体，并设定x方向的流体流速为u，而y方向上 的流体流速为v 。 M 为质量流量 [kg/s]
单位时间内流入微元体的净质量 = 微元体内流 体质量的变化。
mass balance
v v dy y
mass mass mass
作用力 = 质量 加速度（F=ma）
①控制体中流体动量的变化率
从x方向进入元体质量流量 在x方向上的动量 ：
v v dy y
udy 1 u
从x方向流出元体的质量流 u
量在x方向上的动量
dy
u u dx x
u u dx dy 1 u u dx
x x
dx v
从y方向进入元体的质量流量在x方向上的动量为 ：
作用在x方向上表面力的净值为 :
yx dxdy 1 x dxdy 1
y
x
作用在y方向上表面力的净值为
xy dxdy 1 y dxdy 1
x
y
斯托克斯提出了归纳速 度变形率与应力之间的 关系的黏性定律
xy
yx
u y
v x
x
p 2
u x
y
传热学-第五章-2汇总
注意：层流
1
1
hx
0.332
x
u
x
2
a
3
1
1
hx x
0.332
u x
2
a
3
Nu x
0.332
Re
1 x
2
Pr
1
3
第五章 对流换热
13
1
1
hx x
0.332
u x
2
a
3
Nux 0.332 Re1x 2 Pr1 3
一定要注意上面准则方程的适用条件：
外掠等温平板、无内热源、层流
特征数方程 或 准则方程
式中：
Nux
hx x
Re x
u x
Pr
a
努塞尔(Nusselt)数
雷诺(Reynolds)数
注意：特征尺 度为当地坐标
x 普朗特数
第五章 对流换热
14
与 t 之间的关系
对于外掠平板的层流流动: u const,
动量方程：
u
u x
v
u y
2u y 2
dp 0 dx
6
3 边界层换热微分方程组 边界层概念的引入可使换热微分方程组得以简化
数量级分析：比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留 量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化 例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力
5个基本量的数量级： 主流速度：u ~ 0(1); 温度：t ~ 0(1); 壁面特征长度：l ~ 0(1);
当壁面与流体间有温差时，会产生温度梯度很大的温 度边界层（热边界层）
第五章 对流换热
4
Tw
y 0, w T Tw 0
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"
结果综述： 1、从动量方程和连续性方程可解得速度场： 经过推导，得：
u f ' ( ) u
0
e
1 2
f ( ) d
0
d
=5.0
注：边界层内v0
0
e
1 2
f ( ) d
d
0.99
u 5.0 x
5.0
Re x
x
u
t t t u v a 2 x y y
2
du dp u dx dx du dp 若 0，则 0 3个方程、3个未知量： u、v、t dx dx
对于外掠平板的层流流动:
u const,
u u 2u 动量方程： u v 2 x y y
§5-3 边界层换热微分方程组的解
边界层概念（Boundary layer）： 当粘性流体流过物体表面时，会形成速度梯度很大 的流动边界层；当壁面与流体间有温差时，也会产 生温度梯度很大的温度边界层（或称热边界层） 1904年，德国科学家普朗特 L.Prandtl 一、流动边界层（Velocity boundary layer）
t t w
无量纲温度
动量微分方程与能量微分方程（常微分方程）：
u u u u v 2 x y y
2
t t t u v a 2 x y y
2
1 " f ( ) f ( ) f ( ) 0 2
'"
1 ' ( ) Pr f ( ) ( ) 0 2
边界层区：流体的粘性作用起主导作用，流体的运动 可用粘性流体运动微分方程组描述（N-S方程） 主流区：速度梯度为0，=0；可视为无粘性理想流体； 欧拉方程 ——边界层概念的基本思想
流体外掠平板时的流动边界层 临界距离：由层流边 界层开始向紊流边界 层过渡的距离，xc 临界雷诺数：Rec
惯性力 u xc Rec 粘性力 u xc
小：空气外掠平板，u=10m/s：
x100mm 1.8mm; x200mm 2.5mm
边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大
u 由牛顿粘性定律： y
速度梯度大，粘滞应力大 边界层外： u 在 y 方向不 变化， u/y=0 粘滞应力为零 — 主流区 流场可以划分为两个区：边界层区与主流区
~ O( ); t ~ O( )
x 与 l 相当，即：x ~ l ~ O(1);
0 y y ~ O( )
O(1)、O()表示数量级为1和 ，1>> 。 “~” — 相当于
例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力 u沿边界层厚度由0到u:
由连续性方程： v u u ~ ~ O(1) y x l
四、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述
u v 0 x y
t t t u v a 2 x y y
2
u u u u v 2 x y y
2
t hx t w t y w, x
u v 0 x y
0
e
Pr f ( ) d 2
0
d
u y x
1
0
e
Pr f ( ) d 2
0
d
hx t w t 热边界层厚度随Pr增大而减小
0.99
0.332 Pr1 3 (0.6 Pr 10) 0 t
波 尔 豪 森 （ 1921 ） ：
y y w, x w, x
hx 0.332
x
Re1 2 Pr1 3 ; x
Nu x
hx x
0.332 Re1 2 Pr1 3 x
对长度为 l 的常壁温平板，通过积分可得平均值： 1l 1 2 1 3 Nu hl 0.664 Re1 2 Pr1 3 h hx dx 0.664 Rel Pr ; l l0 l c p Pr — 普朗特数 (Prandtl number) a 流体动量扩散能力与热量扩散能力之比 反映流体物性对换热的影响 hl Nu — 努谢尔特数（Nusslet number） λ tw t f 反映对流换热过程的强度 tm
3 个无量纲变量 （、f()、）:
f ( ) xu
— 流函数 u y ; v x 1 u ' u u f ( ); v f ( ) f ' ( ) y x 2 x
无量纲 流函数
u 无量纲离 y x 壁距离 t ( ) t w
U V 0 X Y 2 U U dP 1 U U V X Y dX Re Y 2
Re — 雷诺数 Reynolds
Pr — 普朗特数 Prandtl
Θ Θ 1 Θ U V X Y Re Pr Y 2
2
U f1 ( X , Y , Re); V f 2 ( X , Y , Re); Θ f 3 ( X , Y , U , V , Re, Pr) f 3 ( X , Y , Re, Pr)
此时动量方程与能量方程的形式完全一致: 2
dp 0 dx
t t t u v a 2 x y y
表明：此情况下动量传递与热量传递规律相似 特别地：对于 = a 的流体（Pr=1），速度场与 无量纲温度场将完全相似 并且 =t
为了分析与计算的方便，可将方程式写成无量纲形式 t tw x y p u v X ; Y ; P 2 ; U ;V ; Θ l l t f tw u u u
由于粘性作用， 流体流速在靠近 壁面处随离壁面 的距离的缩短而 逐渐降低；在贴 壁处被滞止，处 于无滑移状态
从 y=0、u=0 开始，u 随 着 y 方向离壁面距离的 增加而迅速增大；经过 厚度为 的薄层，u 接 近主流速度 u
y = 薄层 — 流动边界层 或速度边界层 — 边界层厚度 定义：u/u=0.99 处离壁的距离为边界层厚度
(3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面处 仍有层流特征，粘性底层（层流底层）
(4) 流场可以划分为边界层区与主流区 边界层区：由粘性流体运动微分方程组描述 主流区：由理想流体运动微分方程—欧拉方程描述
边界层理论的基本论点
边界层概念也可以用于分析其他情况下的流动和换热： 如：流体在管内受迫流动、流体外掠圆管流动、流体在 竖直壁面上的自然对流等
厚度t 范围 — 热边界层 或温度边界层
流动边界层与热边界层的状况决定了热量传递过程 和边界层内的温度分布
层流：温度呈抛物 线分布
紊流：温度呈幂函 数分布
紊流边界层贴壁处的温度梯度明显大于层流
T T y y w,t w, L
u v 0 x y
u ~ u ~ O(1)
v ~ O( )
u u p 2u 2u （u v ) Fx ( 2 2 ) x y x x y v v p 2v 2v （u v ) Fy ( 2 2 ) x y y x y 2t 2t t t c p u v 2 2 x x y y
p ~ O( ) y
u u p u （u v ) 2 x y x y
2
p dp x dx
可视为边界层的又一特性
层流边界层对流换热微分方程组：
u v 0 x y 2 u u 1 dp u u v 2 x y dx y
1 1 （
1
）
（
2
12
） 2
u u p u （u v ) 2 x y x y
2
u v 0 x y
t t t t c（u v ) ( 2 2 ) p x y x y 1 1 2 1 1 1 （1 ） （ 2 ） t 2 1 1
(a)
u u u (b) u v 2 x y y
2
t t t u v a 2 x y y
2
(c)
t (d) hx t w t y w, x
求解的具体过程可参见教科书 p.337附录15 求解的基本方法：引进 3 个无量纲变量 （、f()、） (1) 把偏微分方程 (b)、(c) 转换为常微分方程 (2) 分别求出边界层内的速度场、温度场 (3) 由式 (d) 获得局部表面传热系数 u 无量纲离 3 个无量纲变量 （、f()、）: y x 壁距离 t ( ) t w 无量纲 f ( ) 无量纲温度 t t w xu 流函数
2 2
(d)
t t t c（u v ) 2 p x y y
2
p ~ O( ) y
p ~ O(1) x
表明：边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边 界层内法向的压力梯度极小。 边界层内任一截面压力与 y 无关而等于主流压力
du dp 由上式： u dx dx
故：紊流换热比层流换热强！ 与 t 的关系：分别反映流体分子和流体微团的动量 和热量扩散的深度 Pr 1 3 (层流、 0.6 Pr 50)
t
三、边界层换热微分方程组 边界层概念的引入可使换热微分方程组得以简化 数量级分析：比较方程中各量或各项的量级的相对大 小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项， 方程大大简化 5个基本量的数量级： 主流速度： u ~ O(1); 温度： t ~ O(1); 壁面特征长度：l ~ O(1); 边界层厚度：
结果综述： 1、从动量方程和连续性方程可解得速度场： 经过推导，得：
u f ' ( ) u
0
e
1 2
f ( ) d
0
d
=5.0
注：边界层内v0
0
e
1 2
f ( ) d
d
0.99
u 5.0 x
5.0
Re x
x
u
t t t u v a 2 x y y
2
du dp u dx dx du dp 若 0，则 0 3个方程、3个未知量： u、v、t dx dx
对于外掠平板的层流流动:
u const,
u u 2u 动量方程： u v 2 x y y
§5-3 边界层换热微分方程组的解
边界层概念（Boundary layer）： 当粘性流体流过物体表面时，会形成速度梯度很大 的流动边界层；当壁面与流体间有温差时，也会产 生温度梯度很大的温度边界层（或称热边界层） 1904年，德国科学家普朗特 L.Prandtl 一、流动边界层（Velocity boundary layer）
t t w
无量纲温度
动量微分方程与能量微分方程（常微分方程）：
u u u u v 2 x y y
2
t t t u v a 2 x y y
2
1 " f ( ) f ( ) f ( ) 0 2
'"
1 ' ( ) Pr f ( ) ( ) 0 2
边界层区：流体的粘性作用起主导作用，流体的运动 可用粘性流体运动微分方程组描述（N-S方程） 主流区：速度梯度为0，=0；可视为无粘性理想流体； 欧拉方程 ——边界层概念的基本思想
流体外掠平板时的流动边界层 临界距离：由层流边 界层开始向紊流边界 层过渡的距离，xc 临界雷诺数：Rec
惯性力 u xc Rec 粘性力 u xc
小：空气外掠平板，u=10m/s：
x100mm 1.8mm; x200mm 2.5mm
边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大
u 由牛顿粘性定律： y
速度梯度大，粘滞应力大 边界层外： u 在 y 方向不 变化， u/y=0 粘滞应力为零 — 主流区 流场可以划分为两个区：边界层区与主流区
~ O( ); t ~ O( )
x 与 l 相当，即：x ~ l ~ O(1);
0 y y ~ O( )
O(1)、O()表示数量级为1和 ，1>> 。 “~” — 相当于
例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力 u沿边界层厚度由0到u:
由连续性方程： v u u ~ ~ O(1) y x l
四、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述
u v 0 x y
t t t u v a 2 x y y
2
u u u u v 2 x y y
2
t hx t w t y w, x
u v 0 x y
0
e
Pr f ( ) d 2
0
d
u y x
1
0
e
Pr f ( ) d 2
0
d
hx t w t 热边界层厚度随Pr增大而减小
0.99
0.332 Pr1 3 (0.6 Pr 10) 0 t
波 尔 豪 森 （ 1921 ） ：
y y w, x w, x
hx 0.332
x
Re1 2 Pr1 3 ; x
Nu x
hx x
0.332 Re1 2 Pr1 3 x
对长度为 l 的常壁温平板，通过积分可得平均值： 1l 1 2 1 3 Nu hl 0.664 Re1 2 Pr1 3 h hx dx 0.664 Rel Pr ; l l0 l c p Pr — 普朗特数 (Prandtl number) a 流体动量扩散能力与热量扩散能力之比 反映流体物性对换热的影响 hl Nu — 努谢尔特数（Nusslet number） λ tw t f 反映对流换热过程的强度 tm
3 个无量纲变量 （、f()、）:
f ( ) xu
— 流函数 u y ; v x 1 u ' u u f ( ); v f ( ) f ' ( ) y x 2 x
无量纲 流函数
u 无量纲离 y x 壁距离 t ( ) t w
U V 0 X Y 2 U U dP 1 U U V X Y dX Re Y 2
Re — 雷诺数 Reynolds
Pr — 普朗特数 Prandtl
Θ Θ 1 Θ U V X Y Re Pr Y 2
2
U f1 ( X , Y , Re); V f 2 ( X , Y , Re); Θ f 3 ( X , Y , U , V , Re, Pr) f 3 ( X , Y , Re, Pr)
此时动量方程与能量方程的形式完全一致: 2
dp 0 dx
t t t u v a 2 x y y
表明：此情况下动量传递与热量传递规律相似 特别地：对于 = a 的流体（Pr=1），速度场与 无量纲温度场将完全相似 并且 =t
为了分析与计算的方便，可将方程式写成无量纲形式 t tw x y p u v X ; Y ; P 2 ; U ;V ; Θ l l t f tw u u u
由于粘性作用， 流体流速在靠近 壁面处随离壁面 的距离的缩短而 逐渐降低；在贴 壁处被滞止，处 于无滑移状态
从 y=0、u=0 开始，u 随 着 y 方向离壁面距离的 增加而迅速增大；经过 厚度为 的薄层，u 接 近主流速度 u
y = 薄层 — 流动边界层 或速度边界层 — 边界层厚度 定义：u/u=0.99 处离壁的距离为边界层厚度
(3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面处 仍有层流特征，粘性底层（层流底层）
(4) 流场可以划分为边界层区与主流区 边界层区：由粘性流体运动微分方程组描述 主流区：由理想流体运动微分方程—欧拉方程描述
边界层理论的基本论点
边界层概念也可以用于分析其他情况下的流动和换热： 如：流体在管内受迫流动、流体外掠圆管流动、流体在 竖直壁面上的自然对流等
厚度t 范围 — 热边界层 或温度边界层
流动边界层与热边界层的状况决定了热量传递过程 和边界层内的温度分布
层流：温度呈抛物 线分布
紊流：温度呈幂函 数分布
紊流边界层贴壁处的温度梯度明显大于层流
T T y y w,t w, L
u v 0 x y
u ~ u ~ O(1)
v ~ O( )
u u p 2u 2u （u v ) Fx ( 2 2 ) x y x x y v v p 2v 2v （u v ) Fy ( 2 2 ) x y y x y 2t 2t t t c p u v 2 2 x x y y
p ~ O( ) y
u u p u （u v ) 2 x y x y
2
p dp x dx
可视为边界层的又一特性
层流边界层对流换热微分方程组：
u v 0 x y 2 u u 1 dp u u v 2 x y dx y
1 1 （
1
）
（
2
12
） 2
u u p u （u v ) 2 x y x y
2
u v 0 x y
t t t t c（u v ) ( 2 2 ) p x y x y 1 1 2 1 1 1 （1 ） （ 2 ） t 2 1 1
(a)
u u u (b) u v 2 x y y
2
t t t u v a 2 x y y
2
(c)
t (d) hx t w t y w, x
求解的具体过程可参见教科书 p.337附录15 求解的基本方法：引进 3 个无量纲变量 （、f()、） (1) 把偏微分方程 (b)、(c) 转换为常微分方程 (2) 分别求出边界层内的速度场、温度场 (3) 由式 (d) 获得局部表面传热系数 u 无量纲离 3 个无量纲变量 （、f()、）: y x 壁距离 t ( ) t w 无量纲 f ( ) 无量纲温度 t t w xu 流函数
2 2
(d)
t t t c（u v ) 2 p x y y
2
p ~ O( ) y
p ~ O(1) x
表明：边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边 界层内法向的压力梯度极小。 边界层内任一截面压力与 y 无关而等于主流压力
du dp 由上式： u dx dx
故：紊流换热比层流换热强！ 与 t 的关系：分别反映流体分子和流体微团的动量 和热量扩散的深度 Pr 1 3 (层流、 0.6 Pr 50)
t
三、边界层换热微分方程组 边界层概念的引入可使换热微分方程组得以简化 数量级分析：比较方程中各量或各项的量级的相对大 小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项， 方程大大简化 5个基本量的数量级： 主流速度： u ~ O(1); 温度： t ~ O(1); 壁面特征长度：l ~ O(1); 边界层厚度：