中考复习平行四边形的证明题专题训练

又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，
∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四边形BEDF是平行四边形．
9、解答：证明：∵E是AC的中点，∴EC= AC，
又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四边形．
7、解答：证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．
8、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
平行四边形的证明题
一．解答题（共30小题）
1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状．
2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．
又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，
∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．
13、解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．
在△ABC中，EG= BC；在△DBC中，HF= BC，
又∵D是EC的中点，∴DF=CD=DE=2，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴FC=DF=2．
故答案为：2．
19、解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，
∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），
∴EG=HF．
同理EH=GF．
∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．
14、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥QC，AP∥NC．
又∵MN∥AC，∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．
∴AC=MQ AC=NP．∴MQ=NP．
15、解答：证明：如答图所示，
（1）求证：AF=CE；
（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2
（1）求证：D是EC中点；
（2）求FC的长．
18题图 （19题图）
此时，BP=DQ=4，CQ=12∴
∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）= ；
（3）①当点P在线段AB上时，即 时，如图
∴ ．
②当点P在线段BC上时，即 时，如图
BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t∴
化简得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜，所以方程无实数解．
③当点P在线段CD上时，
求证：四边形AECF是平行四边形．
8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
9．如图所示，DB∥AC，且DB= AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．
10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
（2）四边形MENF是平行四边形．
证明：有（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，
∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，
∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，
∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．
2、解答：证明：∵四边形AECF是平行四边形
5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．
6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．
1、解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），∴BE=DF；
19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
证明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，
∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CD AE．
6、解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，
又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB
又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF
又∵BA=DA，∴DA=EF
故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
26、解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M，
根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM= =6，∴CD=16；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，
点P在AB上，点Q在DC上，如图，
由题知：BP=10﹣3t，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2
12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．
13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．
求证：EF和GH互相平分．
15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，∴OA=OC，OB=OD．
∵G，H分别为OA，OC的中点，∴OG= OA，OH= OC，∴OG=OH．
又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．
在△OEB和△OFD中，
∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，
∴△OEB≌△OFD，
∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．
（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，
∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．
4、解答：证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．
5、解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．
16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）
(17题图)
17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．
证明如下：
在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）
∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA
∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC
又∵AC=AF∴DE=AF
在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF
∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE
∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF
16、解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
17、∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．
又∵AG=CH，∴BG=DH．
又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，
∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．
（2）解：仍成立．（证法同上）
而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，
∴矩形AFCE是正方形．