现代谱估计习题解答
现代谱估计-有理谱估计
，随 SNR 的下降而降低，增大阶次会增加分辨率，
但可能出现伪峰且方差增大。
3、滑动平均谱估计
3.1 引言
MA 模型隐含了 k q 的自相关函数 rx k 0 ；可以直接得自相关函数可靠 估计，而不需要 MA 模型参数，得到功率谱估计。与 BT 法的区别：BT 法适用 于任何平稳过程、MA 谱估计仅适用于有限阶 MA 模型；BT 法中自相关函数最 大延迟人为确定，MA 谱估计中模型阶次决定最大延迟；BT 不保证谱的非负性， 而 MA 谱估计非负。 MA 模型适合表示无尖峰有深谷的谱，因此不是高分辨率估计。
自相关函数矩阵 Rx p 同时是 Hermition 矩阵和 Toeplitz 矩阵。
2.2.2 AR 过程的线性预测
2.2.2.1 平稳随机过程的线性预测 平稳随机过程的波形估计 最小均方误差准则，线性估计，Wiener-Hopf 方程，正交原理 滤波、预测、平滑 线性最优预测，m 阶一步前向线性预测，m 阶一步后向线性预测，及它们之 间的关系（系数成共轭关系，最小预测误差功率相等） 最优前向预测误差滤波器的最小相位特性 线性最优预测的按阶次递推关系——Levinson 算法 最小均方预测误差的性质（正交性，递推性）及格型结构实现 反射系数的物理含义（前向预测误差和后向预测误差之间相关系数的负值） 2.2.2.2 AR 过程最优线性预测的特殊性质 AR 过程可由求解线性预测系数来实现 若已知自相关函数，可由 Levinson 递推算法得到 AR 参数 AR 过程可用自相关函数、AR 参数和反射系数三组参数等价表示
1.4 经典谱估计和现代谱估计
经典谱估计中，都隐含了这样一个假设：对于未得到的样本数据或未估计出 的自相关函数，认为是零。但实际上这些值并不一定为零，正是由于这种不合理 假设使得经典谱估计较低的分辨率和较大的失真。现代谱估计，对于未得到的样 本数据或未估计出的自相关函数，并不是简单地作零处理，而是认为与得到的样 本数据服从同一模型，估计质量取决于参数估计质量和模型的准确性。 。这是现 代谱估计与经典谱估计最主要的区别。
作业——现代谱估计法
现代谱估计法（殷恒刚 107010254）1. 现代谱估计简介经典谱估计法可以利用FFT 计算，因而有计算效率高的优点，在谱分辨力要求不是太高的地方常用这种方法。
但频率分辨率地是经典谱估计的一个无法回避的缺点。
如周期图法在计算中把观测到的有限长的N 个数据以外的数据认为是零，而BT 法仅利用N 个有限的观测数据作自相关函数估计，实质上也就是假设除已知数据外的自相关函数全为零，这些显然都是与事实不符的。
为了克服以上缺点，人们提出了平均，加窗平滑等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能。
但是，经典谱估计，始终无法解决，频率分辨率与谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录长度比较短时，这一矛盾尤其突出。
现代谱估计理论也就是在这种背景下产生的，以1967年Burg 提出的最大熵谱分析法为代表的现代谱估计法，不认为在观察到的N 个数据以外的数据全为零。
因此克服了经典法的这个缺点，提高了谱估计的分辨率。
后来发现线性预测自回归模型法(简称AR 模型法)与Burg 的最大熵谱分析法是等价的，它们都可归结为通过Yule-Walker 方程求解自回归模型的系数问题。
目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：①为Levinson 递推算法；②为Burg 递推算法；③为正反向线性预测最小二乘算法。
2.现代谱估计的三种模型由信号与系统相关知识可知，任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白噪声激励一物理网络所形成。
如图一所示。
我们可以先假设一个模型，然后根据已记录数据估计参数值，这样就不用假设N 以外的所有数据全为零，这就克服了经典谱估计的缺点。
图1一个系统的Z 域传递函数的一般形式如下：00()()ba n jjj n i ii bzY z X z a z-=-==∑∑ (1.1)参数建模的任务也就是如何确定阶数a n 和b n 以及系统数组(1,,)i a a i n = 和(1,,)j b b i n = 。
现代数字信号处理1-6章习题答案
第一章），（服从正态分布，即之间的唯一性定理知：由特征函数与分布函数）（）（）（）（）（）（的特征函数则），，，（此外，）（的特征函数为：）（）（）（）（）。
概率密度函数为：，（服从正态分布，即、证明：∑∑∑∑∑∑∑=-=-===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-x T x x T T T x x TT T T T xT x N xT T x X xT x x xNx x B B B m N X B B B B m j B B B m j B f f t t t t t t t m j t f X m X m X x p m N X X~]21exp[]21exp[]21exp[21exp 21~1211212ξξμμμμμμμμξπξ[]相互独立。
与）（）（）（）（），（的联合概率密度函数为，），（的协方差为，的协方差为设、证明：Y X Y p X p Y Y X X Y X R Y X R Y X p Y X Y X E R Y X Cov Y X T X T X Y X M N T XY TXY M N Y XY X T YXNN NN∴=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===∑∑∑∑∑∑∑∑++⨯⨯2121exp 2121exp 2100][221212212ππ 。
且，则，，则要使））（（则，为常量。
，其中设、证明：∑==-==∴====+-=----==+=x Tx x xx ee x T ee TTx x xx T x x ee T x x x Cov m m R R m xa a a aa R aa m m R a m x a m x E R ee E a a m x),(ˆ00min ][][ˆ3φ∆=-=--T Hy)-)(E[( )]ˆ(ˆ[:6.1x Hy x x x x x E T）（、解][2][][T T T yy HE yx E xy E dHd +--=φ为随机误差。
现代波谱分析化学第三次作业教程文件
现代波谱分析化学第三次作业1.将下列两组化合物按λmax大小顺序排列，并说明理由（只考虑π→π*跃迁）(A) c>b>a。
没有共轭的孤立双键在激发时，所需能量大于共轭双健所需能量；共轭体系越大，激发所需能量越小。
(B) b>a>c。
有共轭体系的，激发能量小于无共轭体系的，1，2-不饱和醛酮的激发，其能量高于激发存在延长共轭双键时所需能量。
2.乙烷、甲醚和环戊烯的λmax分别为135、185和190nm，它们各由何跃迁引起的？3.指出下列异构体所对映的紫外光谱数据：λmax：244 εmax：16000（ B ）；λmax：275 εmax：16（ A）。
4.紫外吸收光谱谱图又称紫外吸收曲线，是以波长为横坐标；以吸光度为纵坐标。
5.红外光谱定性分析的基本依据是什么?简要叙述红外定性分析的过程。
答：依据峰的形状以及出峰位置（波数）来定性。
大致过程：1、首先按照各大峰区，找到各个出峰位置，并确定峰的形状；2、对各个吸收峰进行定性，确定可能存在的结构；3、确定可能的连接方式，在与标准谱图对照。
6.试分别计算乙炔和苯分子自由度总数及振动自由度数目。
乙烯：总自由度：3×4=12；振动自由度：12-5=7；苯：总自由度：3×12=36；振动自由度：36-5=31。
7.某液体化合物分子式C5H10，试根据其红外光谱图，推测其结构。
（1）不饱和度U=5-10/2+1=1，可能存在C=C或环（U=1）。
（2）谱峰归属1 3077cm-1双键=C-H伸缩振动，可能是烯烃2 2970 cm-1～2883 cm-1CH3或CH2的C-H伸缩振动3 1651 cm-1C=C伸缩振动4 1466 cm-1CH3的C-H不对称伸缩振动或CH2的剪式振动5 1377 cm-1CH3的C-H对称变形缩振动6 887 cm-1末端烯烃，同碳二取代C-H变形振动特征吸收峰（3）可能结构8.化合物C6H12，根据如下IR谱图确定结构，并说明依据。
第三章第四章 谱估计习题解答
k −1
* * = x(n − k ) + ∑ a k −1 (l ) x ( n − k + l ) + a k ( k )[ x ( n ) + ∑ a k −1 ( k − l )x ( n − k + l )] l =1 l =1
k −1
k −1
b * = ek −1 ( n − 1) + a k ( k )[ x ( n ) + ∑ a k −1 (l ) x ( n − l )] l =1
k =1 p 2 − j 2πfk
由上可知前向和后向 AR 过程具有相同的 PSD。
3.35
序列 x ( n) 用下式来产生
x(n) = x1 (n) + x 2 (n) + 0.5u (n)
其中
x1 (n) = 0.4 x1 (n − 1) − 0.93x1 (n − 2) + u1 (n) x2 (n) = −0.5 x 2 (n − 1) − 0.93x2 (n − 2) + u 2 (n)
k −1
k −1
（2）
后向预测误差定义
b * ek ( n) = x( n − k ) + ∑ a k (l ) x ( n − k + l ) l =1 k
（3）
则由（2）式得
* ekf (n) = ekf−1 (n) + a k (k )[∑ a k −1 ( k − l ) x ( n − l ) + x ( n − k )] l =1 k −1
第三章
习 题
3.1 试由信号序列 x n 的 AR 模型推导出尤利沃克（Yule-Walker）方程。 解： AR（p）模型为
第三章 谱估计部分习题解答
=
(1 − (1)2 ) × 0.36 9
=
16 45
=
0.3556 ，
σ 2 = ρˆ 2 = 0.3556
一阶和二阶反射系数分别为
kˆ1 = aˆ1 (1) = −0.8 ， kˆ2 = aˆ2 (2) = 0.1111
由格型滤波器的关系式
ekf (n) = ekf−1 (n) + kk ekb−1 (n − 1)
3×
2
+
4×
3
+
5×
4)
=
10
rˆxx (2)
=
5
1 −
2
(3×1 +
4×
2
+
5 × 3)
=
26 3
=
8.6667
rˆxx
(3)
=
5
1 −
3
(4 ×1+
5×
2)
=
7
rˆxx
(4)
=
5
1 −
4
(5 ×1)
=
5
（1）根据列文森—德宾递推公式，可得
aˆ1 (1) = −rˆxx (1) / rˆxx (0) = −10 /11 = −0.9091
(1)
2
+
eˆ0b (0)
2
)
+ ( eˆ0f
(2)
2
+
eˆ0b (1)
2
)
+
( eˆ0f
(3)
2
+
eˆ0b (2)
2
)
+
( eˆ0f
(4)
2
+
作业——现代谱估计法
现代谱估计法（殷恒刚 107010254）1. 现代谱估计简介经典谱估计法可以利用FFT 计算，因而有计算效率高的优点，在谱分辨力要求不是太高的地方常用这种方法。
但频率分辨率地是经典谱估计的一个无法回避的缺点。
如周期图法在计算中把观测到的有限长的N 个数据以外的数据认为是零，而BT 法仅利用N 个有限的观测数据作自相关函数估计，实质上也就是假设除已知数据外的自相关函数全为零，这些显然都是与事实不符的。
为了克服以上缺点，人们提出了平均，加窗平滑等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能。
但是，经典谱估计，始终无法解决，频率分辨率与谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录长度比较短时，这一矛盾尤其突出。
现代谱估计理论也就是在这种背景下产生的，以1967年Burg 提出的最大熵谱分析法为代表的现代谱估计法，不认为在观察到的N 个数据以外的数据全为零。
因此克服了经典法的这个缺点，提高了谱估计的分辨率。
后来发现线性预测自回归模型法(简称AR 模型法)与Burg 的最大熵谱分析法是等价的，它们都可归结为通过Yule-Walker 方程求解自回归模型的系数问题。
目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：①为Levinson 递推算法；②为Burg 递推算法；③为正反向线性预测最小二乘算法。
2.现代谱估计的三种模型由信号与系统相关知识可知，任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白噪声激励一物理网络所形成。
如图一所示。
我们可以先假设一个模型，然后根据已记录数据估计参数值，这样就不用假设N 以外的所有数据全为零，这就克服了经典谱估计的缺点。
图1一个系统的Z 域传递函数的一般形式如下：00()()ba n jjj n i ii bzY z X z a z-=-==∑∑ (1.1)参数建模的任务也就是如何确定阶数a n 和b n 以及系统数组(1,,)i a a i n = 和(1,,)j b b i n = 。
现代信号处理复习题
精心整理1、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得到采样信号ˆ()a xt 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω； （2）写出()a x t 和()x n 的表达式；（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。
解：（1）0()()2cos()j t j ta a X j x t e dt t e dt∞∞-Ω-Ω-∞-∞∞Ω==Ω⎰⎰ ()a X j Ω=（2）ˆ((a xt x n 2参数：（1（2（3（4解：（1（2）（3）（4提高138KHZ 采样，对采到的2N 个样点做2N 点DFT 。
问：他的目的能达到吗？ 答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。
提高采样频率s f ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率π2总是对应模拟频率s f 。
采样频率由s f 到2sf 增加一倍，N 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔Hz NfN f s s 10022==一点也没有变。
所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率222(NN ππ→，不能提高模拟频率的分辨率。
4、在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？解：在D A /变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。
精心整理在A D /变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。
5、已知10,)1)(1(1)(12<<---=-a az az a z H ，分析其因果性和稳定性。
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数
1.一随机信号x(t
)
的观测值为
x(1),
x(2),...
。若x
(k
)和
s
2 k
分别
是利用k个观测数据 x(1),...,x(k )得到的样本均值和样本方
字 差： 信
xk
1 k
k i 1
x(i)
号 处 理
sk2
1 k
k
[x(i) xk ]2
i 1
假定有了一个新的观测值x(k+1)，我们希望用x(k+1),xk
25.316
6
• 电气工程工程硕士课程
数
根据所求量的AR(3)参量
字
a3,1 0.80285 , a3,2 0.04301 , a3,3 0.093702
信
可求得预测值
号 处
3
xˆ4 a3,i x4i (a3,1x3 a3,2 x2a3,3 x1) i 1
号
(2)运算的非线性性质 (3)对信噪比值非常敏感
处
(4)解决了旁瓣泄露问题
理
最大熵谱估计的突出特点在于其频率分辨率高，对
于确定频率成分的相对强度，可将最大熵谱分析与
Fourier方法配合使用。首先用最大熵谱估计来识
别重要的频率成分，然后仅在那些频率上实现DFT，
以便估计它的强度和相位。
9
• 电气工程工程硕士课程
信 号
1 2
2
exp
N i 1
( yi
s)2
/(2 2 )
处
由此，得似然函数
理
L ln f ( y1,..., yN | s, 2 ) ln
1 2
2
N i 1
( yi s)2 2 2
N 2
ln(2
2)
N i 1
k [x(k 1
1)
xk
]2
sk2
3
• 电气工程工程硕士课程
2.通过序列补零可否改善周期图法功率谱估计分辨率？
数
字 答：传统谱估计的致命弱点是频率分辨率的限制。
信
补零只能使谱线增密，可以对不补零的谱起到插
号
值作用，克服“栅栏”效应，使其离散谱线的包
处
络逐渐接近连续频率的周期图，对离散谱线的模
(x k xk1)2
k
2 1 (xk
xk 1 )[x(k
1)
xk
]
号 处 理
将 xk 1 表达式代入上式，消去 xk 1 得到
s2 k 1
k
k 1
sk2
(k
k 1) 2
[x(k
1)
xk
]2
整理后，即得样本方差的更新公式为
s2 k 1
sk2
k
1 1
k
( yi 2
s)2
2
N 2
ln(2
)
N 2
ln
2
N i 1
( yi 2
s)2
2
10
• 电气工程工程硕士课程
信号s和噪声方差 2的最大似然估计分别由
数 字
L N yi s2 0
s i1
给出，解之，得到
L
2
N 2
1 2
N i 1
yi s2
2 2
0
信 号
sˆML
1 N
N i 1
yi
Y
(1)
ˆ
2 ML
1 N
N i 1
yi Y
2
(2)
处
即信号s的最大似然估计等于接收信号的样本均值Y ，而
理
噪声方差的最大似然估计由式(2)给出。
11
• 电气工程工程硕士课程
数
7.简述Prony算法的缺点。
2
• 电气工程工程硕士课程
s 2 k 1
1 k 1
k 1
[x(i)
i 1
xk 1]2
数 字
k
1 1
k i 1
([ x(i)
xk
] [xk
xk 1]) 2
k
1 [x(k 1
1)
xk 1]2
信
k
k
1
sk2
k
1 [x(k 1
1)
xk
]2
N 3
2
rxx(2) xk2 xk xk2 xk 26
k 0
k 0
N 4
1
rxx (3) xk3xk xk3xk 14
k 0
k 0
5
• 电气工程工程硕士课程
然后利用莱文森-德宾法求其AR参量{
a3,1,
a3,2
,
a3,3
,
2 3
}
a1,1 rxx(1) / rxx(0) 40 / 50 0.72727
理
(0.80285 4 0.043013 0.093702 2)
2.895
7
• 电气工程工程硕士课程
4.简单介绍目前AR谱估计存在哪些问题？
数 答：目前AR谱估计还存在一些问题，主要有以下三点：
字
(1)谱线分裂，即在谱估计中应该存在一个谱线的地
信
方出现了两个紧挨着的谱峰； (2)谱峰频率偏移，即估计的谱峰位置偏离了真实谱
号
2 2
(1ຫໍສະໝຸດ a2,22)
2 1
(1
0.119292 ) 25.909
25.5403
处
a3,3
[rxx (3)
a2,1rxx (2)
a2,2r0
xx
(1)]
/
2 2
理
[14 0.81403 26 0.11929 4]/ 25.5403 0.093702
字 答： Prony算法的主要缺点是：
信
(1)必须正确估计模型的阶数p，而实际中如何正确
号
选择p是比较困难的；
处
(2)对噪声比较灵敏，不宜在低信噪比下使用；
理
(3)需要求解特征多项式的系数和它的根，计算比较 麻烦。
12
数
2 1
(1
a1,1
2
)rxx (0)
(1
0.727272 ) 55
25.909
字
a2,2 [rxx(2) a1,1rxx(1)]/12 [26 0.7272740]/ 25.909 0.11929
信
a2,1 a1,1 a2,212 0.72727 0.119290.72727 0.81403
1)
号 处
k k 1
xk
1 1 k
x(k
1)
理
类似的，由样本方差的估计公式，得
s 2 k 1
1 k 1
k 1
[ x(i)
i 1
xk 1]2
k
1 1
k i 1
([ x(i)
xk
] [xk
xk 1]) 2
k
1 [x(k 1
1)
xk 1]2
解：先由给定的数据记录计算自相关函数，由相关函数定
信 号
义 x3(n) x1(m)x2 (n m) 得 m
N 1
4
处
rxx(0) xk2 xk2 55
k 0
k 0
理
N 2
3
rxx (1) xk1xk xk1xk 40
k 0
k 0
理
糊不定性有所改善。但补零并没有改善窗函数的 宽度，因此在Fourier变换之前给数据补零是不
能改善谱估计的分辨率的。
4
• 电气工程工程硕士课程
3.设N=5的数据记录为 x0 1 ，x1 2 ，x2 3，x3 4 ，x4 5
数 字
AR模型的阶数P=3，试用相关函数法确定AR参量及 x4的预 测值 xˆ4
6.一接收信号由 y(n) s v(n),n 1,2,...,N 描述，其中v(n)为
一高斯随机噪声，它具有零均值和未知方差 2 ，并且相
数
互统计独立，求信号s和噪声方差的最大似然估计。
字 解： 首先，有 f ( y1,..., yN | s, 2 ) f ( y1 | s, 2 ) f ( yN | s, 2 )
和
s
2 k
求 xk 1 和sˆk21的估计值。这样的估计公式称为更新公式，试求
样本均值 xk 1 和样本方差sk21的更新公式。
1
• 电气工程工程硕士课程
解： 由题给的样本均值定义式可知
数
xk 1
1 k 1
k 1 i 1
x(i)
字
信
k
1 1
k i1
x(i)
x(k
号
峰；
处
(3)有观测噪声时分辨率下降，即附加观测噪声使估
理
计的谱峰加宽，变得平滑，并偏离真实谱峰。
为了解决这些问题，人们也进行了很多理论与实际的
研究，取得了不少的进展。