第12章 black-scholes公式
Black-Scholes方程
Black-Scholes 方程：2222102σ∂∂∂++-=∂∂∂V V V SrSrV tSS这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes 偏微分方程。
它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。
欧式看涨期权的终边值条件分别为{}(,)max 0,=-T V S T S K ，00(,) →⎧=⎨→∞⎩S V S T S S通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解析解：()12(,)()()--=-r T t V S t SN d K eN d其中：22()--∞=⎰xd N d edx，21=d21σ=-d d ，T为期权的执行日期，K 为期权的执行价格。
基于Black-Scholes 期权定价模型，在其他条件不变的前提下考虑有交易成本的期权定价。
交易费用可看作是投资者因买卖股票产生的直接费用，一般由股票多头支付，并通常以交易成本额的固定比例M 来表示。
若股票头寸发生变化了ω份额的变化，即购买(0)ω>或出售(0)ω<价值为ωS的股票头寸，则产生的交易成本为ωM S 。
δπδδ=-∆V S222212μσδσδμδσδω⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+++-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭V V V V V V S S t S Z S t S t M S S S t S S S222212σδω⎛⎫∂∂=+- ⎪∂∂⎝⎭V V S t M S S t 在时刻t 标的股票价格为S 时，资产为(),∂∆=∂V S t S，经过时间δt ，资产为(),δδ∂∆=++∂V S S t t S，由套期保值策略产生的交易份额ω为()(),,ωδδ∂∂=++-∂∂V V S S t t S t SS因为时间和标的股票改变都很小，利用泰勒定理，将上式第一项展开()()()()222,,,,ωδδδδ∂∂∂∂=++-=++∂∂∂∂∂ V V V V S S t t S t SS t tS t SSSS t结合18式 看到了18页。
Black-Scholes公式的推导及其求解 -复制方法
后利用 Poisson 公式求出 Black-Scholes 偏微分方程的解。
首先作如下换元： τ= T − t ，由此变换公式，推得 ∂C = ∂C ⋅ ∂τ = − ∂C ，这 ∂t ∂τ ∂t ∂τ
样原偏微分方程就变为：
−
∂C ∂τ
+
rS
∂C ∂S
+
1σ 2
2S 2
∂2C ∂S 2
−
rC
−
(ξ
−
(
v
+σ
2u
))2 −2 2σ 2u
vσ
2u
−σ
4u
2
−
(
v−ξ )2 2σ 2u
2 v ln K
这就是 Black-Scholes 偏微分方程的解。
令v
=
ln
ST
，
z
=
v −ξ σu
，于是有：
= V (u, v)
1 +∞
v+σ 2u−z2
∫ e ln K −v−σ 2u
2π σ u
2 dz −
∞
( r− 1σ 2 )T +σ
(
−∞
S0e
2
Tz − K)+ ⋅
1
− 1 z2
e 2 dz
2π
∫ S e − K ) ⋅ = e ( −rT ∞ 1 (ln K −( r− 1σ 2 )T )
( r− 1σ 2 )T +σ T z 2
0
σ π S0
2
1
− 1 z2
e 2 dz
2π
= J1 − J2
∂g ∂S
=
e−rtCS (t, S ) ；
black-scholes 是扩散方程
Black-Scholes公式（Black-Scholes formula），又称作Black-Scholes-Merton模型（Black-Scholes-Merton model），是金融学中用来定价欧洲期权的一种数学公式。
这个公式最早由美国学者Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出，后来又在同年由罗伯特·默顿（Robert C. Merton）进行了推广和完善。
Black-Scholes公式是金融工程学和衍生品定价中最重要的工具之一，它在实践中被广泛应用于期权定价和风险管理领域。
Black-Scholes公式的提出，受到了数学随机过程理论的启发，特别是布朗运动（Brownian motion）这一随机过程。
布朗运动是以物理学家罗伯特·布朗的名字命名的，它描述了在大量而无规律的微观粒子碰撞的作用下，在短时期内的无序运动状态。
作为一种连续时间、连续状态空间的随机过程，布朗运动很好地刻画了金融市场中资产价格的随机波动特性，因此成为了Black-Scholes公式构建的基石之一。
Black-Scholes公式的数学表达式如下：1. C(S, t) = S*N(d1) - X*e^(-r*(T-t))*N(d2)2. d1 = [ln(S/X) + (r+0.5*σ²)*(T-t)] / (σ*sqrt(T-t))3. d2 = d1 - σ*sqrt(T-t)4. N()是正态分布的分布函数，S表示标的资产当前的价格，X表示期权的执行价格，T表示期权的到期时间，t表示当前时间，r表示无风险利率，σ表示标的资产的波动率，C(S, t)表示期权在当前时间的价格。
在这个公式中，C表示欧式期权的价格，它被分为了两个部分：第一部分S*N(d1)表示买入标的资产的价格，第二部分X*e^(-r*(T-t))*N(d2)表示无风险债券的价格。
这个公式的核心思想是建立一个投资组合，包含买入标的资产和债券，使得在所有可能的市场情形下都能获得相同的回报。
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
Black—Scholes微分方程
Black—Scholes 微分方程
2011-6-16
1
一、 Black—Scholes微分方程 微分方程
B-S微分方程所需的假设条件： 微分方程所需的假设条件
1、证券价格遵循几何布朗运动，且期望收益率μ和 、证券价格遵循几何布朗运动，且期望收益率μ 波动率σ为常数 波动率 为常数 2、允许卖空标的资产 、 3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 、没有交易费用和税收， 4、在衍生证券的有效期内没有红利支付 、 5、不存在无风险套利机会 、 6、证券交易是连续的，价格变动是连续的 、证券交易是连续的， 7、在衍生证券的有效期内，无风险利率 为常数。 为常数。 、在衍生证券的有效期内，无风险利率r为常数
2011-6-16
7
例1、考虑一种期权还有六个月的有效期，股票的现价为 元， 、考虑一种期权还有六个月的有效期，股票的现价为42元 期权的执行价格为40元 无风险利率为10%，波动率为每年 期权的执行价格为 元，无风险利率为 ， 20%，试确定该欧式期权的价格。 ，试确定该欧式期权的价格。 解
S = 42, X = 40, r = 0.10, σ = 0.20, T − t = 0.5
2011-6-16
2
由假设知证券价格S遵循几何布朗运动， 由假设知证券价格 遵循几何布朗运动，即 dS = uSdt + σSdz 遵循几何布朗运动 离散化， 离散化，得 ( 5) ∆S = uS∆t + σS∆z 是依赖于S的衍生证券的价格 的衍生证券的价格， 必定是S和 的函数， 设f 是依赖于 的衍生证券的价格，则f 必定是 和t 的函数，由 ItÔ引理，得 引理， ∂f ∂f 1 ∂ 2 f ∂f
可参看《金融数学》 对（10）式进行计算（即求积过程）得（可参看《金融数学》 ）式进行计算（即求积过程） Joseph Stampfli P86） ）
Black-Scholes公式
其中
rt 2t / 2 ln( K / S (0)) t
是标准正态分布函数。 下面我们简单证明一下Black-Scholes公式。
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Black-Scholes公式的证明
为表述简洁，s表示标的证券的初始价格，该证券价格的 演变过程服从波动率σ的几何布朗运动，r表示利率； C(s,t,K,σ,r)表示执行价格为K，到期日为t的看涨期权的 价格，则我们要证明
P( s, t , K , , r ) C ( s, t , K , , r ) Ke rt s
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Black-Scholes公式的应用
t /n
倍，要么以概率1-p下跌为原来的 e
t /n
倍。
当 n 时，这个风险中度分布收敛到一个漂移参数为 r-σ2/2，波动参数为σ的几何布朗运动。 根据套利定理，期权需根据风险中度几何布朗运动的概 分布来定价才能使赌博公平，不然就会存在套利的机
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2
2
E[ S (t )] e
t (
)
S (0)
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几何布朗运动
用Δ表示一个小的时间增量，并假定，在每个Δ时间单 内，证券的价格或者以概率p增长u倍，或者以概率（1p）下跌d倍，其中
u e
, d e
,
1 p (1 ) 2
2
2
E (Y ) e
Var (Y ) e
2 2 2
e
2 2
e
2 2
(e 1)
Black-Scholes公式
倍，要么以概率1-p下跌为原来的 e
t /n
倍。
当 n 时，这个风险中度分布收敛到一个漂移参数为 r-σ2/2，波动参数为σ的几何布朗运动。 根据套利定理，期权需根据风险中度几何布朗运动的概 分布来定价才能使赌博公平，不然就会存在套利的机
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其中W是一个均值为(r-σ2/2) t ，方差为tσ2的正态随机 变量。
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Black-Scholes公式
上述的期权公式用下面的具体形式表示出来即为著名的 Black-Scholes期权定价公式：
C S (0) ( ) Ke rt ( t )
2
1 2 s exp{( r / 2)t} exp{( x 2 2 t x) / 2}dx c 2
1 rt se exp{( x t ) 2 / 2}dx c 2
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Black-Scholes公式的证明
1 rt se exp{( x t ) 2 / 2}dx c 2
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Black-Scholes公式
由于{S(y)，0 ≤y≤t}服从漂移参数为μ、波动参数为σ 的几何布朗运动，作为该模型的n阶近似，我们可以假设 每过t/n个单位时间，证券的价格就会变化一次； 它的新价格或者等于旧价格乘以因子
ue
t/n
1 t / n) , 概率为p (1 2
2
2
E[ S (t )] e
t (
)
S (0)
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几何布朗运动
Black-Scholes期权定价模型解析
欧式期货期权的定价公式
• 对于欧式期货期权，其定价公式为：
c er(T t)[FN (d1) XN (d2 )] （3） p er(T t)[ XN (d2 ) FN (d1)] （4）
• 其中：
d1
ln( F
/
X)
2
T
2(T t
t)
d2
ln( F
/
X)
2 2(T
T t
t)
d1
T t
• 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系， 可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ：
p Xer(T t) N (d2 ) SN (d1)
（2）
• 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平 价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差 分三种数值方法以及解析近似方法求出。
三、有收益资产的期权定价公式
Black-Scholes期权定价模型
一、Black-Scholes模型的假设
• （一）定价模型中涉及的贴现率为无风险利率， 即该模型适用风险中性原理
• （二）标的资产价格变化服从几何布朗运动（标 的资产价格变化服从几何布朗运动(对数正态分布)
• （三）标的资产价格变化具有固定的飘逸率μ （预期年收益率）和波动率σ（标准差）
liuhong393126com一blackscholes模型的假设一定价模型中涉及的贴现率为无风险利率即该模型适用风险中性原理二标的资产价格变化服从几何布朗运动标的资产价格变化服从几何布朗运动对数正态分布三标的资产价格变化具有固定的飘逸率预期年收益率和波动率标准差六所有交易都是在无摩擦的市场中即不考虑任何交易成本和其他费用资料仅供参考lntt为期权的剩余期限r为无风险利率x为期权的行权价格为标的资产价格波动率s为标的资产价格
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black–Scholes 公式的推导
由此可解得
（3）我们只假定“未来”可能有两种情况，但并未 规定对这两种情况的可能性（概率）各有多大。每 个投资者都可根据自己所掌握的信息对这两种可能 作出自己的估计（即所谓主观概率）。但是在进一 步的无套利假设下，就要导得a与b中必然有一个 大于1，另一个小于1，即股市的两种情况只能是 一涨一跌。否则在都上涨时，投资者可通过“当前” 买进，“未来”卖出，稳能得利。当然，我们这里 同样还要假定投资者总有一定的资金可支配，并且 股市允许“卖空”，即允许卖出你并不拥有的股票， 只要你能在“未来”交割时，有资金到市场去把股 票买回。这里的进一步的无套利假设是指：“当前” 与“未来”的货币价值一样时，不存在未来价值总 高于当前价值的证券组合。
Black–Scholes 公式的推导 一、基本概念
无套利假设：无套利假设类似于普通商品定价问题 中的“无投入就无产出”假设。由于在 金融市场中最后都会以钱来结算所以 投入和产出都将是钱。所谓无套利假 设就是“在一个完善的金融市场中,不 存在套利机会” 。 （这就是现代理论金融经济学中的一 条“公理”。这条“公理”显然只在非 常理想的市场条件。）
期
权：以某一固定的执行价格在一定的期限 内买入某种股票的权利。行期可以是到期前的任何时候 的期权。
无套利假设怎样用来 给金融资产定价
二、数学模型
期权在它被执行时的价格很清楚，即:如果股 票的市价高于期权规定的执行价格，那么期权的 价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价 低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的， 其价格为零。不过，如果股票在未来到期时的价 格从当前来看时是不确定的时，期权到期执行时 的价格也是不确定的。现在要问期权在其被执行 前应该怎样定价？为此，我们来考虑一个最简单 的股市数学模型。这个模型中一共只有“当前” 与“未来”两个时刻，并且“未来”时刻就是期 权的执行时刻。
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谢婷婷Βιβλιοθήκη 第12章 black-scholes公式
2
B-S-M模型番外
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black&Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期 权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年； Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。 1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两 位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定 价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包 括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种 以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
d 2 d1
N . 是标准正态分布的累积概率分布函
数，查表得
石河子大学商学院 谢婷婷 第12章 black-scholes公式 13
例子p226
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第12章 black-scholes公式
14
13.5
计算基于无红利支付股票的欧式看跌期权价格，其中执行价 格为＄50，现价为＄50，有效期3个月期，无风险年收益率 为10%，波动率为每年30%。 若在两个月后预期支付的红 利为＄1.50
金融太多，经济学太少
他们于是向经济学与统计学评论（RES）投稿，同 样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编 辑打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
石河子大学商学院 谢婷婷 第12章 black-scholes公式 6
第12章
black-scholes公式
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xiettcom@
2015年11月
南方科技大学创校校长 ——朱清时
钱学森之问 岳麓实践论 中国科学院教师博导，化学家 ，院士，喜欢古学，故宫博 物院 成功是要把这些学生教好，让他们得到最好的教育，一流的 教育，受到全社会的欢迎，我们才算成功了 知识少的人也可能能力很强，知识多的人也未必能力一定强 能力是什么呢，最主要是理解力和接受能力
9
Black-Scholes 公式
c SN d1 Xe r N d 2
p Xe r N d 2 SN d1
式中，
d1 lnS / X r
2
2
d 2 d1
N . 是标准正态分布的累积概率分布函
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第12章 black-scholes公式
20
实验 软件的使用 北大实验 数据的收集，整理分享 一些研究报告，学习和积累素养 给些方向和启发！
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第12章 black-scholes公式
21
实验 根据我国现有的权证，计算其理论价格并简单分析 结构。 我国目前没有权证
数，查表得
石河子大学商学院 谢婷婷 第12章 black-scholes公式 10
例子 Pag223
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第12章 black-scholes公式
11
13.4
计算基于无红利支付股票的欧式看跌期权价格，其 中执行价格为＄50，现价为＄50，有效期3个月期， 无风险年收益率为10%，波动率为每年30%。
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考虑红利的B-S模型
c (S I ) N d1 Xer N d2
p Xe r N d 2 SN d1
式中，
d1
ln S I ) / X r
2
2
本章主要内容
Black-scholes公式 波动率 实验
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主要思想 我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的 走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍 生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利 率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一 来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价 格的最根本因素。 因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价 格的变化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们 试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定 价。
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5
欧式期权定价——轶事
巧合的是，国际上第一个期权交易所——芝加哥期 权交易所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S公 式的正式发表（5-6月号） 两位作者最先把论文投给JPE（政治经济学 ），遭 到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的 理由：
实验
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22
和讯行情数据，08-11-17
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23
作业 13.4 13.5
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24
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3
课程之前的思考
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克 (Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个 期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同 样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果， 两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱 克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔 斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使 之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家 科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果 是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
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4
欧式期权定价-轶事
期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前 面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期 权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期 权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在 1973年——金融学家F. Black与M. Scholes发表了 “期权定价与公司负债”的著名论文 该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式—— Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在 估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动 态复制方法成为期权定价研究的经典方法 M. Scholes主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺 了1997年的诺贝尔经济学奖
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8
假设 股票价格遵循正态分布 没有交易成本或税收 没有红利 不存在无风险套利机会 证券交易是连续的 投资者能够以同样的无风险利率借款或贷款 无风险利率R为常数且对所有到期日都相同
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例子P218
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18
13.2 若一股票价格的波动率为每年30%，则在一个交易 日内其相应的价格变化的标准差为多少？
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本章主要内容
Black-scholes公式 波动率 实验
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本章主要内容
Black-scholes公式 波动率 实验
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波动率的计算 指：股票价格的波动率是股票年收益的标准差
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