Black-Scholes模型

在标的资产无收益情况下，由于C＝c， 因此式(10)也给出了无收益资产美式看涨 期权的价值。
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在 平价关系，可以得到无收益资产欧式看 跌期权的定价公式：
p＝Xe-r(T-t) N(—d2)—SN(—d1) (11)
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存 在严密的平价关系，因此美式看跌期权 的定价还没有得到一个精确的解析公式。
一个小时间间隔Δt后必定没有风险。 因此该组合在Δt中的瞬时收益率一定等
于Δt中的无风险收益率。
否则的话，套利者就可以通过套利获得 无风险收益率。
因此，在没有套利机会的条件下：
ΔΠ＝rΠΔt……（6） 把式(3)和(5)代入（6）得:
5、这就是著名的布菜克——舒尔斯微分分程, 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的 定价。
由于0.4148＜1.0元，因此在第二个除权日前有 可能提前执行
然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权 价格。
对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现 值为：
益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券己知收益的现值为I时，我们 只要用(s—I)代替式(10)和(11)中的S即可 求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权 的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的 固定收益率q(单位为年)时，将Se-q(T-t) 代 替式(10)和(11)中的S就可求出支付连续 复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权 的价格。从而使布莱克——舒尔斯的欧 式期权定价公式适用欧式货币期权和股 价指数期权的定价。
: 数，由伊藤引理可得
df
(
f S
S
f t
1 2
2 f S 2
2S
2
)dt
f S
Sdz
在一个小的时间间隔t中，f 的变化值f为:
f
(Sf S
f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
f S
Sz(2)
3、构建无风险组合：
从上面分析看出，(1)和(2)中的Δz相同， 都等于 t 。
因此只要选择适当的衍生证券和标的证 券的组合就可以消除不确定性。
( ft
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
r(
f
f S
S )t
f t
rS
f S
1 2
2S
2
2 f S 2
rf 7
6、注意(1)组合的风险性 当S和t变化时，Sf 的值也会变化，因此上
述投资组合的价值并不是永远无风险的， 它 只 是 在 一 个 很 短 的 时 间 间 隔 Δt 中 才 是 无风险的。
在一个较长时间中，要保持该投资组合 无风险，必须根据于的变化而相应调整 标的证券的数量。
当然，推导布莱克——舒尔斯微分方程 并不要求调整标的证券的数量，因为它 只关心Δt中的变化。
(2)风险中性定价原理
从式(7)可以看出，衍生证券的价值决定 公式中出现的变量为标的证券当前市价 (S)、时间(t)、证券价格的波动率(σ)和无 风险利率，它们全都是客观变量，独立 于主观变量——风险收益偏好。
(一)有收益资产欧式期权的定价公式
在收益己知情况下，我们可以把标的证券价格 分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的 现值部分和一个有风险部分。
当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支 付现金收益而消失，因此，我们只要用S表示 有风险部分的证券价格。
σ表示风险部分遵循随机过程的波动率。 直接套用公式（10）和（11）分别计算出有收
1．证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常 数；
2．允许卖空标的证券； 3．没有交易费用和税收，所有证券都是完全
可分的； 4．在衍生证券有效期内标的证券没有现金收
益支付； 5．不存在无风险套利机会； 6．证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7．在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
d1
ln( S
/
X
)
(r
T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln( S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d1
T t
N(x)为标准正态分布变量的累计概率分 布函数(即这个变量小于x的概率)。
根据标准正态分布函数特性，有：
N(—x)＝1—N(x)。
对B-S公式理解
（1）N(d2)是在风险中性世界中ST大于X 的概率，即是欧式看涨期权被执行的概 率；
第十一章 Black-Scholes模型的 分析
教学目的与要求
理解股票价格对数正态分布的特性。掌 握Black-Scholes微分方程的基本概念和推 导Black-Scholes公式的过程，掌握公式的 性质，并且能够运用该公式进行定价； 掌握风险中性定价的原理和方法。能够 运用期权定价公式对支付红利的股票期 权进行定价。
布莱克和舒尔斯建立一个包括一单位衍生证券 单位标的证券多头的投资组合。
若数量适当，标的证券多头盈利(或亏损)总是 会与衍生证券空头的亏损(或盈利)相抵消，因 此在短时间内该投资组合是无风险的。
在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内 的收益率一定等于无风险利率。
（二）布莱克—舒尔斯微分方程的假设
在大多数情况下，这种近似效果都不错。
例2
假设一种1年期的美式股票看涨期权，标 的股票在5个月和11个月后各有一个除权 日，每个除权日的红利期望值为1.0元， 标的股票当前的市价为50元，期权协议 价格为50元，标的股票波动率为每年30 ％，无风险连续复利年利率为10％，求 该期权的价值。
首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据 前面的结论，美式看涨期权不能提前执行的条 件是：
Di X [1 e r(ti1ti ) ]
在本例中，D1=D2＝1.0元。 第一次除权日前不等式右边为
X[1-e-r(t1-t2)]＝50×(1—e—0.1×0.5)＝2.4385
由于2.4385＞1.0元，因此在第一个除权日前期 权不应当执行.
第二次除权日前不等右边为：
X[1-e-r(T-t2)]＝50×(1—e—0.1×0.0833)＝0.4148
1．美式看涨朔权
当标的资产有收益时，美式看涨期权就 有提前执行的可能，因此有收益资产美 式期权的定价较为复杂。
布莱克提出了一种近似处理方法。
方法： 先确定提前执行美式看涨期权是否合理。 若不合理，则按欧式期权处理； 若在tn提前执行有可能是合理的，则要分
别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨 期权的价格，然后将二者之中的较大者 作为美式期权的价格。
为了消除Δz，我们可以构建一个包括一
单位衍生证券空头和 f 单位标的证券多
头的组合。
S
令Π代表该投资组合的价值，则：
f
f s
S (3)
在t时间后, 该投资组合的价值变化 为：
f f S (4) s
将式(1)和(2)代入(4),可得 :
f t
1 2
2 f S 2
2S2
t (5)
4、无套利定价 由于式(5)中不含有Δz，该组合的价值在
c 1.5000 e N 0.10.5 (d1) 1.5000e0.07.0.5N (d2 )
1.4268N (d1) 1.4484N (d2)
d1
ln(1.5000 e0.10.5
/1.5000) (0.07 0.1 0.5
0.01/
2)
0.5
0.05 0.0375 0.0707
0.1768
e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)＝e-r(T-t) STN(d1)是ST的风险中性期
望值的现值。
（2）Δ＝N(d1)是复制交易策略中股票的 数量，SN(d1)就是股票的市值。
-e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的 价值。
（3）从金融工程的角度来看，欧式看涨 期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 (Asset—or—noting call option)多头和现金 或 无 价 值 看 涨 期 权 (cash—or—nothing option)空头。
假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美 国的无风险连续复利年利率为7％，英国 的无风险连续复利年利率为10％，英镑 汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10 ％，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑 欧式看涨期权价格。
由于英镑会产生无风险收益,现在的1英镑 等于6个月后的e0.1×0.5英镑,而现在的 e0.1×0.5英镑等于6个月后的1英镑，因此可 令S＝1.5000×e-0.1×0.5 ,并代入式（10）可 求出期权价格：
教学重点及难点 一、布莱克——舒尔斯微分方程 (一)布莱克——舒尔斯微分方程的推导 (二)风险中性定价原理 二、布莱克——舒尔斯期权定价公式 三、有收益资产的期权定价公式 (一)有收益资产欧式期权的定价公式 (二)有收益资产美式期权的定价
股票期权定价的Black-Scholes公 式
1973年，布莱克和舒尔斯成功地求解了他们的 微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期 权的精确公式。
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时 (T时刻)的期望值为：
Eˆ[max( ST X ,0)]
其中，E 表示风险中性条件下的期
望值。根据风险中性定价原理，欧 式看涨期权的价格c等于将此期望值 按无风险利率进行贴现后的现值， 即：
而受制于主观的风险收益偏好的标的证 券预期收益率μ并未包括在衍生证券的价 值决定公式中。
这意味着，无论风险收益偏好状态如何， 都不会对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，所有投资者都是 风险中性的。
在所有投资者都是风险中性的条件下， 所有证券的预期收益率都可以等于无风 险利率r，这是因为风险中性的投资者并 不需要额外负担外的收益来吸引他们承 担风险。