抛物线的简单几何性质1 PPT课件
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3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时PPT课件(人教版)
（2）关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)；
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16 的点P，且FP平行于准线.
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 y x 1 ， ①
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1.范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0 x 0
p0
所以抛物线的范围为 x 0
o F ( p ,0) x
2
2.对称性 视察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
作业：课本136页练习1,2,3,4
2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.归纳、对照四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质 2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的准线 .
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16 的点P，且FP平行于准线.
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 y x 1 ， ①
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1.范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0 x 0
p0
所以抛物线的范围为 x 0
o F ( p ,0) x
2
2.对称性 视察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
作业：课本136页练习1,2,3,4
2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.归纳、对照四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质 2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的准线 .
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
抛物线的简单几何性质 课件
对称轴
_x_轴
_y_轴
顶点 性 质 焦点
准线
F(p ,0) ___2___ _x____p2_
_O_(_0_,_0_)_
F( p ,0) ____2____
_x___p2__
F(0, p) _____2__ yp ______2_
F(0, p) ______2__
y p ____2__
离心率
e=_1_
即又yx020y=02p2p(x0,xy∴∴00x)y00=2=21p,xp2+0(x0=-52p),.
p 2
因此直线AB的方程为x=5p .
2
【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如 何? 【解析】根据抛物线的对称性,因为F为△OAB的重心,所以A,B 两点关于x轴对称.又根据重心的性质, ∵|OF|= p,
FA FB
【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什 么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判 断圆心到直线的距离与半径的大小. 2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.
【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
图象
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
范围 _x_≥_0_,_y_∈__R_ _x_≤__0_,_y∈__R_ _x_∈__R_,_y_≥_0_ x_∈__R_,_y_≤__0_
3.3.2第1课时(抛物线的简单几何性质)课件(人教版)
五、课堂小结
1.抛物线的简单几何性质：
图形 y
l
O Fx
方程 焦点 y2=2px F( p ,0) (p>0) 2
准线
x=-p 2
yl FO x
y2=-2px (p>0)
F(-
p 2
,0)
x=p 2ຫໍສະໝຸດ yF x x2=2py F(0,p) y = - p
O
(p>0)
2
2
l
ly
O F
x
x2=-2py (p>0)
四、典型例题
例2 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2, -2 2 )，求它的标准方程.
四、典型例题
顶点在原点，对称轴是坐标轴,并且经过点M(2, -2 2 )的抛物 线有几条?求出这些抛物线的标准方程.
四、典型例题
方法归纳
求抛物线方程,通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程, 求出p值即可. (2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论. (3)焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).
二、探究新知
类比用方程研究对椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你 认为应研究抛物线
y2=2px(p>0) 的哪些几何性质?如何研究这些性质?
三、抛物线的简单几何性质
视察右下图,类比研究椭圆、双曲线范围的方法，发现抛物线 y2=2px(p>0)上点的横坐标、纵坐标的范围是多少？ 你能利用方 程(代数方法)解释它的范围吗？
三、抛物线的简单几何性质
在①同y2=一4x坐标②系y画2=下2x列抛③物y线2=,x视察④开y口2 =大21 x小与p的关系.
高二数学抛物线的简单几何性质1省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
PF QF
PF QF 0 即( p, y1) ( p, y2 ) 0
p2 y1 y2 0
即y1 y2 p2
易得：x1x2
p2 4
Py A
O •F
x
Q
B
12/15
例5、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线y2 2 px（p 0）上，求这个 正三角形的边长.
K.
OF
x
－－抛物线标准方程
2/15
2、抛物线标准方程：
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
8/15
三、例题选讲：
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,而且过点
M(2, 2 2 )抛物线有几条,求它标准方程.
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可 防止讨论！
1.抛物线只位于半个坐标平面内,即使它能够无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线离心率是确定e=1; 5.抛物线标准方程中p对抛物线开口影响.
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3
4
y＝ （x－1），
3
与抛物线方程联立，得
消去 y，
y2＝4x，
整理得 4x 2－17x＋4＝0.
17
25
由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p＝
＋2＝
.
4
4
25
所以线段 AB 的长为
.
4
典例剖析
[方法提升] 求过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长：
(1)焦点弦长公式；
(2)两点间距离公式；
2
法三：
y
2
p
p
AFx1 , BFx2 ,
2
2
AB AFBFx1 x2 p.
o
’
l
F
B
x
典例剖析
题型一：抛物线几何性质的应用
例 1：已知 A，B 是抛物线 y2＝2px(p＞0)上两点，O 为
坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的
焦点 F，求直线 AB 的方程.
复习导入
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线 ( 不
H
经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
┑
d
P
F
l
图形
复
习
导
入
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y2=2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x
y2=-2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x2=2py
(p＞0)
p
F (0, )
4
y＝ （x－1），
3
与抛物线方程联立，得
消去 y，
y2＝4x，
整理得 4x 2－17x＋4＝0.
17
25
由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p＝
＋2＝
.
4
4
25
所以线段 AB 的长为
.
4
典例剖析
[方法提升] 求过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长：
(1)焦点弦长公式；
(2)两点间距离公式；
2
法三：
y
2
p
p
AFx1 , BFx2 ,
2
2
AB AFBFx1 x2 p.
o
’
l
F
B
x
典例剖析
题型一：抛物线几何性质的应用
例 1：已知 A，B 是抛物线 y2＝2px(p＞0)上两点，O 为
坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的
焦点 F，求直线 AB 的方程.
复习导入
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线 ( 不
H
经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
┑
d
P
F
l
图形
复
习
导
入
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y2=2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x
y2=-2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x2=2py
(p＞0)
p
F (0, )
2.4.2 抛物线的简单几何性质(1) 课件 人教版数学选修2-1(共21张PPT)
解法1 抛物线的焦点 F(1 , 0),
直线l的方程为：y x 1
y x 1 y2 4xBiblioteka x26x1
0
x1
3
2
2
或
x2
3
2
2
y1 2 2 2
y2 2 2 2
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 = 8
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解法2 抛物线的焦点 F(1 , 0),
l的方程为：y x 1
y y
x 2
1 4x
⇒
x2 6x 1 0
x1 + x2 = 6, x1x2
=
1
AB 1 k2 [ x1 x2 2 4x1 x2 ]
= 112 62 41 8
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦
y
． O
x
M
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢? y 6
5
A
4
3
2
F 1
O1
2
3
4
5
6
7
8x
B -1
-2
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为 抛物线的通径。 |AB|=2p
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图.
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
关于x轴
对称
( x, y )
O
•
F
(
p
,0)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
x
3.顶点
定义：抛物线与它的对称轴的交
y
点叫做抛物线的顶点.
y2
= 2px (p>0)中，
叫做抛物线的焦半径.
y
焦半径公式：
p
MF x0
2
H
y2 = 2px
d
M (x0,y0)
O
•
F( p ,0) x
2
方程 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
图
形
y
l
M
O F
M
x
F
y
y
l
O
F M
x
O
l
焦半
径
y
x
O
F
l
M x
p
p
p
p
MF x0
MF
例4.斜率为1的直线 l 经过抛物线
且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
解:F(1,0),直线l:y=x-1
y x 1
由 2
消y得：x 2 6 x 1 0
y 4xyA来自oFB
法2：设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x1 x2 6
x1 x2 1
由 2
y 4x
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)(1)
于是 AB AF BF x1 x2 + 2.
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
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1.掌握抛物线的图形和简单几何性质
（重点）
2.能运用性质解决与抛物线有关的问题 （难点）
方程 图形
y2 = 2px （p＞y0）Leabharlann y2 = -2px （p＞0）
y
OF x
FO x
焦点 准线 范围 对称性
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
F ( p ,0) 2
x p 2
关于x轴对称
x2 = 2py x2 = -2py
（p＞0） y
Fx O
（p＞0） y
O F
l x
F (0, p ) 2
y p 2
F (0, p ) 2
y p 2
关于y轴对称
顶点
（0,0）
y
OF x
例1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点 M 2,2 2 ，求它的标准方程，画图。
解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）
则将M点代入得：(2
2 2)
=
2p×2
解得：p=2
因此所求方程为：y2=4x
： 拓展 求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，
并且经过点M（２， ）的抛物线的标准方程。
例2．在抛物线 y2=8x 上求一点M，使M到焦点F 的距离与
到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。
解：由 y2 8x 知：2 p 8 ， p 4
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
H
此抛物线的焦点坐标是 F (2 ，0) ，
Q
准线方程是 x 2 .
由定义知：M到焦点 F 的距离等于 M到准线 l 的距离 .即 | MF || MH | .
| MF | | MQ | | MH | | MQ |
显然，当 Q，M，H 三点共线时， | MH | | MQ | 有最小值 . 此时 M (1 ，1) ，
8 ( | MF | | MQ | )min 4 (2) 6 .
谈一谈 三条主线
你学到什么数学知识？ 你体会到哪些数学思想？ 从情感方面你有哪些收获？
作业布置
练习册50页 例1、变1、变3
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
· 学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标 去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
（重点）
2.能运用性质解决与抛物线有关的问题 （难点）
方程 图形
y2 = 2px （p＞y0）Leabharlann y2 = -2px （p＞0）
y
OF x
FO x
焦点 准线 范围 对称性
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
F ( p ,0) 2
x p 2
关于x轴对称
x2 = 2py x2 = -2py
（p＞0） y
Fx O
（p＞0） y
O F
l x
F (0, p ) 2
y p 2
F (0, p ) 2
y p 2
关于y轴对称
顶点
（0,0）
y
OF x
例1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点 M 2,2 2 ，求它的标准方程，画图。
解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）
则将M点代入得：(2
2 2)
=
2p×2
解得：p=2
因此所求方程为：y2=4x
： 拓展 求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，
并且经过点M（２， ）的抛物线的标准方程。
例2．在抛物线 y2=8x 上求一点M，使M到焦点F 的距离与
到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。
解：由 y2 8x 知：2 p 8 ， p 4
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
H
此抛物线的焦点坐标是 F (2 ，0) ，
Q
准线方程是 x 2 .
由定义知：M到焦点 F 的距离等于 M到准线 l 的距离 .即 | MF || MH | .
| MF | | MQ | | MH | | MQ |
显然，当 Q，M，H 三点共线时， | MH | | MQ | 有最小值 . 此时 M (1 ，1) ，
8 ( | MF | | MQ | )min 4 (2) 6 .
谈一谈 三条主线
你学到什么数学知识？ 你体会到哪些数学思想？ 从情感方面你有哪些收获？
作业布置
练习册50页 例1、变1、变3
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
· 学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标 去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折