复合材料细观力学
复合材料力学第11章单层复合材料的细观力学分析
11.3.5 面内剪切强度S 面内剪切破坏是由基体和界面剪切损坏引起。面内剪切强度S可用 下式表示：
25
11.4 短纤维复合材料的细观力学分析
11.4.1 应力传递理论
由图示可列出平衡条件： 化简为
积分得 化简为
26
剪应力分布未知，为求解，需对纤维的周围界面和末端材料变形作 假设： （1）纤维长度中点由对称条件得剪应力为零； （2）末端 （3）纤维周围基体是理想刚塑性体，应力-应变关系如图所示。 这样界面剪应力沿纤维长度是常数，其值为基体屈服应力 ，上式 变为：
20
单根纤维在y方向屈曲时位移v用三角级数表示为
21
（1）拉伸型式 经过推导可得，纤维受压时的最小临界应力为：
复合材料最大应力为：
与纤维相比基体基本不受力，即
，则可得：
22
（2）剪切型式 经过推导，
2.横向拉裂理论 横向破坏应变比基体破坏应变小，有经验关系式：
23
即得 11.3.3 横向拉伸强度
11.6 刚度的弹性力学分析方法
11.6.1 弹性力学的极值法 1. E的下限 经过推导得出：
38
2. E的上限
39
11.6.2 精42
2. 的的预测 3.
43
44
11.6.3 接触时的弹性力学解
以后
45
46
11.6.4 Halpin-蔡方程
47
单向纤维增强复合材料的变形： （1）纤维和基体都是弹性变形； （2）基体发生塑性变形，纤维继续弹性变形； （3）纤维和基体都处于塑性变形； （4）纤维断裂或基体开裂导致复合材料破坏；
16
1.等强度分析的纤维
假定纤维应变等于基体应变，则复合材料 的强度为 如果复合材料拉伸强度大于单纯基体强度， 则纤维起增强作用必须超过的临界 值为
第6章 复合材料细观力学PPT
物理关系
G , G , G Ⅱ
12
12 12 f 12
f 12 f m12
m12 m
于是
GⅡ 12
Gf
f
Gm m
6.3.3 植村-山胁的经验公式
E1 EⅠ1 E1Ⅱ
E2 (1 c)EⅠ2 cEⅡ2
1 (1 c)Ⅰ1 c1Ⅱ
2
E2 E1
1
G12 (1 c)GⅠ12 cG1Ⅱ2
(3)泊松比
I 1
,
I 2
当正轴σ1方向受力作用时，纵向泊 松比的定义为
I 1
2 1
单元的横向变形量Δb为 b b 2 b1I 1
从细观来看，单元的横向变形量应等于纤维与基 体的横向变形量之和,即
bbf 2 bm2 bff 2 bmm2 bfff1bmmm1
3
因为
1 f 1 m1
所以
E f 1 Em f 3(1 f )
（拉压 型）
Xc
Gm 1 f
（剪切 型）
7
练习题
• 用材料力学方法证明单向纤维复合材料中纤维所承受
载荷Pf与纵向总裁荷P之比为
Pf 1/(1 Em m )
P
Ef f
• 已知某纤维Xft=2000MPa,Ef1=90GPa,基体树脂 Xmt=220MPa,Em=3.5GPa.若基体的延伸率大于纤维，试 求由以上基体和纤维制得的复合材料单向板的临界纤
X ft
X mt
X ft
Em Ef1
vfmin称为纤维控制的最小体积含量
6.4.2 纵向压缩强度Xc
拉压型微屈曲引起破坏的纵向压缩强度
X c 2 f
E f Em f 3(1 f )
复合材料力学课件第06章 细观力学
1∘ 单元体（脆）：宏观均质；正交异性；无 单元体（ ）：宏观均质 正交异性； 宏观均质；
§6.1(3)
模
型
材料力学方法：采用大的简化； 材料力学方法：采用大的简化； 弹性力学方法：精确解法和近似解法； 弹性力学方法：精确解法和近似解法； 确定性方法和随机方 法。
§6.2
§6.2
刚度的材料力学 分析方法
第六章 细观力学
§6.1 引言 §6.2 刚度的材料力学分析方法
回总目录
§6.1(1)
§6.1 引 言
1∘细观力学 (Meso-Mechanics） (Meso-Mechanics） 2∘假设 3∘模型
§6.1(1)
细观力学(Meso-Mechanics） 细观力学(Meso-Mechanics） 研究各材料组份与材料的整体性 能之间的力学关系。 能之间的力学关系。CM细观力学研究 细观力学研究 纤维+基体 复合材料单向板， 纤维 基体⇒复合材料单向板，由纤维 和基体的性能预测UD板的性能，它介 和基体的性能预测 板的性能， 板的性能 于微观力学Micro-）和宏观力学 于微观力学 ） 之间。 （ Macro- echanics ）之间。
Gm
Gf
G12 Gm
)
(
)
E1和µ21与实验结果比较相符， E2 与实验结果比较相符， 一般与实验结果相差较大。 和G21一般与实验结果相差较大。
§6.1(1)
细观力学(Meso-Mechanics） 细观力学(Meso-Mechanics） 细观力学两种世界观: 细观力学两种世界观 (1) 从实际中抽取模型 用精确方法 从实际中抽取模型—用精确方法 求解模型—问题的解 问题的解； 求解模型 问题的解； (2) 模型力与实际一致 用近似方法 模型力与实际一致—用近似方法 求解模型—问题的解 问题的解。 求解模型 问题的解。
具有界面效应的复合材料细观力学研究
一、引言复合材料作为一种重要的工程材料，具有优异的性能和广泛的应用前景。
而复合材料的界面效应对其力学性能具有重要影响，因此对复合材料的界面效应进行细观力学研究具有重要意义。
二、复合材料的界面效应1. 界面效应的定义复合材料是由两种或两种以上的材料结合而成的材料，其性能优于单一材料。
而这种优越性能的实现主要依赖于复合材料内部的界面结构和界面效应。
界面效应指的是复合材料内两种不同材料之间相互作用所产生的各种效应，包括化学、物理和力学效应等。
2. 界面效应的影响复合材料的界面效应对其力学性能具有明显的影响。
界面的强度和粘附性能决定了复合材料的整体强度和韧性，同时也影响着复合材料的疲劳性能和耐久性能。
研究复合材料的界面效应对于提高复合材料的力学性能具有重要意义。
三、复合材料界面效应的细观力学研究1. 界面微结构的表征复合材料的界面微结构主要包括界面分子层、界面化学键和界面原子的排列方式等。
通过高分辨扫描电镜和透射电镜等技术，可以对复合材料的界面微结构进行准确定量的表征。
2. 界面效应的原子尺度模拟利用分子动力学模拟和密度泛函理论等方法，可以对复合材料的界面效应进行原子尺度的模拟和分析。
通过模拟可以深入理解界面效应的基本原理，并为实验研究提供理论指导。
3. 界面效应的力学性能测试利用原位力学测试和纳米压痕等测试方法，可以对复合材料的界面效应进行力学性能测试。
通过测试可以获得界面的强度、韧性和断裂行为等重要参数，为界面效应的力学性能提供定量的实验数据。
四、复合材料界面效应研究的意义和挑战1. 意义复合材料的界面效应研究对于提高复合材料的力学性能具有重要意义。
通过深入理解界面效应的本质，可以有效地改善复合材料的性能，并拓展其应用领域。
2. 挑战复合材料的界面效应研究也面临着一些挑战，如界面微结构的表征受到限制、原子尺度模拟的复杂度和计算资源需求等。
研究人员需要不断开展创新性工作，解决这些挑战，推动界面效应研究取得更大的突破。
复合材料细观力学答案
一、知识部分1、计算面心立方、体心立方结构的（100）、（110）、（111）等晶面的面密度，计算密排六方结构的（0001）、（1010）晶面的面密度（面密度定义为原子数/单位面积）。
解：设立方结构的晶胞棱长为a 、密排六方结构晶胞轴长为a 和c 。
（1）体心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为21a；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为223a。
（2）面心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有1.5个原子，所以其面密度为23a。
（3）密排六方：在一个晶胞中的（0001）面的面积是223a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为2332a；在一个晶胞中的（1010）面的面积是c a 2，在这个面积上有次个原子，所以其面密度为c a 21；2、纯铁在912℃由bcc 结构转变为fcc 结构，体积减少1.06%，根据fcc 结构的原子半径计算bcc 结构的原子半径。
它们的相对变化为多少？如果假定转变前后原子半径不变，计算转变后的体积变化。
这些结果说明了什么？解：设bcc 结构的点阵常数为a b ，fcc 结构的点阵常数为a f ，由bcc 结构转变为fcc 结构时体积减少1.06％，因bcc 单胞含2个原子，fcc 单胞含4个原子，所以2个bcc 单胞转变为1个fcc 单胞。
则10006.122333=-b bf a a a 即 b b f a a a 264.110006.10121=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= bcc 结构的原子半径b b a r 43=，fcc 结构的原子半径f f a r 42=，把上面计算的a f 和a b 的关系代入，并以r f 表示r b ，则f f f b b r r a a r 9689.02264.1443264.14343=⨯⨯⨯=⨯==它们的相对变化为0311.019689.0-=-=-bfb r r r 如果假定转变前后原子半径不变，转变后的体积变化为()()()1.83423422422333333-=-=-b b f b bf r r r a a a ％从上面的计算结果可以看出，如果转变前后的原子半径不变，则转变后的体积变化很大，和实际测得的结果不符，也和金属键的性质不符。
--复合材料力学第六章细观力学基础
（二）纵向泊松比
21
RVE的纵向应变关系式：
2 f 2V f m2Vm
两边同时除以 1 ，可得：
21 f V f mVm
（三）纵横（面内）剪切模量
G12
在剪应力作用下，RVE的剪应变有如下 关系：
12 f V f mVm
以
12
12
G12
可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用 弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：
2
2Gm
E
f
rf2
ln(
R rf
)
其中 Gm 为基体剪切模量，rf 为纤维半经，R为纤维间距，
l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET (长)
2、Halpin-Tsai方程
EL Em
1
2
l d
LV
f
1 LV f
ET
1 2TV f
Em 1 TV f
此时，对L取：
RVE的要求： 1 、 RVE 的 尺 寸 << 整 体 尺 寸 ， 则宏观可看成一点；
2、RVE的尺寸>纤维直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积分数。
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积；
v —复合材料体积
注意：
只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体积单元时，
复合材料的应力应变等才有意义。
并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效 弹性模量才是严格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通过 体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
具有界面效应的复合材料细观力学研究 -回复
具有界面效应的复合材料细观力学研究-回复在研究复合材料的细观力学时，界面效应是一个关键的研究方向。
界面效应是指由于复合材料中不同材料之间的界面区域存在具有特殊性质的界面，而导致复合材料整体力学性能发生变化的现象。
本文将逐步回答“具有界面效应的复合材料细观力学研究”的主题。
1. 引言（约200字）：介绍复合材料的定义和常见的应用领域，指出复合材料受到界面效应的影响，引出本文的主题。
2. 复合材料的界面结构（约400字）：解释复合材料的一般结构，包括基体和增强相。
介绍界面结构的特点，如原子间的接触、界面缺陷等。
解释为什么复合材料中的界面区域具有特殊性质。
3. 界面效应对复合材料性能影响的实验研究（约400字）：概述近年来在复合材料细观力学方向进行的实验研究。
包括力学性能测试、原位观察、断面分析等方法。
介绍实验结果，如界面强度、界面层厚度等参数对复合材料性能的影响。
4. 界面效应对复合材料性能影响的理论模型（约400字）：介绍目前用于描述界面效应的理论模型，如界面力模型、层理论等。
解释这些模型的基本原理和适用范围。
讨论这些模型对于理解复合材料中界面效应的重要性。
5. 界面效应对复合材料设计和应用的影响（约400字）：讨论界面效应对复合材料设计和应用的意义。
例如，在领域中，界面效应对于提高复合材料的强度、刚度和耐热性能具有重要作用。
提出未来可能的研究方向，如界面工程、纳米尺度界面等。
6. 结论（约200字）：总结界面效应对复合材料的细观力学研究的重要性和现有研究的进展。
强调界面效应的复杂性和多样性，以及对于复合材料性能的影响。
呼吁在未来的研究中，进一步深入理解和控制界面效应，以推动复合材料的发展和应用。
通过以上步骤，可以完成一篇关于具有界面效应的复合材料细观力学研究的文章，全面地回答了主题，并且提供了相关的实验和理论研究结果，以及对复合材料设计和应用的影响的讨论。
哈工大——复合材料细观力学-2
连续纤维复合材料细观强度理论
复合材料的应力集中
1961年，Hedgepeth最早提出剪滞模型 （the shear-lag method),用于解决纤维断裂 而导致应力集中问题。 主要假设：
1. 2.
纤维仅承担轴向载荷 纤维与基体间界面仅传递剪切载荷
单根纤维破坏
x 1/2P1 [P 1+(dP1/dx)x]
沿X轴向的平衡方程： 1 dP 1 2 dx + τ = 0 dP2 τ = 0 dx
P2
P2+(dP2/dx)x
令第n根纤维内部轴向位移un dun ( x) G[u2 ( x) u1 ( x)] Pn = Ed n = 1,2 τ= dx h 令ξ = x/d, α = Eh/Gd(无量纲）
σ 33
c πr 2 = π (1 α )ε p 2(1 γ ) r h
根据裂纹表面应力状态自由条件，建立x3轴平衡方程 c c πr 2 =0 σ π εp π (1 α )ε p 2(1 γ ) r 2(1 γ ) r h
0
2(1 γ )σ 0 a π c εp =
[1 + (1 α )πar / h 2 ]
桥联裂纹的能量释放率
当外边界S上作用表面力F时，材料内部位移ui0 + ui 1 0 2 (σ ij + σ ij )(ui0, j + ui , j ε ij * )dV 2 ∫V 1 2 0 2 Gibbs自由能F = ∫ σ ij ε ij *dV ∫ σ ij ε ij *dV 0 2 0 2* ε 33 = ε p 在 0 区域内 πr 2 c c π εp π (1 α )ε p 2 σ 33 = 2(1 γ ) a 2(1 γ ) r h 2* ε 33 = αε p 在区域内 c c σ 33 = π εp + π (1 α )ε p 2(1 γ ) a 2(1 γ ) r 应变能W =
复合材料细观力学理论
式中上标0代表复合材料基体相，r代表复合材料第r类增强相
n
S* 0 ijkl kl
f0i0j
frirj
r1
n
S0 0 ijkl kl
fr
(Sirjkl
Si0jkl)
r kl
r1
利用散度定理可以证明复合材 料的应变能和余能分别是
U1
2
VijijdV12Ci*jkl i0jk0ldV
第三节 复合材料性能的自洽理论
50年代，Hershey and Kroner研究多 晶体材料的弹性性能时，先后提出了Selfconsistent method .
思想：在计算夹杂内部应力场时，为了考 虑其他夹杂的影响，认为夹杂单独处于一 有效介质中，而夹杂周围有效介质的弹性 常数就是复合材料的弹性常数。
S是四阶Eshelby张量，与材料性能和夹杂形状 有关，具有椭圆积分形式，并可推广到各向异 性介质和本征应变不均匀情况。对于特殊形状 夹杂，可以写出解析表达式：
对于球形夹杂，具有下列形式：
a1 a2 a3 S 1111 S 2222 S 3333
7 5 15 (1 )
ui VCmjklk*,ljGim(x,x')dV(x') VCmjklk*G l im,j(x,x')dV(x')
Gim(x,x') 格林函数，表示在x’处沿方向作用
单位集中力，点x处产生的位移i分量
上述位移对应的应变场（几何方程）
ij
1 2(ui,
j
uj,i)
in
复合材料细观力学理论
第一章 绪 论
定义：根据国际标准化组织为复合材 料所下的定义，复合材料是由两种或 两种以上物理和化学性质不同的物质 组成的一种多相固体材料。
复合材料力学 第六章 细观力学基础
3、 K 23 K m
Vf Vm 1 K f K m K m Gm
（平面应变体积模量）
4、 G12 G m
G f (1 V f ) G mVm G f Vm G m (1 V f )
5、
G23
可由三相模型求得： 利 用 在 r 处 施 加
纯剪均匀应力边界
1 1 * U ij ij dv Cijkl ij kl v 2 v 2
3）有效模量的严格理论解 并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效
只有按上述两种均匀边界条件算得的有效弹性模量一致，
弹性模量才是严格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通 过体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
* ij
对椭圆形夹杂，Eshelby已经证明
而在夹杂以外为零，且有：
在夹杂内部是均匀的，
S 0 0 c * 0 c Cijkl ( kl kl kl ) Cijkl ( kl kl )
c ij * ijkl kl
其中 Sijkl 为Eshelby张量； kl 为因夹杂的出现而形成的 0 kl 为无限远处的均匀应变。 干扰应变；
4V f Vm (v f v m ) 2 E1 E f V f E mVm Vm V f 1 K f K m Gm
V f Vm (v f v m )(
2、
21 f V f mVm
1 1 ) Km K f
Vm V f 1 K f K m Gm
Mf
其中：
（M表示
E2 , G12或 23 ）
*
Mm Mf Mm
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设给定复合材料在其边界上受到远场均匀应 力场作用
•复合材料的体积平均应力应等于其远场作用的 均匀应力
•补充方程
•复合材料内部体平均应变场
算例：含缺陷纤维复合材料热膨胀系 数预报
含圆币型基体裂纹的单向复合材料，假定定 向分布的微裂纹垂直于纤维方向
将（4）是代入（1，3）式中
复合材料体平均应变场
1889年，Voigt根据晶体内常应变假设研究 了多晶体有效模量问题。
•混合律基础
Voigt等应变假设和Reuss等应力假设
复合材料各组成相都是各向同性材料给定远场应变，由Voi Nhomakorabeat假设有
给定远场应力，由Reuss假设有
Voigt and Reuss假设适用于长纤维复合材料沿纤维方向的拉 伸刚度，分别对应真实解的上下限
在远场均匀应力作用下，夹杂内应力为：
• 为了表征夹杂外部材料对夹杂变形的约 束作用，Hill引入一个约束张量使其满足：
•夹杂中的应变
对于两相复合材料夹杂与基体中平均应力、应变： •约束张量满足系列关系
Budiansky指出，当离散相为空洞时，按自洽 理论计算的等效剪切模量
•原因：仅考虑了单夹杂与周围有效介质的作用，而 当夹杂体积分数或裂纹密度较大时，预报的有效弹 性模量过高（含硬夹杂）或过低（含软夹杂），特 别是夹杂与基体弹性模量相差较大时，等明显。随 机取向微裂纹密度=9/16，有效杨氏模量=0
按材料作用分类
结构复合材料 （卫星承力筒） 功能复合材料 （导电、换能、防热）
复合材料的基本特点 共同特点：
可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料 具有多种功能
可按对材料性能需要进行材料的设计和制造 可制成所需要任意形状产品，避免多次加工
工序
一般优点：
比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好 、抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等
复合材料性能和损伤破坏规律取决于
组分材料性能 微细观结构特征
复合材料结构设计
复合材料本身是非均质、各向异性材料， 因此复合材料力学在经典非均匀各向异性 弹性力学基础上迅速发展。复合材料不仅 是材料，更确切的说是结构
以纤维增强的层合板结构为例，复合材料 设计可分为三个阶段：
l 1、单层材料设计，选择增强材料、基体材 料、配比关系
第三节 复合材料性能的自洽理论
50年代，Hershey and Kroner研究多 晶体材料的弹性性能时，先后提出了Selfconsistent method .
思想：在计算夹杂内部应力场时，为了考 虑其他夹杂的影响，认为夹杂单独处于一 有效介质中，而夹杂周围有效介质的弹性 常数就是复合材料的弹性常数。
由上节已知夹杂应变
注意：在取出与添入dV时，取出部分中含有体积为fdV 的
增强相材料，添入dV后复合材料实际的增强相材料为：
确定等效弹性模量的微分方程
•其中, A,B均可由自洽模型确定
算例
对于各向同性球形颗粒增强复合材料，微分方程为：
第五节 复合材料有效性能的上、下限
5.1 Voigt and Reuss上下限
取一均匀的各向同性比较材料，弹性模量为L0, 只要在该比较材料中作用适当分布体力，复合材 料的弹性场就可以在该比较材料中实现，作用应 变的边界条件，应力场为：
•根据最小势能原理，任意给定位移边条应变情况下
复合材料细观力学
第一章 绪 论
定义：根据国际标准化组织为复合材 料所下的定义，复合材料是由两种或 两种以上物理和化学性质不同的物质 组成的一种多相固体材料。
连续体：基体 分散体：增强材料 两相之间存在界面相
复合材料的分类 按增强相材料形态分类
连续纤维复合材料 短纤维复合材料 晶须增强复合材料 颗粒增强复合材料 编织复合材料
2、铺层设计 铺层方案 3、结构设计 产品结构的形状、尺寸、使
用环境
分析角度
复合材料具有非均匀性和各向异性 特点，这种差别属于物理方面
弹性模量、拉压强度、剪切强度、 热膨胀系数等
复合材料细观力学的核心任务
建立复合材料宏观性能同其组分性能及其细观结构之 间的定量关系，并揭示复合材料结构在一定工况下的 响应规律及其本质，为复合材料优化设计、性能评价 提供必要的理论依据及手段。
复合材料有效性能
有效弹性模量的影响因素
组分材料的弹性常数
基体 -各向同性 纤维 -横观各向同性
微结构特征
夹杂形状（纤维、颗粒、晶须、孔洞、裂纹） 几何尺寸、分布 体积含量 等等
成熟的细观力学方法
Eshelby 等效夹杂理论 自洽理论（自相似理论） Mori-Tanaka方法（背应力法） 微分法 Hashin 变分原理求解上下限方法 其他方法
追溯到19世纪爱因斯坦关于两种不同介电性能的电介 质组成的复合电介质等效介电常数预报问题。
50年代----70年代 80年代快速发展 90年代不可缺少
参考教程
杜善义、王彪 《复合材料细观力学》科学出版社 1997 Mura T. Micromechanics of defects
in solids. 1987 杨卫 《宏微观断裂力学》国防工业出版社 1995 基础教程 《弹性力学》、《复合材料力学》
对于球形夹杂，具有下列形式：
2.2 等效夹杂原理
由于椭球夹杂存在，则
• 假定远场受均匀应力作用，椭球夹杂内场均 匀，给定一均匀本征应变
•作业：求解复合材料内部弹性场
第二节 Mori-Tanaka方法
1973年Mori and Tanaka在研究弥散 硬化材料的加工硬化问题时，提出求解材 料内部平均盈利的背应力法，即MoriTanaka方法
Kerner提出广义自洽模型
上海交通大学
•基
罗海安 三相模型 体
•等效介质
•夹杂
•合理原因： ➢考虑夹杂、基体壳和有效介质相互作用，比重平衡 ➢广义自洽理论放宽了相介质之间界面约束 缺点：解题难度增加
第四节 微分法
1952年, Roscoe研究悬浊液体性质时提出微分 等效介质概念，设某一时刻复合材料增强相体积比率 f，等效模量L，经过一个取出与添入过程后，f增至 f+df，L增至L+dL
按纤维种类分类
玻璃纤维复合材料 碳纤维复合材料 有机纤维复合材料 金属纤维复合材料（钨丝、不锈钢丝） 陶瓷纤维复合材料（硼纤维、碳化硅纤维） 混杂纤维复合材料（两种以上纤维）
按基体材料分类
聚合物基复合材料（热固性、热塑性树脂） 金属基复合材料（铝、钛、镁） 无机非金属基复合材料（陶瓷、水泥） 碳碳复合材料
第二章 复合材料有效性能
第一节 Eshelby等效夹杂理论
1957年Eshelby在英国皇家学会会刊 发表了关于无限大体内含有椭球夹杂弹性 场问题的文章，证明了在均匀外载作用时 ，椭球夹杂内部弹性场亦均匀。（椭圆积 分形式）
2.1Eshelby相变问题
将应变分解为两部分
•扰动应变 •本征应变
根据虎克定律，弹性体应力场
证明
•复合材料代表性单元内力势能为： •根据等应变假设，势能Voigt近似值为
•根据最小势能原理，有
•复合材料代表性单元余能为： •根据等应力假设，余能Reuss近似值为 •根据最小余能原理，有
5.2 Hashin and Shtrikman上下限
1963年Hashin and Shtrikman对于各向异性均 匀体采用变分法研究了材料应变能的极值条件。 设有一n相统计均匀各向同性复合材料，它的第r 相体积与弹性模量分别为Vr ,Lr (r=1,2,3….n)。
• (a) cylinder and flange; (b) egg crate
structures; (c) turbine rotors woven by Techniweave Inc.; and (d) various
•3D knitted composites for bicycle helmets
将上式代入平衡方程 •分布体力问题
•利用格林函数方法和高斯定理：
格林函数，表示在x’处沿方向作用 单位集中力，点x处产生的位移i分量
•上述位移对应的应变场（几何方程）
•得到各向同性介质椭球体中，存在
•S是四阶Eshelby张量，与材料性能和夹杂形状 有关，具有椭圆积分形式，并可推广到各向异 性介质和本征应变不均匀情况。对于特殊形状 夹杂，可以写出解析表达式：
复合材料有效弹性模量定义
两类均匀边界条件
• 在均匀边条作用下，除边界点附近可能有扰动存在， •统计均匀复合材料应力场和应变场也是统计均匀的。 •即，代表性体积单元内场量=复合材料体积平均值
证明
•式中上标0代表复合材料基体相，r代表复合材料第r类增强相
利用散度定理可以证明复合材 料的应变能和余能分别是