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八年级数学《12.3_角的平分线的性质》基础练习测试

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2019-2020学年八年级上学期数学专题12.3 角平分线的性质(测试)(解析版)

2019-2020学年八年级上学期数学专题12.3 角平分线的性质(测试)(解析版)

专题12.3角平分线的性质（测试）一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到AB的距离为4，则BC的长是（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∴CD⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴CD=DE，∵D到AB的距离等于4，∴CD=DE=4，又∵BD=2CD，∴BD=8，∴BC=4+8=12，故选：C．2．如图，图中直线表示三条相互交叉的路，现要建一个货运中转站，要求它到三条公路的距离相等，则选择的地址有（）A．4处B．3处C．2处D．1处【答案】A【解析】解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴△ABC 内角平分线的交点满足条件； 如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点， 过点P 作PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，PF ⊥AC ， ∴PE=PF ，PF=PD ， ∴PE=PF=PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有4个， ∴可供选择的地址有4个． 故选：A ．3．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒,10AB =,AD 是ABC ∆的一条角平分线.若3CD =，则ABD ∆的面积为( )A ．3B ．10C ．12D ．15【答案】D【解析】解：如图，作DE ⊥AB 于E ，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为12×3×10=15．故选：D．4．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，∴AB2+BC2＝72+242＝252＝AC2，∴∠ABC＝90°，连接AP，BP，CP．设PE＝PF＝PG＝xS△ABC＝12×AB×CB＝84，S△ABC＝12AB×x+12AC×x+12BC×x＝12（AB+BC+AC）•x＝12×56x＝28x，则28x＝84，x＝3．故选：C．5．如图，OP平分∠AOB，点C，D分别在射线OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的是（）A ．OC ＝ODB ．∠CPO ＝∠DPOC ．PC ＝PD D ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB【答案】C【解析】∵OP 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOP ＝∠BOP ，而OP 是公共边，A 、添加OC ＝OD 可以利用“SAS ”判定△POC ≌△POD ，B 、添加∠OPC ＝∠OPD 可以利用“ASA ”判定△POC ≌△POD ， C 、添加PC ＝PD 符合“边边角”，不能判定△POC ≌△POD ， D 、添加PC ⊥OA ，PD ⊥OB 可以利用“AAS ”判定△POC ≌△POD ， 故选：C ．6．如图，已知ABC ∆的面积为28cm ，BP 为ABC ∠的平分线，AP BP ⊥于点P ，则PBC ∆的面积为（ ）.A ．23.5cmB ．23.9cmC ．24cmD ．24.2cm【答案】C【解析】延长AP 交BC 的延长线于点E ， ∵AP 垂直PB 且PB 平分ABC ∠， ∴ABP EBP ∠=∠.又BP BP =，90APB BPE ∠=∠=︒， ∴()ABP EBP ASA ∆≅∆. ∴BAP BEP S S ∆∆=，AP PE =. ∴APC PCE S S ∆∆=.设ACE S m ∆=，∴8ABE ABC ACE S S S m ∆∆∆=+=+，∴284cm 211222PBC ABE ACE S S S m m ∆∆∆+-==-=.7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若32BC =，且:9:7BD CD =，则点D 到AB 边的距离为（ ）.A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C【解析】过点D 作DE AB ⊥于点E ， ∵AD 平分BAC ∠，∴DC DE =.又:9:7BD CD =且32BC =，∴18BD =，14CD =. 即14DE =.即点D 到AB 边的距离为14. 故选C8．如图所示，P 是BAC ∠的平分线上一点，PM AB ⊥于点M ，PN AC ⊥于点N .有下列结论：①PM PN =；②AM AN =；③APM ∆与APN ∆面积相等；④90PAN APM ∠+∠=︒，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由角平分线性质可知①是正确的；可证()Rt Rt AMP ANP HL ∆≅∆，∴AM=AN,APM APN S S ∆∆=，可得②③是正确的；由()Rt Rt AMP ANP HL ∆≅∆可得∠APM=∠APN ，由∠APN+∠PAN=90°可得∠PAN+∠APM=90°，可知④是正确的，故选D.9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，下列结论中正确的个数是（ ）.①AD 平分CDE ∠：②BAC BDE ∠=∠；③DE 平分ADB ∠；④AB AC BE =+. A ．3个 B ．2个C ．1个D ．4个【答案】A【解析】因为DE AB ⊥，所以90AED ∠=︒.又AD 是CAB ∠的角平分线，AC CD ⊥，由角平分线的性质得DC DE =，又AD AD =，故ACD AED ∆≅∆，所以ADC ADE ∠=∠，故①成立；在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，故90BAC B ∠+∠=︒，在Rt BDE ∆中，90B EDB ∠+∠=︒，因此BAC B B EDB ∠+∠=∠+∠，即BAC BDE ∠=∠，故②成立；∵ACD AED ∆≅∆，故AC AE =，因此AB AE EB AC BE =+=+，④成立； 当60B ∠=︒时，30EDB ∠=︒，75ADE ∠=︒，显然EDB ADE ∠≠∠，故③不成立.10．作∠AOB 的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【解析】连接CD、CE,根据作图步骤知OD=OE、CD=CE、OC=OC所以根据SSS可判定△OCE≌△OCD,所以∠BOC=∠AOC，OC平分∠AOB故用尺规作图画∠AOB的角平分线OC，作图依据是SSS，故选：D．11．如图，点P在∠MON的角平分线上，A、B分别在∠MON的边OM、ON上，若OB=3，S△OPB=6，则线段AP的长不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】作PC⊥OM于C，PD⊥ON于D，如图所示：∵点P在∠MON的角平分线上，∴PC=PD，∵S△OPB=12OB⋅PD=6，OB=3，∴PD=4，∴线段AP的长不可能是3，故选：A.12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】解：∵DE⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，∴∠CDA=∠EDA，∴①正确；∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，∵∠CDA=∠EDA，∴∠CDA=∠EDA=11352︒⨯=67.5°≠45°，∴∠EDA≠∠BDE，∴DE不平分∠BDA，∴②错误；∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=AE，∴AE=AC=BC ， ∵∠B=∠BDE=45°， ∴BE=DE=CD ，∴AE-BE=BC-CD=BD ，∴③正确；△BDE 周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm ，∴④正确； 即正确的个数是3， 故选：B ．13．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC ＝28，DE ＝4，AB ＝8，则AC 长是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF ＝DE ＝4．又∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，AB ＝8，112884422AC ∴=⨯⨯+⨯⨯，∴AC ＝6． 故选：C ．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④△ABD 边AB 上的高等于DC.其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=30°，∴∠ADC=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠BAD =∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④角平分线上的一点到线段两端点的距离相等, 因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．15．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】A【解析】作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥BC 于H ，∵D 是∠ABC 平分线上一点，DG ⊥AB ，DH ⊥BC ，∴DH=DG ，在Rt △DEG 和Rt △DFH 中，DG DH DE DF⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △DEG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠DEG=∠DFH ，又∠DEG+∠BED=180°，∴∠BFD+∠BED=180°，∴∠BFD 的度数=180°-140°=40°，故选：A ．16．如图，在四边形ABDC 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，且点O 在线段BD 上，BD ＝4，则点O 到边AC 的距离是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C 【解析】解：过O 作OE ⊥AC 于E ，∵∠B ＝∠D ＝90°，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，∴OB ＝OE ＝OD ，∵BD ＝4，∴OB ＝OE ＝OD ＝2，∴点O到边AC的距离是2，故选：C．二、填空题17．如图，以O为圆心，适当长为半径画弧，交横轴于点M，交纵轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P．若点P到横轴和纵轴的距离分别为2a-1、a+2，则a=_____．【答案】3【解析】根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a-1=a+2，整理得：a =3，18．如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点O，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_______.【答案】4【解析】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE＝OF，OE＝OG，∴OE＝OF＝OG＝2，∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴∠EOF＋∠EOG＝（180°−∠BAC）＋（180°−∠ACD）＝180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离＝OF＋OG＝2＋2＝4．故答案为：4．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．【答案】2【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于DC＝2，∴PD的最小值为2．故答案为2．20．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．【答案】1【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，∴S△ABC=12AC•BC=12(AC+BC+AB)•r，∴3×4=(3+4+5)×r，解得：r=1．故答案为：1．三、解答题21．按下列要求画图并填空：(1)过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段的长.(2)用直尺和圆规作出∠ACB的平分线，若角平分线上有一点P到边AC的距离是3cm，通过你的测量，点P到边BC的距离是cm(保留作图痕迹).【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)如图所示：点B到直线AC的距离是线段BE的长.(2) 如图所示：点P到边BC的距离是3cm.22．在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠EAD的度数．【答案】45°【解析】∵在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，∴∠BAC＝180°﹣20°﹣110°＝50°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝12∠BAC＝25°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝20°+25°＝45°．∵AD⊥BC，∴∠D ＝90°，∴∠EAD ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣45°＝45°．23．如图，△ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于点E ，F 在AC 上且BE=FC,BD=FD ，求证：AD 是∠BAC 的平分线。

八年级数学上册《第十二章 角的平分线的性质》同步练习及答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章 角的平分线的性质》同步练习及答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章 角的平分线的性质》同步练习及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．作已知角的平分线是根据三角形的全等判定（ ）作的．A ．AASB ．ASAC ．SASD ．SSS2．点P 在AOB ∠的角平分线上，点P 到OA 边的距离为10，点Q 是OB 边上任意一点，则PQ 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．123．如图，在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，AD 是角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，则△BDE 的周长为（ ）A ．17B ．18C ．20D ．254．P 、Q 为∠AOB 内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=13∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，QN ⊥OB 于N ，PQ ⊥OP ，则下面结论正确的是（ ）A ．PM ＞QMB ．PM=QNC ．PM ＜QND ．PM=PQ5．如如图， Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10cm ，AC=6cm ，则BE 的长度是（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm6．如图， AB//CD ， AE ， CE 分别平分 CAB ∠ 和 ACD ∠ ，过点 E 分别做 EF AC ⊥ 于点 F ， EH CD ⊥ 于点 H ，延长 HE 交 AB 于点 G ，若 1EF = ，则 GH 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =和32DE =，AB=5，则AC 的长为（ ）A ．133B ．4C ．5D ．68．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）A ．11B ．5.5C ．7D ．3.5二、填空题9．如图，PM=PN ，∠BOC=30°，则∠AOB= ．10．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，△ABC 的面积是18cm 2，AB=10cm ，AC=8cm ，则DE= ．11．如图，在Rt ABC 中90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 为AB 的中点，连接DE ，若24AB =，CD=6，则DBE 的面积为 ．12．如图,BD 是∠ABC 的平分线,DE ⊥AB 于E, S ∆ ABC=36cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，则DE= cm.13．如图AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB=14，AC=12，S =20，则EF的长为．△BDC三、解答题14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．求BE的长．15．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC的度数．16．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：PM＝PN17．如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒且DE AB ⊥于点E ，点F 在AC 上，BD DF =．（1）求证：CF EB =．（2）若12AB =，8AF =求CF 的长．18．如图，DE AB ⊥交AB 延长线于E ，DF AC ⊥于F ，BD CD =和BE CF =．（1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）直接写出AB AC +与AE 之间的数量关系．19．如图，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ．AE ＝AB ，AF ＝AC ，BF 与CE 相交于点M ．（1）EC ＝BF ；（2）EC ⊥BF ；（3）连接AM ，求证：AM 平分∠EMF参考答案：1．D 2．C 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B9．60°10．211．3612．12513．214．解：∵AE 是∠BAC 的平分线，EC ⊥AC ，EF ⊥AF∴CE=EF在Rt △ACE 与Rt △AFE 中CE EF AE AE =⎧⎨=⎩∴Rt △ACE ≌Rt △AFE （HL ）∴AC=AF∵点F 是AB 的一个三等分点设BF=m ，则AC=2m ，AF=2m ，AB=3m∴AB 2=BC 2+AC 2∴（3m ）2=52+（2m ）2∴5∴5，5∵∠BFE=∠C=90°，∠B=∠B∴△BEF ∽△ABC ∴BE BF AB BC = ，即35 = 55∴BE=315．解：∵AD ∥BC （已知）∴∠DAC+∠ACB=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∵∠DAC ＝120°（已知）∴∠ACB ＝180°－120°=60°∵∠ACF ＝20°（已知）∴∠BCF ＝60°－20°=40°∵CE 平分∠BCF （已知）∴∠BCE= 12∠BCF=20° (角平分线的定义) ∵EF ∥AD （已知）∴EF ∥BC （平行公理的推论）∴∠FEC=∠BCE=20° （两直线平行，内错角相等）.16．证明： BD 为 ABC ∠ 的平分线ABD CBD ∴∠=∠在 ABD ∆ 和 CBD ∆ 中AB BCABD CBD BD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD CBD SAS ∴∆≅∆ADB CDB ∴∠=∠点 P 在 BD 上 PM AD ⊥ PN CD ⊥PM PN ∴= .17．（1）证明： AD 平分 BAC ∠ 90C ∠=︒ DE AB ⊥ 于 E DE DC ∴= ．在 Rt CDF ∆ 与 Rt EDB ∆ 中{DF =DB DC =DERt CDF ∴∆ ≌ Rt (HL)EDB ∆CF EB ∴= ．（2）解：设 CF x = ，则 12AE x =- AD 平分 BAC ∠ DE AB ⊥CD DE ∴= ．在 ACD ∆ 与 AED ∆ 中AD ADCD DE =⎧⎨=⎩ACD ∴∆ ≌ (HL)AED ∆AC AE ∴=即 812x x +=-解得 2x =即 2CF = ．18．（1）解：证明：DE AB ⊥ DF AC ⊥90E DFC ∴∠=∠=︒∴在Rt BED 和Rt CFD 中BD CDBE CF =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL BED CFD ∴≌DE DF ∴=DE AB ⊥ DF AC ⊥AD ∴平分BAC ∠；（2）解：2AB AC AE +=．理由如下：由（1）知AD 平分BAC ∠DE DF ∴=在Rt ADE 和Rt ADF 中DE DF AD AD=⎧⎨=⎩ ()Rt Rt HL ADE ADF ∴≌AE AF ∴=∵BE CF =∴2AB AC AE BE AF CF AE +=-++=．19．（1）证明：∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC∴∠BAE ＝∠CAF ＝90°∴∠BAE+∠BAC ＝∠CAF+∠BAC即∠EAC ＝∠BAF在△ABF 和△AEC 中∵AE AB EAC BAF AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△AEC （SAS ）∴EC ＝BF ；（2）解：根据（1），∵△ABF ≌△AEC∴∠AEC ＝∠ABF∵AE ⊥AB∴∠BAE ＝90°∴∠AEC+∠ADE ＝90°∵∠ADE ＝∠BDM （对顶角相等）∴∠ABF+∠BDM ＝90°在△BDM 中，∠BMD ＝180°﹣∠ABF ﹣∠BDM ＝180°﹣90°＝90° 所以EC ⊥BF ．（3）解：作AP ⊥CE 于P ，AQ ⊥BF 于Q ．如图：∵△EAC ≌△BAF∴AP ＝AQ （全等三角形对应边上的高相等）．∵AP ⊥CE 于P ，AQ ⊥BF 于Q∴AM 平分∠EMF。

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习解析版

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习解析版

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．64．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则＝；（2）若∠3＝∠4，则＝．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝cm．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝cm．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1∠2．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．参考答案一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α【解答】解：A、画线段MN＝3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B、用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；C、用三角尺作过点A垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；D、正确．故选：D．2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE＝DC＝1.5cm，∵BD＝3cm，∴BC＝BD+DC＝3cm+1.5cm＝4.5cm，故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．6【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD＝4，∴DE＝4．故选：A．4．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 【解答】解：∵AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，∴EF＝EB，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，∴结论不正确的是AE＝CE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE．故选：C．6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定【解答】解：∵PC⊥OC，PD⊥OD，PC＝PD，∴P在∠COD的角平分线上，即∠1＝∠2，故选：B．7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定【解答】解：∵DE⊥OA，DF⊥OB，DE＝DF，∴点D在∠AOB的平分线上，∴∠AOD＝∠BOD．故选：B．8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等【解答】解：A、两角平分线交点在三角形内，正确；B、两角平分线交点在第三个角的平分线上，正确；C、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，正确；D、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，不是到三顶点距离相等，故本选项错误．故选：D．9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①根据角平分线性质的逆定理，在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，故本选项错误；②角平分线是射线，三角形的角平分线是线段，故本选项错误；③任何一个命题都有逆命题，正确；④假命题的逆命题不一定是假命题，如：假命题“相等的两个角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，故本选项错误．故选：A．10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．故选：B．11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD【解答】解：A、根据HL可求得Rt△POE≌Rt△POD，∴∠DOP＝∠EOP，故正确；B、OD＝OE，正确；C、DPO＝∠EPO，正确；D、错误．故选：D．二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．【解答】解：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．故答案为：BC，DC；AB，AD．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为6．【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，∴点M到OB的距离＝6．故答案为：6．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝2cm．【解答】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM ＝2cm，∴PN＝PM＝2cm．故答案为：2．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有①②．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE与Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠ADF＝∠ADE，AE＝AF，∴DA平分∠EDF；故①②正确，∵无法判定AD⊥BC且平分BC，∴AD上的点到B，C两点的距离相等错误，∵图中只有1对全等三角形，故③④错误．故答案为：①②．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为3．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵BC＝5，BD＝2，∴CD＝5﹣2＝3，∵AD为角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝8cm．【解答】解：∵∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵DE＝3cm，BD＝5cm，∴BC＝CD+BD＝3+5＝8cm．故答案为：8．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE＝DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1＝∠2．【解答】解：（1）∵已知∠1＝∠2∴AD为∠BAC的平分线又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴由角平分线性质得DE＝DF．（2）∵已知DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE，DF为点D到角两边的距离．又∵DE＝DF，∴由角平分线性质知AD为角平分线．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝2．【解答】解：作OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠C＝∠CFO＝∠OEC＝90°，∴四边形CFOE是矩形；∵∠CAB，∠CBA的平分线相交于点O，OE⊥BC，OF⊥AC，OP⊥AB，∴OE＝OP＝OF，∴四边形CFOE是正方形，设OE＝OP＝OF＝x，则AP＝AF＝5﹣x，BP＝BE＝12﹣x，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，∴OP＝OE＝2．故答案为2．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．【解答】解：点P如图所示．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DC；（2）在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．【解答】证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF，在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．【解答】解：∵CE⊥P A，ED⊥PB，CE＝ED，∴∠APE＝∠APB＝×60°＝30°，在△PEF中，∠CFE＝∠APE+∠PEF＝30°+15°＝45°．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，∴EC＝EF，∵EB＝EC，∴EF＝BE，又∵∠B＝90°，∴AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．【解答】解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64，∴CD＝＝28，∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝28．答：D到AB的距离为28．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∴S△ABC＝AB•DE+BC•DF＝90，即×18•DE+×12•DE＝90，解得DE＝6．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．【解答】证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则S△ABD＝AB•DM，S△ACD＝AC•DN，∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．【解答】证明：设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，∴PD＝PE，PE＝PF，∴PD＝PF，∴AP平分∠BAC，即AQ，BM，CN交于一点P．。

第12章12.3角的平分线的性质(课堂练习)人教版数学八年级上册试题试卷含答案

第12章12.3角的平分线的性质(课堂练习)人教版数学八年级上册试题试卷含答案

1．如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，15ABC S ∆=，3DE =，6AB =，则AC长是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．42．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，且6AB cm =，则DEB ∆的周长是（ ）A ．6 cmB ．4 cmC ．10 cmD ．以上都不对3．在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，到AOB ∠两边距离相等的点应是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q4．如图，P 是BAC ∠的平分线AD 上一点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，下列结论中不正课堂练习：基础版题量: 10题 时间: 20min12.3角的平分线的性质确的是（ ）A ．PE PF =B ．AE AF =C ．APE APF ∆∆≌D ．AP PE PF =+5．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，有下列结论：①CD ED =；②AC BE AB +=；③BDE BAC ∠=∠；④AD 平分CDE ∠；其中正确的是（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，已知OA 和OB 两条公路，以及C 、D 两个村庄，建立一个车站P ，使车站到两个村庄距离相等即PC PD =，且P 到OA ，OB 两条公路的距离相等．7．如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE AB⊥于点E ，8cm AB =，那么DEB ∆的周长是__________ cm．8．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若5AB =，2DC =，则ABD ∆的面积为__________．9．如图，已知点O 在BAC ∠的平分线上，BO AC ⊥，CO AB ⊥，垂足分别为D 、E ，求证：OB OC =．10．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，如果5cm DE =，32CAD ∠=︒，求CD 的长度及B ∠的度数．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清 思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．如图，点P 为所作．7．88．59．证明： 点O 在BAC ∠的平分线上，BO AC ⊥，CO AB ⊥，OE OD ∴=，90BEO CDO ∠=∠=︒，在BEO ∆和CDO ∆中，BEO CDO OE ODEOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)BEO CDO ∴∆≅∆，OB OC ∴=．10．AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DC AC ⊥，5cm CD DE ∴==，又AD 平分BAC ∠，223264BAC CAD ∴∠=∠=⨯︒=︒，90906426B BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．1．如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，15ABC S ∆=，3DE =，6AB =，则AC长是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．42．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，且6cm AB =，则DEB ∆的周长是（ ）A ．6 cmB ．4 cmC ．10 cmD ．以上都不对3．在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，到AOB ∠两边距离相等的点应是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q4．如图，P 是BAC ∠的平分线AD 上一点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，下列结论中不正课堂练习：提升版题量: 10题 时间: 20min12.3角的平分线的性质确的是（ ）A ．PE PF =B ．AE AF =C ．APE APF ∆∆≌D ．AP PE PF =+5．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，有下列结论：①CD ED =；②AC BE AB +=；③BDE BAC ∠=∠；④AD 平分CDE ∠；其中正确的是（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，已知OA 和OB 两条公路，以及C 、D 两个村庄，建立一个车站P ，使车站到两个村庄距离相等即PC PD =，且P 到OA ，OB 两条公路的距离相等．7．（★）如图，已知AB CD ，AD DC ⊥，AE BC ⊥于点E ，35DAC ∠=︒，AD AE =，则B ∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒8．（★）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ，BE CF =．求证：AD 是ABC ∆的角平分线．9．（★）如图，BE CF =，DE AB ⊥的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，且DB DC =，求证：AD 是BAC ∠的平分线．10．（★）如图，点B ，C 分别在A ∠的两边上，点D 是A ∠内一点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F ，且AB AC =，DE DF =．求证：BD CD =．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清 思路不清 计算错误粗心大意【正确解答】1．D2．A3．A4．D5．D6．如图，点P 为所作．7．C8．证明：DE AB ⊥ ，DF AC ⊥，Rt BDE ∴∆和Rt CDF ∆是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)BDE CDF ∴∆∆≌，DE DF ∴=，DE AB ⊥ ，DF AC ⊥，AD AD =，Rt Rt (HL)ADE ADF ∴∆∆≌，ADE ADF ∴∠=∠，AD ∴是角平分线．9．证明：DE AB ⊥ 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，BED CFD ∴∠=∠，BDE ∴∆与CDF ∆是直角三角形，BE CF BD CD=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)BDE CDF ∴∆∆≌，DE DF ∴=，AD ∴是BAC ∠的平分线．10．证明：连接AD ，DE AB ⊥ ，DF AC ⊥，DE DF =，BAD CAD ∴∠=∠，在ABD ∆和ACD ∆中AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ACD ∴∆∆≌(SAS)，BD CD ∴=．1．如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，15ABC S ∆=，3DE =，6AB =，则AC长是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．42．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，且6cm AB =，则DEB ∆的周长是（ ）A ．6 cmB ．4 cmC ．10 cmD ．以上都不对3．在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，到AOB ∠两边距离相等的点应是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q4．如图，P 是BAC ∠的平分线AD 上一点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，下列结论中不正课堂练习：培优版题量: 10题 时间: 20min12.3角的平分线的性质确的是（ ）A．PE PF==B．AE AFC．APE APF∆∆=+≌D．AP PE PF5．如图，在ABC∠=︒，AD平分BAC∠，DE AB∆中，90C⊥于E，有下列结论：①∠=∠；④AD平分CDE+=；③BDE BAC∠；其中正确的是（ ）=；②AC BE ABCD ED个．A．1B．2C．3D．46．如图，已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村=，且P到OA，OB两条公路的距离相等．庄距离相等即PC PD7．（★★）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，15AB =，则ABD ∆的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．608．（★★）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，8AD =．对角线BD CD ⊥，P 是BC 边上一动点，连接PD ．若ADB C ∠=∠，则PD 长的最小值为__________．9．（★★）如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 是BC 边上的一动点，过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F ．当点D 移动到什么位置时，AD 恰好平分BAC ∠？请说明理由．10．（★★）如图，四边形ABCD 中，90B ∠=︒，//AB CD ，M 为BC 边上的一点，且AM平分BAD ∠，DM 平分ADC ∠．求证：（1）AM DM ⊥；（2）M 为BC 的中点．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．D2．A3．A4．D5．D6．如图，点P 为所作．7．B8．89．当点D 移动到BC 的中点时，AD 恰好平分BAC ∠，理由如下：D 为BC 的中点BD CD∴=B C ∠=∠ ，90BED CFD ∠=∠=︒，BD CD =，∴∆≅∆BDE CDF AAS()⊥DE DF⊥，DF AC ∴=，且DE AB∠．∴平分BACAD10．（1）AB CD，∴∠+∠=︒，180BAD ADC∠，∠，DM平分ADC 平分BADAM∴∠+∠=︒，22180MAD ADM∴∠+∠=︒，MAD ADM90∴∠=︒，90AMD即AM DM⊥；⊥交AD于N，（2）作NM ADAB CD，，//90∠=︒B⊥，∴⊥，CM CDBM AB∠，∠，DM平分ADC 平分BADAM=，BM MN∴=，MN CM∴=，BM CM即M为BC的中点．。

八年级数学上册《第十二章 角的平分线的性质》同步练习题含答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章 角的平分线的性质》同步练习题含答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章 角的平分线的性质》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：1．△ABC 是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A 、∠B 的平分线，如果两条平分线交于点O ，那么下列选项中不正确的是（ ）A ．点O 一定在△ABC 的内部B ．∠C 的平分线一定经过点OC ．点O 到△ABC 的三边距离一定相等D ．点O 到△ABC 三顶点的距离一定相等2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，使点P 到AB 、BC 的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知直线AB CD ，EG 平分BEF ∠，140∠=︒则2∠的度数是（ ）A ．70︒B ．50︒C ．40︒D ．140︒4．如图，在 ABC 中 90B ∠=︒ ， AD 为 BAC ∠ 的角平分线.若 4BD = ，则点 D 到 AC 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图：△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AC=6cm ，则DE+BD 等于（ ）A ．5cmB ．4cmC ．6cmD ．7cm6．如图，已知在ABC 中，AB=9，BC=12，AC=15，ABC 的三条角平分线交于点O ，则ABO BOC CAO SS S ：：等于（ ）A ．111：：B ．123：：C ．345：：D ．234：：7．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和25，则△EDF 的面积为( )A ．35B ．25C ．15D ．12.58．如图，△AOB 的外角∠CAB ，∠DBA 的平分线AP ，BP 相交于点P ，PE ⊥OC 于E ，PF ⊥OD 于F ，下列结论：(1)PE=PF ；(2)点P 在∠COD 的平分线上；(3) ∠APB=90°-∠O ，其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：9．如图，已知∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC ，且AD 是∠EAC 的平分线，若∠B=71°，则∠BAC= ．10．如图，∠AOB=80°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D ，若QC=QD ，则∠AOQ= ．11．如图，四边形ABCD 中 90BCD ∠=︒ ，∠ABD=∠DBC ， AB=5 ， DC=6 ，则 ABD 的面积为 ．12．已知OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，且PD=3cm ，过点P 作PE ∥OA 交OB 于E ，∠AOB=30°，求PE 的长度 cm ．13．如图，在△ABC 中，∠ABC=48°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠ABE= °．三、解答题：14．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE BC 交AB 于点E ，50C ∠=︒和95BDC ∠=︒求BED ∠的度数．15．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是28cm 2，AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长．16．如图，BD=CD ，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E.求证：点D 在∠BAC 的角平分线上.17．如图，已知DE ⊥AE ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，BD=CD ，BE=CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE ，请你帮他写出证明过程．18．如图，在四边形ABDC 中90D B ∠=∠=︒，O 为BD 上的一点，且AO 平分BAC CO ∠，平分ACD ∠.求证：（1）OA OC ⊥.（2）AB CD AC +=参考答案：1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．D 8．C9．38°10．40°11．1512．613．2414．解：∵50C ∠=︒ 95BDC ∠=︒∴180955035DBC ∠=︒-︒-︒=︒ BD 平分ABC ∠35ABD CBD ∴∠=∠=︒又∵DE BC∴180180235110BED ABC ∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒ ．15．解：∵在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ∴DE=DF∵△ABC 面积是28cm 2，AB=20cm ，AC=8cm∴S △ABC = 12 AB •DE+ 12 AC •DF=28即 12 ×20×DE+ 12 ×8×DF=28解得DE=2cm ．16．解：∵BF ⊥AC ，CE ⊥AB∴∠BED=∠CFD=90°在△BED 和△CFD 中{∠BED =∠CFD∠BDE =∠CDF BD =CD∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴DE=DF又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴点D 在∠BAC 的平分线上.17．（1）证明： DE AB ⊥ DF AC ⊥90E DFC ∴∠=∠=︒在 Rt BED ∆ 和 Rt CFD ∆ 中BD CD BE CF =⎧⎨=⎩Rt BED Rt CFD(HL)∴∆≅∆DE DF ∴=DE AB ⊥ DF AC ⊥EAD CAD ∴∠=∠AD ∴ 平分 BAC ∠ ；（2）证明： 90E AFD ∠=∠=︒在 Rt AED ∆ 和 Rt AFD ∆ 中AD AD DE DF =⎧⎨=⎩Rt AED Rt AFD(HL)∴∆≅∆AE AF ∴=BE CF =2AB AC AE BE AF CF AE CF AE CF AE ∴+=-++=-++= ．18．（1）证明：∵90D B ∠=∠=︒∴180B D ∠+∠=︒∴AB CD∴180BAC DCA ∠+∠=︒∵AO 平分BAC ∠，CO 平分ACD ∠ ∴12OAC OAB BAC ∠=∠=∠ 12ACO DCO ACD ∠=∠=∠ ∴119022OAC ACO BAC ACD ∠+∠=∠+∠=︒ ∴1809090AOC ∠=︒-︒=︒∴OA OC ⊥；（2）证明：过点O 作OE AC ⊥于点E ，如图所示：∵90D B ∠=∠=︒∴OB AB ⊥ OD CD ⊥∵AO 平分BAC ∠，CO 平分ACD ∠∴OB OE = OD OE =∵OA OA = OC OC =∴()Rt Rt HL OAB OAE ≌ ()Rt Rt HL OCE OCD ≌ ∴AB AE =，CD CE =∴AB CD AE CE AC +=+=。

人教版数学八年级上册 12.3 角的平分线的性质同步练习(含答案)

人教版数学八年级上册 12.3 角的平分线的性质同步练习(含答案)

12.3 角的平分线的性质 同步测试基础闯关全练知识点一 作已知角的平分线1．用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，如图12 -3-1，则说明∠CAD= ∠DAB 的依据是 ( )A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2．作∠AOB 的平分线时，以O 为圆心，某一长度为半径作弧，与OA ，OB 分别相交于C ，D ，然后分别以C ，D 为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点．则这个适当的长度为 ( )A ．大于21CDB ．等于21CD c ．小于21CD D ．以上都不对 知识点二角平分线的性质3．如图12 -3-2，已知BG 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，DE=6．则DF 的长度是 ( )A.2B.3C.4D.64．如图12-3-3，在Rt △ABC 中，∠C= 90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ，若CD=5，AB=18，则△ABD 的面积是 ( )A.15 B ．30 C.45 D ．605．如图12-3-4，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，若BC=5，△BCD 的面积为5，则DE= ( ) A.21 B.1 C.2 D.56．如图12-3-5．在△ABC 中，∠ACB= 90°．AD 是△ABC 的角平分线，BC= 10 cm ，BD ：DC=3:2．则点D 到AB 的距离为 .7.如图12-3-6，已知点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，求证：OB= OC.知识点三 角平分线的判定8．如图12-3 -7，已知点P 到BE 、BD 、AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠B的平分线上：②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰在∠B ，∠DAC ，∠ECA 的平分线的交点处，上述结论中，正确的有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个9．如图12 -3-8．PM ⊥OA ．PN ∠OB ，垂足分别为点M ，N ，PM =PN,∠BOC= 30°．则∠AOB= .10.如图12-3-9，BE= CF ，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB= DC.求证：AD 是∠BAC 的平分线．知识点四 证明几何文字命题的一般步骤11.求证：三角形的互为同旁内角的两个外角的平分线的交点到三角形三边（或所在直线）的距离相等．能力提升全练1．如图12 -3 -10．△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长分别为12，18，24，O 是△ABC 三条角平分线的交点，则S S S OAC OBC OAB △△△::= ( )A.1 : 1 : 1B.1 : 2 : 3C.2 : 3 : 4D.3 : 4 : 52．如图12 -3 - 11，△ABC 的外角的平分线BD 与CE 相交于点P ，若点P 到AC 的距离为3，则点P 到AB 的距离为 ( )A.1B.2C.3D.43．如图12 -3 - 12，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A=70°．则∠BOC 的度数为 ( )A.35°B.125°C.55°D.135° 三年模拟全练 一、选择题1．如图12 -3 -13，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于点E ．△ABC 的面积为15，AB=6，DE=3．则AC 的长是 ( ) A.8 B.6 C.5 D.42．如图12 -3 -14，在△ABC 中，点D 在边BC 上，若∠BAD=∠CAD ，AB=6，AC=3,S ABD △=3，则S ACD △= ( )A. 3B. 6C.23D.293．如图12 -3 - 15，已知AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AE ⊥BC 于点E ，∠DAC= 35°，AD=AE ，则∠B 等于 ( )A.50°B.60°C.70°D.80° 三，解答题4．如图12 -3 - 16，四边形ABCD 中，∠B= 90°，AB ∥CD ，M 为BC 边上一点，且AM平分∠BAD ，DM 平分∠ADC.求证：(1)AM ⊥DM ；(2)M 为BC 的中点.五年中考全练 选择题1．如图12 -3 -17，∠B= ∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，且∠ADC= 110°，则∠MAB= ( )A.30°B.35°C.45°D.60°2．如图12 -3 - 18，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥ OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论错误的是 ( )A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO= ∠DPOD.OC=OD3．如图12 -3 -19，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ．AD 过点P ．且与AB垂直，若AD=8，则点P 到BC 的距离是 ( )A.8B.6C.4D.2 核心素养全练1．本节课我们知道了角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．从而小芳产生了以下的想法：如图12 -3 - 20．已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，那么AB ：AC= BD ：CD 成立吗？若成立，请尝试证明．2．如图12 -3 -21，在△ABC 中，∠B= ∠C ，D 是BC 边上的一动点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．当点D 移动到什么位置时，AD 恰好平分∠BAC?请说明理由．12.3角的平分线的性质基础闯关全练1.A从角平分线的作法得出，△AFD与△AED的三边对应相等，则△AFD≌△AED( SSS)，所以∠CAD= ∠DAB.故选A．2.A适当的长度为大于21CD．3.D ∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF=DE=6．故选D．4.C作DE⊥AB于E，由题意知AD是△ABC的角平分线，∵∠C= 90°，DE⊥AB，∴DE=DC=5．∴△ABD的面积=21AB·DE=45，故选C．5.C作DF⊥BC交BC的延长线于F．∵BC=5．△BCD的面积为5，∴21BC·DF=5，∴DF：2，∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF=2，故选C．6．答案4 cm解析∵BC= 10 cm,BD：DC=3：2，∴DC=4 cm,∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB= 90°，∴点D到AB的距离等于DC的长，即点D到AB的距离等于4 cm.7.∴证明∵点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC,CO⊥AB, ∴OE=OD,∠BEO= ∠CD0=90°.在△BEO和△CDO中，∵∴△BEO≌△CDO( ASA)，∴O B=OC．8.D点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，根据角平分线的判定可知①②③④都是正确的．9．答案60°解析∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM =PN，∴∠AOC= ∠BOC=30°．∴∠AOB= 60°．10.证明∵DE⊥AB．DF⊥AC，∴∠AED= ∠CFD=90°．又∵DB =DC．BE= CF．∴Rt△BED≌Rt ACFD( HL).∴DE =DF．又∵DE⊥AB．DF⊥AC．∴AD是∠BAC的平分线．11.证明已知：如图，BD为△ABC的外角∠CBG的平分线，CE为△ABC的外角∠BCH 的平分线，BD、CE相交于点P求证：点P到△ABC的三边（或所在直线）的距离相等，证明：如图，过点P作PF⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AH，垂足分别为F，M．N．∵PF⊥BC，PM⊥AG，且BD平分上CBG，∴PF=PM．同理，PF=PN，∴PF=PM=PN，即点P到△ABC的三边（或所在直线）的距离相等．能力提升全练1．C ∵O是△ABC三条角平分线的交点，AB，BC，AC的长分别为12,18,24,∴SSS OACOBCOAB△△△::=AB：CB：AC= 12: 18：24=2：3：4故选C2.C如图，过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，∴PQ=PW，PW=PR，∴PR=PQ，∵点P到AC的距离为3，即PQ=3，∴PR=3．即点P到AB的距离为3．3.B ∵∠A= 70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠OBC+ ∠OCB=21×( ∠ABC+∠ACB)= 550,∴∠BOC=180°-55°=125°，故选B．三年模拟全练一、选择题1.D过点D作DF⊥AC于F．如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=3，∴S ABC△=21×6×3+21AC×3= 15,解得AC=4．故选D．2.C如图，过D作DP⊥AC交AC的延长线于P,DQ∠AB于Q，∵∠BAD=∠CAD,∴DP=DQ,∵S ABD△=21AB·DQ=21×6·DQ=3,∴DQ=1，∴DP=1，∴S ACD△=21AC·DP=23，故选C．3.C ∵AD⊥DC,AE⊥BC,AD=AE,∴CA平分∠BCD, ∵∠DAC=35°,AD⊥DC,∴∠ACD=90°-35°=55°,∴∠BCD=2∠ACD=2×55°=110°,∵AB∥CD,∴∠B=180°-∠BCD=180°-110°=70°.故选C．二、解答题4．证明(1)∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°, ∵AM平分∠BAD ,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2 ∠ADM= 180°,∴∠MAD+ ∠ADM= 90°,∴∠AMD= 90°,即AM⊥DM.(2)如图，过M作MN⊥AD,交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB, CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM =MN ,MN= CM，∴BM=CM．即M为BC的中点.五年中考全练选择题1.B 如图，作MN⊥AD于N，∵∠B= ∠C=90°, ∴AB∥CD,∴∠DAB=180°-∠ADC=70°,∵DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD,MB⊥AB,∴∠MAB=21∠DAB=35°，故选B．2.B A．由角平分线上的点到角两边的距离相等，得PC= PD,故A中结论正确；B.∵DP为∠AOB的平分线，∴∠COP= ∠DOP,∵∠COP≠∠CPO,∴∠CPO≠∠DOP,故B中结论错误；C.∵PC⊥OA,PD⊥OB,∴∠PCO= ∠PDO=90°,∵∠COP= ∠DOP,OP=OP,∴△COP≌△DOP( AAS),∴∠CPO= ∠DPO,故C中结论正确； D.∵△COP≌△DOP,∴OC=OD,故D中结论正确．故选B．3.C 如图，过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD, PA⊥BA,∴PD⊥CD,∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD=PE,∴PE=PA=PD，∵PA +PD =AD=8，∴PA= PD=4，∴PE =4．故选C．核心素养全练1．解析成立．在图1中作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E,F,∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵S ABD△=21AB·DE，SACD△=21AC·DF,∴SABD△:S ACD△=AB:AC.在图2中作AP⊥BC，垂足为P, ∴S ABD△=21BD·AP,SACD△=21CD·AP,∴S ABD△:S ACD△=BD:CD.∴AB：AC=BD：CD.2．解析当点D移动到BC的中点时．AD恰好平分∠BAC. 理由：当D是BC的中点时，BD= CD.∵DE⊥AB.DF⊥AC.∴∠DEB= ∠DFC=90°.又∵∠B=∠C，BD= CD，∴△DEB≌△DFC( AAS).∴DE =DF.又∵DE⊥AB．DF⊥AC,∴AD平分∠BAC.。

人教版八年级上册数学 12.3 角的平分线的性质 同步练习(含答案)

人教版八年级上册数学 12.3 角的平分线的性质 同步练习(含答案)

12.3 角的平分线的性质同步练习一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AD＝2，则点D到BC的距离为（）A．1 B．C．D．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝6，BC＝8，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：53．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．34．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（）A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上均不对5．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（）A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m6．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC7．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果△ADE的周长为6cm，AC＝4cm，那么AD等于（）A．2cm B．4cm C．3cm D．6cm8．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．125°D．130°9．如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．4cm2D．2cm210．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC ＝2，则△ABD的面积为．12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为cm．13．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE ＝30°，EC＝3，则EF＝．14．如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝．15．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，AB＝8cm，那么△DEB的周长是cm．三．解答题16．如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积为14，求DE的长．17．如图，点P是∠MON中一点，P A⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠P AB ＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．参考答案1．D2．A3．B4．C5．D6．B7．A8．A9．B10．D11．512．313．614．150°15．816．解：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图，∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，∴DF＝DE．∵△ABC的面积为14，∴S△BCD+S△ACD＝14，∴×DE×10+×DF×4＝14，即5DE+2DE＝14，∴DE＝2．17．证明：∵∠P AB＝∠PBA，∴P A＝PB，∵P A⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，∴OP平分∠MON．18．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在△CDF与△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在△ACD与△AED中，，∴△ACD≌△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．。

12.3角平分线的性质同步练习2021-2022人教版八年级上册数学

12.3角平分线的性质同步练习2021-2022人教版八年级上册数学

12.3角平分线的性质一．选择题1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8B．7.5C．15D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（）处．A．1B．2C．3D．44．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（）A．2B．3C．4D．65．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接P A、PB、PC，若△P AB、△PBC、△P AC的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S1＜S2+S3B．S1＝S2+S3C．S1＞S2+S3D．无法确定S1与（S2+S3）的大小6．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（）A．3B．4C．5D．67．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝9.6cm，则D到AB的距离为（）A．2.2cm B．3.2cm C．4.8cm D．6.4cm9．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A．8B．7C．6D．510．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠AGH＝∠BAE+∠ACB；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．3二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为．14．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC＝．15．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为cm2．三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．17．如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．18．如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，若AC＝5，BC＝4，△ABC的面积为9，求DE的长．参考答案一．选择题1．解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．故选：B．2．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴EC＝ED＝3cm．故选：C．3．解：如图，油库的可选位置有4处．故选：D．4．解：过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DF，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴△DEF的面积＝△DGH的面积，设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，∴△ADF的面积＝△ADH的面积，∴24﹣S＝18+S，解得，S＝3，故选：B．5．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，∴PD＝PE＝PF，∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，∵AB＜AC+BC，∴S1＜S2+S3．故选：A．6．解：过D作DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG＝DE＝2，∵AB＝6，AC＝4，∴S△ABC＝AC•BF＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DG，∴×4•BF＝×6×2+×4×2，∴BF＝5，故选：C．7．解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．8．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵BD：DC＝2：1，∴DC＝BC＝×9.6＝3.2（cm），∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3.2cm，即D到AB的距离为3.2cm．故选：B．9．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C．10．解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴，∵S△AEB：S△AEC＝，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，故选：D．二．填空题11．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.412．解：∵AD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝3，∵BD＝5，∴BE＝＝＝4，故答案为4．13．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝3，又∵AB＝10，∴△ABD的面积为＝15，故答案为：15．14．解：∵在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∴O为△ABC的三内角平分线的交点，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∴∠OBC+∠OCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，故答案为：125°．15．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，∴PF＝PG＝PE＝3，∵S△BPC＝7.5，∴BC•3＝7.5，解得BC＝5，∵△ABC的周长为14cm，∴AB+AC+BC＝14，∴AB+AC＝9，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP＝（AB+AC﹣BC）×3＝×（9﹣5）×3＝6（cm2）．故答案为：6．三．解答题16．证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C．17．证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，∴＝，∵CE＝BF，∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC．18．解：作DF⊥BC，垂足为F．如图：∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC．∴DF＝DE．∵AC＝5，BC＝4，△ABC的面积为9．∴．即：．∴DE＝2．。

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必刷题《12.3 角的平分线的性质》刷基础
知识点一角平分线的做法
1. [2020河北张家口期末]作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧使两弧在∠AOB的内部相交于一点，则这个适当的长度（）
A.大于1
2
CD
B.等于1
2
CD
C.小于1
2
CD
D.以上都不对
2.分别画出已知钝角和平角∠AOB的平分线.
知识点二角平分线的性质
3. [2020辽宁营口期末，中]如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB 交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DBE的周长是（）
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
4. [2019四川成都校级期中]如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC交CD于点E，BC=6，DE=2，则△BCE的面积等于( )
A.6
B.8
C.9
D.18
5. 如图，△ABC中，∠B=30°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为.
6. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=6 cm，AC=8 cm，则BD:CD=
.
7. [2020吉林长春期末]如图，OD平分∠AOB，OA=OB，P为OD上一点，PM⊥BD 于点M，PN⊥AD于点N，求证：PM=PN.
8. [2020吉林长春月考，中]证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”.要求根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，.
求证: .
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
知识点三角平分线的判定
9.[2019福建漳州期末]如图所示是一块三角形的草坪现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A.△ABC三条中线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.以上均不正确
10.[2020山东临沂平邑期中]如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC=( )
A.120°
B.125°
C.130°
D.140°
参考答案
1. 答案：A
解析：因为分别以C ，D 为圆心画弧时，要保证两弧在∠AOB 的内部交于一点，所以半径应大于12
CD ，故选A. 2. 答案：【解】如图所示，射线OC 即为角平分线.
3. 答案：A
解析：∵AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB,DC ⊥AC ，∴CD=ED.
∵AD=AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴AC=AE.
∵AC=BC ，AB=6 cm ，
∴△DBE 的周长为DE+BE+BD=CD+BD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6cm, 故选A.
4. 答案：A
解析：作EH ⊥BC 于点H.
∵BE 平分∠ABC ，CD 是AB 边上的高线，EH ⊥BC ，∴EH=DE=2，
∴△BCE 的面积为
12
BC·EH=6，故选A. 5. 答案：75°
解析：∵∠B=30°，∴∠BAC+∠BCA=150，∴∠DAC+∠FCA=210°.
∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，
∴∠EAC+∠ECA=105°，∴∠AEC=180°-105°=75°.
6. 答案：3：4
解析：∵AD 是∠BAC 的平分线，点D 到AB ，AC 的距离相等，
∴ABD ACD S S △△：=6：8=3：4.
过点A 作AE ⊥BC 于点E ，ABD S △=12BD·AE ，ACD S △= 12CD·AE ， ∴BD:CD=ABD ACD S S △△：=3：4.
7. 答案：【证明】∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=∠AOD.
∵OB=0A，OD=OD，
∴△OBD≌△OAD（SAS），∴∠BDO=∠ADO，即DP平分∠ADB. ∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.
解析：
8. 答案：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E PD=PE
解析：【证明】∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
PDO=PEO
DOP=EOP
OP=OP
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
，
，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE.
9.答案：B
解析：∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭应在△ABC三条角平分线的交点处.故选B.
10.答案：A
解析：∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°. ∵点O到三边的距离相等，∴OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC=1
2
∠ABC，∠OCB=
1
2
∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=1
2
（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°，故选A.。

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