直方图
(完整版)直方图
(二)直方图之制作
例：某厂之成品重量规格为130至190， 今按随机抽测方式抽取200个样本， 其重量测定值如表，试制作直方图。
132 162 165 137 145 153 158 127 155 136 144 157 150 136 126 132 127 147 144 152 137 150 133 162 147 150 157 145 156 152 150 167 152 142 147 142 137 148 143 152 145 136 134 160 142 149 167 146 156 163 139 160 153 147 148 140 152 150 142 153 142 152 144 158 143 148 152 147 153 164 126 159 154 156 147 141 170 151 141 150 137 151 147 152 144 147 142 142 150 150 127 162 160 142 140 143 126 152 147 149 139 146 146 151 125 143 140 141 151 148 128 138 127 143 147 151 134 157 148 150 126 144 142 153 130 144 135 156 147 142 132 142 132 145 144 155 141 148 149 151 145 138 143 154 131 156 129 157 146 143 145 143 134 128 140 157 146 146 150 152 138 142 125 146 132 154 130 154 138 145 146 144 135 162 141 160 145 145 151 142 162 124 127 130 126 143 152 150 157 149 126 140 142 168 152 150 153 150 142 146 162 162 165 162 147 156 167 157 157 164 150 167 160 168 152 160 170 157 151 153 126 124 125 130 125 143 129 127 138 136 126 138 127 128 126 132 126 145 141 142
直方图
直方图一、直方图的定义：1、什么是直方图为了容易的看出如长度、重量、硬度、时间等计量值的数据分布情况，所用来表示的图形。
直方图是将所收集的测定值或数据之全距分为几个相等的区间作为横轴，并将各区间内之测定值所出现次数积累而成的面积，用柱子排列起来的图形，故也称为柱状图。
2、使用直方图的目的（1）了解数据分布的形态。
（2）研究和分析过程能力。
（3）过程分析和控制。
（4）判断数据的真实性。
（5）计划产品的不良率。
（6）求分布的平均值与标准差。
（7）确定控制规格界限。
（8）与规格或标准值比较。
（9）调查是否混入两个以上的不同总体。
（10）了解设计、管理是否符合过程管理。
3、术语（1）频数分布。
将许多的复杂数据依其差异的幅度分成若干组，在各组内列入测量值的出现频率，既为频数分布。
（2）相对频数。
各组出线的频数除以全部的频数，即为相对频数。
（3）积累频数（f）。
自频数分布的测定值较小的一端将其频数累积计算，即为累计频数。
（4）全距（R）。
在所有数据中最大值和最小值的差，即为全距。
（5）组距（h）。
全距/组数=组距（6）算术平均数（X）。
数据的总和除以数据总和为之，通常以X表示。
X= X1+X2+X3+…+X nN（7）中位数（X）。
将数据由小至大依序排列，位居中央的数称为中位数。
若过偶位数时，则取中央两数据的平均值。
（8）众数（MODE）。
频数分布中出现频数最多的组的值。
（9）组中点一组数据中最大值与最小值的平均值。
（上组界+下组界）/2=组中点（11）标准差（S）S = h x Σfu2 -(Σfu)2nn-1二、直方图的制作1、直方图的制作方法步骤1:搜集数据并记录搜集数据时，对于抽样分布必须特别注意，不可取部分样品，应就全部均匀的加以随机抽样。
所搜集样本个数应大于50以上。
步骤2：找出数据中最大值（L）与最小值（S）先从各行（或列）求出最大值、最小值，再予比较。
步骤3：求全距（R）最大值（L）-最小值（S）=全距（R）步骤4：决定组数①组数过少，固然可得到相当简单的表格，但失去频数分布的本质与意义；组数过多，虽然表列详尽，但无法达到简化的目的。
直方图
直方图科技名词定义中文名称：直方图英文名称：Histogram定义：将一个变量的不同等级的相对频数用矩形块标绘的图表(每一矩形的面积对应于频数)。
应用学科：大气科学（一级学科）；天气学（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布百科名片统计直方图直方图(Histogram)又称柱状图、质量分布图。
是一种统计报告图，由一系列高度不等的纵向条纹或线段表示数据分布的情况。
一般用横轴表示数据类型，纵轴表示分布情况。
直方图法的涵义在质量管理中，如何预测并监控产品质量状况?如何对质量波动进行分析?直方图就是一目了然地把这些问题图表化处理的工具。
它通过对收集到的貌似无序的数据进行处理，来反映产品质量的分布情况，判断和预测产品质量及不合格率。
直方图又称质量分布图，柱状图，它是表示资料变化情况的一种主要工具。
用直方图可以的资料，解析出规则性，比较直观地看出产品质量特性的分布状态，对於资分布状况一目了然，便於判断其总体质量分布情况。
在制作直方图时，牵涉学的概念，首先要对资料进行分组，因此如何合理分组是其中的关键问题。
按组距相等的原则进行的两个关键数位是分组数和组距。
是一种几何形图表，它是根据从生产过程中收集来的质量数据分布情况，画成以组距为底边、以频数为高度的一系列连接起来的直方型矩形图，如图所示。
作直方图的目的就是通过观察图的形状，判断生产过程是否稳定，预测生产过程的质量。
具体来说，作直方图的目的有：①判断一批已加工完毕的产品；②验证工序的稳定性；③为计算工序能力搜集有关数据。
直方图将数据根据差异进行分类，特点是明察秋毫地掌握差异。
直方图的绘制方法①集中和记录数据，求出其最大值和最小值。
数据的数量应在100个以上，在数量不多的情况下，至少也应在50个以上。
我们把分成组的个数称为组数，每一个组的两个端点的差称为组距。
②将数据分成若干组，并做好记号。
分组的数量在5－12之间较为适宜。
③计算组距的宽度。
用最大值和最小值之差去除组数，求出组距的宽度。
直方图有关知识点总结归纳
直方图有关知识点总结归纳一、直方图的基本概念1. 直方图的定义直方图是一种以长方形条表示数据频数分布的图形，它将数据按照不同的取值范围分组，并用矩形的高度来表示每个组别的频数，通常横轴表示数据取值范围，纵轴表示频数或频率。
2. 直方图的用途直方图主要用于展示数据的分布情况和频数分布，可以直观地反映出数据的特征。
通过观察直方图，可以了解数据的中心趋势、离散程度等重要信息，对数据的分析和解释具有重要意义。
3. 直方图与柱状图的区别直方图和柱状图都是用长方形条表示数据，但它们之间有一些明显的区别。
直方图用于展示连续变量的频数分布，通常没有间隔，而柱状图则用于展示分类变量的数据，通常有间隔。
二、直方图的绘制方法1. 数据分组绘制直方图之前，首先需要对数据进行分组处理。
一般来说，直方图的分组方式有简单随意分组、等宽分组和等频分组等方法，根据不同数据的分布情况选择合适的分组方式。
2. 绘制坐标轴在绘制直方图时，需要绘制横轴和纵轴，横轴通常表示数据的取值范围，纵轴表示频数或频率。
在绘制时需注意选择合适的刻度和轴标签，使得图形清晰易懂。
3. 绘制长方形条根据数据分组的结果，按照每个组别的频数或频率，在对应的位置上绘制长方形条，长方形条的高度代表了该组别的频数或频率。
4. 添加标题和标签最后，需要添加标题和标签，说明直方图的含义和数据的来源，使得图形更加完整和明了。
三、直方图的特点1. 易于理解直方图通过直观的图形展示了数据的分布情况，能够直观地反映出数据的特征，便于人们理解和分析数据。
2. 反映数据分布直方图能够清晰地展示数据的分布情况，包括数据的中心趋势、离散程度等重要信息，有助于人们对数据的特征有更深入的了解。
3. 对比不同组别直方图可以直接对比不同组别的频数或频率，帮助人们了解不同组别之间的差异和相似之处。
4. 难以变换直方图通常用于展示分布情况，不易对数据进行变换，因此在选择分组方式和绘制时需谨慎考虑。
什么是直方图
什么是直方图直方图(Histogram)也叫柱状图，是一种统计报告图，由一系列高度不等的纵向条纹表示数据分布的情况。
假设我们有一堆硬币，如下图所示，我们想知道一共有多少钱。
我们当然可以一枚一枚地数，但这样如果硬币多了可能会搞乱，因此我们需要先把硬币分类，然后分别统计每种硬币的数量。
把统计的结果图示出来，就成了直方图。
下图的横向数轴标示出硬币的面额(Kind of Coins)，纵向标示出硬币的数量(Number of Coins)。
图像的直方图以灰度图为例，假设我们的图中一共只有0,1,2,3,4,5,6,7这8种灰度，0代表黑色，7代表白色，其它数字代表0~7之间不同深浅的灰度。
统计的结果如下，横轴标示灰度级别(0~7)，纵轴标示每种灰度的数量。
Photoshop(PS)中的显示。
直方图统计数据Photoshop CS提供了动态的直方图面板，CS之前的版本要通过图象>直方图来察看。
横轴标示亮度值(0~255)，纵轴标示每种像素的数量。
像素(Pixels) - 图像的大小，图像的像素总数。
[5*3=15]色阶、数量、百分位这三项根据鼠标指针的位置来显示横坐标当前位置的统计数据。
色阶(Level) - 鼠标指针所在位置的亮度值，亮度值范围是0~255。
[181]数量(Count) - 鼠标指针所在位置的像素数量。
[4]百分位(Percentile) - 从最左边到鼠标指针位置的所有像素数量÷图像像素总数。
[(1+2+1+2+3+4)/15 = 13/15 = 0.8667 = 86.67%]当鼠标拖动，选中直方图的一段范围时，色阶、数量、百分位将显示选中范围的统计数据。
下面举个简单的例子来说明平均值、标准偏差、中间值。
例如图像A只有4个像素，亮度分别是200、50、100、200。
平均值(算术平均数,Mean,Average) - 图像的平均亮度值，高于128偏亮，低于128偏暗。
直方图
80.7
81.2 81.7 82.2 82.7
17
9 7 3 1 100
1
2 3 4 5
17
21 12 12 5 -8
17
36 63 48 25 404
（1）作成频数表 例：100个数据 （2）确定u栏 各组中点-频数较多的一组的中点 u= 组距 77.7-80.2 例：u= 0.5 =-5 （第2~11组之u值照上例计算求出） （3）求出uf合计 uXf值记入uf 2 栏
③
SU
※此图显示过程能力尚可
※此图显示过程能力较规格好很多
※此图显示过程能力偏左，偏向下限，应对 设备、原料加以追查 SU
SL
④
SU
SL
⑤
※此图显示过程能力偏右，偏向上限，应对 设备、原料加以追查
※此图显示过程能力过于分散，应对人员的 变动与作业方法加以追查
最大值 最小值
最大值:82.8
最小值:77.5
3.确定组数(K)
K=√n (取整数值) =√100=10
4.确定组距(C)
C=
R K
最大值-最小值 组数 82.8-77.5 10
=
=
(此值为测定单位的整数倍数)
=
5.3 10
=0.53≈0.5
(为了便于计算平均数或标准差,组距常取5或2的倍数)
5.确定组间的界值(组界)
组间的界值的精密度以最小测定单位值的1/2(或 取比测定单位小)来确定。
最小测定单位
故 第一组下限=最小值2 第一组上限=第一组下限+组距 第二组下限=第一组上限 第三组上限=第二组下限+组距（其余类推） 例：第一组下限=77.5-0.05=77.45 (本例最小测量单位为0.1mm) 第一组上限=77.45+0.5=77.95 (组距0.5) 第一组为 77.45~77.95 (组距0.5) 第二组为 77.95~78.45 (组距0.5) 第三组为 78.45~78.95 (组距0.5)
图像直方图知识点总结
图像直方图知识点总结1. 直方图的概念直方图是一种统计图形，是将图像中各个灰度级别的像素数量统计出来后，以灰度级别为横坐标，像素数量为纵坐标绘制成的图形。
直方图能够直观地展示图像中像素的分布情况，可以反映图像亮度的均匀性、对比度等信息。
通过直方图，我们可以了解到图像中的主要亮度分布情况，并据此进行图像的处理。
2. 直方图的特性直方图主要包括以下几个特性：（1）灰度级别：直方图横坐标表示了图像的灰度级别，通常在0-255之间，其中0表示最暗的像素，255表示最亮的像素。
（2）像素数量：直方图纵坐标表示了该灰度级别下的像素数量，能够反映出图像中各个灰度级别的像素分布情况。
（3）峰值：直方图中的峰值表示了图像中主要的亮度分布情况，峰值越高则表示该亮度级别下的像素越多。
（4）对比度：直方图的分布情况能够反映出图像的对比度，对比度越大则直方图中的峰值越明显。
3. 直方图的应用直方图在图像处理中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：（1）图像增强：通过对直方图进行均衡化等处理，可以增强图像的对比度，使图像更加清晰。
（2）图像分割：通过直方图可以找到图像中不同区域的亮度分布情况，从而进行图像的分割处理。
（3）图像压缩：通过对直方图进行统计分析，可以找到图像中重复出现的像素，从而进行有效的图像压缩。
（4）图像识别：通过对直方图进行特征提取，可以对图像进行识别和分类。
4. 直方图均衡化直方图均衡化是一种常用的图像增强方法，通过对图像的直方图进行调整，使得图像的像素分布更加均匀，提高了图像的对比度和视觉效果。
直方图均衡化主要包括以下几个步骤：（1）计算灰度频率：首先需要统计图像中各个灰度级别的频率，得到原始直方图。
（2）计算累积频率：对原始直方图进行累积求和等处理，得到各个灰度级别的累积频率。
（3）灰度映射：根据累积频率进行灰度级别的映射，得到新的直方图。
（4）图像重构：根据新的直方图对图像像素进行重构，得到均衡化后的图像。
直方图及散布图的特点与概念
准要求为1000 0 +0.50（ｇ）。用直方图分析 产品的重量分布情况。
1、收集数据： 收集生产稳定状态下的产品100个，测定其重
量得到100个数据（或收集已经测定过的数据 100个），列入表10-1中。
作直方图的数据要大于50个，否则反映分
往往是经全数检 查，剔出不合格 品后的产品数据， 作直方图时出现 的状态。
或是根据虚假数 据作直方图时出 现的状态。
陡壁型
27
2、与规范界限的比较分析：
当直方图的形状呈正常型时， 即工序在此时此刻处于稳定状态 时，还需要进一步将直方图同规 范界限（即公差）进行比较，以 分析判断工序满足标准公差要求 的程度。 常见的典型状态如下:
48 50
质量特性值的分布范围
8
3、确定组数（k）：
将收集的数据的分布 范围 （R）划分为若干个（k）区 间（组）。
组数的确定要适当，组数太少 会因代表性差引起较大计算误差； 组数太多会影响数据分组规律的 明显性，且计算工作量加大。通 常确定的组数要使
每组平均至少包括4～5 个数据。
可参考下表，这是一个经验数 值表。
4
4、直 方 图 用 途：
1）向领导汇报质量情况； 2）按不同的工人、设备、原料、日期
等各种原因进行质量分析； 3）调查工序或设备的能力，进一步确
定工序能力指数； 4）在QC小组活动中主要用于现状调
查、制定并实施对策和效果检查，也 可用于课题选择、确定目标、遗留问 题的确定等。
5
二、直方图的作法
28
1、理 想 型
图形对称分布， TL 且两边有一定余 量，是理想状态。 这时可考虑在以 后的生产中抽取 少量的样品进行 检验。
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j 0 j 0 k k
nj n
乘以n，再四舍五 入取整
44
说明
由于数字图像灰度取值的离散性，通过四 舍五入使得变换后的灰度值出现了归并现 象，从而致使变换后的图像并非完全均匀 分布，但是相比原始直方图要均匀得多
直方图修正
2.直方图规定化/直方图匹配 在某些情况下，并不一定需要具有均匀直 方图的图像，有时需要具有特定的直方图 的图像，以便能够增强图像中某些灰度级。 直方图规定化方法就是针对上述思想提出 来的。 直方图规定化是使原图像灰度直方图变成 规定形状的直方图而对图像作修正的增强 方法
0.89
0.95 0.98 1.00
6/7
1 1 1
s3=6/7
985
0.24
s4=1
448
0.11
41
例：
原图像的直方图
均衡后图像的直方图
42
例：直方图均衡化示例
43
例：
思考问题： 若在原图像一行上连续8个像素的灰度值分 别为：0、1、2、3、4、5、6、7，则均衡 后，对应的灰度值为多少？
46
直方图规定化
可见，它是对直方图均衡化处理的一种有 效的扩展。直方图均衡化处理是直方图规 定化的一个特例 对于直方图规定化，下面仍从灰度连续变 化的概率密度函数出发进行推导，然后推 广出灰度离散的图像直方图规定化算法
47
直方图规定化
假设pr(r)和pz(z)分别表示已归一化的原始 图像灰度分布的概率密度函数和希望得到 的图像的概率密度函数 首先对原始图像进行直方图均衡化，即求 变换函数：
H Pi log2 Pi
i 0 L 1
17
3 灰度变换
灰度变换可调整图像的灰度动态范围或图 像对比度，是图像增强的重要手段之一 1．线性变换 令图像f(i，j)的灰度范围为[a,b] ，线性变换 后图像g(i，j)的范围为[a’,b’]，则g(i，j)与 f(i，j)之间的关系式为：
27
对数变换
a,b,c是为了调整曲线的位置和形状而引入 的参数。当希望对图像的低灰度区较大的 拉伸而对高灰度区压缩时，可采用这种变 换，它能使图像灰度分布与人的视觉特性 g(i,j) 相匹配
g (i, j) a ln f (i, j) 1 b ln c
f (i,j)
28
灰度变换
s r
35
直方图修正
从人眼视觉特性来考虑，一幅图像的直方 图如果是均匀分布的，即Ps(s)=k(归一化时 k=1)时，该图像色调给人的感觉比较协调。 归一化假定
Ps ( s ) 1
36
直方图修正
两边积分得
s T ( r ) pr ( r ) dr
0 r
上式表明，当变换函数为r的累积分布函数 时，能达到直方图均衡化的目的 将原图像直方图通过T(r)调整为均匀分布 的直方图，这样修正后的图像能满足人眼 视觉要求
反变换关系为
r T 1 (s)
T-1(s)对s同样满足上述两个条件
34
直方图均衡化
由概率论理论可知，如果已知随机变量r的 概率密度为pr(r), 而随机变量s是r的函数， 则s的概率密度ps(s)可以由pr(r)求出。 假定随机变量s的分布函数用Fs(s)表示，根 据分布函数定义
FS ( s ) ps (s )ds pr (r )dr
直方图均衡化 直方图规定化
30
直方图修正
1. 直方图均衡化 直方图均衡化是将原图像通过某种变换， 得到一幅灰度直方图为均匀分布的新图像 的方法
直方图均衡化
31
直方图修正
首先讨论连续变化图像的均衡化问题，然 后推广到离散的数字图像上 设r和s分别表示归一化了的原图像灰度和 经直方图修正后的图像灰度。即
直方图与灰度变换
主要内容
直方图定义 直方图修正
直方图均衡化 直方图规定化
灰度变换
前言
直方图(Histogram)
来源于统计学 直方图又称柱状图，由一系列高度不等的纵向 长方形或线段表示数据分布的情况。 一般用 横轴表示数据类型，纵轴表示分布情况。 可借用到图像处理
1 图像灰度直方图
灰度直方图反映的是一幅图像中各灰度级 像素出现的频率(次数)。 以灰度级为横坐标，纵坐标为灰度级的频 率，绘制频率同灰度级的关系图就是灰度 直方图。 它是图像的一个重要特征，反映了图像灰 度分布的情况
变换曲线？
23
通过细心调整折线拐点的位置及控制分段 直线的斜率，可对任一灰度区间进行拉伸 或压缩
24
25
灰度变换
3．非线性灰度变换 采用一些非线性函数如对数函数、指 数函数等，作为映射/变换函数，可实现图 像灰度的非线性变换
26
灰度变换
1) 对数变换 对数变换的一般表达式为
g (i, j) a ln f (i, j) 1 b ln c
r1→s1=3/7 1023 r2→s2=5/7 r3→s3=6/7 850
790 0.19 102 0.25 3 850 0.21 985 0.24 448 0.11
2）用于确定图像二值化的阈值
0 g ( x, y ) 1
f ( x, y ) T f ( x, y ) T
15
具有二峰性的灰度图象
16
直方图的应用
3）当影像上目标的灰度值比其它部分灰度 值大或者灰度区间已知时，可利用直方图 统计图像中物体的面积
A n vi
i T
4）计算图像信息量H（熵）
20
灰度变换
21
灰度变换
2．分段线性变换 为了突出感兴趣目标所在的灰度区间，相 对抑制那些不感兴趣的灰度区间，可采用 分段线性变换
22
分段线性变换
设原图像f(x,y)在[0，Mf],感兴趣目标的灰度 范围在[a,b],欲使其灰度范围拉伸到[c,d],则 对应的分段线性变换表达式为
( c / a ) f ( x, y ) 0 f ( x, y ) a g ( x, y) [(d c) /(b a)][ f ( x, y) a] c a f ( x, y) b [(M d ) /(M b)][ f ( x, y) b] d b f ( x, y) M f f g
51
例：
采用与直方图均衡相同的原始图像数据 （64×64像素且具有8级灰度），其灰度级 分布列于表中。给定的直方图的灰度分布 列于表中 对应的直方图如下： 规定化直方图 原图像的直方图
52
例：
rj →sk r0→s0=1/7 nk 790 ps(sk) 0.19 0.25 0.21 zk z0=0 z1=1/7 z2=2/7 z3=3/7 pz(zk) 0.00 0.00 0.00 0.15 vk 0.00 0.00 0.00 0.15 zk并 z0 z1 z2 z3→s0=1/ 7 z4→s1=3/ 7 z5→s2=5/ 7 z6→s3=6/ 7 z7→s4=1 nk 0 0 0 pz(zk) 0.00 0.00 0.00
37
直方图修正
对于离散的数字图像，用频率来代替概率, 则变换函数T(rk)的离散形式可表示为：
sk T (rk ) pr (r j )
j 0 j 0 k k
nj n
上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直 接由原图像的直方图算出
38
直方图修正
一幅图像的sk与rk之间的关系称为该图像的 累积灰度直方图
s T (r )
r
0
pr ( r ) dr
48
直方图规定化
假定已得到了所希望的图像，对它也进行 均衡化处理，即 z
v G( z)
0
pz ( r ) dr
它的逆变换是
z G 1 (v)
这表明可由均衡化后的灰度得到希望图像 的灰度
49
直方图规定化
若对原始图像和希望图像都作了均衡化处 理，则二者均衡化的ps(s)和pv(v)相同，即 都为均匀分布的密度函数 由s代替v得 z=G-1(s) 这就是所求得的变换表达式
2) 指数变换 指数变换的一般表达式为:
f (i,j)
g (i, j ) b
c f ( i , j ) a
1
g (i,j)
参数a,b,c用来调整曲线的位置和形状。这 种变换能对图像的高灰度区给予较大的拉 伸
29
4 直方图修正
灰度直方图反映了数字图像中每一灰度级 与其出现频率间的关系,它能描述该图像的 概貌。通过修改直方图的方法增强图像是 一种实用而有效的处理技术 直方图修整法分为两类:
0 r, s 1
在[0,1]区间内的任一个r值，都可产生一个 s值，且
s T (r )
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直方图均衡化
T(r)作为变换函数，满足下列条件：
1）在0≤r≤1内为单调递增函数，保证灰度级从 黑到白的次序不变 2）在0≤r≤1内，有0≤T(r)≤1，确保映射后的像 素灰度在允许的范围内
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直方图均衡化
一个灰度级在范围[0，L-1]的数字图像的直 方图是一个离散函数 p(rk)= nk/n n 是图像的像素总数 nk是图像中灰度级为rk的像素个数 rk 是第k个灰度级，k = 0,1,2,…,L-1
直方图定义
两种图像直方图定义的比较
h(rk)= nk p(rk)= nk/n 定义(1) 定义(2)
其中，定义（2） 使函数值正则化到[0,1]区间，成为实数函 数 函数值的范围与象素的总数无关 给出灰度级rk在图像中出现的概率密度统计
直方图定义 图像直方图的定义举例
h(rk)
rk
2 直方图的应用
1）用于判断图像量化是否恰当