正交试验设计的方差分析知识讲解
正交试验方差解析总结报告通俗易懂
适用标准文案第十一章正交设计试验资料的方差剖析在实质工作中，经常需要同时观察3个或3个以上的试验要素，假设进行全面试验，那么试验的规模将很大，常常因试验条件的限制而难于实行。
正交设计是安排多要素试验、追求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一)正交设计的根本观点正交设计是利用正交表来安排多要素试验、剖析试验结果的一种设计方法。
它从多要素试验的所有水平组合中精选局部有代表性的水平组合进行试验，经过对这局部试验结果的剖析认识全面试验的状况，找出最优水平组合。
比方，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A要素是氮肥施用量，设A1、A2、A33个水平；B要素是磷肥施用量，设B1、B2、B33个水平；C要素是钾肥施用量，设C1、C2、C33个水平。
这是一个3要素每个要素3水平的试验，各要素的水平之间所有可能的组合有27种。
假设进行全面试验，能够剖析各要素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数许多，工作量大，因为受试验场所、经费等限制而难于实行。
假设试验的主要目的是追求最优水平组合，那么可利用正交设计来安排试验。
正交设计的根本特色是：用局部试验来取代全面试验，经过对局部试验结果的剖析，认识全面试验的状况。
正交试验是用局部试验来取代全面试验，它不行能像全面试验那样对各要素效应、交互作用一一剖析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混淆。
如关于上述3要素每个要素3水平试验，假设不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反响试验方案包含27个水平组合的全面试验的状况，找出最正确的生产条件。
一、正交设计的基来源理表11-133试验的全面试验方案出色文档适用标准文案正交设计就是从全面试验点〔水平组合〕中精选出有代表性的局部试验点〔水平组合〕来进行试验。
图1中标有‘9’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中精选出来的个试验点。
实验设计的方差分析与正交试验
实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。
在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。
通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。
该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差和组间方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。
这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。
1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。
通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。
2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。
正交试验设计及其方差分析
例 9. 8 提高某化工产品转化率的试验 . 某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两 种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此 考虑对 A ， B ，C ， D 这4个因素进行试验.根据以往的经验，确 定各个因素的3个不同水平，如表9-19所示 .分析各因素对产品的 转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.
3
显然 T Tij ,j =1，2，3，4.此处 i 1
T11 大致反映了A1 对试验结果的影响, T21 大致反映了A2 对试验结果的影响, T31 大致反映了A3 对试验结果的影响, T12 , T22 和 T32 分别反映了B1 , B2 , B3 对试验结果的影响,
T13 , T23 和T33 分别反映了C1, C2 , C3 对试验结果的影响, T14 , T24 和 T34 分别反映了D1, D2 , D3 对试验结果的影响.
Rj 反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小, Rj 越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表 of range) 由极差大小顺序排出因素的主次顺序:
这里, Rj值相近的两因素间用“、”号隔开,而Rj 值相差较 大的两因素间用“;”号隔开.由此看出,特别要求在生产过程中 控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制 好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.
(2 ) 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同 . 如 表 L4 (23) 中任意两列，数字1 ， 2 间的搭配是均衡的 .
凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).
常用的正交表有L9(34)， L8(27)，L16(45)等,见附表7. 用正 交表来安排试验的方法,就叫正交试验设计. 一般正交表)
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
正交试验方差分析
1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1 1 2 2 2（7.0） 2（2.4） 3（7.5） 3（2.8 2 3 1 3 2 3
2（55） 1
3（58） 1
8பைடு நூலகம்
9 K1j
3
3 15.76
2
3 25.18
1
2 22.65
3
1 20.74
10.9
8.95
T 65.58
K2j
K3j K1j2 K2j2 K3j2
n
对上式做如下变换
SST ( X ij X ) 2 ( X ij X i. X i. X ) 2
i 1 j 1 i 1 j 1
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2 (X ij X i. )( X i. X )
各式的物理意义
X
所有数据的平均值称为总平均 值 第i个水平的数据平均值称为组平均值 随机误差，又称为组内离差平方和
X i.
SSE 表示每一个数据与其组平均值的离差平方和，反映了实验中的
SS A
表示组平均值与总的平均值得离差平方和，反映了由于因素不同水平引 起的差异又称为组间离差平方和
再稍做整理
X 总和 2 2 SST ( X ij X ) ( X ij ) N i 1 j 1 i 1 j 1 X 总和 校正项CF N
2 2 i 1 j 1 r n i 1 j 1 r n i 1 j 1
r
n
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
5-2正交试验设计(方差分析)
正交表
选择部分条件进行试验，再通过数据分析来 寻找好的条件，这便是试验设计问题。通过 少量的试验获得较多的信息，达到试验的目 的：发现那些因子对试验结果确有影响，因 子的什么水平组合是最好的。
第五章 正交试验设计
一、试验设计的基本概念与正交表
多因素试验遇到的最大困难是试验次数太 多，若十个因素对产品质量有影响，每个因素 取两个不同状态进行比较，有210=1024、 如 果每个因素取三个不同状态310=59049个不同 的试验条件
在多因素试验中，有人采用“单因素轮换 法”，但是这种方法不一定能找到好的条件 譬如：考察两个因子，先固定A在A1，发 现B3好，再固定B3，发现A1好，但是实际上好 的条件是A2B2。 B1 B2 B3 A1 50 56 62 A2 56 70 60 A3 54 60 58
利用正交表进行试验设计的方法就是正交试 验设计。
表 4 .1 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 列号 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
L 9 (3 ) 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
4
“L”表示正交表，“9”是行数，在试验中表示试 验的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以安排 的因子的最多个数，“3”是表的主体只有三个不同 数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数。
二、无交互作用的正交设计与数据分析
正交试验设计2正交试验数据方差分析和贡献率分析
正交试验设计2正交试验数据方差分析和贡献率分析正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择适当的试验水平组合和设置统计模型，以减少试验阶段的试验次数和工作量，提高试验的效率和准确性。
正交设计通过对变量进行排列组合，使各变量的效应独立出现并减少副效应的影响，从而使实验结果更加可靠。
正交设计数据分析方法方差分析(ANOVA)是一种统计方法，用于测试在不同因素水平下的平均值是否相等。
在正交试验中，方差分析可以用于测试各个因子对试验结果的影响是否显著。
方差分析通常包括总体均值检验、各因子的效应检验以及误差项的检验。
通过方差分析可以确定哪些因子对试验结果的影响是显著的，进而确定最佳的试验条件。
贡献率分析是一种用于确定各个因子对试验结果的贡献程度的方法。
贡献率分析可以通过计算各个因子的均方根(RMS)值来确定各个因子的贡献程度。
贡献率可以用来排除一些不显著的因子，从而进一步优化试验条件。
1.节省试验次数和工作量：由于正交设计能够减少变量之间的相关性，可以通过较少的试验次数得到可靠的结果。
2.减少误差项：正交设计通过考虑副效应的影响，减少了试验误差的可能性，提高了数据的可靠性。
3.确定关键因素：正交设计通过方差分析和贡献率分析，可以确定对试验结果有着显著影响的关键因素，从而进行进一步优化。
4.灵活性：正交设计可以根据实验需求进行灵活的调整和改变，以适应多样的试验条件和目标。
总结正交试验设计是一种有效的实验设计方法，可用于减少试验次数和工作量，提高试验效率和准确性。
方差分析和贡献率分析是对正交设计数据进行进一步分析和总结的重要工具，可以帮助确定关键因素和优化试验条件。
正交试验设计能够在实验设计的早期阶段对各个因子进行全面考虑，从而为实验结果的有效性和可靠性打下基础。
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三.正交试验设计的方差分析 现以实验室制取H2为例，来说明正交设计的方
差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平 如表1和表2所示。
因素 水平 一
二
三
表1. 因素水平
A wH2SO4 (%) 20
B mCuSO4·5H2O(g) 0.4
25
0.5
30
0.6
C mZn (g) 4
5
6
表2.实验方案及实验结果的直观分析
和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。
上述推论可通过以下简单换算予以证明。
若令Xi=yi-C (i=1, 2, ……n)
则
X1 n
ni1
xi
1n
ni1
yi
C
XyC
n
n
n
于是 S (xi x)2 [(yi C)(yC)]2 (yi y)2
i1
例如，某因素A的偏差平方和的自由度fA=1，误差 (e)的偏差平方和的自由度fe=8，查得F0.1(1,8)=3.64，这 里0.1是信度。
在判断时(如判断因素A的水平的改变对实验结果
是否有显著影响)，信度a是指我们对做出的判断有多大
的把握，若a=5%，那就是指当FA>F0.05(fA, fe )时，大概 有95%的把握判断因素A的水平改变对实验结果有显著
列号 A
实验号
wH2SO4 (%)
K1
104.21
K2
116.12
K3
131.35
k1
34.78
k2
38.70
k3
43.78
R
9.05
B
C
mCuSO4·5H2O(g) mZn (g)
114.09 117.25 120.34 38.03 39.08 40.11 2.08
122.77 115.23 113.68 40.92 38.41 37.89 3.03
的偏差平方和 S (yi y)2 除以平方项的个数减1， i1
即除以(n-1)，就得到平均偏差平方和。
平 均 偏 差 平 方 和 nS 1
为什么不除以n而要除以(n-1)呢？这是因为n个
数(y1, y2, y3, ……yn)之间并非彼此毫无关系，它们满
足的关系是：
y
1 n
为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 因素水平(或交互作用)的变化引起的实验结果间的差 异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。
方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分 解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动， 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和(S总)分解为因素的偏差平方和(SA、SB、SC ……)与误差的偏差平方和(Se)，并计算它们的平均偏 差平方和(也称均方和，或均方)，然后进行检验，最 后得出方差分析表。
当FA >F0. 01 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有很显著的影响，记作**。
当FA >F0. 05 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有显著的影响，记作*。
当FA >F0. 10 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有一定的影响，记作O。
列号 实验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A wH2SO4 (%) 1 2 3 1 2 3 1 2 3
B
C
mCuSO4·5H2O(g) mZn (g)
1
1
1
2
1
3
2
3
2
1
2
2
3
2
3
3
3
1
空白列
2 1 3 1 3 2 3 2 1
10min内H2的 产率
32.62 40.40 41.07 34.97 36.53 45.75 36.62 39.19 44.53
差异主要是由实验误差所引起的)，这就需要有一个
标准来衡量F比值，此标准就是根据统计数学原理编 制的F分布表，F分布表列出了各种自由度情况下F比 的临界值。
在F分布表上横行(n1：1, 2, 3…)代表F比中分子的自 由度；竖行(n2：1, 2, 3…)代表F比中分母的自由度；表 中的数值即各种自由度情况下F比的临界值。
影响。对于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的
有a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可
在各种信度的F表上查得F比的临界值，分别记作 F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。
4.因素的显著性判断 设因素A的F比为FA：
正交试验设计的方差分析
一.方差分析的意义
前面我们介绍了正交设计方案及其结果的直 观分析，该方法简单明了，通俗易懂，计算工作 量少，便于普及和推广。但直观分析方法不能把 实验中由于实验条件的改变而引起的数据波动同 实验误差引起的数据波动区分开来，也就是说， 不能区分因素各水平所对应的实验结果间的差异， 究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于实验 误差引起的。
n i1
yi
即n个数之和的均值为一定值，因此，n个数中
只有(n-1)个可“自由”变动，所以，求平均偏差平
方和时除以(n-1)，数学上将这个(n-1)称为S的自由
度。
当实验所测得的n个数(y1, y2, y3, ……yn)数值较 大时，为了简化计算，可将每一个原始数据yi(i=1, 2, 3……n)都减去同一个常数C，这并不影响偏差平方
i1
i1
3. F比与F分布表
(1) F比
差F比的是平指均因偏素差水平平方的和改的变比引值起。的即平：均偏差平S因方素 和与误
F=
f因 素
(2) F分布表及其查阅方法
比 S误 差 f误 差
为了判断F比值的大小所表明的物理意义(即F比值多大 时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的
改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的
为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：
若令： 则
n
n
n
n
S yi2 2 yi y y 2 yi2 ny 2
i 1
i 1
i 1
i 1
n
G yi i 1
CT
G2 n
n
S yi2 CT i 1
偏差平方和(S)反映了该组数据的分散或集中程度。 显然，S越大，该组数据越分散；反之，S越小，说明该 组数据越集中。 2.平均偏差平方和与自由度 为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或 集中的程度，通常采用平均偏差平方和(简称均方和)平 均偏差平方和的计算n方法是：将n个数(y1, y2, y3, ……yn)