实数形式的卷积冲激响应
实数域卷积
实数域卷积1. 定义，实数域卷积是指给定两个实数序列x(n)和h(n)，通过对它们进行加权求和得到一个新的实数序列y(n)，表示为y(n) = x(n) h(n)。
其中，n表示序列的离散时间点。
2. 表达式，实数域卷积的计算公式为y(n) = ∑[x(k) h(n-k)]，其中k为求和的变量，表示在时域上的偏移。
3. 性质：线性性质，实数域卷积满足线性性质，即对于实数序列x1(n)和x2(n)，以及实数a和b，有(a x1(n) + b x2(n)) h(n) = a (x1(n) h(n)) + b (x2(n) h(n))。
结合律，实数域卷积满足结合律，即(x(n) h1(n)) h2(n) = x(n) (h1(n) h2(n))。
分配律，实数域卷积满足分配律，即(x(n) + y(n)) h(n) = x(n) h(n) + y(n) h(n)。
4. 计算方法：直接计算法，按照卷积的定义，对于每个n，计算x(k)和h(n-k)的乘积，然后将所有乘积相加得到y(n)。
这种方法简单直观，但对于较长的序列计算量较大。
快速傅里叶变换法（FFT法），利用快速傅里叶变换算法，可以将卷积运算转化为乘法运算，从而提高计算效率。
具体步骤为，将x(n)和h(n)进行零填充，然后分别进行快速傅里叶变换得到X(k)和H(k)，再将它们逐点相乘得到Y(k)，最后对Y(k)进行逆傅里叶变换得到y(n)。
5. 应用：信号滤波，实数域卷积在信号处理中广泛应用于滤波操作，通过将输入信号与滤波器的冲激响应进行卷积，可以实现信号的去噪、频率选择等功能。
系统响应计算，实数域卷积可以用于计算线性时不变系统的输出响应，其中输入信号为x(n)，系统的冲激响应为h(n)，输出信号为y(n)。
信号识别，实数域卷积在模式识别和信号识别中有重要应用，通过将输入信号与模板信号进行卷积，可以判断输入信号中是否存在与模板相似的子序列。
综上所述，实数域卷积是一种在信号处理中常用的运算，它通过对两个实数序列进行加权求和得到一个新的实数序列。
5系统的时域分析_第三节连续系统的冲击响应、第四节卷积积分及其性质
线性时不变系统的描述及特点
线性时不变系统的描述
连续时间系统用N阶常系数微分方程描述
y
(n)
( t ) + a n 1 y
(m )
( n 1)
(t ) + + a 1 y ' (t ) + a 0 y (t ) ( t ) + + b1 f ' ( t ) + b 0 f ( t )
若 T{ f(t)}=y(t) 若 T{f[k]}= y[k] 则 则
T{
d f (t ) dt
}
d y (t ) dt
T{ f[k] -f[k-1]}= y[k] - y[k-1]
2）积分特性与求和特性：
若 T{ f(t)}=y(t) 若 T{f[k]}= y[k] 则 则
T {
t
k
f ( ) d }
系统的时域分析
线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性
1
卷积积分的计算和性质
卷积积分的计算 卷积积分的性质 交换律 分配律 结合律 平移特性 展缩特性 微分积分特性 等效特性 奇异信号的卷积积分 延迟特性 微分特性 积分特性 等效特性
t -0.5 0.5
c) 0 < t £ 1
y (t )
0.5 + t
0.5 + t
t 1 p1 ( ) p1 (t ) 1
0 .5
0 .5 + t
d 1 t
d) t >1
阶跃响应、冲激响应和卷积积分
清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应9.3 冲激响应清华大学电机系电路原理教学组•阶跃响应和冲激响应 本章重点•阶跃函数和冲激函数•卷积积分返回目录•电容电压和电感电流的跃变清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unit step function ）1. 定义tε(t )10()t ε用可描述开关的动作。
+–u C U S ε(t )RCdef0 (0)() 1 (0)t t t ε<⎧=⎨>⎩def S S 0 (0)() (0)t U t U t ε<⎧=⎨>⎩U SS+–u C R C开关在t =0 时闭合清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数tε(t-t 0)t 0def0000 ()() 1 ()t t t t t t ε<⎧−=⎨>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号U SS+–u C RC开关在t =t 0时闭合清华大学电机系电路原理教学组0()()()f t t t t εε=−−t 0t-ε(t -t 0)ε(t )0f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。
例1⎩⎨⎧><<<=), 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0tf (t )0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。
清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)f t t t t t εεε=−−+−11t1t1f (t )例2试用阶跃函数表示图示的波形。
解f (t ) 分成两段表示。
1t101t1+(0< t <1)()[()(1)]f t t t t εε=−−(1< t )()(1)f t t ε=−则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function ）1. 单位脉冲函数1()[()()]p t t t εεΔΔ=−−0lim ()()p t t Δδ→=令1ΔΔ→→∞面积不变Δ1/Δtp (t )0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
冲激响应求解举例2 冲激响应求解举例
例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 求其冲激响应 。 根据h(t)的定义 有 解 根据 的定义 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 先求 和 。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 由方程可知， 中含 故令 h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ r1(t) h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) h(t) = aδ(t) + r3(t) [ri(t) 为不含 为不含δ(t) 的某函数 的某函数] 代入式(1)， 代入式 ，有
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) d t m−1
+L+ b1
响应及其各 阶导数(最 阶导数 最 高阶为n次 高阶为 次)
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
第 4页
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
冲激响应和卷积分析
实验2离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析一、实验目的1 加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。
二、实验原理离散系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：∑=∑=-=-M k k N k k k n x p k n y d 00][][ 输入信号分解为冲激信号：∑-=∞-∞=m m n m x n x ][][][δ记系统单位冲激响应 ： ][][n h n →δ则系统响应为如下的卷积计算式： ∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当N k d k ,...2,1,0==时，h[n]是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。
在MATLAB 中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数y=Conv(x,h)计算卷积。
二、实验内容编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。
(1): y [n ]+0.75y [n -1]+0.125y [n -2]=x [n ]-x [n -1](2)： y [n ]=0.25{x [n -1]+x [n -2]+x [n -3]+x [n -4]+x [n -5]}程序（1）：A=[1,0.75,0.125];B=[1,-1];x1=[1,zeros(1,10)];x2=ones(1,20);y1=filter(B,A,x1);subplot(2,2,1);stem(y1);title('y1单位冲击响应')y2=filter(B,A,x2);subplot(2,2,2);stem(y2);title('y2阶跃响应');y3=conv(x1,y1);subplot(2,2,3);stem(y3);title('y3卷积');y4=conv(x2,y1);subplot(2,2,4);stem(y4);title('y4卷积')程序（1）图程序（2）：A=[1];B=[0,0.25,0.25,0.25,0.25];x1=[1,zeros(1,10)];x2=ones(1,20);y1=filter(B,A,x1);subplot(2,2,1);stem(y1);title('y1单位冲击响应')y2=filter(B,A,x2);subplot(2,2,2);stem(y2);title('y2阶跃响应');y3=conv(x1,y1);subplot(2,2,3);stem(y3);title('y3卷积');y4=conv(x2,y1);subplot(2,2,4);stem(y4);title('y4卷积')程序（2）图三、理论计算：经计算：系统(1)： y[n]+0.75y[n-1]+0.125y[n-2]=x[n]-x[n-1]理论冲激响应为：因为y[n]为因果函数，由递归计算所得：X[n]= δ(n)当n<0时，h(n)=0h(0)=1, h(1)=-7/4, h(2)=19/16, h(3)=-43/64 ..... ......h(z)=7.5*(-0.5).^n*u(n)- (-0.25).^n*u(n)理论阶跃响应为：因为y[n]为因果函数，由递归计算所得：X[n]=u(n)当n<0时，g(n)=0g(0)=1, g(1)=-3/4, g(2)=7/16, g(3)=-9/64.............g(z)=1.5*(-0.5).^n-(-0.25).^n系统(2)：y[n]=0.25{x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]+x[n-4]+x[n-5]}同理，由递归方法可得：理论冲激响应为：h(z)=0.25*[δ（n-1）+ δ（n-2）+ δ（n-3）+ δ（n-4]理论阶跃响应为：g(z)=0.25*[u（n-1）+ u（n-2）+ u（n-3）+ u（n-4)]将n值分别代入理论式h(z)和g(z)，将结果与程序结果图比较可知理论与程序结果一致。
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
对t>0时，有 时
h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为– ， 微分方程的特征根为 2， – 3。故系统的冲激响应为 。 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 ， 求得C ， 求得 1=3，C2= – 6, 所以 h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得 结合式 得 h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
lim
∆→0
∞
ˆ f (t) = f (t ) = ∫
∞ −∞
f (τ )δ (t −τ ) d τ
第 任意信号作用下的零状态响应
f (t) 根据h(t)的定义： 的定义： 根据 的定义 由时不变性： 由时不变性：
∞
LTI系统 LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
3 .卷积积分的定义 卷积积分的定义
已知定义在区间（ 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数 1(t) ， ）上的两个函数f 和f2(t)，则定义积分 ，
∞
f (t) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t −τ )dτ
−∞
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 卷积； 与 的卷积积分，简称卷积 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的 为积分变量 下进行的， 为积分变量， 注意：积分是在虚设的变量 下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为 的函数。 为参变量。 为参变量 结果仍为t 的函数。
信号与系统2.6卷积-2.7汇编
•起始状态 •初始状态 •冲激函数匹配法确定初始条件
§2.4 零输入响应和零状态响应
•零输入响应 •零状态响应 •对系统线性的进一步认识
§2.5 冲激响应和阶跃响应
•冲激响应 •阶跃响应
§2.６卷积
•卷积 •利用卷积积分求系统的零状态响应 •卷积图解说明 •卷积积分的几点认识
2、主要性质：
–微分性质： f (t ) f1(t ) f2(t ) f1(t ) f2(t )
–积分性质： f
(1) (t)
f1(t)
f
(1) 2
(t
)
f (1)
1
(t
)
f2 (t)
–微积分性质：
f (t)
f1(1) (t)
f2(t)
f1(t)
f
( 1) 2
(t
)
若f ( t ) f1 ( t ) f2( t )
-1 t 1
f2 t 向右移
f2 t 1 f1
t3
1 O t 1
t 1时两波形有公共部分，积分开始不为0，
积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;
t
g(t) 1 f1( ) f2(t )d
t 1t d
1 2
t
2
2
4
t 1
t2
4
t 1 24
1 t 2
f
2
t
1
f1
t 3 1 O
利用图解说明确定积分限
例2-6-1
1．列写KVL方程 2．冲激响应为
例2-6-2
已知 ht et ut,
e( t
)
冲激响应计算公式
冲激响应计算公式冲激响应计算公式是一种用于描述系统对冲激信号的响应的数学表达式。
它在信号处理、控制系统以及其他相关领域中被广泛应用，用于分析和设计系统的性能和特性。
本文将介绍冲激响应计算公式的基本概念和应用。
冲激响应计算公式通常用符号h(t)表示，其中t为时间。
它描述了系统对冲激信号的响应，即在系统输入信号为冲激函数时，系统的输出信号是如何变化的。
冲激响应计算公式是系统的重要特性之一，它可以帮助我们理解系统的动态响应和频率特性。
在计算冲激响应时，我们需要知道系统的输入输出关系以及系统的初始状态。
冲激响应计算公式可以通过卷积运算来实现，其数学表达式为：h(t) = ∫[g(tau) * delta(t - tau)] dtau其中，g(t)表示系统的单位冲激响应函数，delta(t)表示冲激函数。
公式中的卷积运算表示对两个函数进行积分，并将结果进行叠加。
冲激响应计算公式的应用非常广泛。
在信号处理领域，我们可以利用冲激响应计算公式来分析和设计数字滤波器、图像处理算法等。
在控制系统中，我们可以利用冲激响应计算公式来分析和设计控制器的动态特性，如稳定性、响应速度等。
冲激响应计算公式还可以用于系统的频率特性分析。
通过对冲激响应进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频率响应函数。
频率响应函数描述了系统对不同频率的输入信号的响应情况，可以帮助我们了解系统的频率选择特性和滤波效果。
除了计算冲激响应，我们还可以通过观察系统的冲激响应来获取系统的信息。
例如，冲激响应的幅度可以告诉我们系统的增益特性，冲激响应的延迟时间可以告诉我们系统的时延特性。
通过分析冲激响应的形状和特性，我们可以对系统的性能和特性进行评估。
冲激响应计算公式是一种用于描述系统对冲激信号的响应的数学表达式。
它在信号处理、控制系统等领域中被广泛应用，用于分析和设计系统的性能和特性。
通过计算冲激响应，我们可以了解系统的动态响应和频率特性，从而实现系统的优化和改进。
【VIP专享】第三章(2)冲激序列响应及卷积和
1 1, 2 2
hk C1 1k C22k
代入初值得
h0 h1
C1 C2 1 C1 2C2
1
hk
1 3
1k
2 3
2k
k
C1
C 2
1 3 2 3
例3.2-2 求图示离散系统的单位序列响应。
1
D D f k
xk
xk 1
xk 2
1
yk
1
2
解（1）写差分方程
xk xk 1 2xk 2 f k
g1
g 2
0
由方程利用迭代得：
g0 g1 2g 2 1 1
g1
g0
2g
1
1
2
阶跃响应满足方程：
gk gk 1 2gk 2 k
g0 1, g1 2
1 1, 2 2
gk
C1 1k
C2 2k
1 2
,
k0
g0 g1
C1
C2
1 2
1
1 C1 2C2 2
2
C1 C2
a1 a1
k0
k1, k2 可为正或 负整数，但 k2 k1
3
aj
1
j0
1a
a 1
4
aj
a k1
j k1
1a
a 1
k1 可为正或负 整数
序号 5 6
7
公式
说明
k j kk 1
j0
2
k0
k2
j
j k1
k1 k2
k2 k1 1 2
k1, k2 可为正或负 整数，但 k2 k1
yk
xk
xk
卷积冲激响应零状态响应的关系
卷积冲激响应零状态响应的关系在数字信号处理中，卷积是一种重要的运算方式，用于处理信号的线性系统。
而卷积的一组重要概念就是卷积响应、冲击响应和零状态响应。
本文将从这三方面来阐述它们之间的关系。
首先，我们需要明确卷积这个概念。
卷积就是对两个信号进行加权平均的过程，其中一个为原始信号，另一个为特定的函数，称为卷积核。
卷积核的重要作用是对原始信号进行变换，从而让我们能够从信号中提取出特定信息。
卷积过程可以表述为：（f*g)(n)=Σf(m)g(n-m)其中f和g代表两个原始信号，m和n代表信号的时间变量，*代表卷积操作。
接下来，我们来介绍冲击响应，也称为单位脉冲响应或卷积核响应。
冲击响应是指当输入信号为单位脉冲信号（即一个宽度极窄的信号）时，系统输出的响应信号。
由于单位脉冲信号中只有一个时间点有信号，其余时间都为0，因此冲击响应相当于系统对该时间点的响应值。
在数字信号处理中，我们通常用h(n)来表示该响应值。
最后，我们需要了解的是零状态响应。
零状态响应是指在没有输入信号的情况下，系统生成的响应信号。
此时，系统处于稳定状态，且其初始状态为零。
在离散时间下，我们通常用y(n)来表示该零状态响应。
那么，这三个概念之间有什么关系呢？其实它们都是在描述同一个系统的特性，只是分别从不同角度来衡量。
首先，我们可以将卷积响应分解为冲击响应的加权平均，即：h(n)=Σh(k) δ(n-k)其中δ(n)为单位脉冲信号。
也就是说，任何系统的卷积响应都可以分解为许多个单位脉冲信号所引起的响应的加权平均。
这种分解方式成为卷积定理。
另外，我们可以通过卷积操作来计算系统的零状态响应。
具体来说，如果我们知道系统的冲击响应和输入信号f(n)，那么系统的零状态响应y(n)可以由以下方程得到：y(n)=f(n)*h(n)综上所述，卷积响应、冲击响应和零状态响应是数字信号处理中非常重要的概念。
它们可以从不同的角度来描述同一个系统的特性。
我们需要深入理解它们之间的关系，才能更好地应用它们来处理信号。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对输入信号加以平移。
2 调谐信号分析
5）线性移不变系统的重要性质
调谐输入总是产生同频率的调谐输出； 系统的传递函数
一个仅依赖于频率的复值函数，包含系统全部信息；
传递函数对调谐信号输入只产生两种影响
幅度的变化和相位的平移。
4）传递函数
2 调谐信号分析
将K 表示成极坐标形式： K A ej
假设输入为余弦函数，令其为调谐信号的实部：
xt cost Re ejt
调谐输入的响应为
K ejt A ejejt
余弦函数的输出为
y t Re A ejejt
ReAcos t jsint
x t e jt cos t j sin t
其中j2 1,且 2 f
Im(x)
1. 图像可表示为二维实值函数 2. 实值函数是复函数的特例 3. 调谐信号是复函数的一种
1
wt Re(x)
2 调谐信号分析
2）线性系统对调谐输入的响应
x1 t e jt , y1 t K ,t x1 t K ,t e jt x2 t x1 t T e j tT e jte jT y2 t K ,t x2 t K ,t x1 t T
结合率
f g*h f gh
求导的性质
d f g f g f g
dt
3 卷积
3）离散一维卷积
对于两个长度为m和n的序列f i和g j ，
hi f i g i f jg i j
j
给出长度为N m n 1的输出序列。
其矩阵计算形式为
gp 1
h
ggf
gp
2
M
gp N
gp N gp 1
二维卷积的矩阵计算形式
step1: 设F大小为m1 n1,G大小为m2 n2 , 扩展F和G矩阵为Fp和Gp ,大小为M N ,其中
M m1 m2 1; N n1 n2 1;以下假定M=N。
step
2
:
从矩阵Fp构造一个N
2
1维列向量f
，
p
将Fp的第一行转置，使成为f p最上面的N个元素，
线性系统满足叠加性和齐次性。
1 什么是线性系统
移不变性
对于线性系统，如果存在
xt yt,且xt T yt T
则称此线性系统具有移不变性。
对于二维系统，若f (x, y) g x, y 则f (x x0, y y0) g x x0, y y0
2 调谐信号分析
1）调谐信号
数字图像处理
第九章 线性系统理论
CH9 线性系统理论
一、什么是线性系统 二、调谐信号分析 三、卷积 四、五个有用函数 五、卷积滤波及其应用 要点总结
1 什么是线性系统
1）定义
x(t)
y(t)
线性系统
输入
输出
一维系统， 不失一般性，以时间t作为系统变量。
f(x,y) 线性系统
输入
g(x,y) 输出
3 卷积
y1
0.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x -0.5
-1
f(t,τ)
y 0.5
0.25
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x -0.25
-0.5
3 卷积
线性系统xt、y t的另一种一般表示
y
t
f
t
,
x
d
根据移不变性质，简化f t,
y
t-T
f
t,
x
T
d
对t-T和 T进行变量变换，则
y
t
f
t
T,
T
x
d
所以f t T, T f t,
二维系统， 不失一般性，以空间坐标x,y作为系统变量。
1 什么是线性系统
2）性质
线性
假设x1 t y1 t , x2 t y2 t 若x1 t x2 t y1 t y2 t
则称此系统是线性系统
显然，对于线性系统若x1 t y1 t 则ax1 t ay1 t 其中a是有理数 显然，a1x1 t a2x2 t a1y1 t a2 y2 t
根据移不变性质
y2 t y1 t T K ,t T x1 t T 显然K ,t K ,t T 因此y t K xt
结论：线性移不变系统对于 调谐信号的响应等于输入信号乘以一个依赖于频率的复函数。
2 调谐信号分析
3）调谐信号与正弦型信号
将输入的正弦型信号表示成调谐信号； 计算线性系统对此调谐输入的响应； 取调谐输出的实部为真正的输出。
然后其他行转置依次在下面。
step3 : 矩阵Gp每一行生成一个N N循环矩阵，总共
产生一个N个这样的矩阵Gi 1 i N 。
3 卷积
step4 : 按如下方式生成一个N 2 N 2的块循环矩阵Gb :
G1 GN L G2
Gb
G2MΒιβλιοθήκη G1 ML OG3
M
GN GN1 L
G1
step5 :二维卷积的矩阵形式，再行列转换回矩阵形式
1 0 1
Step3 : Gp G2 G1 G3 其中G1 1 1 0
G3 G2 G1
0 1 1
2 0 2
000
G2 2 2 0 ,G3 0 0 0
0 2 2
000
1 1 2
Step4 : F G 5 3 8
6 2 8
3 卷积
例：请花5分钟时间计算。
010
已知F 3
1 ,G 1
M
gp N 1
L gp 2 fp 1
L
gp
3
fp
2
M M M
L
gp
1
fp
N
3 卷积
4）二维卷积和离散二维卷积
二维卷积定义
h x, y
f
g
f
u,v g x u, y vdudv
离散二维卷积定义
H F G
H i, j F m,nG i m, j n
mn
3 卷积
hp Gb • f p
3 卷积
例：二维卷积的矩阵计算形式。
已知F 1
2 1 ,G
1 ,求F G;
3 4 2 2
120
1 1 0
Step1: Fp 3 4 0 ,Gp 2 2 0
000
0 00
3 卷积
1 2 0 3 Step2 : f p 4 0 0 0 0
3 卷积
G1 G3 G2
所以两个变量的f函数可表达成
gt- f t,
冲激响应
3 卷积
因此线性系统总可以表示成卷积形式
y
t
g
t-x
d
1）线性移不变系统的两种表示形式
复数形式的传递函数； 实数形式的卷积冲激响应； 两者是统一的。
3 卷积
2）卷积的几个性质
交换性
f g gf
加法的分配率
f g h f g f h