概率论与数理统计(理工类 第四版)第5章

如果样本(X1,X2,…,Xn)满足 (1)代表性：样本的每个分量 Xi与总体X有相同的分布； (2)独立性： X1,X2,…,Xn是相 互独立的随机变量， 则称样本(X1,X2,…,Xn)为简单 随机样本。
1设总体X的分布为F(x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布为 F ( x1 , x2 ,, xn ) P( X 1 x1 , X 2 x2 , X n xn )
~ t (2)

X 2 X3
2
2

2(X1 ) (X 2 ) (X 3 )
2 2
~ t (2)
2
t(n) 的概率密度为 n 1 ( ) n 1 2 t 2 f (t ) (1 ) 2 , t n n n ( ) 2
i 1 2 i i 1
n
n
[ E ( X ) E ( X i ) ] D( X i ) n
i 1 2 i 2 i 1
n
n
D(X) D( X ) D( X i2 )
i 1 2 i i 1
n
n
[ E ( X ) E ( X ) ] (3 1) 2n
解
P( X x)
x
x!
e
x 0,1,2,
n
P( X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn ) P( X i xi )
i 1

i 1
n

xi
xi !
e



xi
i 1
n
x1! x2 ! xn !
e
n
三、分组数据统计表与频率直方图
n/2 1 f ( y) 2 ( n / 2) y 0,
n y 1 2 2
e , y0 y0
2 例5.4 X ~ N ( , ) (X1,X2,X3)为X的一个样本
X 1 X 2 X 3 的分布。 求
16 2
解
i 1,2,,16
2 1 16 2 2 P ( X i ) P 8 2 (16) 16 2 16 i 1



P 2 (16) 16 P 2 (16) 8 {1 0.25} {1 0.95} 0.70
2
2
2








解 因为(X1,X2,X3)为X的一个样本 则 Xi

2
~ N (0,1)
i=1,2,3
2 2
X1 X 2 X 3 ~ 2 (3)
例5.5 X ~ N (0,1) (X1,X2,…X6)为X的一个样本
f ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi )
i 1
例5.2 设某电子产品的寿命X服从指数分布，密度函数
e x f ( x) 0 x0 x0
(X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，求其密度函数。 解 因为(X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，X i ~ f ( xi )
P( X 1 x1 , X 2 x2 , X n xn ) P( X 1 x1 ) P( X 2 x2 )P( X n xn )
P( X i xi ) p( xi )
i 1 i 1
n
n
3当总体X是连续型时， X~f(x)(连续总体密度）， n 则样本的联合密度（连续样本密度)为
2(X1 ) (X 2 ) (X 3 )
2 2
的分布
解
X i ~ N ( , 2 )
Xi
X1

~ N (0,1) i=1,2,3
2 2

~ N (0,1)
X1
X3 X2 ~ 2 (2)
5.1 数理统计的基本概念
一、总体（母体） 在数理统计中，把所研究的对象的全体称为总体。 通常指研究对象的某项数量指标，一般记为X。 把总体的每一个基本单位称为个体。 如某批灯泡的寿命X，全体在校生的身高Y。 对不同的个体，X的取值是不同的。X是一个随机变量 或随机向量。X或Y的分布也就完全描述了我们所关心 的指标，即总体的分布。为方便起见，我们将X的可能 取值的全体组成的集合称为总体，或直接称X为总体。 X的分布也就是总体的分布。
i 1 4 i 2 2 i i 1
n
n
性质2.（分布可加性）:若X～2(n1)，Y～2(n2)，X与Y独立，则 X + Y～2(n1+n2 )
3、2分布表及有关计算
设
P 2 (n)
2 (n) 称为水平为α的上


侧分位数
2 (n)为整体记号
2 (n) 2 2 查表得 0 ( 25 ) 34 . 382 10) 18.307 .1 0.05 ( 1 2 当n充分大时，近似有 (n ) (u 2n - 1) 2 2
1 n 2 ( X X ) i n 1 i 1
k 1,2, k 1,2,
样本均方差（样本标准差 S
1 n k 样本k阶原点矩 Ak X i n i 1
样本k阶中心矩
1 n Bk ( X i X ) k n i 1
5.2 常用统计分布
一、常用分布
例5.6 总体X~N(μ,σ2)，(X1,X2,…,X16)为一个样本，求
2 1 16 2 2 P (X i ) 2 16 i 1 Xi 2 ~ N (0,1) X i ~ N ( , )
Xi 2 ~ (16) i 1
第五章
数理统计的基础知识
统计中的基本概念（总体和样 本）
几个常用的分布和抽样分布
概率论与数理统计的关系
概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对 随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学 判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述;比 较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形 成一整套数学理论和方法。 数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象 的规律性;对通过科学安排的一定数量的实验所得到的 统计方法给出严格的理论证明;并判定各种方法应用的 条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使 我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保 证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。
2、基本性质: (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称； (2) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数，即
1 lim f (t ) (t ) e n 2
t2 2
, x
3、t分布表及有关计算
设 T~t(n)
P{T>λ}= α
α
称 t (n)为t(n) 分布的水平的上侧分位数
0 x x (1) 函数Fn ( x ) k / n x ( k ) x x ( k 1) 1 x x (n) 与事件{X x}在n次独立重复的试验中的 发生频率是相同的。 称Ｆ （ｘ）为经验分布函数 。 ｎ
五、统计量
样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我 们并不直接用样本进行推断，而需对样本进行“加工” 和“提炼”，将分散于样本中的信息集中起来，为此 引入统计量的概念。 (X1,X2,…,Xn) g(X1,X2,…,Xn)
2—分布、 t —分布和F—分布。
(一) 2—分布 1、定义： 设X1,X2,…,Xn为取自总体N(0,1)的样本，则
2 X i2 ~ 2 (n) 称为自由度为n的2分布。
i 1
n
n个相互独立的服从标准正态分布的随机变 量的平方和服从2(n)。
2—分布的密度函数f(y)曲线
P( X 1 x1 ) P( X 2 x2 )P( X n xn )
F ( x1 ) F ( x2 ) F ( xn ) F ( xi )
i 1 n
2当总体X是离散型时，其分布律（离散总体密度）为 P( X xk ) pk k 1,2, 样本的联合分布律（离散样本密度）为
所以，取常数C=1/3使得CY服从2分布
性质1. 若X～2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n 证明：
X X i2 , X i ~ N (0,1), E ( X i ) 0, D( X i ) 1
i 1
n
E (X) E ( X ) E ( X i2 )
n n e xi f ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi ) i 1 i 1 0
xi 0(i 1,2,, n) 其他
xi n e i 1 0
n
xi 0(i 1,2,, n) 其他
例5.3 某商场每天客流量X服从参数为λ的泊松分布， 求其样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布律。
其中g(x1,x2,…,xn)是(x1,x2,…,xn)的连续函数。 如果g(X1,X2,…,Xn)中不含有未知参数，称g(X1,X2,…,Xn) 为统计量。 （不含未知参数的样本的函数）
几个常用的统计量
样本均值 样本方差
1 n X Xi n i 1 n 1 2 S2 ( X X ) i n 1 i 1


{1 P ( 2 (16) 16)} {1 P ( 2 (16) 8)}
(二) t—分布 1、定义 若X~N(0, 1)，Y~2(n)，X与Y独立，则 X T ~ t (n). t(n)称为自由度为n的t—分布。 Y n 2 X ~ N ( , ) (X1,X2,X3)为X的一个样本，求 例5.6