习题课3
辽宁工业大学高数习题课(3)
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
北大操作系统第三章：操作系统习题课(三)
操作系统习题讲解进程的同步与互斥（三）赵俊峰P 、V 题的一般分析过程1问题的分析确定有哪些进程y1.问题的分析，确定有哪些进程；2y2.确定各个进程之间的同步互斥关系；y3.信号量的设计（初值以及用来实现哪些进程间的同步互斥、是否需要一般变量的辅助）辅助）；y4、实现（避免出现不公平现象比如饥饿、避免出现死锁如P 操作的次序问题）。
同学们的问题1有几个进程进程的划分？y：有几个进程，进程的划分？y 2：if 判断语句与P/V 之间的区别？多余的判断？y 3：每个进程的行为划分？对于行为的控制？该谁去控制？触发行为的条件及被触发的行为？y 5：触发行为的条件及被触发的行为？y 6：需要全面考虑题目要求需要全面考虑题目要求y 7：什么时候需要计数？共享变量需要互斥使用y 8：共享变量需要互斥使用进程同步与互斥习题（四）请用信号量解决以下问题y 把学生和监考老师都看作进程, 学生有N 人, 考场门口每次只能进出个人教师1人. 考场门口每次只能进出一个人, 进考场原则是先来先进. 当N 个学生都进入考场后, 教师才能发卷子. 学生交卷后可以离开考场. 教师要等收上来全部卷子并封装卷子后才能离开考场.(1)(1)问共需设置几个进程?(2) 试用P 、V 操作解决上述问题中的同步和互斥关系.进程同步与互斥习题（四）共享资源：考场门口请用信号量解决以下问题y 把学生和监考老师都看作进程, 学生有N 人, 考场门口每次只能进出个人教师1人. 考场门口每次只能进出一个人, 进考场原则是先来先进.c 当N 个学生都进入考场后, 教师才能发卷子. 学生交卷后可以离开考场. d 教师要等收上来全部卷子并封离同步行为：c d 装卷子后才能离开考场.(1) ?()问共需设置几个进程(2) 试用P 、V 操作解决上述问题中的同步和互斥关系.信号量及其他变量的设置需设置以下的信号量S_Door = 1//能否进出门；S St d tR d 0学生是否到齐S_StudentReady = 0//学生是否到齐；S_Mutex1 = 1//互斥信号量；S M t 21互斥信号量S_Mutex2 = 1//互斥信号量；S_ExamBegin = 0//开始考试；S E O 0考试结束所有试卷S_ExamOver = 0//考试结束，所有试卷已交；int nStudentNum 0;int nStudentNum = 0;int nPaperNum = 0;student(){学生进程P(S_Door);进门；V(S Door);V(S_Door);P(S_Mutex1);// 增加学生的个数nStudentNum ++;if(nStudentNum N)V(S StudentReady);if(nStudentNum == N) V(S_StudentReady);V(S_Mutex1);P(S_ExamBegin);//等老师宣布考试开始考试；交卷；P(S Mutex2);P(S_Mutex2);//增加试卷的份数nPaperNum ++;if(nPaperNum == N) V(S_ExamOver);V(S Mutex2);V(S_Mutex2);P(S_Door);出门；V(S_Door);}Teacher()教师进程(){P(S_Door);进门进门；V(S_Door);P(S StudentReady);//P(S_StudentReady); 最后一个进来学生把老师唤醒；发卷子；for(i=1; i <= N; i++)(;;)V(S_ExamBegin);//开始考试；P(S_ExamOver);//等待考试结束；封装卷子P(S_Door);出门；V(S_Door);}进程同步与互斥习题（五）某商店有两种食品B A 和B, 最大数量各为m 个.该商店将A,B 两种食品搭配出售, 每次各取一个. 为避免食品变质, 遵循先到食品先出售的原则, 有两个食品公司分别不断地供应A,B 两)种食品(每次一个). 为保证正常销售, 当某种食品的数量比另一种的数量超过k(k<m)个时, 暂停对数量大的食品进货, 补充数量少的食品.◦(1)(1) 问共需设置几个进程?◦(2) 试用P ,V 操作解决上述问题中的同步和互斥关系.生产者-消费者中的消费者行为进程同步与互斥习题（五）某商店有两种食品B A 和B, 最大数量各为m 个. 该商店将A,B 两种食品搭配出售, 每次各取一个. 为避免食品变质, 遵循先到食品先出售的原则, 有两个食品公司分别不断地供应A,B 两)种食品(每次一个).为保证正常销售, 当某种食品的数量比另一种的数量超过k(k<m)个生产者-消费者中的生产者行为生产者之间时, 暂停对数量大的食品进货, 补充数量少的食品.的同步行为◦(1) 问共需设置几个进程?(2)PV ◦(2) 试用P ,V 操作解决上述问题中的同步和互斥关系.信号量及其他变量的设置设置以下的信号量 S_Mutex = 1 S Wait A = 0; S_Wait_A = 0; S_Num_A = 0； S BuffNum A = m; S_BuffNum_A = m; S_Wait_B = 0; S Num B 0； S_Num_B = 0 S_BuffNum_B = m; i t N int nNum_A = 0; A 0 int nNum_B = 0; //用于互斥访问的信号量 //A太多了，要等一等 太多了 要等一等B //食品A的空闲缓冲区个数； //B太多了，要等一等A //食品B的空闲缓冲区个数；Producer_A() A进程 { int b_TooMuch; while(1) { 生产产品； P(S_Mutex); if((nNum A nNum_B) == k) b_TooMuch = 1; if((nNum_A nNum B) == k) b TooMuch = 1; else b_TooMuch = 0; V(S_Mutex); if(b T M h) P(S W i A) //A太多了 if(b_TooMuch) P(S_Wait_A); 太多 P(S_BuffNum_A); 向商店提供一个 向商店提供 个A商品； V(S_Num_A); P(S_Mutex); nNum A ++; nNum_A ++; if(nNum_B - nNum_A == k-1) V(S_Wait_B); //可以进B了}}V(S Mutex); V(S_Mutex);Producer_B() B进程 { int b_TooMuch; while(1) { 生产产品； P(S_Mutex); if((nNum B nNum_A) == k) b_TooMuch = 1; if((nNum_B nNum A) == k) b TooMuch = 1; else b_TooMuch = 0; V(S_Mutex); if(b T M h) P(S W i B) //B太多了 if(b_TooMuch) P(S_Wait_B); 太多 P(S_BuffNum_B); 向商店提供一个 向商店提供 个B商品； V(S_Num_B); P(S_Mutex); nNum B ++; nNum_B ++; if(nNum_A - nNum_B == k-1) V(S_Wait_A); //可以进A了}}V(S Mutex); V(S_Mutex);Shop() Sh () { while(1) { P(S_Num_A); ( _Num_B); ); P(S 出售A、B食品各一个； V(S BuffNum A); V(S_BuffNum_A); V(S_BuffNum_B); } }Shop进程信号量和P、V原语的小结对信号量和P、V原语的使用可以归纳为三种情形： 第一，把信号量视为一个加锁标志位，其目的是为了 实现对某个唯一 实现对某个唯 唯一的共享数据 唯 的共享数据 共享数据的互斥访问 互斥访问，如数据库中 的某个记录，各个进程间的某个共享变量。
随机过程及应用习题课三
随机过程及应用习题课三11. 设()cos ,X t A B t t =+-∞<<+∞，其中A 和B 为相互独立均服从(0,1)N 的随机变量.（1）证明{(),}X t t -∞<<+∞为正态过程；（2）求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.2. 设{(),(,)}X t t ∈-∞+∞是均值函数为0，自相关函数()(,)/2X R s t s t s t =+-- 的正态过程，证明1()()Y t X t =，0t >，2()(),0Y t X t t =-≥是相互独立的正态过程。
3. 设0{()}W t +∞是参数为2σ的维纳过程，试证明1()0()0tW t W t tt ?>?'=??=?是参数为2σ的维纳过程。
4. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明12()()0t W t c W t c=?≥是参数为2σ的维纳过程。
5. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明2()()W t W t =-是参数为2σ的维纳过程。
6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明3,0()()()0t W t W t a W a a ≥=+->是参数为2σ的维纳过程7. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，令231()0()00t W t W t tt ?>?'=??=? （1）(){},0W t t '≥是否为正态过程；（2）(){},0W t t '≥是否为维纳过程。
8. 设{(),0}X t t ≥是具有零均值和协方差(,)C s t 的正态过程，则对于任意的非负数,s t 和τ，证明：（1）2[()](,)()E X t C t t D t ==；（2）222[()]2(,)2()D X t C t t D t ==；2（3）222cov((),())2(,)X s X t C s t =；（4）[()()](,)E X t X t C t t ττ+=+；（5）2[()()](,)(,)(,)D X t X t C t t C t t C t t ττττ+=++++；（6）cov[()(),()()](,)(,)(,)(,)X s X s X t X t C s t C s t C s t C s t ττττττ++=+++++ 9. 设{(),0}W t t ≥是参数24σ=的维纳过程，令(3)(1),(4)(2).X W W Y W W =-=-求：()D X Y +和cov(,).X Y10. 设0{()}W t +∞是为参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的均值函数和自相关函数。
第六章习题课线性代数 (3)
性指数, 并且秩相同.应选（B）.
例 8 用正交变换化二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32 4x1x2 4x2 x3 为标准形, 并求
出该正交变换.
1
解
二次型的对应矩阵为
A
2
2 2
0 2
.则由
A
的特征方程
0 2 3
解得 a 3.于是
5 A 1
1 5
3 3 .
3 3 3
5 1 3 I A 1 5 3 ( 4)( 9) ,
3 3 3
所以 A 的特征值为 1 0, 2 4, 3 9 .
（2）由（1）知存在正交矩阵 P , 使得
注 用正交变换 X PY 化二次型为标准形, 这类题若要求写出正交变换 X UY , 计
5
算量大.若只要求知道结果, 即仅需知道标准形, 则计算量不大.在解答中要注意区分和判 断.
例 12 已知二次曲面方程 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz 4 可以经过正交变换
绕 y 轴旋转而成的空间曲面的性质, 可以得到该曲面可
y2
由
4
z2
1绕 y 轴旋转而成,
也可由
x2
y2 4
1绕 y 轴旋转而成.
x 0
z 0
例6
空间曲线
x2 y2 4
所属曲线类型是
.
z c
解 该曲线可由平行与 xoy 平面的一平面 z c 截双曲柱面 x2 y2 4 所得, 为双曲线.
解
二次型
f
高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
编译原理习题课(3)
四元式序列: (1) + (2) (3) + (4) * (5) + (6) + (7) -
a b T1 T1 - T2 c d T3 T2 T3 T4 a b T5 T5 c T6 T4 T6 T7
23
赋值语句的翻译
简单算术表达式及赋值语句 数组元素的引用 产生有关类型转换的指令
24
P218-4. 按7.3节所说的办法，写出下面赋值句
L→En print(E.val)
E→E1+T E.val := E1.val+T.val
E→T
E.val :=T.val
T→T1*F T.val :=T1.val* F.val
T→F
T.val :=F.val
F→ (E) F.val :=E.val
F→digit F.val :=digit.lexval
5
digit.lexval=4
E → T { R.i:=T.val } R { E.val:=R.s }
P164-2. 对表达式((a)+(b))R：→ +
(的1)抽按象照语表法6树.4所；示的属性文R 法→ TR构- 1{ {造RR1..该i:s=:=R表.Ri+1达T.s.v式}al }
(式2)的按抽照象图语6法.17树所。示的翻译R模→式TR1，{{ RR构1.s.i::=造=R{RR.该.ii-.}sT表:.=vaR达l }1.s }
综合属性：“自下而上”传递信息 继承属性性文法的处理方法
依赖图 树遍历 一遍扫描
L－属性文法适合于一遍扫描的自上而下分析 S－属性文法适合于一遍扫描的自下而上分析
4
L
P164–1按照表6.1所
哈工大集合论习题课-第三章 关系习题课(学生)
习 题 课例1设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性的二元关系，并画出R 的关系图。
解：{(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =，关系图如图所示。
例2 设X 是一个集合，X ＝n ，求：1.X 上的二元关系有多少？()22n 2. X 上的自反的二元关系有多少？ 3. X 上的反自反的二元关系有多少？解：因为把所有的反自反的二元关系的每个都加上对角线上的序对，就变成了自反的关系，因此，自反的与反自反的个数一样多。
即22nn-4. X 上的对称的二元关系有多少？2222n n n nn -++=，故共有222n n+个对称的关系。
5. X 上的反对称的二元关系有多少？22(32)n n n -∙6. X 上既是自反的也是反自反的二元关系的个数；(0)个7.X 上既不是自反的也不是反自反的二元关系有多少？2(2(22))n nn --解：解：可用容斥原理来计算设B 表示所有自反关系构成的集合，C 表示所有反自反关系构成的集合，则22nnB C -==。
而B C φ=，故B C B C =+，从而CC B C S B C S B C =-=--2222222222222(22)n n n n n n n n n n n ----=--=-=-于是，既不是自反的，也不是反自反关系共有22(22)n nn --个。
8.自反的且对称的关系有多少？[此结果与“反自反的且对称的关系有多少？”是一样多]即有222n n -（对角线上全去掉）9.自反的或对称的关系有多少？解：设B 表示自反关系的集合，C 表示对称关系的集合，则自反或对称关系的集合为：22222222n n n n nnB C B C B C +--=+-=+-。
10.X 上既是反自反的也是反对称的二元关系的个数为：223n n -；11.X 上既是对称的也是反对称的关系个数；解：X 上既是对称的也是反对称的关系X R I ⊆，故有2n 。
高数A习题课(3)_
′ 故仅当a = 2, b = −1 f− (1) = f+ (1)即f (x)在x =1 时′ 处可导 ， 综上，当a = 2, b = −1 f (x)在（− ∞，∞）可导 时 + 。
例5 求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
dy （）由方程sin( xy) + ln( y − x) = x确定y是x的函数 求 1 , dx 方程两边对x求导，得 解 1 cos(xy)( y + xy′) + ( y′ −1) =1 （ ） * y−x
解
由 件 f (0) = 0， 条 知
f (x) − f (0) ϕ(a + bx) −ϕ(a − bx) f ′(0) = lim = lim x→0 x→0 x −0 x −0 [ϕ(a + bx) −ϕ(a)] ⋅ b + lim [ϕ(a −bx) −ϕ(a)] ⋅ b = lim x→0 x→0 bx − bx
dy d d sinxlnx x ) ∴ = (sinx) + (e dx dx dx = (sinx) (ln sin x + x cot x) + x
x sinx
sin x (cos x ln x + ). x
例2
求下列函数在指定点处的导数： 求下列函数在指定点处的导数：
1−sin x （） = arcsinx ⋅ 1 y , 求 ′(0). f 1+ sin x
3
′ 7.证 明： f (x)在 a, b]上可导 设 [ ，且 + (a) f− (b) < 0,则 f′ 至 ∃一 ξ ∈(a, b)，使 ′(ξ ) = 0. 少 个 f 8.设f (x)在 a, b]上连续 [ ，在 a, b)可 ( 导， f (a) = 且 f (b) = 0, 证 至少 一个 ∈(a, b), 使 (ξ ) + f ′(ξ ) = 0. ∃ ξ f
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1.求下面线性规划的解： f=[-3 -2 -1];
a=[1 1 1;-1 0 1;0 -1 1]; b=[6;-4;-3]; lb=zeros(3,1);
[x fval]=linprog(f,a,b,[ ],[ ],lb); x=x,fval=-fval
2.求下面非线性规划的解：
fun=inline('x(1)^2-6*x(1)+9+2*x(2)','x'); lb=[3;3];
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,[4,4],[ ],[ ],[ ], [ ],lb) 3.求下面非线性规划的解：
fun=inline('x(1)^2+x(2)*x(1)+2*x(2)^2-6*x(1)-14*x(2)','x'); a=[ -1 2 0];b=3; aeq=[1 1 1];beq=2; lb=zeros(3,1);
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,[0,0,0],a,b,aeq, beq,lb) 4.求下面非线性规划的解：
,7*34*25.)2()3(min 2121212
2212
221≥≤+≥+≤+-+-x x x x x x x x t
s x x
function [c ceq]=condfun(x) c=x(1)^2+x(2)^2-5; ceq=[ ]; end
fun=inline('(x(1)-3)^2+(x(2)-2)^2','x'); a=[ -1 -2; 1 3];b=[-4;7]; aeq=[ ];beq=[ ]; lb=zeros(2,1);
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,[0,0],a,b,aeq, beq,lb,[ ],@condfun) 5、生产决策问题。
某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品甲需资源A 3吨，资源B 4m3；制成一吨产品乙需资源A 2吨，资源B 6 m3，资源C 7个单位。
若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元，三种资源的限制量分别为90吨、200 m3和210个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价值最高？
5
幻灯片6
解：令生产产品甲的数量为x1，生产产品甲的数量为x2。
2157max
x x z +=
2157min
x x z --=
902321≤+x x
2006421≤+x x ]
21072≤x
0,
021≥≥x x
f=[-7;-5];
A=[3 2;4 6;0 7]; b=[90;200;210]; lb=[0;0];
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb) 6、厂址选择问题。
考虑A 、B 、C 三地，每地都出产一定数量的原料,也消耗一定数量的产品（见下表）。
已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为：A —B ：150km ，A —C ：100km ，B —C ：200km 。
假定每万吨原料运输1km 的运价是5000元，每万吨产品运输1km 的运价是6000元。
由于地区条件的差异，在不同地点设厂的生产费用也不同。
问究竟在哪些地方设厂，规模多大，才能使总费用最小？另外，由于其它条件限制，在B 处建厂的规模（生产的产品数量）不能超过5万吨。
7
幻灯片8
A 、
B 、
C 三地出产原料、消耗产品情况表
地点 年产原料 （万吨） 年销产品 （万吨）
生产费用 （万元/万吨）
A 20 7 150
B 16 13 120 C
24
100
ij
x
解：令
为由i 地运到j 地的原料数量（万吨），
ij
y
为由i 地运到j 地的产品数量（万吨），i ，j = 1，2，3（分别对应A 、B 、C 三地）。
根据题意，可以建立问题的数学模型（其中目标函数包括原料运输费、产品运输费和生产费用（万元））：
min
21121132233113211221024015010010050507575y y y x x x x x x z ++++++++=
323122220160120y y y +++
2033312113121211≤--+++x x x x y y
1633322321122221≤-++-+x x x x y y
2433323123133231≤++--+x x x x y y
7312111=++y y y
13322212=++y y y
52221≤+y y j i j i x ij
≠=≥;3,2,1,,02
,1;3,2,1,0==≥j i y ij
f=[75;75;50;50;100;100;150;240;210;120;160;220];
A=[1 -1 1 -1 0 0 3 3 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 0 0 3 3 0 0 0 0 -1 1 -1 1 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0]; b=[20;16;24;5];
Aeq=[0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1]; beq=[7;13]; lb=zeros(12,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)
因此，要使总费用最小，需要B 地向A 地运送1万吨原料，A 、B 、C 三地的建厂规模分别为7万吨、5万吨、8万吨。
最小总费用为3485万元。
7、求无约束非线性问题
f (x) = 100 (x2-x12)2+(1-x1)2 x0 = [-1.2, 1]; x0=[-1.2,1];
[x,fval]=fminunc('100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2',x0)
8、求解下列优化问题： 目标函数
321)(x x x x f -=
约束条件
72220321≤++≤x x x
将约束条件改写成下面的不等式
022321≤---x x x
7222321≤++x x x
x0=[10;10;10]; A=[-1 -2 -2;1 2 2]; b=[0;72];
[x,fval]=fmincon('-x(1)*x(2)*x(3)',x0,A,b)
9、编写一个脚本程序实现：在同一图上分别用红色虚线和绿色点划线绘制函数y1=sinx 和y2=x2+2x-1在区间[-10，10]的曲线，标题为“用作图法求两条函数曲线的交点”，x 轴为“自变量x ”，y 轴为“函数y1、y2的曲线”，并给出图例“‘y1=sinx ’，‘y2=x2+2x-1’”。
x=-10:1:10; y1=sin(x); y2=x.^2+2*x-1; plot(x,y1,'r--'); hold on
plot(x,y2,'c-.'); xlabel('自变量x');
ylabel('函数y1、y2的曲线');
title('用作图法求两条函数曲线的交点');
legend('y1=sin(x)','x^2+2x-1');
15。