一元二次方程及其解法直接开平方法

一元二次方程及其解法直接开平方法

【学习目标】

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；

2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；

3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.

【要点梳理】

要点一、一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要点进阶：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常

数项．

要点进阶：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要结论

（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.

（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.

（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

要点二、一元二次方程的解法

1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：

平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

.

要点进阶：

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

【典型例题】

类型一、关于一元二次方程的判定

例1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：

(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．

类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定

例2. 已知关于y 的一元二次方程m 2(y 2

+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．

举一反三：

【变式】关于x 的方程

的一次项系数是-1，则a .

类型三、一元二次方程的解（根）

例3. 若x 0是方程ax 2+2x+c=0（a ≠0）的一个根，设M=1﹣ac ，N=（ax 0+1）2，则M 与N 的大小关系正确的为（ ）

A ．M ＞N

B ．M=N

C ．M ＜N

D ．不确定

举一反三：

【变式】（1）x=1是的根，则a= .

（2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.

类型四、用直接开平方法解一元二次方程

例4.解方程(x-3)2=49．

举一反三：

【变式】解方程： (1) （2014秋•宝安区期末）（3x+2）2=4（x﹣1）2；

(2) （2014•锡山区期中）（x-2）2=25.

【巩固练习】

一、选择题

1. 方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）．

A ．0

B ．1

C ．2

D ． 3

2．若2530ax ax -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集应是( ).

A ．12

a > B ．a ＜-2 C ．a ＞-2 D ．a ＞-2且a ≠0

3．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b +6的值为（ ）

A ．9

B ．3

C ．0

D ．﹣3

4．已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是( )．

A ．ab

B ．

a b

C ．a+b

D ．a-b 5．若2

90x -=，则2563x x x -+-的值为（ ）． A ．1 B ．-5 C ．1或-5 D ．0

6．对于形如x 的方程2()x m n +=，它的解的正确表达式是（ ）.

A ．用直接开平方法解得x n =±

B ．当0n ≥时，x m n =±

C ．当0n ≥时，x n m =±-

D ．当0n ≥时，x n m =±-

二、填空题

7．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是 .

8．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0的常数项为0，则m 的值等于 .

9．已知x ＝1是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则22

2m mn n ++的值为________．

10．(1)当k________时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程；

(2)当k________时，上述方程是一元一次方程．