北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件
2 3
x
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条 连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x3)
f(b)
f(x1)
y
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x
f(x2)
新课讲授 一.最值的概念(最大值与最小值)
[2,2] 上的最大值与
最小值． y 4 x 3 4 x 解： y 0 ，有 4 x 3 4 x 0 ，解得 x 1,0,1 令 当x 变化时，y, y 的变化情况如下表： x y -2 (-2,-1) — 13 -1 0 4 (-1,0) + 0 0 5 (0,1) — 1 0 4 (1,2) + 2 13
如果在函数定义域I内存在x0,使得 对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
a, b
f (x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 2.最大值一定比最小值大.
二.如何求函数的最值?
1.利用函数的单调性;
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最
f ( x) p2 x(1 x) p1[2 (2 p) x]. 解: 2 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p . 2 p 2 p 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p ) 4( 2 p ) , p ) 2 p . 故所求最大值是 4( 2 p
如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值. 2.利用函数的图象; 如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值. 3.利用函数的导数.
利用导数求函数f(x)在区间[a,b] 上最值的步骤:
1.求f(x)在区间[a,b]内极值(极
大值或极小值) 2. 将 y=f(x) 的 各 极 值 与 f (a) 、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值
y
'
3
0 2
+
11
y
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
说明:由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值.
f ( x) px p1 p(1 x) p1 p[ x p1 (1 x) p1 ]. 解:
令 f ( x ) 0 ,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2. 所以f(x)的最小值为
3 2
最大值 f (－π/2)=π/2，最小值 f (π/2)= －π/2
最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (－5)= －5+
6
(3) f ( x) 2x 6x 18x 7 , 1, 4
最大值 f (1)=－29，最小值 f (3)= －61
答 案
2 3 2 3 延伸1:设 3 a 1,函数 f ( x ) x 2 ax b( 1 x 1) 的最 6
y
yf(x ) y yf(x ) f(x0) x O a x0 b x
f(x0)
O a x0 b
求函数在闭区间内的最值的步骤
(1) 求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和 驻点处的函数值； (2) 求出区间端点处的函数值；
(3) 比较以上各函数值，其中最大的就是函数
的最大值，最小的就是函数的最小值。
大值为1,最小值为
2
解:令 f ( x) 3 x 3ax 0 得x=0或a. 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表:
2
,求常数a,b.
x -1 (-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1 f’(x) + 0 0 + f(x) -1-3a/2+b ↗ b ↘ -a3/2+b ↗ 1-3a/2+b 由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)> f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.
当x变化时, y, y 的变化情况如下表: 2 4 2 2 ( , ) 4 x 0 (0, ) 3 3 3 3 3 f ( x ) + 0 0 f(x)
0
3 3 2 2 3 3 2
4 ( ,2 ) 3
2
+
从上表可知,最大值是∏,最小值是0.
例题讲解
y x4 2x2 5 在区间 例1 求函数
1
1 1 , 而 f ( 2 ) 2 p 1 f(0)=f(1)=1,因为p>1,故1>1/2p-1.
2
p 1
,最大值为1.
1 2
p 1
从而函数f(x)的值域为 [
,1].
练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最
大值和最小值. 答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.
y y=f(x) o y y=f(x) a b x
y
y=f(x)
o a y
y=f(x)
b
x
o
a
b
x
o a
b
x
在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与 最小值.
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
+ －9x在上［－4 , 4 ］ 例2 求函数 y = x³ 3 x² 的最大值和最小值。
解 (1) 由 f ´(x)=3x² +6x－9, 得驻点为 x1=－3，x2=1 驻点处的函数值为f (－3)=－27, f (1)=－4
(2) 区间端点［－4 , 4 ］处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76 (3) 比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的 最大值为 f (4) =76，最小值为 f (－3)=－27
f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1.
又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以 3a 6 a 6 .
2 2 3
延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.
第三章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题
知 识 回 顾
一、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果 f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说 f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极 大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都 小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值 =f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值.
注
意
1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点 是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的 函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小, 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或
最小。
3、函数的极值不是唯一的即一个函 数在某区间上或定义域内极大值或
极小值可以不止一个。
4、极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值，如下 x1 x4 图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 f ( x4 ) f ( x1 )
二、 求函数f(x)的极值的步骤:
1.求导数f′(x);
2.求方程f′(x)=0的根
(x为极值点.)
3.用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间 分成若干小开区间，并列成表格.检查 f′(x)在方 程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.
2 x 3 f ( x ) 2 x 3
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
y y
yf(x )
yf(x )
O
a
b
x O
a
b
x
函数的最值一般分为两种情况：
(2)如果函数在区间(a, b)内有极值,将y=f(x)的各极值与 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最 小值. 如果函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值，而 没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[a, b]上 的最大(小)值。
注意:
如果函数f(x)在x0处取得极值,意味着 反之不一定成立！！！
f (x0 ) 0
如y=x3
（二）、新课引入
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题， 这就是我们通常所说的最值问题. 导数的应用之三:求函数最值.
x
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条 连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x3)
f(b)
f(x1)
y
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x
f(x2)
新课讲授 一.最值的概念(最大值与最小值)
[2,2] 上的最大值与
最小值． y 4 x 3 4 x 解： y 0 ，有 4 x 3 4 x 0 ，解得 x 1,0,1 令 当x 变化时，y, y 的变化情况如下表： x y -2 (-2,-1) — 13 -1 0 4 (-1,0) + 0 0 5 (0,1) — 1 0 4 (1,2) + 2 13
如果在函数定义域I内存在x0,使得 对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
a, b
f (x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 2.最大值一定比最小值大.
二.如何求函数的最值?
1.利用函数的单调性;
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最
f ( x) p2 x(1 x) p1[2 (2 p) x]. 解: 2 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p . 2 p 2 p 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p ) 4( 2 p ) , p ) 2 p . 故所求最大值是 4( 2 p
如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值. 2.利用函数的图象; 如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值. 3.利用函数的导数.
利用导数求函数f(x)在区间[a,b] 上最值的步骤:
1.求f(x)在区间[a,b]内极值(极
大值或极小值) 2. 将 y=f(x) 的 各 极 值 与 f (a) 、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值
y
'
3
0 2
+
11
y
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
说明:由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值.
f ( x) px p1 p(1 x) p1 p[ x p1 (1 x) p1 ]. 解:
令 f ( x ) 0 ,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2. 所以f(x)的最小值为
3 2
最大值 f (－π/2)=π/2，最小值 f (π/2)= －π/2
最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (－5)= －5+
6
(3) f ( x) 2x 6x 18x 7 , 1, 4
最大值 f (1)=－29，最小值 f (3)= －61
答 案
2 3 2 3 延伸1:设 3 a 1,函数 f ( x ) x 2 ax b( 1 x 1) 的最 6
y
yf(x ) y yf(x ) f(x0) x O a x0 b x
f(x0)
O a x0 b
求函数在闭区间内的最值的步骤
(1) 求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和 驻点处的函数值； (2) 求出区间端点处的函数值；
(3) 比较以上各函数值，其中最大的就是函数
的最大值，最小的就是函数的最小值。
大值为1,最小值为
2
解:令 f ( x) 3 x 3ax 0 得x=0或a. 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表:
2
,求常数a,b.
x -1 (-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1 f’(x) + 0 0 + f(x) -1-3a/2+b ↗ b ↘ -a3/2+b ↗ 1-3a/2+b 由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)> f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.
当x变化时, y, y 的变化情况如下表: 2 4 2 2 ( , ) 4 x 0 (0, ) 3 3 3 3 3 f ( x ) + 0 0 f(x)
0
3 3 2 2 3 3 2
4 ( ,2 ) 3
2
+
从上表可知,最大值是∏,最小值是0.
例题讲解
y x4 2x2 5 在区间 例1 求函数
1
1 1 , 而 f ( 2 ) 2 p 1 f(0)=f(1)=1,因为p>1,故1>1/2p-1.
2
p 1
,最大值为1.
1 2
p 1
从而函数f(x)的值域为 [
,1].
练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最
大值和最小值. 答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.
y y=f(x) o y y=f(x) a b x
y
y=f(x)
o a y
y=f(x)
b
x
o
a
b
x
o a
b
x
在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与 最小值.
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
+ －9x在上［－4 , 4 ］ 例2 求函数 y = x³ 3 x² 的最大值和最小值。
解 (1) 由 f ´(x)=3x² +6x－9, 得驻点为 x1=－3，x2=1 驻点处的函数值为f (－3)=－27, f (1)=－4
(2) 区间端点［－4 , 4 ］处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76 (3) 比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的 最大值为 f (4) =76，最小值为 f (－3)=－27
f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1.
又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以 3a 6 a 6 .
2 2 3
延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.
第三章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题
知 识 回 顾
一、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果 f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说 f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极 大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都 小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值 =f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值.
注
意
1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点 是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的 函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小, 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或
最小。
3、函数的极值不是唯一的即一个函 数在某区间上或定义域内极大值或
极小值可以不止一个。
4、极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值，如下 x1 x4 图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 f ( x4 ) f ( x1 )
二、 求函数f(x)的极值的步骤:
1.求导数f′(x);
2.求方程f′(x)=0的根
(x为极值点.)
3.用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间 分成若干小开区间，并列成表格.检查 f′(x)在方 程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.
2 x 3 f ( x ) 2 x 3
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
y y
yf(x )
yf(x )
O
a
b
x O
a
b
x
函数的最值一般分为两种情况：
(2)如果函数在区间(a, b)内有极值,将y=f(x)的各极值与 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最 小值. 如果函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值，而 没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[a, b]上 的最大(小)值。
注意:
如果函数f(x)在x0处取得极值,意味着 反之不一定成立！！！
f (x0 ) 0
如y=x3
（二）、新课引入
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题， 这就是我们通常所说的最值问题. 导数的应用之三:求函数最值.
合集下载
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值.
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
2021年高中数学第三章导数应用3.2.2最大值、最小值问题课件7北师大版选修2_2
也是最大值点.
解析答案
1 234
2.将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形， 当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.
解析答案
规律与方法
1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中 变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解容许用问题的主要思路.另外 需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与 实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
解析答案
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的 年利润最大，并求出最大值.
反思与感悟 解析答案
解 因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11， 所以a＝2.
解析答案
(2)假设该商品的本钱为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大.
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模 过程.
答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 面积、容积的最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如下图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸 片，切去阴影局部所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使 得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x
反思与感悟 解析答案
2018版数学北师大版选修2-2课件：第三章 导数应用 2-2
(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值 .
(3)解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
题型探究
类型一 平面几何中的最值问题 例1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图像与x轴所围成图形中有个
内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.
解答
反思与感悟
解答
4 3
引申探究 1.将例2中问题改为求该容器表面积的最小值.
解答
2.例2中，若r∈(0，1]，求最小建造费用.
128π 解 由例 2(2)可知，y＝ ＋8πr2 在(0，1]上是减少的， r
∴当r＝1时，ymin＝136π.
∴最小建造费用为136π.
解答
反思与感悟
(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础 上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图 形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或 组合，以便简化求值过程.
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
解答
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年
利润最大，并求出最大值. 解 当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年
利润最大，最大利润为38.6万元.
解答
反思与感悟
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函 数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本. (2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
即点A到北京路一边l的距离为150 m.
解答
类型二 立体几何中的最值问题
例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容
(3)解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
题型探究
类型一 平面几何中的最值问题 例1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图像与x轴所围成图形中有个
内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.
解答
反思与感悟
解答
4 3
引申探究 1.将例2中问题改为求该容器表面积的最小值.
解答
2.例2中，若r∈(0，1]，求最小建造费用.
128π 解 由例 2(2)可知，y＝ ＋8πr2 在(0，1]上是减少的， r
∴当r＝1时，ymin＝136π.
∴最小建造费用为136π.
解答
反思与感悟
(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础 上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图 形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或 组合，以便简化求值过程.
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
解答
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年
利润最大，并求出最大值. 解 当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年
利润最大，最大利润为38.6万元.
解答
反思与感悟
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函 数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本. (2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
即点A到北京路一边l的距离为150 m.
解答
类型二 立体几何中的最值问题
例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容
2019_2020学年高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用2.2最大值、最小值问题课件北师大版选修2_2
解析：(1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，所以 a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商 品所获得的利润 f(x)＝(x－3)[x－2 3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．
间端点的函数值进行比较，其中最__大__的__值__即为函数的最大值． 4．函数的最小值点也具有类似的意义和求法．函数的_最__大__值___和_最__小__值___统称为
最值．
[双基自测]
1．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数，无最值
B．是减函数，无最值
C．有最大值
x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－ek－1
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当 k－1≤0，即 k≤1 时，函数 f(x)在[0,1]上是增加的，所以 f(x)在区间[0,1]上 的最小值为 f(0)＝－k； 当 0＜k－1＜1，ห้องสมุดไป่ตู้ 1＜k＜2 时，由(1)知 f(x)在[0，k－1]上是减少的，在(k－1,1] 上是增加的，所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k－1)＝－ek－1； 当 k－1≥1，即 k≥2 时，函数 f(x)在[0,1]上是减少的． 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)＝(1－k)e.
即若 3≤a＜92时，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q(a)
高中数学第3章导数应用2.2最大值最小值问题课件北师大版选修2_2
§2 导数在实际问题中的应用
2.2 最大值、最小值问题
课前预习学案
假设函数y＝f(x)、y＝g(x)、y＝h(x)在闭区间[a，b]的图像 都是一条连续不断的曲线(如下图所示)，观察图像．
(1)这三个函数在[a，b]上一定能够取得最大值、最小值 吗？
(2)若y＝h(x)在区间(a，b)上是一条连续不断的曲线，那么 它在此区间上一定有最值和极值吗？
2．_最__大__值___和_最__小__值___统称为最值．
(1)函数的最大值、最小值是一个整体概念，最 大(小)值必须是整个区间内所有函数值中最大(小)的．
(2)如果在[a，b]上函数y＝f(x)图像是一条连续不断的曲 线，那么它必有最大值与最小值．
(3)函数的最大值与最小值可能在区间端点处取得，也可 能在区间内部的极值点处取得．
(3)如何求[a，b]上的最值？
[提示] (1)一定能 (2)无最值，也无极值． (3)先求出(a，b)内的极值，再求区间端点值进行比较，最 大的就是最大值，最小的就是最小值．
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值点x0指的是： 函数在这个区间上__所__有__点__的函数值都不超过(不小于)f(x0)．
x
0 0，23π
23π
23π，43π
43π
43π，2π 2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
f(x) 0
π3＋
3 2
23π－
3 2
π
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
求闭区间上连续函数的最值除熟练掌握基本 步骤外，还应注意以下几点：(1)对函数准确求导；(2)研究函 数的单调性，正确确定极值和端点和函数值；(3)比较极值与端 点的函数值大小时，有时用作差法来比较大小．
2.2 最大值、最小值问题
课前预习学案
假设函数y＝f(x)、y＝g(x)、y＝h(x)在闭区间[a，b]的图像 都是一条连续不断的曲线(如下图所示)，观察图像．
(1)这三个函数在[a，b]上一定能够取得最大值、最小值 吗？
(2)若y＝h(x)在区间(a，b)上是一条连续不断的曲线，那么 它在此区间上一定有最值和极值吗？
2．_最__大__值___和_最__小__值___统称为最值．
(1)函数的最大值、最小值是一个整体概念，最 大(小)值必须是整个区间内所有函数值中最大(小)的．
(2)如果在[a，b]上函数y＝f(x)图像是一条连续不断的曲 线，那么它必有最大值与最小值．
(3)函数的最大值与最小值可能在区间端点处取得，也可 能在区间内部的极值点处取得．
(3)如何求[a，b]上的最值？
[提示] (1)一定能 (2)无最值，也无极值． (3)先求出(a，b)内的极值，再求区间端点值进行比较，最 大的就是最大值，最小的就是最小值．
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值点x0指的是： 函数在这个区间上__所__有__点__的函数值都不超过(不小于)f(x0)．
x
0 0，23π
23π
23π，43π
43π
43π，2π 2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
f(x) 0
π3＋
3 2
23π－
3 2
π
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
求闭区间上连续函数的最值除熟练掌握基本 步骤外，还应注意以下几点：(1)对函数准确求导；(2)研究函 数的单调性，正确确定极值和端点和函数值；(3)比较极值与端 点的函数值大小时，有时用作差法来比较大小．
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
2013-4-2
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
解
即半径越大 利润越高 半径r 2时, f r 0,它表 , ; 示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 , , . ① 半径为 cm时, 利润最小 这时f 2 0, 表示此种 2 , 瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 此时利润是负值 , .
'
当r 0,2时, f r 0;当r 2,6时, f r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增 ,
2
o
3
r
好相等;当r 3时, 利润才为正值. 当r 0,2时, f r 是减函数 你能 , 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问 题.请同学们自己作出回答 .
2013-4-2
练习 1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在 确定断面尺寸时， 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流 阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
解
即半径越大 利润越高 半径r 2时, f r 0,它表 , ; 示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 , , . ① 半径为 cm时, 利润最小 这时f 2 0, 表示此种 2 , 瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 此时利润是负值 , .
'
当r 0,2时, f r 0;当r 2,6时, f r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增 ,
2
o
3
r
好相等;当r 3时, 利润才为正值. 当r 0,2时, f r 是减函数 你能 , 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问 题.请同学们自己作出回答 .
2013-4-2
练习 1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在 确定断面尺寸时， 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流 阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.
高中数学 北师大选修2-2 3.2.2函数的最大(小)值与导数
(2)若对于任意的x 0,3,都有f (x) c2成立,
求c 的取值范围.
答案 : (1)a = 3,b = 4; (2)(, 1) (9, )
有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问 题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范 围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．
一般地, f (x)恒成立 [ f (x)]max; f (x)恒成立 [ f (x)]min
教师提问： 本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答： 1．知识： （1）极值与最值的区别与联系： （2）利用导数求函数的最值的步骤： 2．思想：归纳概括思想、数形结合思想． 教师总结：在学习新知时也用到了前面所学过的知识，提醒 学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而 知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而 更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想 方法的认识与自觉运用．
解 : (1) f (x) = t(x t)2 t3 t 1(x R,t 0)
当x = t时, f (x)取最小值f (t) = t3 t 1, 即h(t) = t3 t 1
(2)令g(t) = h(t) (2t m) = t3 3t 1 m, 由g(t) = 3t2 3 = 0得t=1或t = 1(舍)
b
a
O
x
f(x) =0
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附 近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的 整个的定义域内最大或最小.
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇 到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这 些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小 值问题.
求c 的取值范围.
答案 : (1)a = 3,b = 4; (2)(, 1) (9, )
有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问 题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范 围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．
一般地, f (x)恒成立 [ f (x)]max; f (x)恒成立 [ f (x)]min
教师提问： 本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答： 1．知识： （1）极值与最值的区别与联系： （2）利用导数求函数的最值的步骤： 2．思想：归纳概括思想、数形结合思想． 教师总结：在学习新知时也用到了前面所学过的知识，提醒 学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而 知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而 更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想 方法的认识与自觉运用．
解 : (1) f (x) = t(x t)2 t3 t 1(x R,t 0)
当x = t时, f (x)取最小值f (t) = t3 t 1, 即h(t) = t3 t 1
(2)令g(t) = h(t) (2t m) = t3 3t 1 m, 由g(t) = 3t2 3 = 0得t=1或t = 1(舍)
b
a
O
x
f(x) =0
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附 近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的 整个的定义域内最大或最小.
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇 到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这 些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小 值问题.
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的极值 课件
金太阳新课标资源网
北师大版高中数学选修2-2第三 章《导数应用》
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解 函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区 间上的极值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会对函数的极大值与极小值。 3、情感、态度与价值观：让学生感悟由 具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
a2 练习１:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值. 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞) f’(x) + 0 0 + f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗ 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有 极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点 不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
北师大版高中数学选修2-2第三 章《导数应用》
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解 函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区 间上的极值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会对函数的极大值与极小值。 3、情感、态度与价值观：让学生感悟由 具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
a2 练习１:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值. 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞) f’(x) + 0 0 + f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗ 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有 极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点 不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
北师大版高中数学选修2-2第三章导数应用-导数应用小结与复习课件
答:由已知得 f(0)f(2)0 可, 求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
2020/1/20
三、难点突破：
y f x 1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若
x1(0,2), 所以当 因此2当020/点1/20B为 (2 2 2
x 3 ,02 )时2 ,矩33形时的, S最(x)大m面ax积39是23.
32 9
3
.
例5:证明不等式: ln x11(x 1 )2 1 2(1 x )3(x 0 ).
x2
3
证:设
f(x ) ln x 1 1 (x 1 )2 2 (x 1 )3 (x 0 ).
在（a，b）内， f x 0（或 f x 0），（其中有有限个 x
使 f x 0 ），则 y f x 在（a，b）内仍是增函数（或减
函数）。如：f x x3，有 fx3x20（其中 f 0 0），
但 y f x 在（-∞, +∞）内递增；
分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步 骤来求. 但要注意极值点与导数之间的关系（极值 点为
f x 0 的根）.
2020/1/20
（三）、函y 数f的x最 大值与最小值
1. 设
是定义在区间[a，b]上的函数，y f x 在
（a，b）内有导数，求函数 y f x 在[a，b]上的最大值与
令 yt(
5x 400x2
3)0,在
0x10的0范围内有
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费 最省.
2020/1/20
三、难点突破：
y f x 1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若
x1(0,2), 所以当 因此2当020/点1/20B为 (2 2 2
x 3 ,02 )时2 ,矩33形时的, S最(x)大m面ax积39是23.
32 9
3
.
例5:证明不等式: ln x11(x 1 )2 1 2(1 x )3(x 0 ).
x2
3
证:设
f(x ) ln x 1 1 (x 1 )2 2 (x 1 )3 (x 0 ).
在（a，b）内， f x 0（或 f x 0），（其中有有限个 x
使 f x 0 ），则 y f x 在（a，b）内仍是增函数（或减
函数）。如：f x x3，有 fx3x20（其中 f 0 0），
但 y f x 在（-∞, +∞）内递增；
分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步 骤来求. 但要注意极值点与导数之间的关系（极值 点为
f x 0 的根）.
2020/1/20
（三）、函y 数f的x最 大值与最小值
1. 设
是定义在区间[a，b]上的函数，y f x 在
（a，b）内有导数，求函数 y f x 在[a，b]上的最大值与
令 yt(
5x 400x2
3)0,在
0x10的0范围内有
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费 最省.
2021届北师大版高中数学选修2-2精品课件：第三章 导 数 应 用(4课时269张PPT)
导数
单调递_增__
f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何 子区间上都不恒为零
单调递_减__
f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何 子区间上都不恒为零
常函数
f′(x)=0
【类题·通】 原函数与导函数关系的判定方法
(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的， 则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内是减少的， 则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定 导函数图像.
(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减 快慢.
【习练·破】 已知函数y=f(x)的图像如图所示，则函数y=f′(x)的 图像可能是图中的 ( )
【解析】选C.由函数y=f(x)的图像的增减变化趋势判 断函数y=f′(x)的正、负情况如表：
x (-1，b) (b，a)
f(x) ↘
↗
2
如图所示，记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式
f′(x)≤0的解集是 ( )
A. [ 1，1] ∪[2，3)
3
B. [ 1，1 ] [ 4，8]
2 33
C. ( 3，1)∪[1，2]
22
D. ( 3，1) [1，4] [8，3]
2
23 3
【思维·引】要使f′(x)≤0，则f(x)单调递减，从 f(x)的图像上看是下降的.
A.增函数
B.减函数
C.有增有减
D.不能确定
【解析】选A.y′=1-sin x≥0，因此函数为增函数.
3.若函数y=x3+ax在R上是增函数，则a的取值范围是 ________. 【解析】因为y′=3x2+a，由题意得3x2+a≥0，a≥-3x2 在R上恒成立，因为-3x2≤0，则a≥0. 答案：[0，+∞)