浅谈高中数学不等式的证明方法
不等式的几种证明方法
不等式证明的几种常用方法一、比较法（1）差值比较法要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
【例一】求证：233x x +>证明：()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
【例二】已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥证明： =∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
重点：基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .证明： 222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥，()222b acabc +≥，()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
高中数学不等式的证明方法有哪些？
高中数学不等式的证明方法有哪些？高中数学不等式的证明方法有哪些?导语：不定式常见考法：在阶段考中，一般以解答题的形式考查比较法、分析法、综合法、数学归纳法这四种基本方法证明不等式，属于难题。
下面是小编为大家整理的，数学知识，更多相关信息请关注CNFLA相关栏目!1不等式考试要求在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。
诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
(1)理解不等式的性质及其证明。
(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的`不等式。
(4)掌握简单不等式的解法。
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。
2不等式证明方法1、比较法包括比差和比商两种方法。
2、综合法证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。
3、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
中学数学不等式证明的常用方法
中学数学不等式证明的常用方法不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等]4[.在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.一、一般思路不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法.利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述．分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.二、典型方法分析(1)放缩法不等式的传递性，若A ＞B ，B ＞C 则A ＞C 告诉我们要证明A ＞C 时就可以先把A 缩小B ，再把B 缩小为C ，从而证明A ＞C ；同样A 放大为B ，再把B 放大为C ，可以证明A ＜C ．例１ 求证：１＋)(213121+∈<+++N n n n ．分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母 n 1 ＝)1(21222--=-+<n n n n n ,每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当.证明: n 1＝)1(21222--=-+<n n n n n ， ∴21＜2（2－１）， ),23(231-<……),21(211---<-n n n n 1＜2（1--n n ）． 以上各式相加，得１＋21＋…n 1＜2n －１＜2n ．所以原不等式成立． 【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递．例2 已知数列{}n a ,n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n L 求证：<+2)1(n n n a ＜.2)1(2+n 分析: 注意到左边的式子2)1(+n n 是前ｎ个自然数的和，与n a 比较只须缩小为１﹑2﹑3……n 即可．仿此把各项放大2﹑3﹑……（n+1）所得结论过弱，只能放弃，于是转而联想到关系式2)1()1(+<+n n n n ，右边的不等式证明，由此可证得．证明 由于 n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n >2322321n ++++=1+2+3+…+n=2)1(+n n 又由2)1()1(+<+n n n n ＜212+n 有n a ＝)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n ＜++++ 272523212+n ＜2)1()]12(7531[212+=++++++n n 综上所述<+2)1(n n n a ＜2)1(2+n ． 【评注】放缩法的基本思路: ,,.a b b c a c >>⇒>[3]技巧与方法:(1) 适当添上或舍去某些项,例:22131()()242a a ++>+;(2) 如果是分式则需放大或缩小分子或分母,如:211111(1)(1)1k k k k k k k<<=-+--放大缩小切记适度. (2) 判别式法有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式；或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2]．例 已知z y x ,,是实数，且满足条件222870660x yz x y z yz x ⎧--+=⎪⎨++-+=⎪⎩ 求证：１.9≤≤x证明 由已知等式得：yz =782+-x x(z y +)=-+=662x yz 782+-x x +6x-6=2x -2x+1=(x-1)2于是z y ,是方程t ()1(2+-±t x 782+-x x )=0的两个实根△＝(x-1)2－４（782+-x x ）＞０解得１.9≤≤x【评注】本题可以将原方程组变形得到的表达式和z y yz +,再把x 看作常数写成关于t 的一元二次方程，最后用判别式来求解．用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．(3) 换元法有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2]．例1 设a ,b ∈R +且a +b =1.求证：22)1()1(b b a a +++≥225. 证明： a +b =1可设：a =θ2sin ,b =θ2cos又222y x +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 则 22)1()1(bb a a +++ ≥2)11(21ba b a +++ ＝(21θ2sin ＋θ2cos ＋222)cos 1sin 1θθ+ ＝225)41(21)2sin 41(2122=+≥+θ． 例2 设a ,b >0，求证：33b a +＋3332a b a <-． 证明：设33b a +＝m,n b a =-33,则33n m +=2a于是要证的不等式等价于3)(n m +＜4（33n m +）只要证：4（33n m +）－0333223>---n mn n m m而33m +3n 22333mn n m --=3)(3)(22m n n n m m -+-=3(m-n)(m 2-n 2)=3(m-n)2(m +n )>0∴m n m (4)(3<-)22n - 成立.【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示. 换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有:(1)若;(sin ,cos ,122为参数）可设θθθ===+b a b a(2)若为参数）；可设θθθ(sin ,cos ,122r b r a b a ==≤+(3)对于θθθcos 1sin 1cos ,1,12=≤≤≤-x x x 知，可设或由 或θsin =x ;(4)若知由C b A C B A xyz z y x tan tan tan tan tan tan ,=++=++,,tan A x ==y ).(tan ,tan π=++=C B A C z B(4)函数法有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明.例:求证:||1||2121n n x x x x x x ++++++≤||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++ 分析:要证不等式的每一项结构都是x x +1的形式,于是可以构造函数)(x f =x x +1 证明: 构造函数)(x f =xx +1 )1)(1(11)()(2121221121x x x x x x x x x f x f ++-=+-+=- 当x 021>≥x 时,显然)()(21x f x f <所以函数)(x f 当0≥x 时是增函数||||||||2121n n x x x x x x +++≤+++L L Q ∴||12121n n x x x x x x +++++++ ≤||||||1|||||||112121n n n x x x x x x x ++++++++++ ≤ ||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.。
高中数学：不等式题目的七种证明方法
高中数学：不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。
但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。
我就来总结一下不等式的证明方法。
01比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。
前者为作差法，后者为作商法。
但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。
02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。
分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。
如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。
我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。
当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。
03反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。
这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。
04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。
放缩法的目的性强,必须恰到好处,。
同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。
高中不等式的常用证明方法归纳总结
不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
注意ab b a 222≥+的变式应用。
常用2222ba b a +≥+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。
一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。
1、已知a,b,c 均为正数，求证：ac c b b a c b a +++++≥++111212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴0)(4)(44)()(14141)(2≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理0)(414141)(2≥+=+-+-c b bc c b c b c b ，0)(414141)(2≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得0111212121≥+-+-+-++ac c b b a c b a ∴ac c b b a c b a +++++≥++111212121 二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。
2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：31222≥++c b a证：2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++⇔∴2222)()(3c b a c b a ++-++0)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a cabc ab c b a3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(444c b a abc c b a ++>++证：∵22442b a b a >+22442c b c b >+22442a c a c >+∴222222444a c c b b a c b a ++>++∵ c ab c b b a c b b a 22222222222=⋅>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+∴)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证:)(2222222c b a a cc bb a++≥+++++证明：∵)(22222222)(22b a b a b a b aab ab +≥++≥+∴≥+即2)(222b a b a+≥+，两边开平方得)(222222b a b a b a+≥+≥+ 同理可得)(2222c b c b+≥+)(2222a c a c+≥+三式相加，得 )(2222222c b a a cc bb a++≥+++++5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9)11)(11(≥++y x 。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
高中数学中不等式的证明方法浅析
好家长 / 经验交流高中数学中不等式的证明方法浅析山东省青岛第五十八中学/柏荔升【摘要】不等式是高中数学中较为重要的学习内容，也是学生学习的重难点。
然而，很多学生都不了解应该怎样正确证明不等式，为弥补这一不足，本文将联系实际情况，提出几种有效的证明方法，帮助学生快速解题。
【关键词】高中数学 不等式 证明方法前言尽管不等式一直都是高考重点，但由于不等式形式并不相同，也就没有确确切的证明程序可言，为做好不等式证明，让学生掌握不等式解题技巧，这就需要从多角度对不等式进行讲解与研究。
一、在不等式证明中常用思想不等式证明是高中数学教学重点，要做好不等式证明，就要结合一定的思想，为正确解题奠定基础。
首先，分类思想。
这一思想是按照研究对象属性确定的，运用分类思想可以让学生更透彻的理解数学知识，帮助学生形成良好的获取知识的能力，让学生有更为完善的认知结构，进而形成良好知识网络。
其次，数形结合思想。
利用该思想可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，这对学生尽快掌握不等式证明知识具有重要作用。
最后，函数方程思想，利用这种思想可以帮助学生更全面掌握数学知识，将不等式证明看做函数方程，有助于学生理解。
二、不等式证明方法1.比较法。
对于比较法来说，就是利用两个实数之间的差或商比较它们的大小，确定两者关系。
具体来讲可以分为作差法与作商法。
如在已知a,b大于0的情况下，证明(a+b)/2不小于就可以运用比较法，由于(a+b)/2不小于意味着(a+b)/2大于或等于，即(a+b)/2≧，进一步证明得知，(a+b)/2-=(a+b-)/2≧0，最终求得(a+b)/2≧。
同样，这种方法也适用于求商中。
2.分析法。
分析法也是高中数学不等式证明中一种常用的解题方法，在利用分析法的过程中就是先分析不等式的成立条件，同时将用于证明不等式的问题变为这些条件是否具有问题，若可以肯定这些条件，则意味着不等式成立，这就是分析法。
3.均值法。
均值法是不等式证明中一种较为常见的方法，对于均值不等式来说，需要保证两端次数相同，且带有一定的对称性与排比性，利用均值法证明不等式，只要保证具有以上特点即可。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。
目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。
二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。
三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。
四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。
五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。
六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。
七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。
以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。
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浅谈高中数学不等式的证明方法姜堰市罗塘高级中学 李鑫摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。
关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。
由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。
本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。
一．比较法所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。
例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法证明 02)(2222≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2. 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >.分析：对于含有幂指数类的用作商法证明 因为 0>>b a ，所以 1>ba ，0>-b a . 而 1>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a a b b a b a b a b a ，故 a b b a b a b a >二．分析法从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。
例3：求证3<证明：0>>Q运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途。
三．综合法从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
例4：已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+∴ 2212a b +≥又 ∵ 2222221111()()8a b a b a b +=++≥⨯= ∴ 2222221111()()()4()a b a b a b a b +++=++++1254822≥++=． 四．反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1） 假定命题的结论不成立；2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4） 肯定原来命题的结论是正确的。
例5：已知01,01,01a b c <<<<<<，求证：(1),(1),(1)a b b c c a ---至少有一个小于等14分析：本题从正面考虑情况较多，可考虑选用反证法，“小于等于”的反面是“大于”“至少有一个”的反面是“一个也没有”。
证明：假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14，则 ∵ 01,01,01a b c <<<<<<∴ 10,10,10a b c ->->->根据平均值不等式，有(1)122a b -+≥>=，同理(1)1(1)1,2222b c c a -+-+>> (1)(1)(1)11132222222a b b c c a -+-+-+++>++=∴ 3322>∴，显然矛盾.所以结论成立。
五．放缩法 放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。
例6：设a 、b 、c 是三角形的边长，求证3a b c b c a c a b a b c ++≥+-+-+- 证明：由不等式的对称性，不妨设a b c ≥≥，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+ 且20c a b --≤， 20a b c --≥∴3111a b c a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c++-=-+-+-+-+-+-+-+-+- 222a b c b a c c a b b c a c a b a b c------=++≥+-+-+-0222=-+--+-+--+-+--b a c b a c b a c a c b b a c c b a ∴3a b c b c a c a b a b c ++≥+-+-+- 六．数学归纳法对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立.例7 已知：+∈R b a ,，N n ∈，1≠n ，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a . 证明 （1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a=k k k k k k k k k k ab b a b a b ab b a b ab b a ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(， 即k k k k ab b a b a +≥+++11成立.根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的自然数n 都成立.七．换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.例8： 已知：1=++c b a ，求证：31≤++ca bc ab . 证明 设t a -=31，)(31R t at b ∈-=，则t a c )1(31++=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++t a t t a at at t ca bc ab )1(3131)1(31313131 ,31)1(3122≤++-=t a a 所以 1≤++ca bc ab均值不等式公式：①222,(,)a b ab ab ab a b R +≥=+∈（当且仅当a b =时取“=”）；②,)a b a b R ++≥=∈（当且仅当a b =时取“=”）。
均值不等式是高考中一个重要知识点，其变形多，约束条件“苛刻“（一正、二定，三相等）。
例10： 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)+c(a 2+b 2)>6abc. 分析：观察要证不等式的两端都是关于a ，b ，c 的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。
证明: ∵ b 2+c 2≥2bc , a >0, ∴ a (b 2+c 2)≥2abc同理，b (c 2+a 2)≥2bac, c (a 2+b 2)≥2cab ,又 因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中等号不能同时成立，因此 a (b 2+c 2)+b (c 2+a 2)+c (a 2+b 2)>6abc 。
例11.若,0,2x y x y >+=，求证：112x y+=证明：因为,0,x y >所以11111()()2x y x y x y+=++ 1(11)22y x x y=+++≥ 当且仅当y x x y+，即1,1x y ==时等号成立 九．导数法当x 属于某区间，有0)(≥'x f ，则)(x f 单调递增；若0)(≤'x f ，则)(x f 单调递减.推广之，若证)()(x g x f ≤，只须证)()(a g a f =及)),((),()(b a x x g x f ∈'≤'即可.例 12 证明不等 x e x +>1，.0≠x证明 设,1)(x e x f x --=则.1)(-='x e x f 故当0>x 时，f x f ,0)(>'递增；当f x f x ,0)(,0<'<递减.则当0≠x 时， ,0)0()(=>f x f从而证得 .0,1≠+>x x e x十．利用柯西不等式设,,,a b c d 均为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且ad bc =仅当时成立.例13.若,0,2x y x y >+=，求证：112x y+= 此题在前面用均值不等式解的，也可以用柯西不等式解答。
证明：11111()()2x y x y x y+=++22≥≥=1,1x y ==时等号成立不等式知识在高中尤为重要，在学术上也有很大的研究的余地，本文只是浅显的举例说明了一些关于不等式的内容更深层的知识有待学者继续研究。
参考文献[1]傅荣强，于长军.《龙门专题高中数学不等式》 [M].龙门书局出版社，2007：58—88[2] 胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯,2001(9).[3] 王胜林,卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯,2004(11).[4] 普片多，例谈中学不等式的证明方法.西南大学数学与统计学院。