四省名校2020届高三第一次联考数学(理)试卷(有答案)
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
2020秋高三上学期第一次联考数学(理)试题(可编辑)+答案详解+评分标准 (2)
2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。
全卷满分150分，考试时间12咋啦60分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则A B =IA.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是 A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为1 3.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为A.(5，0)B.(0，，0) D.(0) 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为A.y ＝7ex －5eB.y ＝7ex ＋9eC.y ＝3ex ＋5eD.y ＝3ex －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞UD. (,3)(1,)-∞-+∞U 10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为12 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为A. B. C. D.12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率A.存在最大值4 B.存在最大值3 C.存在最小值4 D.存在最小值3第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理(含解析)
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={2,3,4,5,6,7}，集合A={4,5,7}，B={4,6}，则A∩(∁U B)=()A. {5}B. {2}C. {2,5}D. {5,7}2.已知复数z=2−i1+2i，则z=()A. 4+3iB. 4−3iC. −iD. i3.以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是()A. 35B. 45C. 710D. 9104.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30，则a等于()A. 13B. 12C. 1D. 25.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为()A. 9√3πB. 18πC. 6πD. 3√3π6.已知公差不为零的等差数列{a n}的首项a1=50，a7、a15、a17成等比数列，则使{a n}的前n项和S n取得最大值的n的值为()A. 16B. 17C. 18D. 197.下列说法正确的是()A. 若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题B. 命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0，”C. 命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”D. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件8.设双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，若双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12，则双曲线的离心率为()A. 54B. 53C. 43D. √529. 如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP =θ，则点P 的坐标是( )A. (cosθ,sinθ)B. (−cosθ,sinθ)C. (sinθ,cosθ)D. (−sinθ,cosθ) 10. 已知双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则该双曲线渐近线方程为( )A. y =±√3xB. y =±√33xC. y =±√153x D. y =±√155x 11. 设函数f(x)={2x ,x ≤0log 2x ,x >0，若关于x 的方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,+∞)D. (−∞,1)12. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则a 4=( )A. −7B. −9C. 7D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为−2，则a =______．14. 函数f(x)=sinx +cosx 的图象向左平移m(m >0)个单位后，与y =cosx −sinx 的图象重合，则实数m 的最小值为______ ．15. 如图，正方形中ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G.若四面体A −EFG 外接球的表面积为6π，则正方形ABCD 的边长为________．16.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点为F2，点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于两点.若△PF2Q的周长为4，则椭圆C的方程为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，点D在BC边上，且满足CD=√2AD=3√2，cos∠CAD=2√55．(1)求∠ADC；(2)若AB=√5，求BD．18.某校从高三年级学生中随机抽取40名学生，将他们的月考数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50),[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若该校高三年级共有学生640人，试估计该校高三年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90,100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．19.过点E(−1,0)的直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，F是C的焦点．(1)若线段AB中点的横坐标为3，求|AF|+|BF|的值；(2)求|AF|⋅|BF|的取值范围．20.如图所示，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，线段AC与BD交于点O，E为线段CC1的中点．(1)若点F在线段A1C上，且∠FOA1=90°，求证：OF⊥A1B；(2)若3AB=4AA1，∠ABC=120°，求直线EO与平面A1CD所成角的正弦值．+ax，x>1．21.已知函数f(x)=xlnx(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a=2，求函数f(x)的极小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,θ∈[0,2π)，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|⋅|OB|=8，点B的轨迹为C2．(1)求C1，C2的极坐标方程．)，求△ABC面积的最小值．(2)设点C的极坐标为(2,π223.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题．根据题意，求解即可．解：全集U={2,3,4,5,6,7}，B={4,6}，所以∁U B={2,3,5,7}，因为集合A={4,5,7}，所以A∩(∁U B)={5,7}；故选D．2.答案：C解析：解：z=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i，故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：解：由茎叶图知，甲的平均成绩为13×(78+82+83)=81；乙的平均成绩为13×(80+83+80+m)=81+m3，又∵81<81+m3，∴m>0，又m∈N，∴m的可能取值集合为{1,2，3，4，5，6，7，8，9}．∴乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是P=910．故选：D．由茎叶图中的数据，求出甲、乙二人的平均成绩，列不等式求出m的取值集合，再计算所求的概率值．本题考查了茎叶图与平均数的应用问题，也考查了概率的计算问题，是基础题．4.答案：D解析：解：(x+1x)10展开式的通项公式为：T r+1=C10r⋅x10−r⋅(1x)r=C10r⋅x10−2r；令10−2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为C103；令10−2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为C102；所以(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为：C103−aC102=30，解得a=2．故选：D．根据题意求出(x+1x )10展开式中含x4项、x6项的系数，得出(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值．本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题目．5.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r，圆锥的高为h，由题意得2πr=6π，解得r=3，进而可得ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果．解：设圆锥底面的半径为r，圆锥的高为h，由题意得2πr=6π，解得r=3，∴ℎ=√62−32=3√3，∴V圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π．故选A．6.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的性质，考查方程思想和函数思想，以及运算能力，属于中档题．运用等比数列的性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．解：公差d不为零的等差数列{a n}的首项a1=50，a7、a15、a17成等比数列，可得a152=a7a17，即(50+14d)2=(50+6d)(50+16d)，解得d=−3(d=0舍去)，则前n项和S n=50n+12n(n−1)⋅(−3)=−3n2+103n2=−32(n−1036)2+103224，由于n为整数，17<1036<18，且1036−17<18−1036，则当n=17时，前n项和S n取得最大值，故选：B．7.答案：B解析：本题考查考查命题真假的判断，考查复合命题、全称命题、特称命题、充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在A中，若命题都p，￢q是真命题，则命题“p∧q”为假命题；在B中，利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题；在C中，否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”；在D中，“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件．解：在A中，若命题p，￢q都是真命题，则p真q假，则命题“p∧q”为假命题，故A错误；在B中，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0，”利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题，故B正确；在C中，命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”，故C 错误；在D中，解x2−5x−6=0，得x=−1或x=6，故“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故D错误．故选：B．8.答案：A解析：解：双曲线的渐近线方程为ax±by=0，圆M：x2+y2−10x=0可化为(x−5)2+y2=25，圆心M(5,0)，半径为5．∵双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12，∴圆心到直线的距离为√25−9=4，∴√a2+b2=4，∴e=ca=54故选：A．确定双曲线的渐近线方程，圆心M(5,0)，半径为5，求出圆心到直线的距离，建立方程，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．9.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．直接利用任意角的三角函数的定义求得点P的坐标．解：设P(x,y)，由任意角的三角函数的定义得，sinθ=y ，cosθ=x ． ∴点P 的坐标为(cosθ,sinθ)． 故选A ．10.答案：D解析：本题考查双曲线的概念和性质，属于基础题．由条件可得(2−a )+(3−a )=4，求得a ，继而可得结果． 解：因为双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上，所以{2−a >0a −3<0，解得：a <2．因为焦距为4，所以(2−a )+(3−a )=4，解得：a =12． 所以双曲线方程为：y 232−x 252=1，其渐近线方程为：y =±√155x ．故选D ．11.答案：A解析：本题考查函数零点与方程根的关系，分段函数，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 画出函数f(x)的图象，数形结合求解是本题的关键． 解：函数f(x)={2x,x ≤0log 2x,x >0的图象如图，由方程[f(x)]2−af(x)=0，可得f(x)=0或f(x)=a ， 由图可知，f(x)=0只有一个解x =1，要使方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则f(x)=a有两个均不为1的解，结合图象可知a∈(0,1]．故选：A．12.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和S n=n2，则a4=S4−S3=42−32=7．故选：C．直接利用已知条件求解即可．本题考查数列的函数的特征，基本知识的考查．13.答案：−3解析：本题考查函数的导数的几何意义，属于基础题．求函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．解：曲线y=(ax+1)e x，可得y′=ae x+(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2，可得：a+1=−2，解得a=−3．故答案为−3．14.答案：π2解析：解：函数f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，y=cosx−sinx=√2sin(x+3π4)，所以函数至少向左平移π2个单位，即m的最小值为：π2．故答案为：π2，化简两个函数的表达式为正弦函数的形式，按照平移的方法平移，即可得到m的最小值．本题考查两角和的正弦函数以及三角函数图象的平移，考查计算能力．15.答案：2解析：本题考查平面图形的折叠、棱锥的外接球问题，属中档题．依题意折叠后的四面体如图1，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球，即可求半径．解：依题意折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，外接球半径为R，则AG=a，EG=FG=a2，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球．由4πR2=6π得4R2=6.而4R2=AG2+EG2+FG2=32a2，所以6=32a2，解得a=2．故答案为2．16.答案：x24+y23=1解析：本题考查了椭圆的性质及几何意义和圆锥曲线中的综合问题，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2−|OM|2求出|PQ|，利用△PF2Q的周长为4，可得结论．解：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，则a=2c，b=√3c，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴|PF2|2=(x1−c)2+y12=14(x1−4c)2，∴|PF 2|=2c −12x 1， 连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM|2=|OP|2−|OM|2=x 12+y 12−3c 2=14x 12，∴|PM|=12x 1，∴|PF 2|+|PM|=2c ， 同理可求|QF 2|+|QM|=2c ， ∴|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c ． ∵△PF 2Q 的周长为4， ∴c =1，∴a =2，b =√3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1．17.答案：解：(1)在△ACD 中，∠CAD ∈(0,π)，∵cos∠CAD =2√55，∴sin∠CAD =√55，∵CD =√2AD =3√2，∴CDAD =√2，∴sin∠CADsin∠DCA =√2，∴sin∠DCA =√1010， ∴cos∠DCA =3√1010(∵∠DCA <∠CAD)，∴cos∠ADC =−cos(∠ACD +∠CAD)=−√22，∴∠ADC =3π4．(2)由(1)得，∠ADB =π4，在△ABD 中，∴5=BD 2+9−2×3×BD ×√22，∴BD =2√2或√2．解析：(1)结合正弦定理，平方关系，两角和的余弦公式可得； (2)由余弦定理可得．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ) 由直方图及题意得(10b)2=0.05×0.20.∴b =0.010，(Ⅱ) 成绩不低于80分的人数估计为(Ⅲ) 样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2；成绩在[90,100] 内的人数为40×0.010×10=4，X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)═115；P(X =1)=815；P(X =2)=25；所以X 的分布列为： X 0 1 2 P11581525所以解析：本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量期望以及分布列的求法，考查计算能力． (Ⅰ)由直方图，直接求解b ，a 即可．(Ⅱ)利用频率转化求解成绩不低于80分的人数．(Ⅲ)样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2；成绩在[90,100]内的人数为40×0.010×10=4，X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．19.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1， ∴|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， (2)设直线l 的方程为x =my −1，由{x =my −1y 2=4x ，消y 可得可得y 2−4my +4=0 即y 1+y 2=4m ，y 1y 2=8， 则△=16m 2−16>0，可得m 2>1，由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1， 则|AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2>4， 故|AF|⋅|BF|的取值范围为(4,+∞)．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， (2)由抛物线的定义可知||AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2，再根据韦达定理和判别式即可求出．本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20.答案：(1)证明：因为ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥BD ． 又AC ∩A 1A =A ，AC ⊂平面A 1AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ， 所以BD ⊥平面A 1AC ．因为OF ⊂平面A 1AC ，故BD ⊥OF ； 又∠FOA 1=90°，即OF ⊥OA 1，又BD ∩OA 1=O ，BD ⊂平面A 1BD ，OA 1⊂平面A 1BD ， 故OF ⊥平面A 1BD ；而A 1B ⊂平面A 1BD ，故OF ⊥A 1B ；(2)以O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，过点O作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，设AB =4，AA 1=3， 则A 1(−2√3,0,3)，C(2√3,0,0)，D(0,−2,0)，E (2√3,0,32)， 则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√3,0,−3)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,32)， 设平面A 1CD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3x −3z =0,m⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +2y =0,令x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−3,4)为平面A 1CD 的一个法向量； 记直线EO 与平面A 1CD 所成角为θ，故sin θ=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=4√399133．解析：本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面的夹角，是中档题。
2020届“四省八校”高三第一次教学质量检测数学(理)试题 (解析版)
2020届“四省八校”高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．若集合{}2|log (1)1M x x =-…，则下列结论正确的是（） A.(,3]M =-∞MC.M ∈D.M ⊆【答案】D【解析】化简集合{}13M x x =<≤，判断选项即可. 【详解】化简集合{}{}2|log (1)113M x x x x =-=<≤…，判断选项得M ⊆. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的解法、元素与集合的关系、集合与集合的关系，属于基础题．2．设函数2,1()(2),1x x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…，则(3)f -的值为（）A.12B.2C.18D.8【答案】B【解析】根据分段函数，得(3)=(3+2)=(1)=(1+2)=(1)=2f f f f f ----. 【详解】∵函数2,1()(2),1x x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…，∴1(3)=(3+2)=(1)=(1+2)=(1)=2=2f f f f f ----. 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数解析式求值的问题，关键在于正确理解，属于基础题． 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1111S =，则（） A.1a = B.1a =C.a a >D.a a >【解析】利用等差数列的通项公式与前n 项和公式即可求出． 【详解】由等差数列的性质与前n 项和公式可得：1111S =＝()111611112a a a +=，解得61a =．故选：B ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属于基础题． 4．已知3log 2a =，4log 5b =，ln 2c =，则,,a b c 的大小关系为（） A.a c b << B.c a b << C.a b c << D.c b a <<【答案】A【解析】利用对数函数的单调性直接求解. 【详解】利用对数函数的单调性可得:44log 541log b =>=，且2231log ln 2log log e e e c a =>==>=，∴a c b <<．故选：A ． 【点睛】本题考查三个数大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，属于基础题． 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点(1,3)P -，则2cos2cos ()4πθθ++=（）A.0B.25C.35D.45【答案】A【解析】根据三角函数的定义，求出cos ,sin θθ，进而求出cos 2,sin 2θθ，化简21sin 2cos 2cos ()cos 2422πθθθθ++=+-代入计算即可.【详解】角θ终边上一点(1,3)P -，根据三角函数的定义，得OP ==∴cos θ＝x OP10=，进而得sin 10θ==-， ∴224cos 2cos sin θθθ=-=-，3sin 22sin cos θθθ==-，化简21cos(2)1sin 22cos2cos ()cos2cos24222πθπθθθθθ++++=+=+- 341413505225210-=-+-=-++=. 故选：A ． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，正余弦二倍角的化简求值，考查计算能力，属于基础题． 6．若13a t =-，23b t =+（t R ∈且2133t -<<），则11a b+的最小值为（） A.1 B.2C.3D.4【答案】D【解析】由,a b 的式子得0,0,1a b a b >>+=，展开()121a b a b b a a b ⎛⎫+=+⎝+⎪+ ⎭，利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出. 【详解】13a t =-，23b t =+（t R ∈且2133t -<<），∴0,0a b >>，且1a b +=， 所以()1111422a b a b a b a a b b +=+⎛⎫+=+ ⎪⎝+≥+=⎭， 当且仅当12a b ==取等号. 故选：D 【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于基础题． 7．已知函数()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递减，若(2)(1)f a f a >-，则a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】结合题意,大致绘制函数图像,利用数形结合思想,建立不等式,计算范围,即可.结合题意,()f x 为偶函数,则该函数关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递减，根据大致绘制函数图像,要满足()()21f a f a >-,则要求121a a a -+<<-,解得11,3a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故选C. 【点睛】考查了偶函数的性质,考查了函数单调性,考查了数形结合思想,难度中等. 8．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，则OC =（） A.1233AB AC -+ B.2133AB AO - C.1233AB AC -D.2133AB AC -+【答案】A【解析】根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可． 【详解】ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，如图所示：由22AO DO OD =-=，且D 为BC 的中点，所以O 为AD 的三等分点靠近点D ，且2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()2133AO AD AB AC ==+，又2133BO BD BA =+， 从而2OD OB OC =+，即AO OB OC =+， 所以()1AB AC ++21BD BA +=()()111123333333BC AC AB AC ABAB AC BA AB AC AB --+++=++-=. 故选：A 【点睛】本题考查向量的加减法运算，三角形中线的性质应用，平面向量基本定理的应用，属于中档题．9．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos )0b c A A +-=，b =，2c =，则A =（） A.12πB.512π C.4π D.3π 【答案】A【解析】由已知条件和正弦定理得sin cos sin sin 03A C A C +=，进而得tan C =C，再由正弦定理得sin B =B ，即可求出角A . 【详解】由cos )0b c A A +-=及正弦定理得：sin sin cos )0B C A A +-=， 且A B C π++=，所以sin()sin cos sin 0A C A C A C ++-=，即sin cos sin 0A C A C +=，因为sin 0A >，tan C =23C π∴=，由3sin sin sin b c B C B =⇒=，sin 2412B B A BC πππ⇒=⇒=⇒=--=． 故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，三角形内角和的性质，考查了计算能力，属于基础题. 10．定义在R 上的奇函数()f x 满足：函数(1)f x +的图象关于y 轴对称，当[0,1]x ∈时，A.()f x 的图象关于y 轴对称B.()f x 的最小正周期为2C.当[2,3]x ∈时，2()(2)f x x =-D.()f x 在[2,1]--上是减函数【答案】C【解析】由已知条件得()f x 的图象关于1x =对称，且()f x 为奇函数，得周期为4，又[0,1]x ∈时，2()f x x =-，对选项判断即可.【详解】函数(1)f x +的图象关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于1x =对称，故A 错误；(1)(1)f x f x ∴+=-，进而得(2)()f x f x +=-.又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-， (2)()f x f x ∴+=-，进而得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以周期为4，故B 错误；当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，所以当[2,3]x ∈时，则2[0,1]x -∈，()2(2)2()f x x f x -=--=-，所以()2()2f x x =-，故C 正确；当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，所以当[2,1]x ∈--时，则2[0,1]x +∈，()2(2)2()f x x f x +=-+=-，所以()2()2f x x =+在[2,1]--上是增函数，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查了函数的基本性质：奇函数和对称性，函数解析式的综合应用，属于中档题. 11．已知下列四个命题，其中正确的个数有（）①'1(2)2x x x -=⋅，②'(sin 2)cos 2x x =，③'(log )ln xa x a a =（0a >，且1a ≠），④'1(ln 2)2= A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可. 【详解】①'(2)2ln x x x =⋅，所以①错误； ②'(sin 2)2cos 2x x =，所以②错误； 1④'(ln 2)0=，所以④错误. 故选：A 【点睛】本题考查了指数，对数，三角复合函数的求导公式，熟练掌握公式是关键，属于基础题. 12．将函数2()2sin(0)4x f x ϕϕπ+=<<的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()(2)2g x g x π=--+，则ϕ的值为（）A.23πB.3π C.6π D.2π 【答案】B【解析】化简2()2sin1cos()422x x f x ϕϕ+==-+，利用三角函数图象平移规律得()1cos()262x g x πϕ=--+，由()(2)2g x g x π=--+，得()g x 关于(,1)π对称，进而求出ϕ. 【详解】化简2()2sin1cos()422x x f x ϕϕ+==-+，函数()f x 的图象向右平移3π个单位，得()1cos()262x g x πϕ=--+，由()(2)2g x g x π=--+，得()(2)2g x g x π+-=，所以()g x 关于(,1)π对称，进而2622k ππϕππ-+=+，k Z ∈.2()3k k Z πϕπ∴=+∈，又(0,)3πϕπϕ∈⇒=．故选：B 【点睛】本题考查了三角函数图象平移规律的应用，余弦函数图象和对称中心的应用，属于基础题.二、填空题13．已知向量(sin ,cos )a θθ=，()R θ∈，且()a b a +⊥，则b 在a 的方向上的投影为_______． 【答案】1-【解析】由已知条件得1a =，且()0a b a +⋅=，得1a b ⋅=-，再由投影公式a ba⋅r r r 计【详解】已知向量(sin ,cos )a θθ=，()R θ∈，得2sin 1a θ==，且()a b a +⊥，所以2()0a b a a a b +⋅=+⋅=，得1a b ⋅=-， 则b 在a 的方向上的投影为111a b a⋅-==-. 故答案为：-1 【点睛】本题考查了平面向量数量积和模长的的运算，向量的投影公式的应用，属于基础题.14．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是____【答案】10【解析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20xy +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：()2,4A ，max 10z ∴=. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基15．在数列{}n a 中，12a =，当2n …时，1lg 1n n na a n -=+-，则10a =_____． 【答案】3【解析】由1lg1n n na a n -=+-，2n …，用累加法求出2lg n a n =+()2n …，当1n =时，12a =符合，即可求出10a .【详解】在数列{}n a 中，当2n …时，1lg 1n n n a a n --=-，∴121lg 2n n n a a n ----=-，212lg 1a a -=，以上1n -个累加，得()112lg()lg 2121n n n a a n n n n --==--…， 即：2lg n a n =+()2n …，验：当1n =时，12a =符合. 所以：2lg n a n =+，即102lg103a =+= 故答案为：3 【点睛】本题考查了数列的递推式，累加法求数列的通项公式，注意检验，属于基础题. 16．定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x '，若'()2()f x f x <，则不等式48()(32)x e f x e f x -->+的解集是_______．【答案】12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件得函数2()()exf xg x =在R 上单调递减，由不等式48e ()e (32)x f x f x -->+，得264()(32)e ex x f x f x -+-+>，从而32x x -<+成立，解出x 的范围即可. 【详解】由于'()2()f x f x <，且20x e >，即2'2()2()0xx ef x e f x -<．令2()()ex f x g x =，则'22'22()e 2e ())()0e (x x x f x f x g x -=<，所以()g x 在R 上单调递减， 由不等式48e ()e(32)xf x f x -->+，得264()(32)e ex x f x f x -+-+>成立，即()(32)g x g x ->+．由于()g x 在R 上单调递减，所以32x x -<+，解得12x >-． 故答案为：12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了构造函数，利用导数研究函数的单调性，也考查了不等式的计算，属于中档题.三、解答题17．已知在ABC ∆中，222a c b +=． （1）求角B 的大小；（2）b =BD 为AC 边上的高，求BD 的取值范围．【答案】（1）4B π=；（2）(0,1+【解析】（1）由已知条件和余弦定理得cos 2B =，即可求出角B ；（2）由11sin 22S ac B b BD ==⋅，得12BD ac =，由222a c +=和基本不等式得2ac +…BD 的取值范围. 【详解】（1）在ABC ∆中，且222a c b +-，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-===， 0B π<<，∴4B π=（2）1111sin 22222S ac B b BD ac BD ac ==⋅⇒=⇒=，由余弦定理：222222222a c ac a c ac =+-⋅⇒+=+…，当且仅当a c =取等号，2ac ⇒=+…1(0,1BD ac =∈+.本题考查了正余弦定理的应用，也考查了基本不等式求最值，考查了计算能力，属于基础题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12(1)(2)n n S S n -=+…． （1）求n S ；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．【答案】（1）122n n S +=-；（2）2242n n T n +--=【解析】（1）由12(1)(2)n n S S n -=+…①，得122(1)(3)n n S S n --=+…②，①-②得，12(3)n n a a n -=…，把12a =，代入①得24a =，满足212a a =，得{}n a 是等比数列，即可得n S ；（2）由（1）得122n n S +=-，利用分组求和即可求得n T .【详解】（1）由12(1)(2)n n S S n -=+…①，∴122(1)(3)n n S S n --=+…②， 由①-②得，12(3)n n a a n -=…，∴数列234,,,a a a 为等比数列，在①中，令2n =，有212(1)S S =+，即1212(1)a a a +=+，又12a =， ∴24a =，满足212a a =，∴{}n a 是以12a =为首项，公比为2q =的等比数列，其前n 项和12(12)2212n n n S +-==--.（2）因为n T 为数列{}n S 的前n 项和，所以23112222222n n n T S S S +=+++=-+-++-2314(12)2222212n n n n +-=+++-=--2242n n +=--．【点睛】本题考查了由数列的递推式证明数列是等比数列，注意n 的取值范围，也考查了数列的分组求和，属于中档题.19．设(2,c o s ())4412xx a tan π=+，2(cos ,2cos())4412x x b π=-+，函数()1f x a b =⋅-．（1）求()f x 的定义域及单调增区间； （2）若将图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当[0,]x π∈时，求函数()g x 的值域．【答案】（1）定义域为{|24,}x x k k Z ππ≠+∈，增区间为410(4,24),(24,4),33k k k k k Z ππππππππ++++∈；（2）[2【解析】（1）由正切函数的定义得函数()f x 的定义域，由平面向量数量积的坐标运算和正余弦的倍角公式化简得()f x sin()26x π=-，再由正弦函数的单调性得()f x 的单调增区间；（2）由()sin y A ωx φ=+的伸缩变化规律得())6g x x π=-，当[0,]x π∈，进而得5[,]666x πππ-∈-，即可求函数()g x 的值域. 【详解】（1）已知(2,cos())4412x x a tanπ=+，2(cos ,2cos())4412x x b π=-+，且()1f x a b =⋅-，由42x k ππ≠+，得函数()f x 的定义域为：{|24,}x x k k Z ππ≠+∈， 所以22()12cos 2cos ()144412x x x f x a b tan π=⋅-=-++- 2sin cos 1cos()14426x x x π=-+++-13sinsin sin 2222222x x x x x =-+-=-+1cos )sin()222226x x x π=-=- 由3(2,2),2622x k k k Z πππππ-∈++∈，得()f x 的增区间为410(4,4),33k k k Z ππππ++∈， 综合()f x 的定义域，得到()f x 的增区间为410(4,24),(24,4),33k k k k k Z ππππππππ++++∈.（2）函数()f x sin()26x π=-图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得())6g x x π=-，当[0,]x π∈，5[,]666x πππ-∈-，得1s i n ()[,1]62x π-∈-所以()g x的值域为[． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算和正余弦倍角公式的应用，正切函数的定义，也考查了()sin y A ωx φ=+的伸缩变化规律及正弦函数的值域等问题，属于中档题. 20．已知函数321()313f x x ax x =+++ （1）若()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；（2）若2a =，且42m -≤≤-，求()f x 在区间[,1]m m +内的最大值()g m ．【答案】（1）a >a <（2）321,43()1231,323m g m m m m m --⎧⎪=⎨+++-<-⎪⎩剟… 【解析】（1）先求导'2()23f x x ax =++，根据题意得'()0f x =有两个不同的解，则24120a ∆=->，解出a 的范围即可；（2）当2a =时，'2()43(3)(1)f x x x x x =++=++，得()f x 在区间(,3),(1,)-∞--+∞上单调递增，区间(3,1)--上单调递减，按3113m m -+-⎧⎨-⎩剟…或31131m m -+-⎧⎨-<-⎩剟…分类讨论求出()max f x 即可. 【详解】（1）已知函数321()313f x x ax x =+++，则'2()23f x x ax =++， 要使()f x 有2个极值点，即'()0f x =有两个不同的解，则24120a ∆=->，解得a >a <（2）当2a =时，函数321()2313f x x x x =+++，则'2()43(3)(1)f x x x x x =++=++，所以()f x 在区间(,3),(1,)-∞--+∞上单调递增，区间(3,1)--上单调递减，①若3113m m -+-⎧⎨-⎩剟…，解得43m --剟，()f x 在[,3)m -上单调递增，(3,1]m -+单调递减，所以max ()(3)1f x f =-=； ②若31131m m -+-⎧⎨-<-⎩剟…，解得32m -<-…，()f x 在[,1]m m +上单调递减，所以32max 1()()2313f x f m m m m ==+++； 综上：321,43()()1231,323maxm f x g m m m m m --⎧⎪==⎨+++-<-⎪⎩剟…. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，以及函数在某个区间上的最大值等问题，也考查了分类讨论思想，属于中档题.21．已知函数22()ln f x x ax a x =--． （1）求()f x 的单调性；（2）若对定义域内任意的x ，()0f x …都恒成立，求a 的取值范围； （3）记()()h x f x ax =+，若()h x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有2个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）34[2e ,1]a ∈-；（3）[e,(2e,e]a ∈-【解析】（1）先求导得'(2)()()x a x a f x x+-=，按0a =，0a >，0a <分类讨论即可；（2）由（1）得函数()f x 的最小值，只要最小值不小于0即可解出a 的范围；（3）化简得22()ln h x x a x =-，求导得22'2()x a h x x-=，按0a =，0a >，0a <分类讨论得()h x 的单调性，根据题意即可求出a 的范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222'2(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x--+-=--==当0a =时，'()20f x x =>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，(,)a +∞上单调递增； 当0a <时，()f x 在(0,)2a -上单调递减，(,)2a-+∞上单调递增. （2）由（1）知：当0a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以2()0f x x =…恒成立；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，(,)a +∞上单调递增，所以2min ()()ln 0f x f a a a ==-…，解得01a <…； 当0a <时，()f x 在(0,)2a -上单调递减，(,)2a-+∞上单调递增， 所以222min()()ln()02422a a a a f x f a =-=+--…，解得342e 0a -<…综上：34[2e ,1]a ∈-（3）记()()h x f x ax =+，化简得22()ln h x x a x =-，1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222'2()2a x a h x x x x-=-=； 当0a =时，'()20h x x =>，所以()h x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，不符合题意，舍去；当0a >时，()h x在上单调递减，)+∞上单调递增，要使()h x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有2个零点，1,01()0()0e e h h e h e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎪<⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩……，解得a ∈； 当0a <时，()h x在(0,上单调递减，()+∞上单调递增，要使()h x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有2个零点，1,e e (01()0e (e)0h h h ⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪<⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩……，解得[e,a ∈-；综上：[e,(2e,e]a ∈-．【点睛】本题考查了利用导数研究含参函数的单调性，以及由函数的最小值和零点等问题求参数的范围，利用了分类讨论思想，属于中档题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与曲线C 分别交于A ，B 两个不同的点． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）若点P 坐标为(1,0)，求11||||PA PB +的取值范围． 【答案】（1）曲线22:40C x y x +-=，直线l ：若2πα=，1x =；若2πα≠，tan (1)y x α=-；（2）4]3【解析】（1）由4c o s ρθ=，得24c o s ρρθ=，化简得2240x y x +-=，直线l ：按2πα=和2πα≠分别求出直线l 即可；（2）设A ，B 参数分别为12,t t ，把将直线l 参数方程代入曲线C 得22cos 30t t α--=，得12122cos ,3t t t t α+==-，化简121211||||t t t PA PB t -+=代入即可. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得24c o s ρρθ=，所以22:40C x y x +-=，直线l ：若2πα=，1x =，若2πα≠，tan (1)y x α=-.（2）点P 坐标为(1,0)，∴点P 在直线l 上，设A ，B 参数分别为12,t t ，将直线l ：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入曲线22:40C x y x +-=，得22cos 30t t α--=，所以12122cos ,3t t t t α+==-，∴1212114[]||||333t t PA PB t t -+==． 【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和直角坐标方程的转化，也考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.23．已知函数()|2||1|,R f x x a x a =-+-∈． （1）当1a =时，求满足()1f x …的x 的取值范围；（2）若不等式()4|1|f x x --…有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1[,1]3；（2）26a -剟 【解析】（1）当1a =时，按1x …，112x <<，12x …分类讨论求满足()1f x …的x 的范围；（2）由题意得|1|22a x x -+-…有解，又|1|122a a x x -+--…，所以122a-…成立解出a 的范围即可. 【详解】（1）当1a =时，函数()|21||1|f x x x =-+-当1x …时，321,1x x -≤≤，即1x =； 当112x <<时，1x …，即112x <<； 当12x …时，231x -…，13x …，即1132x 剟. 综上：1[,1]3（2）若不等式()4|1|f x x --…有解，则|2||1|4|1||1|22ax a x x x x -+---⇔-+-剟， 又|1|122a a x x -+--…，∴|1|22a x x -+-…有解122a⇔-…， ∴26a -剟． 【点睛】本题考查了含绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法，函数的有解问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
湖南四大名校内部资料2020届高三统考参考答案(理科数学)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
D
C
A
B
D
C
C
B
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得
因为
所以
即
因为
所以
因为
所以
(Ⅱ)由 ，可得
因为
所以
解得 或当 时，源自由余弦定理得 ，所以周长为
当 时，
综上，实数 的取值范围为
(2)当 时
由(1)可知 的极大值点为 ，极小值点为
此时 ，
依题意得 对任意 恒成立
由于此时
所以
所以
即
设 ， ，则
令 (*)，判别式
①当 ，
所以 ， 在 单调递增
所以
即 ，符合题意
②当 时， ，设(*)的两根为 ， ，且
则 ， ，因此
则当 时， ， 在 单调递减
所以当 时，
即
所以抽取的 辆汽车中有 辆是蓝颜色汽车的概率
(Ⅱ) 的可能取值为：
， ， ，……， ，
所以 的分布列为：
0
1
2
……
……
的数学期望为：
(1)
(2)
(1)-(2)得：
所以
21.【解析】(1)由 得
即
由题意，若 存在极大值和极小值，则 必有两个不相等的实数根
由 得
所以 必有一个非零实数根
∴ ，
∴ 且
2020年东北三省四市教研联合体高考(理科)数学一模试卷 含解析
2020年高考（理科）数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}2．已知复数，则z的虚部为（）A．﹣1B．.﹣i C．.1D．.i3．2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为径，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则x+y＝（）A．170B．10C．172D．124．（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．5B．10C．20D．305．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．6．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8＝（）A．56B．72C．88D．407．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件8．已知双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．39．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．10．从集合{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣2，﹣1，2，3，4}中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n]上的最大值为，且数列{a n}的前n项和为S n．若对于任意正整数n不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分.13．若曲线f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）在点（1，f（x））处的切线的斜率为1，则a＝．14．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下面的问题．组别分组频数频率频率/组距1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100]（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数19．已知函数C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P（1，t）（t＞0）作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．（1）证明：直线MN的斜率是﹣1；（2）若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．21．已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22/23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．[选修4-5不等式选将]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}【分析】进行补集和交集的运算即可．解：U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，∴∁U B＝{3，5，7}，∴A∩（∁U B）＝{3，5，7}．故选：B．2．已知复数，则z的虚部为（）A．﹣1B．.﹣i C．.1D．.i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴z的虚部为﹣1．故选：A．3．2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为径，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则x+y＝（）A．170B．10C．172D．12【分析】由茎叶图中的数据，求出甲队得分的中位数和乙队得分的平均数，再计算x+y 的值．解：由茎叶图知，若甲队得分的中位数是86，则x＝6；乙队得分的平均数是×（78+82+80+y+89+91+93+97）＝88，解得y＝6；所以x+y＝6+6＝12．故选：D．4．（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．5B．10C．20D．30【分析】写出二项式（1+x）5的通项，分别求出含x2的项与含x的项，再由多项式乘多项式求解．解：（1+x）5的展开式的通项为T r+1＝x r．取r＝2，得T3＝x2，取r＝1，得T2＝x．∴（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为+2＝20．故选：C．5．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．【分析】设圆锥底面圆的半径r，高h，写出底面周长L，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出π的近似值．解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L＝2πr，＝，∴π＝，即π＝．即π的近似值为．故选：C．6．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8＝（）A．56B．72C．88D．40【分析】设公差为d，且d不为0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32＝a1a9，即有（2+2d）2＝2（2+8d），解得d＝2（0舍去），则S8＝8a1+28d＝16+56＝72，故选：B．7．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件【分析】在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x ≤0，2x＞sin x”；在B中，α与β相交或平行；在C中，P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”．解：在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sin x”，故A错误；在B中，若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，如右图的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∥平面BCC1B1；平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1．故B错误；在C中，∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），∴正态曲线关于x＝1对称，∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，∴P（1＜ξ＜2）＝0.4，∴P（ξ＞2）＝0.5﹣0.4＝0.1，∴P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9，故C错误；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”，∴“x＜0”是“”的充分不必要条件，故D正确．故选：D．8．已知双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．3【分析】依题意可得c＝2，DF2＝＝．求得a，即可得则双曲线的离心率．解：∵双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，∴c＝2，∵圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则圆心（2，0）到渐近线距离DF2＝又DF2＝．∴b＝，a＝则双曲线的离心率为．故选：A．9．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．【分析】设A（cosθ，sinθ），则由任意角的三角函数的定义可得B（，），故2y A+y B＝2sinθ+，再利用两角和与差的三角函数公式及辅助角公式化简即可求得y A+y B的最大值．解：设A（cosθ，sinθ），则B（，），∴2y A+y B＝2sinθ+＝2sinθ+sinθcos+cosθsin＝＝＝，∴2y A+y B的最大值为，故选：C．10．从集合{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣2，﹣1，2，3，4}中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得方程表示双曲线共有N＝3×3+4×2＝17种情况．方程表示焦点在y轴上的双曲线共有N0＝3×3＝9种情况．利用条件概率公式即可求解．解：若方程表示双曲线，则mn＜0，共有N＝3×3+4×2＝17种情况．若方程表示焦点在y轴上的双曲线则m＜0．n＞0，共有N0＝3×3＝9种情况．则概率为p＝．故选：A．11．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]【分析】令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象如下，设g（t））＝t2﹣2at+3a的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需g（t）＝t2﹣2at+3a在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，故或，解得3＜a＜或a＝．即实数a的取值范围是：（3，]．故选：B．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n]上的最大值为，且数列{a n}的前n项和为S n．若对于任意正整数n不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．【分析】由函数的周期变化知，最大值也成周期变化，求出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，得到前n项和为S n的表达式，进而求解结论．解：当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，则f max（x）＝1．又∵设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，∴a1＝1，又∵f（x+2）＝2f（x），则f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为f（x）在[2n﹣4，2n﹣2）上的最大值的2；∴a n＝2a n﹣1，数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列；∴数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1；∴k（S n+1）≥2n﹣9恒成立⇒k≥＝恒成立；记{}为数列{b n}，∵﹣＝；当n≤5时，﹣＞0，即数列{b n}递增；当n＞5时，﹣＜0，即数列{b n}递减；且b5＝＝，b6＝＝＞；∴数列{b n}的最大值为：．故实数k的取值范围为：[，+∞）．故选：C．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分.13．若曲线f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）在点（1，f（x））处的切线的斜率为1，则a＝．【分析】根据斜率即为切点处的导数，先求出x＝1处的导数，令其等于1，即可解方程求出a的值．解：∴f′（1）＝ae﹣1＝1∴．故答案为：．14．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．【分析】先由辅助角公式化简函数f（x）得，再由图象变换法则可得，最后由给定区间结合三角函数的图象及性质求得最小值．解：，函数f（x）向左平移个单位得到函数，∵，∴，∴，即g（x）在区间上的最小值为．故答案为：．15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为8π．【分析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，由此能求出以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积．解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，如图，取CD中点E，连结AE，作OF⊥平面ABC，交AE于F，则F是△ACD的重心，由题意知AE＝＝2，AF＝＝，OF＝＝，设G为四面体的外接球的球心、球半径为R，则G在直线OF上，且OG＝AG＝R，∴由AG2＝AF2+GF2，得：R2＝（）2+（﹣R）2，解得R＝，∴以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为V＝πR3＝8π．故答案为：8π．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．【分析】设△ABF2内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝2，解可得|AF1|与|AF2|的值，计算可得△ABF2的周长与面积，由内切圆的性质计算可得内切圆半径，进一步求得圆心坐标，则答案可求．解：设△ABF2内切圆的半径为r，椭圆的方程为，其中a＝，b＝，c＝，则|F1F2|＝2c＝4，AB与x轴垂直，则有|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝，解得：|AF1|＝，|AF2|＝，△ABF2的周长l＝|AF2|+|BF2|+|AB|＝，其面积S＝×|AB|×|F1F2|＝，由内切圆的性质可知，有r×＝，解得r＝．∴圆心横坐标为﹣2+，即圆心坐标为（，0），则△ABF2的内切圆方程是，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．【分析】（1）由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，设α，β分别为已知角，所以B角用已知角表示，再由题意可得α，β的正弦值，余弦值，由两角差的正弦公式展开可得B的正弦值．（2）由向量的关系，可得线段MC，MB的关系，由（1）及由正弦定理可得AM的值，再由余弦定理可得MC的值．解：（1）由题意可得设∠BAM＝α，∠AMC＝β，由题意可得sinα＝sin45°＝，cosα＝，B＝β﹣α，cosβ＝，所以sinβ＝，所以sin B＝sin（β﹣α）＝sinβcosα﹣cosβsinα＝﹣＝；（2）因为＝，设MC＝x，BM＝2x，在△ABM中，由正弦定理可得＝，所以＝，所以AM＝x，因为AC2＝AM2+MC2﹣2AM•MC•cosβ，所以42＝x2+x2﹣2x，解得MC＝x＝4，所以MC的值为4．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下面的问题．组别分组频数频率频率/组距1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100]（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数【分析】（1）从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，利用古典概型能求出从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率．（2）（ⅰ）根据这20人的分数补全频率分布表，由频率分布表作出频率分布直方图，由此能估计所有员工的平均分数．（ⅱ）从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，则从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率：P（A）＝＝．（2）（ⅰ）根据这20人的分数补全频率分布表：组别分组频数频率频率/组距1[60，70）20.10.012[70，80）60.30.033[80，90）80.40.044[90，100]40.20.02由频率分布表作出频率分布直方图：估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）为：65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2＝82．（ⅱ）从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝（）3＝，∴X的分布列为：X0123P∵X～B（3，），∴数学期望E（X）＝3×＝．19．已知函数C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P（1，t）（t＞0）作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．（1）证明：直线MN的斜率是﹣1；（2）若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．【分析】（1）易求P（1，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知，k MP+k NP ＝0，利用斜率公式代入化简得y1+y2＝﹣4，所以＝＝﹣1；（2）由（1）可设直线l的方程为：y＝﹣x+m，所以，|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，由题意可知|MN|2＝8|MF||NF|，即，将直线l与抛物线C联立，利用韦达定理代入上式得：m2﹣2m+1＝0，故m＝1，从而得到直线l的方程．解：（1）∵点P在抛物线C：y2＝4x上，∴t＝2，∴P（1，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知，k MP+k NP＝0，∴，∴，∴，∴y1+y2＝﹣4，∴＝＝﹣1；（2）由（1）可设直线l的方程为：y＝﹣x+m，∴，|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，∵8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，∴|MN|2＝8|MF||NF|，∴，即①，将直线l与抛物线C联立，可得：x2﹣（2m+4）x+m2＝0，∴△＝（2m+4）2﹣4m2＝16m+16＞0，∴m＞﹣1，且x1+x2＝2m+4，，代入①式得：（2m+4）2﹣8m2﹣4（2m+4）﹣4＝0，化简得：m2﹣2m+1＝0，∴m＝1，满足m＞﹣1，∴直线l的方程为：y＝﹣x+1．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．【分析】（1）△OBM中，由余弦定理可得：OM．再利用勾股定理对逆定理可得：OM ⊥OB．由题意可知：OA⊥平面OBC，进而得出结论；（2）由（1）可得：OM⊥平面AOB．OD是斜线MD在平面OAB的射影．∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，OD⊥AB，垂足为D．可得点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．分别求出平面OCD的法向量为，平面CDB的法向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：△OBM中，由余弦定理可得：OM2＝22+﹣2×2××cos30°＝，解得OM＝．∴OM2+OB2＝MB2．∴OM⊥OB．由题意可知：OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC，∴OA⊥OM．又OB∩OA＝O，∴OM⊥平面AOB．（2）解：由（1）可得：OM⊥平面AOB．∴OD是斜线MD在平面OAB的射影．∴∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，OD⊥AB，垂足为D．∴点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，1，1），C（，﹣1，0），＝（，﹣1，0），＝（0，1，1），设平面OCD的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，∴x﹣y＝0，y+z＝0，取＝（1，，﹣），同理可得平面CDB的法向量＝（，1，1）．∴cos＜，＞＝＝．∴二面角B﹣CD﹣O的正弦值为．21．已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入后，先求出函数h（x）的解析式，然后对其求导，结合导数与单调性及极值的关系可证；（2）结合函数单调性与导数的关系及函数的性质，零点判定定理进行求解即可．解：（1）a＝1时，h（x）＝lnx﹣sin x，x＞0，，令g（x）＝，则，当x时，g′（x）单调递增，且g′（1）＜0，＞0，故g′（x）在（0，）上有唯一的零点，设为a，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）在（0，）上有唯一的极小值点即h′（x）在（0，）上有唯一的极小值点，（2）设k（x）＝x﹣sin x，x≥0，k′（x）＝1﹣cos x≥0，所以k（x）在（0，+∞）上单调递增，k（x）≥k（0）＝0，即x≥sin x，从而sin2x≤2x，因为在上单调递减，所以m（x）＝2ax﹣sin2x﹣≤0在上恒成立，令p（x）＝m′（x）＝2a﹣2cos2x﹣4x2，则p′（x）＝4sin2x﹣8x＝4sin2x﹣4×（2x）≤0，所以m′（x）在上单调递减，m′（x）max＝2a﹣2，当a≤1时，m′（x）≤0，m（x）在上单调递减，m（x）≤m（0）＝0，符合题意；当a＞1时，m′（x）在上单调递减，且m′（0）＝2a﹣2＞0，所以一定存在，当0≤x＜x0时，m′（x）＞0即m（x）在[0，x0）上单调递增，m（x0）＞m（0）＝0与题意不符合，舍去．故a的范围（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分，请考生在22/23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．【分析】（Ⅰ）推导出x2+y2＝1（x≠﹣1），，从而＝1，（m≠﹣2），由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，由此能求出．解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，∴x2+y2＝（）2+（）2＝1，∵∈（﹣1，1]，∴x≠﹣1，∴x2+y2＝1（x≠﹣1），∵点Q（m，n）满足．∴，∴＝1，（m≠﹣2），∴动点Q的轨迹C的极坐标方程为：3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝12．（﹣π＜θ＜π）．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，∴＝+＝+＝．[选修4-5不等式选将]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，可得函数的最大值，再分类讨论即可求出m 的取值范围，可得t的值；（2）要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，根据基本不等式即可证明．解：（1）f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|＝，∴当m≥3时，f（x）的最大值为4，关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解等价于f（x）max＝4≥|m﹣2|+m，当m≥2时，上述不等式转化为4≥m﹣2+m，解得2≤m≤3，当m＜2时，上述不等式转化为4≥﹣m+2+m，解得m＜2，综上所述m的取值范围为m≤3，故实数m的最大值t＝3；证明：（2）根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝3，要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，∵+++（a+b+c）＝（+a）+（+b）+（+c）≥2+2+2＝2（a+b+c），∴++≥3，那么a3b+b3c+c3a≥3abc．。
2020届高三联考数学理科试题(含答案)
2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2020届高三上学期第一次联考试题 数学(理) 含答案编订
“永安一中”、“漳平一中”两校联考2019-2020学年第一学期第一次月考高三数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合2{10},{0}x M x x N xx-=-≤=≤，则()R C M N ⋂=（ ） A. (0,1)B. (0,2]C. (1,2]D. [1,2]2.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.下列说法错误的是（ ）A. “0x >”是“0x ≥”的充分不必要条件B. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”C. 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D. 命题:p x R ∀∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，使得210x x ++≥ 4. 已知1cos()3πθ+=-，则sin(2)2πθ+=（ ）A.79B. 79-C.429D. 429-5.函数3()2xy x x =-⋅的图象大致是( )6. 已知4(,),tan()243ππθπθ∈-=-，则sin()4πθ+=（ ） A. 35 B. 45 C. 45- D. 35-7.已知1132012,3,sin 4a b c xdx π--===⎰,则实数,,a b c 的大小关系是( ) A.a c b >> B. a b c >> C. b a c >> D.c b a >>8.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =.假设过5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m 分钟甲桶中的水只有4a升,则的值为( )(A)5 (B)8 (C)9 (D)10 9.已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值是（ ） A.59B. 79-C. 13-D. 89-10.已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足：当0<x 时,0)()(2<'+x f x x f 则（ ） A. )3(9)()2(42f e f e f >> B. )()3(9)2(42e f e f f ->->- C.)()2(4)3(92e f e f f ->> D.)3(9)2(4)(2->->f f e f e11.已知函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=,当[]2,0x ∈-时x x x f 2)(2--=则当[]2018,2020x ∈时)(x f y =的最大值为（ ）A.8-B.1-C.1D.0 12.已知函数21()(2)x f x x x e-=-当1x >时()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A.1m ≤B.1m <-C. 1m ≥-D. 1m >-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置． 13.计算121(1)x x dx --+=⎰______________.14.函数log (4)2(01)a y x a a =++>≠且的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则sin 2α=15.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,BC 平行于x 轴,顶点,,A B C 分别在函数1233log ,2log ,log (1)a a a y x y x y x a ===>的图象上,则实数a 的值为 .16.已知函数23()cos sin 1(0,)2xf x x x R ωωω=+->∈，若()f x 在区间(,2)ππ上没有零点，则ω的取值范围是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若3,23b a c =+=，求ABC ∆的面积．18.（12分）已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x -=--，且在R 上的最小值为（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）当[]2,1x ∈-时，求函数()()xg x xf x e =⋅的极值..19.（12分）已知函数2()123cos 2sin ,.f x x x x x R =+-∈（1）若[0,]x π∈，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间[,0]2π-上的最值．20.（12分）已知函数()ln()f x x ax =⋅其中0a >.（1）若()tf x x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设()()sin f x g x a x x=+且()g x 在(]0,π上为单调函数，求实数a 的取值范围.21.（12分）已知函数3()(1)ln ,()ln f x x x g x x x e=-=--.（1）求证：函数()y f x =的图像恒在函数()y g x =图像的上方；（2）当0m >时，令()()()h x mf x g x =+的两个零点1,212()x x x x <.求证：211x x e e-<-.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=．l 与C 交于,A B 两点．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点(0,2)P -，求PA PB +的值．23．［选修4—5：不等式选讲］（10分） 已知函数()15f x x x =-+-． （1）解关于x 的不等式()6f x >；（2）记()f x 的最小值为m ，已知实数,,a b c 都是正实数，且111234ma b c ++=，求证：239a b c ++≥．漳平一中2019-2020学年第一学期第一次月考高三数学（理科）答案一、选择题1—5，CACBB ，6—10，ABABA ，11—12，CD 二、填空题 13.2π 14.1213- 15.2 16.12(0,][,1]33⋃三、解答题17. 解：（1）∵A +B +C =π，即C +B =π-A ，∴sin （C +B ）=sin （π-A ）=sin A ，………………………………………………1分 将（2a -c ）cos B =b cos C 利用正弦定理化简得：（2sin A -sin C ）cos B =sin B cos C ..........................................3分 ∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin （C +B ）=sin A ，………………………..4分在△ABC 中，0＜A ＜π，sin A ＞0，∴cos B =，又0＜B ＜π，则B =...................................................6分 （2）∵b =，cos B =cos =，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得：a 2+c 2-ac =（a +c ）2-3ac =3∵a +c =2. ∴ac =3……………………………………………………………...9分 又sin B =sin =， ∴S =ac sin B =ac =，即△ABC 的面积为，……………………………….12分18.解（1）依题意得：二次函数且，.................3分解得..............................................4分 故切点（0,0），................5分所求切线方程为：....................................6分（2）.................7分.................8分令得（舍去）......................9分在[-2,-1]为增函数，[-1,0]为减函数，[0,1]为减函数......10分.......................12分19. 解：（1）=1+2sin x cosx-2sin 2x =sin2x +cos2x =2sin （2x +），……2分令2k π+≤2x +≤2k π+，k ∈Z ，得k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ，…………………………………………………….4分 又0x π≤≤，∴263x ππ≤≤可得函数的单调减区间为[，]．……………………………………..6分（2）若把函数f （x ）的图像向右平移个单位， 得到函数=的图像，…………..8分∵x ∈[-，0]，∴2x -∈[-，-]，…………………………………………………………..9分 ∴∈[-2，1]．………………………………………..11分 故g （x ）在区间上的最小值为-2，最大值为1．………………….12分20.解：（1）依题意在定义域上恒成立，构造在定义域上恒成立，..............1分只需.....................................2分而令得...................................3分 所以在为增函数，在为减函数，.............4分............................5分得..........................................6分（2）由在上为单调函数，而其中..............7分在为减函数，............8分在恒成立......................9分得........................11分故.......................................12分21.（1）证明：构造函数.................1分则令得............................2分时时在（0,1）为减函数，在（1，）为增函数，...................3分所以，即..................4分故函数的图像恒在函数图像的上方....................5分（2）证明：由有两个零点，当时....................6分则在为增函数，且，..................7分则当时为减函数，当时，为增函数，................................8分又......9分...............................10分在和上各有一个零点，.........11分故..........................................12分22.（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为C：x2+y2=1；直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，即ρcosθ-ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程：y=x-2．…………………………………………….5分（Ⅱ）点P（0，-2）在l上，l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2=1整理得，3t2-10t+15=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=………………………………………….10分23.解：（1）∵f（x）=|x-1|+|x-5|＞6，∴或或，解得x＜0或x＞6．综上所述，不等式f（x）＞6的解集为（-∞，0）∪（6，+∞）．……………5分（2）由f（x）=|x-1|+|x-5|≥|x-1-（x-5）|=4（当且仅当（x-1）（x-5）≤0即1≤x≤5时取等号）．∴f（x）的最小值为4，即m=4，∴=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=3+（+）+（+）+（+）≥9．当且仅当=，=，=即a=2b=3c即a=3，b=，c=1时取等号．………..10分(素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏)。
2020高三数学上学期第一次联考试卷 理(含解析)
高三数学上学期第一次联考试卷理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅2．若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．43．在△ABC中， =， =．若点D满足=（）A． + B． C． D．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2 B．C．f（x）=x2 D．f（x）=sinx5．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位6．若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．D．37．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．2608．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A．140种B．84种C．70种D．35种9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．510．函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．11．设椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点P（a，b）满足|F1F2|=|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M、N两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（，1） B．∪（1，+∞）C．（）D．（﹣∞，，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m= ．14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．15．设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．16．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．18．某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．（I）试估计该校数学的平均成绩；（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．附：若 X～N（μ，σ2），则P（u﹣3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．20．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N 关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．四、选作题（共1小题，满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．（I）求证：CD2﹣DE2=AE×EC；（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．（20xx•海南模拟）已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．选修4-5：不等式选讲24．（20xx•江西校级二模）已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．20xx-20xx学年广东省三校联合体高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B，然后再求两个集合的交集即可．【解答】解：∵集合A={y|y=log2x，x＞1}，∴A=（0，+∞）∵B={y|y=（）x，x＞1}，∴B=（0，）∴A∩B=（0，）故选A．【点评】本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域．2．若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．【解答】解：tanα=2tan，则=============3．故答案为：3．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．3．在△ABC中， =， =．若点D满足=（）A． + B． C． D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的运算法则，结合题意可得═=，代入已知化简可得．【解答】解：由题意可得=====故选A【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2 B．C．f（x）=x2 D．f（x）=sinx【考点】程序框图．【专题】操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解答】解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=x2，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故答案为D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．6．若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．D．3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】开放型；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||yB﹣yC|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍），故选：B【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．7．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．【解答】解：解法1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{an}为等差数列，∴sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s2n﹣sn，s3n﹣s2n，…成等差数列．8．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A．140种B．84种C．70种D．35种【考点】分步乘法计数原理．【分析】本题既有分类计数原理也有分步计数原理．【解答】解：甲型1台与乙型电视机2台共有4•C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42•5=30；不同的取法共有70种故选C【点评】注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步．9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．10．函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x趋向于0时，f（x）＞0，结合所给的选项，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=﹣（﹣x）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣（﹣+x）cosx=（﹣x）=﹣f（x），故函数f （x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x=π，f（x）＞0，故排除D，但是当x趋向于0时，f（x）＞0，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．11．设椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点P（a，b）满足|F1F2|=|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M、N两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线PF2的方程为y=（x﹣c），代入椭圆方程，消去y并整理，求出M，N的坐标，利用|MN|=16，可求椭圆的方程．【解答】解：因为点P（a，b）满足|F1F2|=|PF2|，所以=2c，整理得2e2+e﹣1=0，所以e=．所以a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线PF2的方程为y=（x﹣c），代入椭圆方程，消去y并整理，得5x2﹣8cx=0，解得x=0或c，得M（0，﹣c），N（c， c），所以|MN|=c=16，所以c=5，所以椭圆方程为．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（，1） B．∪（1，+∞）C．（）D．（﹣∞，，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【专题】开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选A．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m= ﹣2 ．【考点】偶函数．【专题】计算题．【分析】根据偶函数的定义可得f（x）=f（﹣x）然后整理即可得解．【解答】解：∵函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数∴f（x）=f（﹣x）∴（﹣x）2+（m+2）（﹣x）+3=x2+（m+2）x+3∴2（m+2）x=0①即①对任意x∈R均成立∴m+2=0∴m=﹣2故答案为﹣2【点评】本题主要考查了利用偶函数的定义求参数的值．事实上通过本题我们可得出一个常用的结论：对于关于x的多项式的代数和所构成的函数若是偶函数则x的奇次项不存在即奇次项的系数为0，若为奇函数则无偶次项且无常数项即偶次项和常数项均为0！14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】利用微积分基本定理即可求出．【解答】解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积S===．故答案为．【点评】熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．15．设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．16．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（2，3] ．【考点】余弦定理．【专题】压轴题；解三角形．【分析】由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）2﹣1=3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得 2cosC=，∵a=1，2cosC+c=2b，∴+c=2b，化简可得（b+c）2﹣1=3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b=c 时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得 b+c＞a=1，故有 a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为（2，3]．【点评】本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，三角形任意两边之和大于第三边，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．18．某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．（I）试估计该校数学的平均成绩；（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．附：若 X～N（μ，σ2），则P（u﹣3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（1）根据频率和为1，求出成绩在[120，130）的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的学生有50×（0.12+0.08）=10，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，计算期望值．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=0.12所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112（2）由于根据正态分布：P（120﹣3×5＜X＜120+3×5）=0.9974故所以前13名的成绩全部在130分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的学生有50×（0.12+0.08）=10所以X的取值为0，1，2，3．所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；所以X的分布列为X 0 1 2 3P数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．20．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N 关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）由于点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，即，可得．利用，可得．（II）由（I）可得直线AB的方程为： =1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB 垂直平分线段NS，可得b，解得即可．【解答】解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为： =1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】开放型；导数的综合应用．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （o，）（）f'（x）﹣ 0 +f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，]上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，]上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．四、选作题（共1小题，满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．（I）求证：CD2﹣DE2=AE×EC；（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．【考点】相似三角形的判定；圆周角定理．【专题】证明题．【分析】（I）由D是的中点，可得∠ABD=∠CBD，根据圆周角定理，可得∠CBD=∠ECD，进而可得△BCD∽△CED，根据相似三角形性质可得CD2=DE×DB，进而得到CD2﹣DE2=AE×EC（II）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，进而根据圆心角定理得到∠ACD的大小【解答】解：（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，∴△BCD∽△CED，∴=，∴CD2=DE×DB，∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE2+DE×BE，DE×BE=AE×EC，∴CD2﹣DE2=AE×EC．…（6分）（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，∴∠COD=60°．∴∠CBD=∠COD=30°，∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）【点评】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角定理，其中（1）的关键是证明△BCD∽△CED，（2）的关键是求出△ODC为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（20xx•海南模拟）已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．【点评】本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（20xx•江西校级二模）已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．【考点】基本不等式；绝对值三角不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由题意可得+=（+）（a+b）=5++，由基本不等式可得；（Ⅱ）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴+=（+）（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当=即a=且b=时取等号，∴+的最小值为9；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，则需|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，可转化为，或或，分别解不等式组可得﹣7≤x≤﹣1，≤x≤11，﹣1＜x＜综合可得x的取值范围为[﹣7，11]【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立和绝对值不等式，属中档题．21 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