单位阶跃响应
单位阶跃响应
2p vo (t ) 2 pi2 (t ) 3 e(t ) 2 2p 5p 5p 3
d3 d2 d d 2 3 vo (t ) 5 2 vo (t ) 5 vo (t ) 3vo (t ) 2 e(t ) dt dt dt dt
总结：
（1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法； （2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。
（2）求系统的完全响应
齐次解：
特征方程 特征根 齐次解
2 7 10 0
1 -2, 2 -5
ih (t ) A1e2t A2 e 5t
特解： 设 iP (t ) B ，将其代入微分方程，得
10B 16 B 8 5
系统的全响应为：i (t ) A1e 2t A2 e 5t
i(t )
1Ω 1F
i2 (t )
1H 1Ω
i1 (t )
解：
i1 (t ) i2 (t ) i(t )
di1 (t ) i2 (t ) i2 ( )d i1 (t ) dt
t
消去中间变量
2
i2 (t ) ，得
d i1 (t ) di1 (t ) di (t ) 2 i1 (t ) i (t ) 2 dt dt dt
9Be3t 9Be3t 2Be3t e3t
3t r ( t ) 0.5 e p
完全解
（3）从
r (t ) rh (t ) rp (t ) A1et A2e2t 0.5e3t
3t
0到 0 状态的转换
u (t ) 代入方程右端，得 d e(t ) 4e(t ) (t ) e 3t u (t ) 自由项 dt
单位阶跃响应和单位冲激响应关系
单位阶跃响应和单位冲激响应关系嗨，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——单位阶跃响应和单位冲激响应关系。
让我们来了解一下这两个概念。
啥是单位阶跃响应啊？其实就是当我们把一个信号从0突然变成1的时候，系统会产生一种反应。
这种反应就是单位阶跃响应。
想象一下，你正在玩电脑游戏，突然有人在门口大喊一声“开门”，你的电脑屏幕上的画面就会发生一个瞬间的变化，这就是单位阶跃响应的体现。
那么，什么是单位冲激响应呢？这个概念就有点儿深奥了。
简单来说，当我们把一个信号从0突然变成1或者从1突然变成0的时候，系统会产生一种反应。
这种反应就是单位冲激响应。
想象一下，你正在看电视，突然画面从黑屏变成了一个画面，然后又瞬间变回了黑屏，这就是单位冲激响应的体现。
那么，这两个响应之间有什么关系呢？其实，它们之间的关系就像是一对亲兄弟一样。
虽然它们都是信号的变化，但是它们的性质是不同的。
单位阶跃响应是一种线性的、短暂的响应，而单位冲激响应则是一种非线性的、持续的响应。
当然啦，这并不是说它们之间没有任何关系。
实际上，它们之间的关系非常密切，而且还相互影响着对方。
接下来，我们来聊聊它们之间的具体关系。
我们要知道一个重要的概念——卷积。
卷积就是把两个信号叠加在一起，然后通过一定的数学运算得到一个新的信号的过程。
在这个过程中，原来的信号会发生变化，产生一种新的响应。
而这种新的响应就是卷积的结果。
那么，卷积和单位阶跃响应有什么关系呢？其实就是这样子的：当我们把一个单位冲激信号和一个单位阶跃信号进行卷积的时候，就会得到一个单位脉冲响应。
这个响应就是一个短暂的脉冲信号，它的作用就是让系统对单位冲激信号做出快速的反应。
那么，卷积和单位冲激响应又有什么关系呢？其实就是这样子的：当我们把一个单位冲激信号和一个单位阶跃信号进行卷积的时候，就会得到一个单位脉冲响应。
这个响应就是一个短暂的脉冲信号，它的作用就是让系统对单位冲激信号做出快速的反应。
单位阶跃响应和单位冲激响应之间的关系是非常密切的。
一阶系统的单位阶跃响应
图3－5所示系统。
其输入－输出关系为11111)()(+=+=Ts s Ks R s C （3-3） 式中KT 1=，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。
实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。
一、一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 sTs s C 111)(+=将)(s C 展开成部分分式，有11()1C s ss T=-+（3-4）对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有 t T e t h 11)(--=0t ≥ (3-5)由方程(3-5)可以看出，输出量)(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。
常数项“1”是由s 1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。
方程(3-5)中第二项由11/()s T+反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加， 它将逐渐衰减， 最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。
可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。
显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即Te T dt dh t t T t 1|1|010===-= (3-6)这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，输出量就能达到稳态值。
实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的T1一直下降到∞=t 时的零值。
因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，98.2%和99.3%。
单位阶跃响应的动态指标
单位阶跃响应的动态指标单位阶跃响应是指系统对输入信号为单位阶跃函数而产生的响应。
单位阶跃函数是一种特殊的信号，它在t=0时从0突变到1，其数学表达式可以表示为u(t)=1(t>=0)。
单位阶跃响应在控制系统领域具有广泛的应用，可以用于分析系统动态特性和评估系统性能。
1.时间指标时间指标是用来描述单位阶跃响应的时间特性。
主要包括：上升时间Tr、峰值时间Tp、峰值超调量Mp、稳态误差、超调量Ts以及调节时间Ts。
上升时间Tr是指输出达到峰值的时间，通常定义为单位阶跃函数的输入信号从0到1所需的时间。
上升时间越短，说明系统响应速度越快。
峰值时间Tp是指输出响应的峰值出现的时间，通常指单位阶跃响应达到最大值的时间。
峰值超调量Mp是指单位阶跃响应的最大超调量，通常用百分比表示。
超调量Mp越小，说明系统的稳定性越好。
稳态误差是指单位阶跃响应达到稳定值后与期望值之间的偏差。
稳态误差越小，说明系统的跟踪性能越好。
超调量Ts是指单位阶跃响应达到最大值时，相对于单位阶跃信号的幅值比例差。
超调量越小，系统的稳定性和响应速度越好。
调节时间Ts是指单位阶跃响应从0到达接近稳态的时间，通常定义为响应曲线距离稳态值5%的时间。
2.频率指标频率指标用于描述单位阶跃响应的频率特性。
主要包括：截止频率ωc、相位裕量PM、增益裕量GM以及带宽。
截止频率ωc是指单位阶跃响应曲线的截止频率，也是系统的带宽。
带宽越大，表示系统对高频信号的响应越快。
相位裕量PM是指单位阶跃响应曲线相位曲线与水平轴之间的最小夹角，用来衡量系统的相位稳定性。
相位裕量越大，系统的相位稳定性越好。
增益裕量GM是指单位阶跃响应曲线增益曲线在截止频率处的衰减量。
增益裕量越大，系统的稳定性越好。
带宽是指单位阶跃响应的频率范围，通常定义为单位阶跃信号的幅频特性曲线上的-3dB点对应的频率范围。
以上是单位阶跃响应的主要动态指标。
这些指标可以帮助工程师分析系统的性能特性和优化系统的设计。
比例微分pd单位阶跃响应
比例微分pd单位阶跃响应
在控制工程中，比例微分控制器（PD控制器）是一种常见的控制器类型，它结合了比例和微分两种控制方式。
当系统受到单位阶跃输入时，PD控制器的响应可以通过数学方法进行分析。
首先，我们可以根据PD控制器的传递函数，使用拉普拉斯变换来表示单位阶跃输入的变化。
然后，通过对传递函数进行微分，可以得到单位阶跃输入对应的输出响应。
这个过程可以帮助我们理解PD控制器在单位阶跃输入下的行为，包括系统的稳定性、超调量、峰值时间等性能指标。
另外，我们还可以通过绘制PD控制器的单位阶跃响应曲线来直观地展示其性能。
这样的图形可以帮助工程师和研究人员更好地理解PD控制器在实际应用中的行为，并进行性能分析和优化。
总之，比例微分控制器在单位阶跃输入下的响应是一个重要的控制工程问题，通过数学分析和图形展示，我们可以全面地理解和评估PD控制器的性能。
阶跃响应概念(一)
阶跃响应概念(一)阶跃响应概念阶跃响应是信号处理领域中一个常用的概念，用于描述系统对单位阶跃信号的响应过程。
单位阶跃信号是一种特殊的输入信号，其幅值从0瞬间跳变到1，并一直保持为1。
特点阶跃响应具有以下特点：•响应开始时通常会有一个瞬时响应，也称为瞬态响应。
瞬态响应是系统在初始时刻对单位阶跃信号的瞬间反应，通常持续时间非常短暂。
•随着时间的推移，响应会逐渐趋近于稳态响应。
稳态响应是系统对单位阶跃信号在长时间内的稳定响应。
•阶跃响应可以用于了解系统的时域特性，包括系统的超前或滞后，以及系统的稳定性等。
公式表示阶跃响应通常采用拉普拉斯变换来表示。
单位阶跃信号的拉普拉斯变换可以表示为：U(s)=1 s其中，U(s)表示单位阶跃信号的拉普拉斯变换，s表示复频域变量。
系统的阶跃响应可以通过单位阶跃信号的拉普拉斯变换和系统的传递函数的乘积来表示，即：Y(s)=U(s)⋅H(s)其中，Y(s)表示系统的阶跃响应，H(s)表示系统的传递函数。
应用场景阶跃响应在信号处理和系统控制等领域具有广泛的应用，常见的应用场景包括：1.系统稳定性分析：通过分析系统的阶跃响应，可以判断系统是否稳定，以及系统的稳态误差等。
2.控制系统设计：阶跃响应可以用于系统控制器的设计和调整。
通过调整控制器参数，可以使系统的阶跃响应满足设计要求。
3.滤波器设计：滤波器的阶跃响应可以反映滤波器的时域性能。
通过分析阶跃响应，可以优化滤波器的性能。
4.信号恢复与重建：对于受损的信号，可以通过观察阶跃响应来进行信号的恢复和重建。
以上是关于阶跃响应的简要概念和相关内容的介绍。
阶跃响应是信号处理和系统控制中一个非常重要的概念，对于理解和应用相关领域具有重要意义。
电流源的单位阶跃响应
电流源的单位阶跃响应电流源是电路中常见的一个元件，它能够产生恒定的电流输出。
单位阶跃响应是指在单位阶跃输入下，电流源的输出响应情况。
本文将围绕这一主题展开，详细介绍电流源的单位阶跃响应。
我们需要了解单位阶跃输入信号。
单位阶跃信号是一种特殊的输入信号，它在 t=0 时刻从零突变到一个恒定的值。
在电路中，单位阶跃信号常用符号"u(t)" 表示，其中t>0 时u(t)=1，t<0 时u(t)=0。
对于电流源的单位阶跃响应，我们主要关注的是电流源输出的变化情况。
在电路中，电流源可以看作是一个恒定的电流输出装置，不受外部电压或电流的影响。
当输入信号为单位阶跃信号时，电流源的输出将在 t=0 时刻瞬间发生变化。
在 t<0 时刻，电流源的输出为零；在 t>0 时刻，电流源的输出将保持恒定的电流值。
单位阶跃响应是电路对单位阶跃输入信号的响应情况。
对于电流源来说，单位阶跃输入信号会引起电流源输出的瞬间变化。
在 t=0 时刻，电流源的输出电流会突变到一个恒定值，然后保持不变。
这个瞬间变化的过程就是电流源的单位阶跃响应。
电流源的单位阶跃响应可以用数学公式来描述。
假设电流源的输出电流为 I(t)，单位阶跃输入信号为 u(t)，那么电流源的单位阶跃响应可以表示为：I(t) = Iu(t)其中，I 是电流源的输出电流值。
这个公式说明了在单位阶跃输入信号下，电流源的输出电流将瞬间变为 I，并保持不变。
电流源的单位阶跃响应在实际应用中具有重要的意义。
它可以用于电路的稳定性分析和设计。
通过观察电流源的单位阶跃响应，我们可以了解电流源在输出电流变化时的响应速度和稳定性。
这对于电路的正常工作和性能优化非常重要。
电流源的单位阶跃响应还可以用于系统的响应分析。
在控制系统中，单位阶跃响应是评估系统性能的重要指标之一。
通过测量电流源的单位阶跃响应，我们可以得到系统的阶跃响应曲线，从而评估系统的稳定性、超调量等性能指标。
单位阶跃响应与单位脉冲响应
dn d tn
c(t )
a1
d n1 d t n1
c(t )
an 1
d dt
c(t )
anc(t )
b0
dm d tm
r (t ) b1
d m1 d t m1
r (t )
bm 1
d dt
r (t )
bmr (t )
微分方
齐次方程通解
特解
程的解
c(t) c1(t) c2 (t)
第三章
M
p
c(t p ) c() 100 % c()
振荡次数 N：
在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时， 可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第三章
➢评价系统准确性的性能指标
ISE
J
e2 (t)dt 0
o
t
R(s)
2A S3
当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为
r (t )
0 1 2
t
t0 t0
R(s)
1 S3
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
四．脉冲函数
r(t)
A
第三章
0
r (t )
A
t 0及t 0t
（平方误差积分）
ITSE
J
0
te2
(t
)dt
（时间乘平方误差的积分）
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207619)(2++=Φs s s单位阶跃响应num=[19]; den=[6,7,20]; %描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式 sys=tf(num,den); %高阶系统建模 step(sys); %绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线 grid; %添加栅格 title('单位阶跃响应'); %标注标题 xlabel('t'); ylabel('c(t)'); %标注横、纵坐标轴1234567891000.20.40.60.811.21.4单位阶跃响应t (sec)c (t )单位斜坡响应sys=tf([19],[6,7,20]); %系统建模 t=0:0.01:10;%响应时间u=t; %单位斜坡输入 lsim(sys,u,t) %单位斜坡响应gridxlabel(‘t ’); ylabel(‘c(t)’) %标注横、纵坐标轴 title(‘单位斜坡响应’); %标注标题01234567891012345678910单位斜坡响应t (sec)c (t )单位加速度响应num=[19]; den=[6,7,20];sys=tf(num,den); %系统建模 t=0:0.01:10; %响应时间序列 u=0.5*t.^2; %单位加速度输入lsim(sys,u,t) %绘制单位加速度响应曲线 gridxlabel('t'); ylabel('c(t)'); title('单位加速度响应');0123456789105101520253035404550单位加速度响应t (sec)c (t )1401412138)(23++++=Φs s s s s 单位阶跃响应num=[38,1]; den=[13,14,40,1]; %描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式 sys=tf(num,den); %高阶系统建模 step(sys); %绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线 grid; %添加栅格 title('单位阶跃响应'); %标注标题 xlabel('t'); ylabel('c(t)'); %标注横、纵坐标轴10203040506070809000.20.40.60.811.21.4单位阶跃响应t (sec)c (t )单位斜坡响应sys=tf([38,1], [12,14,40,1]); %系统建模 t=0:0.01:10;%响应时间u=t; %单位斜坡输入 lsim(sys,u,t) %单位斜坡响应gridxlabel(‘t ’); ylabel(‘c(t)’) %标注横、纵坐标轴 title(‘单位斜坡响应’); %标注标题01234567891012345678910单位斜坡响应t (sec)c (t )单位加速度响应num=[38,1]; den=[12,14,40,1];sys=tf(num,den); %系统建模 t=0:0.01:10; %响应时间序列 u=0.5*t.^2; %单位加速度输入lsim(sys,u,t) %绘制单位加速度响应曲线 gridxlabel('t'); ylabel('c(t)'); title('单位加速度响应');0123456789105101520253035404550单位加速度响应t (sec)c (t )19760274228197228)(232+++++=Φs s s s s s单位阶跃响应num=[8,722,19]; den=[228,274,760,19]; %描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式 sys=tf(num,den); %高阶系统建模 step(sys); %绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线 grid; %添加栅格 title('单位阶跃响应'); %标注标题 xlabel('t'); ylabel('c(t)'); %标注横、纵坐标轴10203040506070809000.20.40.60.811.21.4单位阶跃响应t (sec)c (t )单位斜坡响应sys=tf([8,722,19], [228,274,760,19]); %系统建模 t=0:0.01:10;%响应时间u=t; %单位斜坡输入 lsim(sys,u,t) %单位斜坡响应gridxlabel(‘t ’); ylabel(‘c(t)’) %标注横、纵坐标轴 title(‘单位斜坡响应’); %标注标题01234567891012345678910单位斜坡响应t (sec)c (t )单位加速度响应num=[8,722,19]; den=[228,274,760,19];sys=tf(num,den); %系统建模 t=0:0.01:10; %响应时间序列 u=0.5*t.^2; %单位加速度输入lsim(sys,u,t) %绘制单位加速度响应曲线 gridxlabel('t'); ylabel('c(t)'); title('单位加速度响应');0123456789105101520253035404550单位加速度响应t (sec)c (t )扰动()207612++-=Φs s s eW 单位阶跃响应num=[-1]; den=[6,7,20]; %描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式 sys=tf(num,den); %高阶系统建模 step(sys); %绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线 grid; %添加栅格 title('单位阶跃响应'); %标注标题 xlabel('t'); ylabel('c(t)'); %标注横、纵坐标轴012345678910-0.07-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.01单位阶跃响应t (sec)c (t )单位斜坡响应sys=tf([-1], [6,7,20]); %系统建模 t=0:0.01:10;%响应时间u=t; %单位斜坡输入 lsim(sys,u,t) %单位斜坡响应gridxlabel(‘t ’); ylabel(‘c(t)’) %标注横、纵坐标轴 title(‘单位斜坡响应’); %标注标题012345678910-2246810单位斜坡响应t (sec)c (t )单位加速度响应num=[-1]; den=[6,7,20];sys=tf(num,den); %系统建模 t=0:0.01:10; %响应时间序列 u=0.5*t.^2; %单位加速度输入lsim(sys,u,t) %绘制单位加速度响应曲线 gridxlabel('t'); ylabel('c(t)'); title('单位加速度响应');012345678910-101020304050单位加速度响应t (sec)c (t )()1401412123+++-=Φs s s s eW单位阶跃响应num=[-1]; den=[12,14,40,1]; %描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式 sys=tf(num,den); %高阶系统建模 step(sys); %绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线 grid; %添加栅格 title('单位阶跃响应'); %标注标题 xlabel('t'); ylabel('c(t)'); %标注横、纵坐标轴050100150200250-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10单位阶跃响应t (sec)c (t )单位斜坡响应sys=tf([-1], [12,14,40,1]); %系统建模t=0:0.01:10;%响应时间u=t; %单位斜坡输入 lsim(sys,u,t) %单位斜坡响应gridxlabel(‘t ’); ylabel(‘c(t)’) %标注横、纵坐标轴 title(‘单位斜坡响应’); %标注标题012345678910-2246810单位斜坡响应t (sec)c (t )单位加速度响应num=[-1]; den=[12,14,40,1];sys=tf(num,den); %系统建模 t=0:0.01:10; %响应时间序列 u=0.5*t.^2; %单位加速度输入lsim(sys,u,t) %绘制单位加速度响应曲线 gridxlabel('t'); ylabel('c(t)'); title('单位加速度响应');012345678910-101020304050单位加速度响应t (sec)c (t )()19760274228123+++-=Φs s s s eW单位阶跃响应num=[-1]; den=[228,274,760,19]; %描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式 sys=tf(num,den); %高阶系统建模step(sys); %绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线 grid; %添加栅格 title('单位阶跃响应'); %标注标题 xlabel('t'); ylabel('c(t)');%标注横、纵坐标轴050100150200250-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.01单位阶跃响应t (sec)c (t )单位斜坡响应sys=tf([-1], [228,274,760,19]); %系统建模t=0:0.01:10;%响应时间u=t; %单位斜坡输入 lsim(sys,u,t) %单位斜坡响应gridxlabel(‘t ’); ylabel(‘c(t)’) %标注横、纵坐标轴 title(‘单位斜坡响应’); %标注标题012345678910-2246810单位斜坡响应t (sec)c (t )单位加速度响应num=[-1]; den=[228,274,760,19];sys=tf(num,den); %系统建模 t=0:0.01:10; %响应时间序列 u=0.5*t.^2; %单位加速度输入lsim(sys,u,t) %绘制单位加速度响应曲线 gridxlabel('t'); ylabel('c(t)'); title('单位加速度响应');012345678910-101020304050单位加速度响应t (sec)c (t )。