动量与冲量 质点的动量定理
高中物理力学知识汇总：动量、冲量、动量定理、动量守恒定律
高中物理力学知识汇总：动量、冲量、动量定理、动量守恒定律【知识要点复习】1、动量是矢量，其方向与速度方向相同，大小等于物体质量和速度的乘积，即P＝mv。
2、冲量也是矢量，它是力在时间上的积累。
冲量的方向和作用力的方向相同，大小等于作用力的大小和力作用时间的乘积。
在计算冲量时，不需要考虑被作用的物体是否运动，作用力是何种性质的力，也不要考虑作用力是否做功。
在应用公式I＝Ft进行计算时，F应是恒力，对于变力，则要取力在时间上的平均值，若力是随时间线性变化的，则平均值为3、动量定理：动量定理是描述力的时间积累效果的，其表示式为I＝ΔP＝mv－mv0式中I表示物体受到所有作用力的冲量的矢量和，或等于合外力的冲量；ΔP是动量的增量，在力F作用这段时间内末动量和初动量的矢量差，方向与冲量的方向一致。
动量定理可以由牛顿运动定律与运动学公式推导出来，但它比牛顿运动定律适用范围更广泛，更容易解决一些问题。
4、动量守恒定律（1）内容：对于由多个相互作用的质点组成的系统，若系统不受外力或所受外力的矢量和在某力学过程中始终为零，则系统的总动量守恒，公式：（2）内力与外力：系统内各质点的相互作用力为内力，内力只能改变系统内个别质点的动量，与此同时其余部分的动量变化与它的变化等值反向，系统的总动量不会改变。
外力是系统外的物体对系统内质点的作用力，外力可以改变系统总的动量。
（3）动量守恒定律成立的条件a、不受外力b、所受合外力为零c、合外力不为零，但F内>>F外，例如爆炸、碰撞等。
d、合外力不为零，但在某一方向合外力为零，则这一方向动量守恒。
（4）应用动量守恒应注意的几个问题：a、所有系统中的质点，它们的速度应对同一参考系，应用动量守恒定律建立方程式时它们的速度应是同一时刻的。
b、无论机械运动、电磁运动以及微观粒子运动、只要满足条件，定律均适用。
（5）动量守恒定律的应用步骤。
第一，明确研究对象。
第二，明确所研究的物理过程，分析该过程中研究对象是否满足动量守恒的条件。
第三章动量与冲量
例4：动量定理解释了“逆风行舟”
F风对帆 F横
F阻
F横
龙骨
F进
v1 v2 帆
风
风 v1
Δv v2 F帆对风 Δv
系统
内力 三、质点系的动量定理
外界
mi
外力
F1
m1
m2
F2
F1 F2
f f
d p1 dt d p2 dt
f f 内力成对出现
M dM
d v -u
v 0
M M 0
vt- v0 uln M0
M
质 量 比
速度增量
二、火箭的推力
被喷出的气体与火箭之间 的作用力：
F
dP
dt
以 dt 时间被喷出的气体 dm 为系统
P1 v d m dt P2 v dv - u d m
气体受到冲量 气体受推力
火箭受推力
F d t P2 - P1 -ud m
一、火箭飞行原理 （rocket）
特征: 火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷气,
所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？
取微小过程，即微小的时间间隔d t
系统：火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体
t 火箭体质量为M 速度 v
Mv
t dt
M dM
v dv
喷出的气体 dm
u (v dv)
u
u
变质量问题（低速，v << c）有两类： ▲粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）
还有另一类变质量问题是在高速（v c） 情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也 可以改变— 随速度变化 m = m(v)，这是相对 论情形，不在本节讨论之列。 下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。
动量、冲量和动量定理
动量、冲量和动量定理动量、冲量和动量定理⼀、动量：P =m v 单位：kg.m/s1、瞬时性：动量是指物体在某⼀时刻的动量，计算时应取这⼀时刻的瞬时速度。
动量是描述物体运动状态的物理量，是状态量。
2、⽮量性：动量的⽅向与物体的瞬时速度⽅向相同。
3、相对性：物体的动量与参照物的选择有关，选⽤不同的参照物时，同⼀物体的动量可能不同⼆、动量的变化：（1）、当物体的运动状态由状态1变化到状态2，其末动量mv2与初动量mv1的⽮量差称为动量的变化，即?P= mv2 -mv1，或?P=P2-P1（2）、动量变化的⽮量性：由于动量是⽮量，所以动量的变化也是⽮量。
（3）、动量变化的计算：运算应⽤平⾏四边形定则。
如果在同⼀⽅向上选定正⽅向后，可⽤“+”“-”表⽰⽅向。
例1、两⼩球的质量分别是m1和m2，且m1=2m2，当它们的动能相等时，它们的动量⼤⼩之⽐是1:2例2。
质量为10Kg的物体，当其速率由3m/s变为4m/s时，它的动量变化量Δp的⼤⼩不可能的是……（ D ）A、10kgm/sB、50kgm/sC、70kgm/sD、90kgm/s三、冲量(⼒对时间的累积效应)I=Ft单位：N?s注：冲量⼤⼩不仅与⼒有关，还与⼒的作⽤时间有关。
变⼒的冲量⼀般不能⽤I=Ft来计算，⽽应根据动量定理，⽤动量的改变量等效代换。
理解：1.⽮量性：恒⼒（或⽅向不变的⼒），冲量⽅向与⼒的⽅向⼀致；变⼒（⽅向改变的⼒），冲量⽅向应与物体动量改变量的⽅向⼀致。
2.过程量：它是⼒对物体的作⽤经历⼀段时间的积累效应。
与位移⽆关3.绝对性：⼒与时间与参照系的选取⽆关，冲量的⼤⼩、⽅向与参照系的选取⽆关。
例3.质量为m的物体放在⽔平地⾯上，在与⽔平⾯成q⾓的拉⼒F作⽤下由静⽌开始运动，经时间t速度达到v，在这段时间内拉⼒F和重⼒mg冲量⼤⼩分别是(D)A.Ft，0B.Ftcos q,0C.mv,0D.Ft,mgt例4如图所⽰，质量为2kg的物体沿倾⾓为30°⾼为h=5m的光滑斜⾯由静⽌从顶端（2）⽀持⼒的冲量；（3）合外⼒的冲量.(g=10m/s2)下滑到底端的过程中，求：（1）重⼒的冲量；【解析】求某个⼒的冲量时，只有恒⼒才能⽤公式I=F·t，⽽对于变⼒⼀般⽤动量定理求解，此题物体下滑过程中各⼒均为恒⼒，所以只要求出⼒作⽤时间便可⽤I=Ft求解.由⽜顿第⼆定律F=ma得下滑的加速度a=g·sin q=5m/s2.由s=(1/2)at2得下滑时间2S，所以重⼒的冲量IG=mg·t=2×10×2=40N·s.⽀持⼒的冲量IF=F·t=mgcos30°·t=203N·s，合外⼒的冲量IF合=F合·t=mgsin30°·t=20N·s.【解题回顾】某个⼒的冲量与合外⼒的冲量要注意区分.如5-1-2图，物重10N，放在桌⾯上静⽌不动，经历时间10秒钟，重⼒的冲量不是0⽽是I G=G·t=10×10=100N·s.四、动量定理（⽮量式）物体所受合外⼒的冲量等于它的动量的变化。
冲量、动量、动量定理
n n1 f ji
i1 j1
dt
n
mivi2
n
miv i1
i1
i1
因为内力成对出现
n n1
f ji 0
i1 j1
这说明内力对系统的总动量无贡献， 但对每个质点动量的增减是有影响的。
10
于是有
t2
t1
n i 1
Fi外 dt
n i 1
mi vi 2
n i 1
miv i1
冲量、动量、动量定理
力的瞬时效应→ 加速度：牛顿定律
力的积累效应──
力的时间积累 力的空间积累
动量定理 动能定理
一、质点的动量定理
１、动量的引入
在牛顿力学中，物体的质量可视为常数
故
F
m
dv
d
(mv )
dt dt
即
Fdt
d
(mv)
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
1
１）式中mv
叫做动量，是物体运动量的量度。
（A） （C）
2mvj
2mvi
Y
vA
BO A
vB
（B） （D）
2mvj
2mvi
动量的增量为
P mv2 mv1
X
mvB j mv A j
2mvj
答（B）
6
例2-9 一火箭在均匀引力场中，以恒定速率u喷射气体，由静止上升。假定排出气 体质量的增加率为dm/dt=m,其中m是火箭的瞬时质量，是常数，再假定使火箭减 速的空气阻力是bv（b为常数），求火箭的终极速度。
物体的速度v=__________。
I
t2
Fdt
大学物理质点和质点系的动量定理
I
O
F t2 t
O
I
t1 t2 t
t1
动量定理常应用于碰撞问题
F
t1 mv2 mv1 t2 t1 t2 t1
在△p一定时, △t 越小,则F越大
t2
Fdt
mv
mv1
F
mv2
注意
第三章 动量守恒和能量守恒
9/14
物理学
第五版
3-1 质点和质点系的动量定理 例 1 一质量为0.05kg、速率为10m/s的刚球,以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和 角度弹回来.设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受 到的平均冲力 F 解:由动量定理得 F t mv mv mv1 2 1 建立如图坐标系 x
t2
物体由于运动具有的机械效果 Objects with the mechanical effect because of moving 冲量(Impluse) (矢量Vector)
I
t1
Fdt
力对时间的累积效应
The time accumulation effects of forces
作用于质点系的合外力等于质点系动量随 时间的变化率. The combined external force acting on the mass point system is equal to the momentum variation rate of the mass point system with respect to time.
则
y
两边同乘以ydy， 则
2
y
1 3 1 d yv 2 y gdy ydy yv d yv gy yv 3 2 dt y yv 1 2 2 g y d y yv d yv v ( gy ) 2 0 0 3
3-1 质点和质点系的动量定理
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，动量定理分量形式
v v v v I = Ixi + I y j + Izk
I x = ∫ Fx dt = mv x − mv0 x
t0 t t
I y = ∫ Fy dt = mv y − mv0 y
t0 t
I z = ∫ Fz dt = mvz − mv0 z
t0
t2
参考系
t2 时刻
动量定理
v v mv1 mv2 S系 系 v v v v S’系 m( v1 − u ) m( v2 − u ) 系
∫t
t2
1
v v v F (t )dt = mv 2 − mv1
动量定理常应用于碰撞问题
v v v ∫t1 mv2 − mv1 F= = t 2 − t1 t 2 − t1
例 1 一质量为 0.05kg、速率为 、速率为10m·s-1 的刚球 , 以 角的方向撞击在钢板上, 与钢板法线呈 45º 角的方向撞击在钢板上 并以相同的 速率和角度弹回来. 速率和角度弹回来 设碰撞时间为 0.05s . 求在此时间 内钢板所受到的平均冲力 F . 建立如图坐标系, 解 建立如图坐标系 由动量定理得
答：冲量的方向是动量增量的方向。 冲量的方向是动量增量的方向。
问题二：冲量大小或动量增量与哪两个因素有关？ 问题二：冲量大小或动量增量与哪两个因素有关？ 与哪两个因素有关
答：力与时间的增量；要产生同样的动量的增量， 力与时间的增量；要产生同样的动量的增量， 力大力小都可以：力大则时间短些； 力大力小都可以：力大则时间短些；力小则时间 长些。只要力的时间累积即冲量一样， 长些。只要力的时间累积即冲量一样，就产生同 样的动量增量。 样的动量增量。
大学物理力学第三章1动量与冲量
I
F
t
I
Fx
t2
x
t1
Fy
t
Iy t
2
1
F
I
t
mu一定
Ft 一定
0 t1
t2
面积相等
作用时间长 缓冲
由于力是随时间变化的，当变化较快 时，力的瞬时值很难确定，用一平均的力 代替该过程中的变力。
平均力的作用效果与这段时间内变力
的作用效果相同，用F~t 图表示，曲线下
面积，用与之相同的矩形面积来代替。
F外 0 时，P 常矢量
1.动量定理及动量守恒定律在不同的惯性系中 的形式不变。
2.式中的速度是同一惯性系中的速度；求和是 同一时刻的速度求和.
3.若某个方向上合外力为零，则该方向上动 量守恒。 4.当外力<<内力时（如碰撞、爆炸），动量 守恒。
5.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律，它在宏观和微观领域均适用。
篮板上，设碰撞时间t =0.01 s 求：篮板受到的
平均作用力。
解：对球用动量定理
x
P1
F t mv2 mv1
P2 ， I P1 P2 m v
I
F I t
600N
y
F 600i N
篮板受平均作用力。F 600i N
§3-2 质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系 N个质点组成的系统-- 研究对象
用守恒定律作题， 应注意分析 过程、系统和条件。
例题1 已知船的质量 M=300kg , 人的质量m=60kg ,开始
船速V1=2 ms-2 ，人跳离后,船速V2=1 ms-1 求：起 跳时人相对于船的水平速度 v人-船。
解 v v v
高中物理冲量与动量公式动量与冲量公式
高中物理冲量与动量公式动量与冲量公式高中物理冲量与动量公式1.动量：p=mv {p:动量(kg/s)，m:质量(kg)，v:速度(m/s)，方向与速度方向相反｝2.冲量：I=Ft {I:冲量(N s)，F:恒力(N)，t:力的作用时间(s)，方向由F决议｝3.动量定理：I=Δp或Ft=mvt–mvo{Δp:动质变化Δp=mvt–mvo，是矢量式}4.动量守恒定律：p前总=p后总或p=p’′也可以是m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′5.弹性碰撞：Δp=0;ΔEk=0 {即系统的动量和动能均守恒}6.非弹性碰撞Δp=0;0<ΔEK<ΔEKm {ΔEK：损失的动能，EKm：损失的最大动能}7.完全非弹性碰撞Δp=0;ΔEK=ΔEKm {碰后连在一同成一全体}8.物体m1以v1初速度与运动的物体m2发作弹性正碰:v1′=(m1-m2)v1/(m1+m2)v2′=2m1v1/(m1+m2)9.由8得的推论-----等质量弹性正碰时二者交流速度(动能守恒、动量守恒)10.子弹m水平速度vo射入运动置于水平润滑空中的长木块M，并嵌入其中一同运动时的机械能损失E损=mvo2/2-(M+m)vt2/2=fs相对 {vt:共同速度，f:阻力，s相对子弹相对长木块的位移}注：(1)正碰又叫对心碰撞，速度方向在它们〝中心〞的连线上;(2)以上表达式除动能外均为矢量运算,在一维状况下可取正方向化为代数运算;(3)系统动量守恒的条件:合外力为零或系统不受外力，那么系统动量守恒(碰撞效果、爆炸效果、反冲效果等);(4)碰撞进程(时间极短，发作碰撞的物体构成的系统)视为动量守恒,原子核衰变时动量守恒;(5)爆炸进程视为动量守恒，这时化学能转化为动能，动能添加;(6)其它相关内容：反冲运动、火箭、航天技术的开展和宇宙飞行。
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F d(mv) dp dt dt
Fdt dp
动量定理的积分形式
t
p
Fdt t0
p0 dp p p0
动量定理 在给定的时间间隔内，外力
作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内
动量的增量．
分量表示 说明
I x
t2 t1
Fxdt
mv2x
mv1x
I y
t2 t1
Fydt
mv2 y
mv1y
I z
t2 t1
Fzdt
mv2z
mv1z
某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
6
讨论： （1）质点动量定理是矢量规律。
（2）牛顿第二定律是对瞬时关系而言的。 而动量定理的积分形式是对力作用一段时间 而言的。
（3）动量定理只在惯性系中成立。
力作用时间很短时，可用力
即力的方向与v1夹角为162 。
球受棒打击力，设球和棒接触时间0.01s
y
解：忽略重力作用
方法一：用分量式求解
v1 20i
v2
v2 30 cos 30 i 30sin 30 j
26i 15 j
v1 O
x
Fx
mv2x mv1x t
0.3(26 20) 0.01
1380( N )
Fy
解： v 2gh 29.86.15 10.98ms1
(mv) mv 0 10010.98 0 1098kg m s1
F (mv) 1098 219.6N
t
5
设接触时间减为0.1s，所受的平均冲力为多少？
例 垒球m =0.3kg，初速v1 =20m/s， 沿水平，被棒打击后 v2=30m/s，方向 30 。求垒
3.1.1 质点的动量
Fdt d(mv) pmv
牛顿第二定律又可以表示为
F d(dmtv)ddpt
3.1.2 力的冲量
力的冲量是力对时间的积累效果， 是物体动量变化的原因。 F 1.恒力的冲量
I F (t2 t1) F t
O t1
t2 t
冲量 I 是矢量，其方向与恒力F 方向相同。
mv2 y mv1y t
0.315 0.01
450(N )
F Fx2 Fy2 1451(N )
tg Fy 450 0.328
Fx 1380
162 (与x轴 夹 角 ）
方法二：用矢量图解法
I p2 p1, I Ft, p1 mv1, p2 mv2
根据余弦定理
mv2
Ft
mv1
(F t)2 (mv1)2 (mv2 )2 2m2 cos( )v1v2
(0.3) 202 302 2 2030cos( 30 )
F
1451(N)
0.01
根据正弦定理
mv2 Ft 18 sin sin( )
如果同时有N个力作用在一个质点上，
F = f1 + f2 fN
t
t
t
I =
Fdt =
t0
t0 f1dt
t0 f2dt
= I1 + I2 + + IN
t
t0 fNdt
合力在一段作用时间内的冲量等于各
分力在同一段作用时间内冲量的矢量和。
3.1.3 质点的动量定理
微分形式给出的是瞬时关系
2. 变力的冲量
I F1t1 F2t2 F1
Fx
i
Ix =
t
t0 Fxdt
I y =
t
t0 Fydt
Iz =
t
t0 Fzdt
+
0 t1
t2
t
I = Ixi +Iy j +Izk
3. 合力的冲量
的平均值来代替。
F 1 t Fdt p p0
t t0 t0
t t0
对于碰撞、打击、爆炸等过程，
可忽略物体所受的其它力（如重力、
弹力）。一般用平均力替代变力。
冲力示意图
注意：动量为状态量，冲量为过程量。
例 已知目前世界撑杆跳高的记录
为6.15m。设运动员体重为100kg，落下时，身体与 海绵垫接触时间为5s，求运动员身体所受的平均冲 力。