下学期高二第一次月考(4月)数学(理)试题(附答案)
2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知1()2P BA =∣，3()8P AB =，则()P A 等于（）A ．316B ．1316C ．34D ．14【正确答案】C根据条件概率公式计算．【详解】由()()()P AB P BA P A =∣，可得()3()()4P AB P A P B A ==∣.故选：C.2．已知012233C 2C 2C 2C 2C 81n n n n n n n ++++⋅⋅⋅+=，则123C C C C nn n n n +++⋅⋅⋅+等于（）A ．15B ．16C ．7D ．8【正确答案】A【分析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值，再由由二项式系数和即得.【详解】逆用二项式定理得()01223322221281nn n nn n n n C C C C C ++++⋅⋅⋅+=+=，即433n =，所以n =4，所以12342115n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=-=．故选：A.3．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【正确答案】C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.4．若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A ．180B ．120C ．90D ．45【正确答案】A【分析】已知条件中只有第六项的二项式系数最大，n 应为偶数，可确定n 值，进而利用展开式即可求得常数项.【详解】如果n 为奇数，那么是中间两项的二项式系数最大；如果n 为偶数，那么是中间一项的二项式系数最大；只有第六项的二项式系数最大10n ∴=，1022x ⎫∴⎪⎭展开式的通项为：10521102r r r r T C x -+=⨯⨯令10502r-=，解得：2r =∴展开式中常数项是.22102180C ⨯=故选：A.5．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（）A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【正确答案】B【分析】利用捆绑法和插空法可求得结果.【详解】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有22A 种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有33A 种不同排法；第三步，排2名小学生有22A 种不同排法，排3名初中生有33A 种不同排法.根据分步计数原理，共有23232323144A A A A =种不同排法.故选：B方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A ．122B ．112C ．102D ．92【正确答案】D【详解】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．二项式系数，二项式系数和．7．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【正确答案】D【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D8．设5nx⎛⎝的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中有理项共有（）A ． 1项B ．2项C ．3项D ． 4项【正确答案】C【分析】根据二项式系数和公式，结合赋值法、二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式系数和为2n N =，在5nx⎛ ⎝中，令1x =，得4nM =，由()()24042240021521602164n n n n nM N n -=⇒--=⇒+-=⇒=⇒=，二项式45x⎛ ⎝的通项公式为()()34442144C 5C 51rr r r r r r r T x x ---+⎛=⋅⋅=⋅⋅-⋅ ⎝，令0,2,4r =，则344,1,22r-=-，所以展开式中有理项共有3项，故选：C9．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段2OF 的中点，则双曲线C 的离心率是（）AB C ．3D 【正确答案】A【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段2OF 的中点得到2c b =，即可求出离心率,【详解】由题意知：渐近线方程为by x a=±，由焦点2(,0)F c ，222c a b =+，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，即r b ==，又该圆过线段2OF 的中点，故2cr b ==，所以离心率为ca=故答案为.310．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种【正确答案】B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C CA 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.二、多选题11．若()102100121021,R x a a x a x a x x -=++++∈ ，则（）A ．2180a =B ．10012103a a a a +++= C ．100210132a a a -+++=D ．31012231012222a a a a ++++=- 【正确答案】ABD【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.【详解】由题意1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，所以8282310C (2)(1)180T x x =-=，所以2180a =，故A 正确．令=1x -，则1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，即为1021001210(21)||||||||x a a x a x a x +=++++ ，令1x =，得1001210||||||||3a a a a ++++= ，故B 正确；对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得012101a a a a ++++= ，令=1x -，得：10012103a a a a -+-+= ，两式相加再除以2可得100210132a a a ++++= ，故C 错误.对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得01a =，令12x =，得310120231002222a a a aa +++++= ，故31012231012222a a a a ++++=- ，故D 正确，故选：ABD12．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A ．()35P A =B ．()310P AB =C ．()12P B A =D ．()12P B A =【正确答案】ABC【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.【详解】()131535C C P A ==,故A 正确；()11321154310C C P AB C C ==，故B 正确；()()()0351231P AB P P A B A ===，故C 正确；()121525C C P A ==，()11231154103C C C C P AB ==，()()()3310245P AB P B A P A ===，故D 错误.故选:ABC三、填空题13．已知事件A 和B 是互斥事件，()16P C =，()118P B C ⋂=，()()89P A B C ⋃=，则()P A C =______．【正确答案】59【分析】根据条件概率的定义以及运算性质，可得答案.【详解】解：由题意知，()()()()89P A B C P A C P B C ⋃=+=，()()()1118136P B C P B C P C ⋂===，则()()()()815939P A C P A B C P B C =⋃-=-=．故59．14．5555除以8，所得余数为_______.【正确答案】7【分析】由55561=-，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+- 因为56能被8整除，所以5555除以8，所得的余数为.187-+=故7.15．已知()()()420122111x a a x a x -=+-+-()()343411a x a x +-+-，则3a =____.【正确答案】32对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再研究441212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的()31x -项，即可得答案.【详解】对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴44142((,0,1,,411)2r r rr T C r x -+-=⋅= ，当3r =时，4343342(3212a C -=⋅=.故答案为.32本题考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有__________种．【正确答案】15【分析】依题意，首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，再来分配这4个球，按照分类加法计数原理计算可得；【详解】解：有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，故首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，①4个球分给一人，有3种分法；②4个球分给两个人，又有两种情况，一人3个一人1个有236A =种分法；两人都是2个有3种分法；③4个球分给3个人，只有1、1、2这种情况，有3种分法，按照分类加法计数原理可得一共有363315+++=种；故15本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题.四、解答题17．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*N n S n ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，公比大于0，且2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和()*N n ∈.【正确答案】(1)32n a n =-，2nn b =(2)前n 项和110(35)2n n T n +=+-⋅【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比q 的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项1a 和公差d 的值，即可求得{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）先根据第（1）题的结论得到数列{}n n a b ×的通项公式，然后运用错位相减法求出前n 项和n T ．【详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >．故22212q q +=，解得2q =，12b = ，则2231228b b q ==⨯=，33412216b b q ==⨯=，由题意，得11132811101111162a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+=⨯⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩．13(1)32n a n n ∴=+-=-；1222n n n b -=⨯=．（2）由（1）知，(32)2n n n a b n ⋅=-⋅．设其前n 项和为n T ，211221242(32)2n n n n T a b a b a b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⋯+-⋅，①23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅，②①-②，得23112323232(32)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅21212(122)(32)2n n n -+=+⨯++⋯+--⋅1112212(32)212n n n -+-=+⨯--⋅-()153210n n +=-⋅-．()110352n n T n +∴=+-⋅．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为()220x py p =>，其顶点到焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)若点()0,4P -，设直线():0l y kx t t =+≠与抛物线交于A 、B 两点，且直线PA 、PB 的斜率之和为0，证明：直线l 必过定点，并求出该定点．【正确答案】(1)28x y =；(2)详见解析；【分析】（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得p 的值，进而可求得抛物线的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线PA 、PB 的斜率之和为0求得实数t 的值，即可求得直线l 所过定点的坐标.【详解】（1）0p > ，且抛物线22x py =的顶点到焦点的距离为2，则该抛物线的焦点坐标为()0,2，22p∴=，解得4p =，因此，该抛物线的方程为28x y =；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立28y kx tx y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得2880x kx t --=，由韦达定理得128x x k +=，128x x t =-.直线PA 的斜率为2111111144488x y x k x x x ++===，同理直线PB 的斜率为22248x k x =+，由题意得()1212121212124448324108888x x x x x x k k k k k x x x x t t +++⎛⎫+=++=+=+=-= ⎪-⎝⎭，上式对任意的非零实数k 都成立，则410t -=，解得4t =，所以，直线l 的方程为4y kx =+，该直线过定点()0,4.设而不求，联立方程，利用韦达定理解题是本类题目常用思路.本题中表示出()12121212121244441088x x x x x x k k k x x x x t +++⎛⎫+=++=+=-= ⎪⎝⎭是解题关键，也是计算难点.19．已知函数()2()24ln f x x ax x =-，a R ∈.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）令2()()g x f x x =+，若[1,)x ∀∈+∞，函数()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2))+∞【分析】（1）当0a =时，()22ln f x x x =，求出()f x ¢，可得函数()f x 的单调区间；（2）依题意得，()()2224ln g x x ax x x =-+，然后求导，得()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'，然后，分情况讨论即可求出实数a 的取值范围【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+¥当0a =时，()22ln f x x x =()()4ln 222ln 1f x x x x x x =+=+'令()'0f x >得2ln 10x +>，解得12x e ->，令()'0f x <得2ln 10x +<，解得120x e -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）()()2224ln g x x ax x x =-+，()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'由[)1,x ∈+∞得ln 10x +>①当1a ≤时，()'0g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1g x g ≥，即()1g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上没有零点.②当1a >时，()1,x a ∈时，()'0g x <，(),∈+∞x a 时，()'0g x >所以函数()g x 在()1,a 上单调递减，在(),+∞a 上单调递增因为()110g =>，()2240g a a =>所以函数()g x 在[)1,+∞有两个零点只需()()()2min 12ln 0g x g a a a ==-<解得a >综上所述，实数a 的取值范围为)+∞本题考查利用导数求单调性和单调区间的问题，解题的关键在于分情况讨论时注意数形结合，属于难题。
2022-2023学年四川省成都市高二年级下册学期4月月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市树德中学（宁夏校区）高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．若，则的虚部为（ ）(1i)1i z +=-z A ．1B ．C ．D ．1-i-i【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到，再根据复数的定义判断即可.z z 【详解】因为，所以，所以，(1i)1i z +=-()()()21i 1ii 1i 1i 1i z --===-++-i z =所以的虚部为.z 1故选：A2．用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是a b 30x ax b ++=（ ）A ．方程没有实根30x ax b ++=B ．方程至多有一个实根30x ax b ++=C ．方程至多有两个实根30x ax b ++=D ．方程恰好有两个实根30x ax b ++=【答案】A【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，即可得出结论．【详解】方程至少有一个实根的反面是方程没有实根，30x ax b ++=30x ax b ++=因此，用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假a b 30x ax b ++=设是“方程没有实根”.30x ax b ++=故选：A.3．设函数．则值为（ ）()31f x x =+()π2π2f x dx-⎰A ．B ．C ．D ．1π62+01π【答案】D【分析】利用微积分基本定理可求得所求定积分的值.【详解】因为，则()31f x x =+()()πππ22342πππ2221d 1d 4f x x x x x x ---⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰.441ππ1πππ422422⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故选：D.4．已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的M 21ln 2y x x ax =++M π4锐角，则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．[)2,+∞[)1,-+∞(],2-∞(],1-∞-【答案】B【分析】分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法以及基本不等1πtan 14y x a x '=++≥=0x >式可求得实数的取值范围.a 【详解】函数的定义域为，且，21ln 2y x x ax =++()0,∞+1y x a x '=++因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，21ln 2y x x ax =++M π4所以，对任意的恒成立，则，1πtan 14y x a x '=++≥=0x >11a xx -≤+当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，0x >12x x +≥=1x =所以，，解得.12a -≤1a ≥-故选：B.5．如图所示，在平行六面体中，M 为与的交点.若，，1111ABCD A B C D -11A C 11B D AB a =AD b =，则下列向量中与相等的向量是（ ）1AA c = BMA ．B ．1122-++a b c1122a b c ++C ．D ．1122a b c--+ 1122a b c -+【答案】A【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：，()111111111111112222BM BB B M BB B D BB A D A B a b c=+=+=+-=-++根据空间向量基本定理可知：只有与相等.1122-++a b c BM故选：A.6．下列有关回归分析的说法中不正确的是（ ）A ．回归直线必过点(),x y B ．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C ．当相关系数时，两个变量正相关0r >D ．如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于r【答案】B【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB ；根据相关系数的性质可判断CD ，进而可得正确选项.【详解】对于A 选项，回归直线必过点，A 对；(),x y 对于B 选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B 错；对于C 选项，当相关系数时，两个变量正相关，C 对；0r >对于D 选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D 对.r0故选：B.7．是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ）()f x '()f x ()f x '()f xA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，()f x '()f x 进而得到的可能图象.()f x 【详解】由的图象可得，()f x '当时，，则单调递增；0x <()0f x ¢>()f x 当时，，则单调递减；10x x <<()0f x '<()f x 当时，，则单调递增.1x x >()0f x ¢>()f x 则仅有选项C 符合以上要求.故选：C8．用数学归纳法证明“”时，由假设不等式成立，()*11112321n n n +++⋯+<∈-N ()*1,n k k k =>∈N 推证不等式成立时，不等式左边应增加的项数为（ ）1n k =+A ．B ．C ．D ．k 12k -2k12k +【答案】C【分析】分析当、时，不等式左边的项数，作差后可得结果.n k =1n k =+【详解】用数学归纳法证明“”,()*11112321n n n ++++<∈-N 当时，左边，共项，n k =11112321k=++++- ()21k -当时，左边，共项，1n k =+111112321k +=++++- ()121k +-所以，由假设不等式成立，推证不等式成立时，()*1,n k k k =>∈N 1n k =+不等式左边应增加的项数为.()()121212k k k+---=故选：C.9．已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是,R a b ∈x a =21()()()(1)x f x x a x b e -=---（ ）A ．B ．C ．D ．1b a ≤<1b a <≤1a b<≤1a b <≤【答案】B【分析】利用数轴标根法，画出的草图，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 【详解】解：令，得.21()()()(1)0x f x x a x b e -=---=123,,1x a x b x ===下面利用数轴标根法画出的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 对选项A ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1b a ≤<x a =()f x 对选项B ：若，由图可知不是的极小值点，符合题意；1b a <≤x a =()f x 对选项C ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 对选项D ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 故选：B.【点睛】方法点睛：利用数轴标根法，口诀 “自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”，画出的草()f x 图，结合极小值点的定义，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析，即可求解.10．已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴()2222:10x y a b a b Γ+=>>A B A A x 作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）C BCD ABDA ．BCD 12【答案】B 【分析】设点、，其中，，则、，分析可知()00,A x y ()11,D x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x，利用点差法可得出，可求得，由可求得该椭圆的离心率的1DA AB k k =-22DA DBb k k a =-22b a e =值.【详解】如下图所示，设点，其中，，则、，()00,A x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x则，，00AB y k x =02BC y k x =设点，则，作差可得，()11,D x y 22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221010220x x y y a b --+=所以，，2221022210y y b x x a -=--所以，，则不互相垂直，2221010102221010101DA DBy y y y y y b k k x x x x x x a -+-=⋅==-≠--+-,AD BD 所以，则，所以，，AD AB ⊥1AD ABk k =-001AD AB x k k y =-=-又因为，所以，，0000122DA DB DA BC xy k k k k y x ==-⋅=-2212b a =所以，该椭圆的离心率为c e a =====故选：B.11．设是定义在R 上的奇函数，在上有，且()f x (),0∞-2023(2023)(2023)0xf x f x '+<，则不等式的解集为（ ）()20230f =()ln 20230x f x ⋅<A ．B ．C ．D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,0-∞-- ()()1,00,1- ()()1,01,-⋃+∞【答案】B 【分析】构造函数，利用题给条件求得在上单调性，再利用奇()()2023,0k x x f x x =⋅<()k x (,0)-∞函数满足求得，进而得到在上的函数值的正负情()f x ()20230f =()20230f -=()2023f x (,0)-∞况，再利用奇函数的性质即可求得不等式的解集.()ln 20230x f x ⋅<【详解】令，则()()2023,0k x x f x x =⋅<()()()2023202320230k x f x x f x ''=+⋅<则在上单调递减，()()2023k x x f x =⋅(,0)-∞又是定义在R 上的奇函数，，则，()f x ()20230f =()20230f -=则，()(1)120230k f -=-⨯-=则当时，，，；1x <-()0k x >()20230f x <()ln 20230x f x ⋅<当时，，，.10x -<<()0k x <()20230f x >()ln 20230x f x ⋅<又由是定义在R 上的奇函数，可得()f x 当时，，；1x >()20230f x >()ln 20230x f x ⋅>当时，，01x <<()20230f x <()ln 20230x f x ⋅>综上，不等式的解集为()ln 20230x f x ⋅<()(),11,0-∞-- 故选：B12．下列不等式成立的有（ ）个．①；②；③；④．0.2etan 0.21>+1819e 16<sin180.3︒>311cos324<A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】分别构造新的函数，利用导函数分析单调性，即可判断不等式的正误.【详解】解：令，()πe tan 1012x f x x x ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭则，()2cos e 1x f x x '=-()32sin co e s xx f x x ''=-当时，，，π012x <<πsin sin 12x <πcos cos12x >所以，33π2sin2sin12πcos cos 12x x<而，πππππππ1sin sin sin cos cos sin 123434342⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭πππππππ1coscos cos cos sin sin 123434342⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭所以，3π2sin12561πcos 12=====-<则，所以在上单调递增，()32sin 0c s e o x x f x x ''=->()f x 'π0,12⎛⎫⎪⎝⎭所以，则在上单调递增，()()02100co 0e s f x f ''>=-=()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭，()()0e tan 0100.20f f >--==所以，即，①正确；0.2etan 0.210-->0.2e tan 0.21>+令，可得，()3e 12x f x x =--()3e 2x f x '=-因为，，所以函数在上单调递减，()030e 02f '=-<103f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭()f x 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，即，可得，②错误；()108f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭18310e 128>-⨯-1819e 16>如图，是顶角为的等腰三角形，D 为BC 的中点ABC 36则，()118036722B ∠=⨯-=AD BC⊥设，，则，即，1BC =AB AC x ==sin cos BAD B ∠=112sin18cos 722x x ===由正弦定理可得，sin sin AC BCB BAC =∠即，11cos36sin 72sin 362sin 36cos36sin 362x x x =⇒=⇒=又由余弦定理可知，22222121cos3622x x x x x x +--==⋅所以，则，23222121022x xx x x -=⇒-+=()()2110x x x ---=解得（舍），（舍），，11x BC =<2x =<3x =，③正确；sin180.3∴===> 令，可得，()211cos 2f x x x =--()sin f x x x '=-+时，，所以函数在上单调递减，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦则，即，可得，④正确；()104f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭1101cos 324>--311cos 324<综上所述，①③④正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于构造函数，并选择合适的定义域，利用求导分析函数的单调性及最值，进而证明不等式，属于难题.二、填空题13．如图，若向量对应的复数为z ，则表示的复数为______．OZ 4z z +【答案】##3i +i 3+【分析】先由图中得到，再利用复数的运算规则即可求得表示的复数.1i z =-4z z +【详解】由图可得，，1i z =-则()()()()41i 441i 1i 1i 21i 3i 1i 1i 1i z z ++=-+=-+=-++=+--+故答案为：3i+14．若曲线在在，两点处的切线互相垂直，则的最21sin 24y x x =+()11,Ax y ()22,B x y 12x x -小值为________．【答案】##π212π【分析】化简可得范围内，即可得出切线1πsin 223y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭[1,1]-斜率必须一个是1，一个是，即可求出.1-【详解】， 2111cos 21πsin 2sin 2sin 244223x y x x x x +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭∴πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭曲线的切线斜率在范围内，∴[1,1]-又曲线在两点处的切线互相垂直，故在，两点处的切线斜率必须一个是1，一个是.()11,A x y ()22,B x y 1-不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有，，()111π22πZ 3x k k +=∈()222π22ππZ 3x k k +=+∈则可得，()()1212ππππZ 22x x k k k k -=--=-∈所以.12minπ2x x -=故答案为：.π215．已知椭圆C ：，过右焦点的直线交椭圆于，若满足22221(1)1x y a a a +=>-,A B ，则的取值范围______．OA OB OA OB-=+a 【答案】⎛ ⎝【分析】根据椭圆方程得右焦点坐标为，设直线方程为，，联()1,0AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 立得交点坐标关系，由得，即OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= ，整理得关于得方程有解，即可得的取值范围.()()21212110OA OB n y y n y y ⋅=++++=n a 【详解】已知椭圆C ：，则其右焦点坐标为，22221(1)1x y a a a +=>-()1,0过右焦点的直线交椭圆于，若满足，所以，,A B OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= 则设直线方程为，AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 则，所以，2222111x y a a x ny ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩()()()222222212110n a a y n a y a ⎡⎤-++---=⎣⎦显然恒成立，所以，0∆>()()()()212222221222221111n a y y n a a a y y n a a ⎧-⎪+=--+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-+⎪⎩则()()()()21212121212121111OA OB x x y y ny ny y y n y y n y y ⋅=+=+++=++++()()()()()222222222212111011a n a n n n a a n a a ----=+⋅+⋅+=-+-+整理得，所以，()()()22222111a a a a na a +---=--()()()22221101a a a a a a +---≥--又，所以，解得，1a >2101a a a ⎧--≤⎨>⎩1<≤a 所以的取值范围为.a ⎛ ⎝故答案为：.⎛ ⎝【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.16．已知函数，，若函数有且仅有3个零点，则2()ln 2(1ln )f x a x x x =+-R a ∈22()e ()2g x f x a =-的取值范围______．a 【答案】()2e,e 【分析】根据函数的导数，分四种情况①若，②若，③若，④若，讨论函0a ≤01a <<1a =1a >数的单调性；令，得，问题可转化为函数与的图像有3个()f x ()0g x =222()e a f x =()y f x =222e a y =不同的交点，根据单调性可得或，分两种情况①当时，②当时，讨()f x 01a <<1a >01a <<1a >论即可得出答案．【详解】函数的定义域为，且，()f x (0,)+∞()2ln 1a f x x x ⎛=-'⎫ ⎪⎝⎭①若，则，当时，，单调递增，0a ≤10a x -<(0,1)x ∈()0f x '>()f x 时，，单调递减，(1,)x ∈+∞()0f x '<()f x ②若，当时，，01a <<(0,)x a ∈()0f x '<当时，，(,1)x a ∈()0f x '>当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '<所以在和上单调递减，在上单调递增，()f x (0,)a (1,)+∞(,1)a ③若，则，1a =()0f x '≤所以在上单调递减，()f x (0,)+∞④若，当时，，1a >(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x a ∈()0f x '>当时，，(,)x a ∈+∞()0f x '<所以在和上单调递减，在上单调递增；()f x (0,1)(,)a +∞(1,)a 令，则，()0g x =222()e a f x =所以依题意可得函数与的图像有3个不同的交点，()y f x =222e a y =则有必有或，01a <<1a >①当时，在和上单调递减，在上单调递增，01a <<()f x (0,)a (1,)+∞(,1)a 所以的极大值为，()f x ()1f 2=的极大值为，的极小值为，()f x ()1f 2=()f x ()f a 2(ln 2ln 2)a a a =-+又，()f a 22222(ln 2ln 2)[(ln 1)1]e a a a a a a a =-+=-+>>函数与的图象，如图所示，()y f x =222e a y =所以函数与的图像至多有1个交点，不合题意，()y f x =222e a y =②当时，在和上单调递减，在上单调递增，1a >()f x (0,1)(,)a +∞(1,)a所以的极小值为，的极大值为，()f x ()1f 2=()f x ()f a 2(ln 2ln 2)a a a =-+函数与的图象，如图所示，()y f x =222e a y =所以必须有成立，22222(ln 2ln 2)e a a a a <<-+因为，所以，2222e a <e a >所以，2222(ln 2ln 2)e a a a a <-+所以，222ln 2ln 2ea a a <-+(*)下面求不等式的解集，(*)令，则不等式等价于，ln a x =(*)222e22x x x -<-+令函数，22()22e 2x h x x x -=--+则，2()222e x h x x -=--'令，有，2222e x y x -=--222ex y -=-'函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，2222ex y x -=--(,-∞2](2,)+∞又，所以，()2y 0=2222e 0x y x -=--≤即恒成立，故函数单调递减，()0h x '≤()h x 又，()2h 0=所以当且仅当时，，2x <()0h x >所以不等式的解集为，222e 22x x x -<-+(,2)-∞即不等式的解集为．(*)2(0,e )所以的取值范围为．a ()2e,e故答案为：．()2e,e 三、解答题17．已知函数．1()ln ln f x x x =+(1)求函数的单调区间；()f x (2)求证：．21e ()ln x f x x ->-【答案】(1)的单调增区间，，单调减区间，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()e,+∞1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e (2)证明见解析【分析】（1）求导函数，令，得，确定区间，，，()0f x '=121,e e x x ==10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e 导函数符号，即可得函数的单调区间；()e,+∞（2）将所证不等式转化为，构造函数，，求导确定函数的2e ln 0x x -->2()e ln x x x ϕ-=-()0,x ∈+∞单调性及取值情况，即可证得结论.【详解】（1）定义域，，()()0,11,+∞ 222111(ln )1()(ln )(ln )x f x x x x x x -'=-=⋅令，即，解得()0f x '=()2ln 10x -=121,e e x x ==当，时，，当，时，，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e,x ∈+∞()0f x '>1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,e x ∈()0f x '<所以的单调增区间，，单调减区间，．()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()e,+∞1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,e （2）证明：要证，即证21e ()ln x f x x ->-2e ln 0x x -->设函数，，则，2()e ln x x x ϕ-=-()0,x ∈+∞21()e x x x ϕ-='-令，则恒成立，所以在上单调递增．()21e x m x x -=-()221e 0x m x x -'=+>()x ϕ'()0,∞+又由，知，在上有唯一实数根，且()11e 10ϕ--'=<()0112e 022ϕ'=-=>()0x ϕ'=()0,∞+0x ，则，即．012x <<()02001e 0x x x ϕ--'==0201e x x -=当时，，单调递减；当时，，单调递增，()00,x x ∈()0x ϕ'<()x ϕ()0,x x ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ所以，结合，知，()0200()e ln x x x x ϕϕ-≥=-0201e x x -=002ln x x -=-所以，则，故原不等式()()()2200000000121120x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>()2e ln 0x x x ϕ-=->得证.21e ()ln xf x x ->-18．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．年初中毕业生2022升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分分，150其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学1515120生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规100则如表：每分钟跳绳个数[)155,165[)165,175[)175,185[)185,∞+得分17181920(1)请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数（保留整数）；(2)若从跳绳个数在、两组中按分层抽样的方法抽取人参加正式测试，并从中任[)155,165[)165,1756意选取人，求两人得分之和大于分的概率．234【答案】(1)中位数为，平均数为184185(2)1415【分析】（1）设学生的跳绳个数的中位数为，利用中位数的定义可得出关于的值；将每个矩形m m 底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；（2）计算可得出在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、[)155,1652a b [)165,1754A 、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件的基本事件，利用古典概型的概率公式可求B C D 得所求事件的概率.【详解】（1）解：设学生的跳绳个数的中位数为，m 因为，则，()()0.0060.012100.180.50.0060.0120.03410+⨯=<<++⨯()175,185m ∈由中位数的定义可得，解得，()()0.0060.012101750.0340.5m +⨯+-⨯=0.321751840.034m =+≈平均数（个）．1600.061700.121800.341900.32000.12100.08185x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）解：跳绳个数在内的人数为个，跳绳个数在内的人数为[)155,1651000.066⨯=[)165,175个，1000.1212⨯=按分层抽样的方法抽取人，则在内抽取人，分别记为、，6[)155,1652a b 在内抽取人，分别记为、、、，[)165,1754A B C D 从这人中任意抽取人，所有的基本事件有：、、、、、62(),a b (),a A (),a B (),a C (),a D 、、、、、、、、、，共种，(),b A (),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 15两人得分之和大于分包含的基本事件有：、、、、、34(),a A (),a B (),a C (),a D (),b A 、、、、、、、、，共种，(),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 14则两人得分之和大于分的概率．341415P =19．如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定AD ⊥PDC 理，证得，从而得到平面；//AD l l ⊥PDC （2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之(,0,1)Q m 后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面QCD PB cos ,n PB <> PB 所成角的正弦值的最大值.QCD 【详解】（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，ABCD //AD BC AD ⊄PBC BC ⊂PBC 所以平面，又因为平面，平面平面，//AD PBC AD ⊂PAD PAD ⋂PBC l =所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且//AD l P ABCD -ABCD ,,AD DC l DC ⊥∴⊥平面，所以PD ⊥ABCD ,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为，所以平面．CD PD D = l ⊥PDC （2）［方法一］【最优解】：通性通法因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：,,DP DA DC D xyz -因为，设，1PD AD ==(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B 设，则有，(,0,1)Q m (0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===- 设平面的法向量为，QCD (,,)n x y z = 则，即，00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 00y mx z =⎧⎨+=⎩令，则，所以平面的一个法向量为，则1x =z m =-QCD (1,0,)n m =-cos ,n PB n PB n PB ⋅<>== 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB 与平面QCD所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>==时取等号，所以直线与平面=≤≤=1m =PB .QCD ［方法二］：定义法如图2，因为平面，，所以平面．l ⊂PBC Q l ∈Q ∈PBC 在平面中，设．PQC PB QC E = 在平面中，过P 点作，交于F ，连接．PAD PF QD ⊥QD EF 因为平面平面，所以．PD ⊥,ABCD DC ⊂ABCD DC PD ⊥又由平面，平面，所以平面．又平,,DC AD AD PD D PD ⊥=⊂ PAD AD ⊂PAD DC ⊥PAD PF ⊂面，所以．又由平面平面，所以PAD DC PF⊥,,PF QD QD DC D QD ⊥=⊂ ,QOC DC ⊂QDC 平面，从而即为与平面所成角．PF ⊥QDC FEP ∠PB QCD 设，在中，易求．PQ a =PQD △PF =由与相似，得，可得PQE BEC1PE PQa EB BC ==PE =所以，当且仅当时等号成立．sin FEP ∠==≤=1a =［方法三］：等体积法如图3，延长至G ，使得，连接，，则，过G 点作平面，CB BG PQ =GQ GD //PB QG GM ⊥QDC 交平面于M ，连接，则即为所求．QDC QM GQM∠设，在三棱锥中，．PQ x =Q DCG -111()(1)326Q DCG V PD CD CB BG x -=⋅⋅+=+在三棱锥中，．G QDC-111323G QDC V GM CD QD GM -=⋅⋅=由得Q DCG G QDC V V --=11(1)63x GM+=解得，GM ===≤当且仅当时等号成立．1x =在中，易求，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为Rt PDB△PB QG ==sin MQG ∠==【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等QCD n PB cos ,n PB <> 式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB 与平面QCD 所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB 与平面QCD //PB QG 所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．20．设函数，（）．2()ln (21)1f x ax x x a x a =---+-a ∈R(1)若在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；()f x (2)对任意的函数恒成立，求实数a 的取值范围．[)1,x ∞∈+()0f x ≥【答案】(1)12a =(2)1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭【分析】（1）将在定义域上单调递增，转化为在区间上恒成立，分类讨论a ()f x ()0,∞+()0f x '≥并，令，求导分析的单调性即可；()2(1)ln g x a x x =--()f x '（2），令，分析单调性可知，进而得到()2(1)ln f x a x x '=--()ln 1h x x x =-+ln 1≤-x x ，分类讨论a ，求出在上的单调性，即可判断是否恒成立.()(21)(1)f x a x '≥--()f x [)1,+∞()0f x ≥【详解】（1），()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x '=----=--若在定义域上单调递增，则在区间上恒成立，，()f x ()0,∞+()0f x '≥()10f '=当，在单调递减，显然不合题意．0a ≤()f x '()0,∞+令，，()2(1)ln g x a x x =--121()2ax g x a x x -'=-=当时，，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭112a >当时，，在单调递减，112x a <<()0g x '<()g x 11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在单调递减，则在上，不合题意，()f x '11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()10f x f '<=当时，由得；由得；12a =()0g x '<01x <<()0g x '>1x >所以在上单调递减，上单调递增，则，满足题意，()g x ()0,1()1,+∞()()()10f x g x g '=≥=当时，，1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭112a <当时，，在单调递增，112x a <<()0g x '>()g x 1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在单调递增，则在上有，不合题意．()f x '11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()10f x f '<=综上所述．12a =（2），()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x '=----=--令，，则，()ln 1h x x x =-+0x >()11h x x '=-当时，；当时，，01x <<()0h x '>1x >()0h x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()h x (]0,1[)1,+∞在处有最大值，则，1x =()()1ln1110h x f ≤=-+=即，所以，ln 10x x -+≤ln 1≤-x x 则，()2(1)(1)(21)(1)f x a x x a x '≥---=--当即时，由得恒成立，210a -≥12a ≥[)1,x ∞∈+()0f x '≥在上单调递增，，符合题意．所以．()f x [)1,+∞()()10f x f ≥=12a ≥当时，由得恒成立，0a ≤[)1,x ∞∈+()0f x '≤在上单调递减，，不符合题意，舍去．()f x [)1,+∞()()10f x f ≤=0a ≤当时，由，得，即，102a <<ln 1≤-x x 11ln 1x x ≤-1ln 1x x ≥-则，11()2(1)1(21)x f x a x ax x x -⎛⎫⎛⎫'≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以．时，恒成立，102a <<112a >11,2x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '≤在上单调递减，，不符合题意，舍去．()f x 11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()10f x f ≤=102a <<综上可得：．1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭21．已知椭圆C ：的焦距为．()222210x y a b a b +=>>12⎫⎪⎭(1)求椭圆方程；(2)A 为椭圆的上顶点，三角形AEF 是椭圆C 内接三角形，若三角形AEF 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求三角形AEF 的面积．【答案】(1)2214x y +=(2)或者6425S =3215S =【分析】（1）先利用题给条件列方程求得，，进而得到椭圆方程；24a =21b =（2）先分别设出直线AE ，AF 的方程，再与椭圆方程联立，利用设而不求的方法分别求得的代数表达式，利用列方程求得直线AE 的斜率，进而求得三角形AEF 的面,AE AF AE AF=积．【详解】（1）椭圆C 过点，则，又，12⎫⎪⎭223114a b +=2c =223a b =+所以，解之得，，则椭圆方程为．2231134b b +=+24a =21b =2214x y +=（2）由题可知，直线AE 斜率存在，设直线AE ：y ＝kx ＋1，令，11(,)E x y 由整理得：，则22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()221480k x kx ++=1218140A Ak xx k x x ⎧+=-⎪+⎨⎪=⎩=设直线AF ：，令，11y x k =-+22(,)F x y 由整理得：，则221411x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()22480k x kx +-=222840A A k xx k x x ⎧+=⎪+⎨⎪=⎩==由题知得：，AE AF =221144k kk =++不妨设k ＞0，化简方程知：，()2(1)310k k k --+=解之得k ＝1，k =又因为，()()()()()22222211144323224k AE AFS k k k k k ++=+⋅+==+将k ＝1，代入得三角形面积为，或者．k =6425S =3215S =22．已知．2()e 2x a f x x x =--(1)若在x ＝0处取得极小值，求实数a 的取值范围；()f x (2)若有两个不同的极值点，（），判断的正负，并说明理()f x 1x 2x 12x x <122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭由．（为的二阶导数）．()f x ''()f x 【答案】(1)(),1-∞(2)小于0，理由见解析122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数导数，讨论，，和四种情况，根据导数情况讨论函数0a ≤01a <<1a =1a >的单调性即可得出；（2）根据题意可得，构造函数，122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭()2121122121e1e e x x x x x x x x x --⎡⎤-+-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2()2e 1e (0)t t g t t t =+->利用导数即可求解.【详解】（1）由题意得，，，()e 1xf x ax =--'()00f '=()e x f x a ''=-①当时，在上单调递增，0a ≤()f x '(),-∞+∞所以当x ＜0时，，当x ＞0时，，()()00f x f ''<=()()00f x f ''>=所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x 当时，由可得，由可得，0a >()0f x ''>ln x a >()0f x ''<ln x a <②当0＜a ＜1时，，在单调递增，ln 0a <()f x '()ln ,a +∞所以当时，，当时，，()ln ,0x a ∈()()00f x f ''<=()0,x ∈+∞()()00f x f ''>=所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x ③当a ＝1时，知在区间单调递减，在区间单调递增，()f x '(),ln a -∞()f x '()ln ,a +∞所以在处取得最小值，即，()f x 'ln x a =()()()ln 00f x f a f '''≥==所以函数在上单调递增，()f x R 所以在x ＝0处无极值，不符合题意．()f x④当a ＞1时，，由（Ⅰ）知的减区间为，ln 0a >()f x '(),ln a -∞所以当时，，当时，，(),0x ∈-∞()()00f x f ''>=()0,ln x a ∈()()00f x f ''<=所以在x ＝0处取得极大值，不符合题意，()f x 综上可知，实数a 的取值范围为．(),1-∞（2），为的零点，则，，，1x 2x ()e 1x f x ax =--'1212e 10e 10x x ax ax ⎧--=⎨--=⎩1212e e x x a x x -=-()e xf x a ''=-，121212122212e e e e2x x x x x x x x f a x x +++-⎛⎫''=-=-⎪-⎝⎭()212121211122121221e 1e 1e e ee x x x x x x x x x x x x x x x x ----⎡⎤⎛⎫-+--⎢⎥=-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎢⎥⎣⎦令，构造函数，212x x t -=2()2e 1e (0)t tg t t t =+->则，()2()2e 2e 2e 2e 1e 0t t t t t g t t t '=+-=+-<所以在单调递减，故，故原不等式得证．()g t ()0,∞+()()0g t g <故小于0．122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正确分类讨论参数情况。
重庆一中2019-2020学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(4月份)(含答案解析)
重庆一中2019-2020学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数Z=2+4i1+i(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是()A. (1,3)B. (−1,3)C. (3,−1)D. (2,4)2.用数学归纳法证明1+2+3+...+n2=n4+n22，则当n=k+1时，左端应在n=k基础上加上()A. k2+1B. (k+1)2C. (k+1)4+(k+1)22D. (k2+1)+(k2+2)+...+(k+1)23.10个三好学生名额，分给甲、乙、丙三个班，每班至少一名，共有()种方法．A. 24B. 48C. 36D. 724.从7名同学(其中4男3女)中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须有男生又有女生，则不同选法的种数为()A. 34B. 31C. 28D. 255.由数列1，10，100，1000，…猜测该数列的第n项可能是()A. 10nB. 10n−1C. 10n+1D. 11n6.若X～N(5,15)，则()A. E(X)=1且D(X)=45B. E(X)=15且D(X)=1C. E(X)=1且D(X)=15D. E(X)=45且D(X)=17.(x2+3x−y)5的展开式中，x5y2的系数为()A. −90B. −30C. 30D. 908.已知点F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上异于F1、F2的另外一点，且△PF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的离心率为()A. √3+1B. √3−12C. √2+12D. √3+129. 设A ，B 为两个事件，已知P(A)=23，P(AB)=13，则P(B|A)=( )A. 12B. 13C. 29D. 2310. 有两种交通工具，甲乙两人各从中随意挑选一种，则甲乙两人所挑到的交通工具不同的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 无法确定11. 从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( )A. 36种B. 42种C. 72种D. 46种12. 设函数f(x)=e x (3x −4)−ax +2a ，若存在唯一的整数t ，使得f(t)<0，则实数a 的取值范围是( )A. [2,e]B. [32e ,1]C. [2,e)D. [32e ,34]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数z =1−2i ，则复数1z 的模为__________．14. 在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=3，直线AD 1，DC 1所成角的正弦值为______ ． 15. 在(3x 13+x 12)n 的二项展开式中各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若ℎ+t =272，则其二项展开式中x 2项的系数为______． 16. 已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，则双曲线的离心率e 为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．(Ⅰ)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；(Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(Ⅲ)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小．(结论不要求证明)18.已知有3位女生，4位男生．(1)这7人站成一排，要求3位女生两两不相邻，求有多少种不同的站法；(2)从这7人中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，求有多少种不同的选法．，E(ξ)=1，求D(ξ)的值．19.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ=0)=1520.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE⊥平面ABCD，SE=AD=2．(1)求证：PQ//平面SAD；(2)求直线SA与平面SEQ所成的角的余弦值．21.设A点是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且∠AF1F2=15°，∠AF2F1=75°，且|F1F2|=2√6．(1)求椭圆E的方程；(2)若点M(32,32)是椭圆E上一点，N是M关于原点O的对称点，过M的任意直线(但该直线不过原点O)与椭圆E交于另一点Q，求△MQN的面积的最大值．a(x−1)2−lnx，其中a∈R．22.已知函数f(x)=x−12(Ⅰ)若x=2是f(x)的极值点，求a的值；(Ⅱ)若∀x>0，f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：复数Z=2+4i1+i =(2+4i)(1−i)(1+i)(1−i)=(1+2i)(1−i)=3+i在复平面内对应点的坐标是(3,1)．故选：A．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．2.答案：D解析：本题主要考查了数学归纳法.分析出n=k和n=k+1时等式的左端，进而得出结论解：当n=k时，等式左端=1+2+⋯+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+⋯+k2+(k2+1)+(k2+2)+⋯+(k+1)2，增加的项为(k2+1)+(k2+2)+⋯+(k+1)2，故选D．3.答案：C解析：本题主要考查隔板法的运用，等价转化是解题的关键．10个名额排成一排，每班至少要1名，就有9个空然后插入2个板子把他们隔开，从9个里选2个即可答案．解：10个名额排成一排，每班至少要1名，就有9个空然后插入2个板子把他们隔开，从9个里选2个，就是C92=36，故选C．4.答案：A解析：解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加环保知识竞赛，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35−1=34种；故选：A．根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加环保知识竞赛，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．本题考查组合数公式的运用，解本题采用了正难则反的原则进行解题．5.答案：B解析：给出的几项都是10的方幂，幂指数比项数少1.所以该数列的第n项可能是10n−1.6.答案：A解析：解：∵X～N(5,15)，∴E(X)=5×15=1，D(X)=5×15×(1−15)=45．故选：A．根据二项分布的性质计算．本题考查了二项分布的性质，属于基础题．7.答案：D解析：解：(x2+3x−y)5的展开式中通项公式：T r+1=∁5r(−y)5−r(x2+3x)r，令5−r=2，解得r=3．∴(x2+3x)3=x6+3(x2)2⋅3x+3(x2)×(3x)2+(3x)3，∴x5y2的系数=∁53×9=90．故选：D．(x2+3x−y)5的展开式中通项公式：T r+1=∁5r(−y)5−r(x2+3x)r，令5−r=2，解得r=3.展开(x2+3x)3，进而得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：设P在双曲线线的左支上，且|PF1|=|F1F2|=2c，∠PF1F2=120°，可得|PF2|=√4c2+4c2−2⋅2c⋅2c⋅(−12)=2√3c，由双曲线的定义可得2a=2√3c−2c，即有e=ca =√3−1=1+√32．故选：D．设P在双曲线的左支上，|PF1|=|F1F2|=2c，∠PF1F2=120°，运用余弦定理可得|PF2|，再由双曲线的定义和离心率公式计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用余弦定理和双曲线的定义是解题的关键．9.答案：A解析：解：由条件概率的计算公式，可得P(B|A)=P(AB)P(A)=12．故选：A.由条件概率的计算公式P(B|A)=P(AB)P(A)=12，根据题意，代入数据计算可得答案．本题考查条件概率的计算公式，是基础题；需要牢记条件概率的公式．10.答案：A解析：本题主要考查概率的应用，属于基础题．解：有题意得，∴根据古典概率的特点，甲乙两人各从中随意挑选一种，则甲乙两人所挑到的交通工具不同的概率是12，故选A．11.答案：B解析：本题考查了排列组合的综合应用，分取得的两球同色和两球不同色两种情况讨论即可得出结果．解：当取得的两球同色时，有C31A22=6种情况；当取得的两球不同色时，先取不同色，有C32C21C21种情况;然后，以取得红黄为例，若红球放入黄袋，黄球就有红、蓝两袋选择；若红球放入蓝带袋，黄球就只能选择红袋，所以共有3种可能，所以当取得的两球不同色时，有C32C21C21×3=36种情况，故不同的放法共有6+36=42种，故选B．12.答案：C解析：本题考查导数和极值，考查了数形结合和转化的思想，设g(x)=e x(3x−4)，y=ax−2a，将条件转化为存在唯一的整数x0使得点(x0,g(x0))在直线y=ax−2a的下方，对g(x)求导，求出g(x)的最小值，进一步验证即可．解：设g(x)=e x(3x−4)，y=ax−2a，由题意知，存在唯一的整数x0使得点(x0,g(x0))在直线y= ax−2a的下方，∵g′(x)=e x(3x−4)+3e x=e x(3x−1)，∴当x<1时，g′(x)<0；3时，g′(x)>0．当x>13∴当x=1时，g(x)取最小值−3e13．3当x=0时，g(0)=−4；当x=1时，g(1)=−e<0；当x =2时，g(2)=2e 2>0．直线y =ax −2a 恒过定点(2,0)且斜率为a ，故−a >g(1)=−e 且g(0)=−4≥−2a ，解得2≤a <e ． 答案：C13.答案：√55解析：本题考查复数模的计算，属于基础题． 利用|1z |=1|z|求解即可． 解：∵复数z =1−2i ， ∴|1z |=1|z|=√12+(−2)2=√55， 故答案为√55．14.答案：√1910解析：解：取四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1为直棱柱， 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 建立空间直角坐标系， ∵AB =BC =1，AA 1=3，∴A(1,0，0)，D 1(0,0，3)，D(0,0，0)，C 1(0,1，3)， AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，3)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，3)， 设直线AD 1，DC 1所成角为θ， cosθ=|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|9|√10⋅√10=910，∴sinθ=√1−(910)2=√1910． ∴直线AD 1，DC 1所成角的正弦值为√1910．故答案为：√1910．取四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1为直棱柱，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD 1，DC 1所成角的正弦值．本题考查两直线所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15.答案：1解析：解：令二项式中的x为1得到各项系数之和t=4n又各项二项式系数之和ℎ=2n∵t+ℎ=272，∴4n+2n=272，解得n=4，所以(3x13+x12)n=(3x13+x12)4，它的展开式的通项为C4K34−K x4−k3+k2，二项展开式中x2项时k=4，二项展开式中x2项的系数为：1；故答案为：1．给二项式中的x赋值1求出展开式的各项系数的和t；利用二项式系数和公式求出h，代入已知的等式，解方程求出n的值，得到表达式，求出二项式中x2项的系数即可．本题考查解决展开式的各项系数和问题常用的方法是赋值法、考查二项式系数的性质：二项式系数和为2n．16.答案：2解析：求出y2=4x的准线l：x=−1，由抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2√3，从而得出A、B的坐标，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a，b，c的关系式得出出a，c的关系，即可求得离心率．本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．解：∵y2=4x的准线l：x=−1，∵抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2√3，∴A(−1,√3)，B(−1,−√3)，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程得b a =√3，∴b 2=3a 2，又 b 2=c 2−a 2∴3a 2=c 2−a 2，即4a 2=c 2，∴e =c a =2．则双曲线的离心率e 为2．故答案为：2．17.答案：解：(Ⅰ)设“该校男生支持方案一”为事件A ，“该校女生支持方案一”为事件B ， 则P(A)=200200+400=13,P(B)=300300+100=34；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，P(A)=13,P(B)=34，设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件C ，则P(C)=C 22(13)2(1−34)+C 21⋅13⋅(1−13)⋅34=1336； (Ⅲ)p 0>p 1．解析：本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率求法，考查计算能力及推理能力，属于基础题．(Ⅰ)根据古典概型的概率公式直接求解即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可；(Ⅲ)直接写出结论即可．18.答案：解：(1)根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A 44种排法，排好后有5个空位；②，在5个空位中任选3个，安排3位女生，有A 53种情况，则有A 44·A 53=1440种排法；(2)根据题意，用间接法分析：在7人中任选3人，有C 73种选法，其中没有女生即全部为男生的选法有C 43种，则至少有1位女生入选的选法有C 73−C 43=31种．解析：本题考查排列、组合的应用，注意常见问题的处理方法，属于基础题．(1)根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，分析排好后的空位，②，在5个空位中任选3个，安排3位女生，由分步计数原理计算可得答案；(2)根据题意，用间接法分析：先计算在7人中任选3人的选法，再计算其中没有女生即全部为男生的选法，分析可得答案．19.答案：解：设P(ξ=1)=a ，P(ξ=2)=b ， 则{15+a +b =1,a +2b =1,解得{a =35,b =15, 所以D(ξ)=15+35×0+15×1=25．解析：本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式列方程组求出P(ξ=1)，P(ξ=2)，结合方差的计算公式即可求解．20.答案：(1)证明：取SD 中点F ，连结AF ，PF ．∵P 、F 分别是棱SC 、SD 的中点，∴FP//CD ，且FP =12CD ，∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，∴AQ//CD ，且AQ =12CD ，即FP//AQ 且FP =AQ ，∴AQPF 为平行四边形，则PQ//AF ，∵PQ ⊄平面SAD ，AF ⊂平面SAD ，∴PQ//平面SAD ．(2)解：设AC 与EQ 交于点O ，连接OS ，∵SE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC⊥SE，在菱形ABCD中，AC⊥BD，又EQ//BD，∴AC⊥EQ，∵SE∩EQ=E，∴AC⊥平面SEQ，∴∠OSA是直线SA与平面SEQ所成的角，又∵∠BAD=60°，SE=AD=2，∴SA=√5，OA=√32,OS=√172，．解析：本题主要考查线面、面面垂直与平行的性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是中档题．(1)取SD中点SD，连结AF，PF，证明四边形AQPF为平行四边形，即可得证PQ//平面SAD；(2)设AC与EQ交于点O，连接OS，易得AC⊥面SEQ，所以∠OSA是直线SA与平面SEQ所成的角，由此能求出直线SA与平面SEQ所成的角的余弦值．21.答案：解：(1)由题c=√6，Rt△F1AF2中，则|AF2|=2√6sin15°=3−√3，|AF1|=2√6sin75°=3+√3，∴|AF1|+|AF2|=2a=6，则a=3，b2=a2−c2=3，∴椭圆方程为：x29+y23=1；(2)设椭圆上动点Q(3cosθ,√3sinθ)到直线MN：y=x的距离为d=√3sinθ|√2=√6sin(θ−π3)，∴d max=√6，∴△MQN的面积的最大值S△MQN=12×|MN|×d=3√3，∴△MQN的面积的最大值3√3．解析：(1)根据几何关系求得|AF1|+|AF2|=2a=6，即可求得a，c=√6，即可求得b的值，即可求得椭圆方程；(2)方法一：设切线方程，代入椭圆方程，利用△=0，即可求得m的值，即可求得d max=√6，即可求得△MQN的面积的最大值；方法二：设Q点坐标，根据点到直线的距离公式及辅助角公式，根据正弦函数的性质，即可求得d max=√6，即可求得△MQN的面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及定义，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题．22.答案：解：(1)f/(x)=1−a(x−1)−1x，因为x=2是f(x)的极值点，所以f′(2)=0，即1−a(2−1)−12=0解得a=12；(2)依题意x−12a(x−1)2−lnx≥1，即a(x−1)2≤2(x−1−lnx)，x>0，①当x=1时，a(x−1)2≤2(x−1−lnx)恒成立，a∈R；②当x>0且x≠1时，由a(x−1)2≤2(x−1−lnx)，得a≤2(x−1−lnx)(x−1)2，设g(x)=x−1−lnx，x>0，g′(x)=1−1x，当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时g′(x)>0，所以∀x>0，g(x)≥g(1)=0，所以，当x>0且x≠1时，2(x−1−lnx)(x−1)2>0，从而a≤0，综上所述，a的取值范围为(−∞,0]．解析：(1)求导数f′(x)，由题意可得f′(2)=0，解出可得a值；(2)f(x)≥1，即a(x−1)2≤2(x−1−lnx)，x>0，按x=1，x>0且x≠1两种情况进行讨论：①当x=1时，由恒成立易求此时a的范围；②当x>0且x≠1时，分离出参数a，构造函数利用导数求函数的最值即可；本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查分类讨论思想，函数恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．。
2021-2022学年河北省沧州市沧县中学高二下学期4月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省沧州市沧县中学高二下学期4月月考数学试题一、单选题1．某质点沿曲线运动的方程为()23f x x =-+（x 表示时间，()f x 表示位移），则该质点从x ＝2到x ＝3的平均速度为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－6 D ．6【答案】A【分析】直接求平均速度.【详解】由题得该质点从x ＝2到x ＝3的平均速度为()()32532f f -=--．故选：A ．2．向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度h 是关于时间t 的函数()h t ，则函数()h t 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据几何体的形状，判断水面高度h 随时间t 升高的快慢，判断可得出合适的选项.【详解】几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢， 即图象越来越平缓， 故选：B.3．给出以下新定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）A ．()e xf x =B ．()2f x x =C ．()3f x x = D ．()ln f x x =【答案】D【分析】求出每一个函数的二阶导数，判断是否()0f x ''<在定义域上恒成立,从而得到答案.【详解】对于A 选项，()()e e ,x x f f x x '==，则()e 0xf x ''=>，不是凸函数；对于B 选项，()2,()2f x x f x '==，则()0f x ''=，不是凸函数；对于C 选项，()32,()3f x x f x x '==，则()'60f x x =<'在R 上不恒成立，不是凸函数；对于D 选项，()1,(ln )f f xx x x '==，则()210f x x ''=-<，在定义域上恒成立，是凸函数. 故选：D.4．设函数()y f x =在R 上可导，则()()0lim x f f x x∆→-∆=∆（ ）A ．()0f 'B ．()0f '-C ．()f x 'D ．以上都不对【答案】B【分析】利用导数的定义可得结果. 【详解】由导数的定义可知()()()()()0000lim lim 0x x f f x f x f f x x∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆. 故选：B.5．已知函数()cos f x x x =，则2f π'⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．2π-【答案】D【分析】求导之后，代导函数表达式即可求解 【详解】()cos f x x x =()()cos sin f x x x x '⇒=+-所以cos sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫'=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D6．若函数()e xf x kx =-在区间()1,+∞单调递减，则k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)e,+∞D ．(],e -∞【答案】D【分析】由题意()e 0xf x k '=-≤在区间()1,+∞上恒成立，即()mine xk ≤，从而可得答案.【详解】∵函数()e xf x kx =-在区间()1,+∞单调递减， ∴()e 0xf x k '=-≤在区间()1,+∞上恒成立，即()minexk ≤，()1,x ∈+∞，∴e k ≤，∴k 的取值范围是(],e -∞， 故选：D ．7．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∵()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0， 则()()20g x g x -+=， ∵11921831791121010101010101010+=+=+==+= ∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A.8．已知定义在()(),00,∞-+∞上的偶函数()f x ，在0x >时满足：()()0xf x f x '+>，且()10f =，则()0f x >的解集为（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A【分析】令()()F x xf x =，根据奇偶性的定义，可得()F x 的奇偶性，利用导数可得()F x 的单调性，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，分析即可得答案.【详解】令()()F x xf x =，所以()()()()()F x x f x xf x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数，在0x >时，()()()0F x xf x f x ''+=>，则在0x >时，()F x 单调递增， 由()10f =，可得(1)1(1)0F f =⨯=，(1)(1)0F F -=-=，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，解得1x >或1x <-，所以解集为：()(),11,-∞-⋃+∞． 故选：A ． 二、多选题9．下列函数是复合函数的是（ ） A ．211y x x=+- B ．()sin 21y x =+C ．ln y x x =D ．()423y x =-【答案】BD【分析】根据复合函数的定义判断是否为各选项是否为复合函数.【详解】A ：211y x x=+-为基本函数相加，不为复合函数，不符合； B ：()sin 21y x =+可看成sin y t =与21t x =+两个函数复合而成，符合； C ：ln y x x =为两个基本函数相乘不为复合函数，不符合； D ：()423y x =-可看成4y t =与23t x =-两个函数复合而成，符合. 故选：BD10．函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行【答案】ACD【分析】根据导函数()f x '的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断ABC ，利用导数的几何意义可判断D.【详解】由导函数()f x '的图象可知，当x a <时()0f x '≥，当x a >时()0f x '<，当0x =或x a =时()0f x '=，则()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值，且只有一个极值点，故AC 正确，B 错误； 因为()00f '=，所以曲线()y f x =在0x =处切线的斜率等于零，即()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行，故D 正确. 故选：ACD.11．已知函数()()2e 2xf x x x =- ，则()f x 在定义域上（ ）A ．有极小值2e 222-B ．有极大值2e 222-+C ．有最大值D ．无最小值【答案】ABD【分析】求导，根据导数符号计算判断即可.【详解】函数()()2e 2xf x x x =- ，可得()()'2e 2x f x x =- ，令220x -=可得2x =± 当(,2x ∈-∞-时，()'0f x > ，函数是增函数，当(2,2x ∈-时，()'0f x < ，函数是减函数，当)2,x ∈+∞时，()'0f x > ，函数是增函数，在2x =-处取极大值=2e222-+ ，在x 处取极小值=(2- ，无最大值和最小值， 故选：ABD ．12．已知0x x =是函数()ln 1x xf x x=+的极小值点，则以下判断正确的是（ ） A ．()000x f x +< B ．()000x f x +> C ．()000x f x += D ．()012f x <【答案】CD【分析】求导数()f x '，由极小值点得()0000ln 1f x x x '=⇒=--，即可代入()00x f x +判断符号；再化简得()00f x x =，用二分法分析0x 的范围即可判断D 【详解】()ln 1x xf x x=+，则()()21ln 1x x f x x ++'=+，()01ln 0f x x x '=⇒++=存在唯一的零点0x x =，即满足00001ln 0ln 1x x x x ++=⇒=--， ∴()()00000000001ln 011x x x x x f x x x x x --+=+=+=++，A 、B 错，C 正确； ()()0000000001ln 11x x x x f x x x x x --===-=++，数形结合0x x =是()0f x '=即ln 1x x =--两个初等函数的交点横坐标，易观察()00,1x ∈，用二分法检验()110f '=>，102f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，∴010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0012f x x =<，D 正确； 故选：CD ．三、填空题13．函数()33f x x x =-+的极大值等于______．【答案】2【分析】先求导函数，在根据导函数，求极值点即可.【详解】由题意知()233'=-+f x x ，令()0f x '=，得1x =±，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，当()1,1x ∈-时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， 所以当x ＝－1时，函数取极小值()12f -=-；当x ＝1时，函数取极大值()12f =． 故答案为：2.14．已知函数()()321f x f x x x '=-+-，则()1f '-的值为______．【答案】32【分析】对函数()f x 求导，将1x =-带入，即可求解.【详解】∵()()321f x f x x x '=-+-，∴()()23121f x f x x ''=-+-，∴(1)3(1)3f f ''-=--∴()312f '-=． 故答案为：32.15．已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高与底面半径之比为______． 【答案】2【分析】利用表面积表示出圆柱的高，然后可将容积V 表示成底面半径的函数，求导可知容积最大时的条件，然后可得高与底面半径之比值.【详解】设圆柱的底面半径为r ，则22S r π=圆柱底，2S rh π=圆柱侧，∴圆柱的表面积222S r rh ππ=+．∴222S r h rππ-=，又圆柱的容积()3222222r rS r V r h S r πππ-==-=，()262S r V r π-'=，令()0V r '=得26S r π=，即r =当0r <<()0V r '>，当r >()0V r '<，所以当r =V 有最大值. 此时26S r π=，代入222S r h rππ-=可得2h r =，即2h r =故答案为：216．已知函数()24ln f x x x a x =-+有一个极值点，则实数a 的取值范围为______．【答案】(],0-∞【分析】分析可知直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点），数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意知()22424a x x a f x x x x-+'=-+=，函数()24ln f x x x a x =-+有一个极值点，由()0f x '=可得242a x x =-，则直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点）， 如下图所示：由图可知，当0a ≤时，直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点），故答案为：(],0-∞. 四、解答题17．求下列函数的导数． (1)2y x=，{}0x x ≠； (2)tan y x x =，,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．【答案】(1)22y x '=- (2)2sin cos cos x x xy x+'=【分析】（1）根据求导公式，计算即可得答案.（2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案. 【详解】(1)()12221222y x x x x -'⎛⎫⎛⎫''===-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)()()()2sin cos sin cos sin tan cos cos x x x x x x x x y x x x x '''-⎛⎫''=⋅==⎪⎝⎭()222sin cos cos sin sin cos cos cos x x x x x x x x x xx+++==． 18．已知函数()341f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导数．(1)求()4f x x '<-的解集； (2)求曲线()y f x =的单调区间．【答案】(1)223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)单调递增区间是,⎛-∞ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是⎛ ⎝⎭ 【分析】（1）求导数()f x '，直接解不等式即可；（2）由函数单调性与导数符号的关系，讨论()f x '的符号即可【详解】(1)由()341f x x x =-+得，()234f x x '=-，∴()4f x x '<-，即23440x x +-<，解得223x -<<， ∴()4f x x '<-的解集是223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)()234f x x '=-，()2340f x x x '=-=⇒= ∴当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间是,⎛-∞ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是⎛ ⎝⎭． 19．已知函数()3221f x x ax =-++，2x =是()f x 的一个极值点．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 在区间[]3,4-上的最大值和最小值． 【答案】(1)32a =(2)最大值是55，最小值是-15.【分析】（1）由函数()f x 在2x =处有极值，得()20f '=，进而求解实数a 的值； （2）利用导函数()'f x 求解函数()f x 的单调区间，进而求解最值. 【详解】(1)∵()f x 在2x =处有极值，∴()20f '=，∵()234f x x ax '=-+，∴1280a -+=，∴32a =，经检验，当32a =时，2x =是()f x 的极值点， ∴32a =． (2)由（1）知32a =，∴()3231f x x x =-++，()236f x x x '=-+， 令()0f x '=，得10x =，22x =，当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：从上表可知:()f x 在区间[]3,4-上的最大值是55，最小值是-15．20．已知函数()ln f x x =．(1)证明：不等式()1x f x -≥恒成立； (2)函数()()1x g x f x -=，证明：当()1,x ∈+∞时，()1g x x <<恒成立． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）构造函数()()1ln 1h x f x x x x =-+=-+，利用导数求函数最值即得； （2）利用（1）的结论可得()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，进而即得. 【详解】(1)令()()1ln 1h x f x x x x =-+=-+， 得()h x 的定义域为()0,∞+，()11h x x'=-． 令()0h x '=，得x ＝1．当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减． 又()10h =，所以()()10h x h ≤=，即恒有()1x f x -≥成立．(2)由（1）知，故当()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，且ln 0x >， ∴11ln x x-<， 用1x 替换x ，得11ln 1x x<-， 化简即1ln x x x-<， 综上，()1g x x <<．21．已知函数()ln 2f x x x =-，R a ∈．(1)求()f x 在x ＝1处的切线方程；(2)设()()2g x f x ax ax =-+，试讨论函数()g x 的单调性．【答案】(1)1y x =--；(2)答案见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而写出切线方程；（2）由题设可得()()()()1210ax x g x x x +-'=->，讨论0a ≥、2a <-、2a =-、20a -<<对应()g x '的区间符号，即可判断单调性.【详解】(1)因为()ln 2f x x x =-，则12f ， 所以()12f x x'=-，在x ＝1处()1121f '=-=-． 在x ＝1处切线方程：()21y x +=--，即1y x =--．(2)因为()()()22ln 2g x f x ax ax x ax a x =-+=-+-，所以()()()()1210ax x g x x x +-'=->，①若0a ≥，则当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，0g x ，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0g x ，()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． ②若0a <，()()()1210a x x a g x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=->， 当2a <-时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上0g x ，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上0g x ， 所以()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当2a =-时，0g x 恒成立，所以()g x 在()0,+∞上单调递增；当20a -<<时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上0g x ，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上0g x ，所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 综上，0a ≥，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 20a -<<，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 2a =-，()g x 在()0,+∞上单调递增；2a <-，()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. 22．已知函数()()12ln f x x ax a R x =+-∈． (1)若()f x 在x ＝1处的切线方程为4x －y －4＝0，求a 的值；(2)对于任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x >，都有()()122133f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1a =(2)[)3,∞-+【分析】（1）求出()f x '，再根据()14f '=计算可得答案；（2）将条件变形可得()3y f x x =+在(0,+∞)上是增函数，记()()3g x f x x =+，求出()g x '，有()0g x '≥恒成立，转化为最值求解即可.【详解】(1)由已知0x >，且()2222121ax x f x a x x x ++'=++=， 由()14f '=，可得34a +=，∴1a =，经检验，符合题意(2)由已知可得，当120x x >>时，有()()112233f x x f x x +>+恒成立，即()3y f x x =+在()0,∞+上是增函数．记()()()132ln 3g x f x x x a x x=+=++-，则()2213g x a x x '=+++， ∴22130a x x +++≥在()0,∞+上恒成立，即2213a x x--≤+在()0,∞+上恒成立． ∵0x >时，有22211110x x x ⎛⎫+=+-> ⎪⎝⎭， 由2213a x x --≤+在()0,∞+上恒成立，得3a -≤，即3a ≥-， 即实数a 的取值范围为[)3,∞-+．。
河北省石家庄二十四中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
河北省石家庄二十四中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．从集合{}1,2,3,4,5中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（ ） A ．10B ．15C ．20D ．252．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从,,,A B C D 四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A 景点，所以甲不选A 景点，则不同的选法有（ ） A ．60B ．48C ．54D ．643．6x ⎛⎝的展开式中含2x 的项的系数为（ ）．A ．20B ．20-C ．15-D ．154．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且满足()0E ξ=，则2a b -=（ ）A ．29B ．12C ．39D ．05．如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）A ．480B ．600C ．720D ．8406．设随机变量X 服从两点分布，若()()100.4P X P X =-==，则()E X =（ ） A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.77．设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.40.6､，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.70.9､，则甲正点到达目的地的概率为（ ） A ．0.78B ．0.8C ．0.82D ．0.848．有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种． A ．36B ．72C ．108D ．1449．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用X 表示取出球的最大编号，则()E X =（ ） A ．2B ．3C ．103D ．11310．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）A ．521B ．940C ．745D ．720二、多选题11．A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 不相邻，有72种排法 B ．若A ，B 不相邻，有48种排法C ．若A ，B 相邻，有48种排法D ．若A ，B 相邻，有24种排法12．对任意实数x ，有()()()()()823801238231111x a a x a x a x a x -=+-+-+-++-L ，下列结论成立的是（ ）A ．01a =-B ．01a =C ．01281a a a a +++⋯+=D ．8012833a a a a a ++--+=L13．已知事件A ，B ，且()13P A =，()15P B A =，()35P B A =，则（ ） A ．()115P AB =B ．()25P B A = C ．()25P B A =D ．()415P AB =14．将杨辉三角中的每一个数C r n 都换成()11C r n n +，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果()*2N n n ≥∈，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ）A ．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值B ．第8行第2个数是172C ．()()111C 1C r n r n n n n -=++（N r ∈，0r n ≤≤）D ．()()111111C 1C C r r r n n n n n n --+=++（N r ∈，1r n ≤≤）三、填空题15．4275C A -=． 16．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有种． 17．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球2个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为.18．组合数0243434343434C C C C +⋅⋅⋅+++被9除的余数是．四、解答题19．若()522100121012x x a a x a x a x --=++++L ．(1)求01238910a a a a a a a +++++++L 的值； (2)求02410a a a a +++L 的值；20．某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛．(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？(2)设选派的3人中男运动员人数为X，求X的分布列．21．有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有大小、形状完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球．假设试验选到甲袋或乙袋的概率都是12．(1)求从袋子中摸出红球的概率；(2)求在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率．22．已知2n x⎛⎝的展开式二项式系数和为64.(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中二项式系数最大的项.23．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：方案一：只选择A选项：方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；。
2021-2022学年河南省灵宝市高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年河南省灵宝市高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X ,则表示“放入袋中5回小球”的事件为( )A ．X=4B ．X=5C ．X=6D ．X ≤4【答案】C【分析】“放入袋中回小球”也即是第次抽取到了红球，由此求得的值.56X 【详解】根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所有“放入袋中回小5球”也即是前次都是抽到黑球，第六次抽到了红球，故，所以选C.56X =【点睛】本小题主要考查对离散型随机变量的理解，考查抽样方法的理解，属于基础题.2．若，则整数（ ）33235n n C A =n =A ．B ．C ．D ．891011【答案】A【分析】由排列数和组合数公式计算即可得到结果.【详解】，，33235nnC A = ()()()()221223512321n n n n n n --∴⨯=⨯--⨯⨯整理可得：，解得：或或，()()3298180n n n n n n -+=--=0n =1n =8n =，.3n ≥ 8n ∴=故选：A.3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有．A ．280种B ．240种C ．180种D ．96种【答案】B【详解】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有种，46360A =3560A =乙从事翻译工作的有种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，3560A =则选派方案共有360-60-60=240种．故选：B.4．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）A ．20B ．55C ．30D ．25【答案】D【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．【详解】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，3735C =若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，3510C =则有种不同的选取方案，351025-=故选：D ．5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有A ．16种B ．18种C ．37种D ．48种【答案】C【分析】根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，44464⨯⨯=其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；33327⨯⨯=则符合条件的有种，642737-=故选C ．【点睛】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时34448⨯⨯=特别要注意．6．已知的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（ ）()62211x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A【分析】令，可求出，再写出的通项，再考虑展开式中的每一项与中的1x =2a =6211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x a +哪项之积为常数即可.【详解】令，则，所以．1x =()612192a +⨯=2a =在中，的展开式的通项，()622121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭216621rr r rr T C C x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以的展开式中的常数项为．()622121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2120106666228x C x C C C -+⨯=+=故选：A【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．7．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．15253545【答案】D【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：．213042423366C C C C 4(2)(2)(3)C C 5P X P X P X ≥==+==+=故选：D ．8．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】直接利用枚举法写出所有的等比数列即可得到答案.【详解】（2）以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8个.故选：D.【点睛】本题考查了等比关系的确定，考查了学生观察问题的能力，是中档题.9．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5641564532516【答案】C【分析】先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比2获胜，即前5局甲胜3局，最后一局甲胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．【详解】解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．12记“甲以4比2获胜”为事件，A 则．()335351115(()22232P A C -=⨯=故选：．C 【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.10．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ）A ．恰有1名女生与恰有2名女生B ．至多有1名女生与全是男生C ．至多有1名男生与全是男生D ．至少有1名女生与至多有1名男生【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项．【详解】“从中任选2名同学参加演讲比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女．恰有1名女生与恰有2名女生是互斥且不对立的两个事件，故A 正确；至多有1名女生与全是男生不是互斥事件，故B 错误；至多有1名男生与全是男生既互斥又对立，故C 错误；至少有1名女生与至多有1名男生不是互斥事件，故D 错误．故选：A ．11．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X ，若X 的数学期望(0,1)p ∈，则P 的取值范围是（ ）() 1.75E X >A ．B ．C ．D ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解，可解出值.() 1.75E X >p 【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即，发球次数为2即二次发球成(1)p X p ==功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望(2)(1)P X p p ==-2(3)(1)P X p ==-，依题意有，22()2(1)3(1)33E X p p p p p p =+-+-=-+() 1.75E X >即，解得或，结合p 的实际意义，可得.233 1.75p p -+>52p >2p 1<102p <<故选：C ．12．下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；a a ②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位；35y x =-x y ③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；r ④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为0.4，则ξ()()21,0N σσ>ξ()0,1位于区域内的概率为0.6；ξ()1,+∞⑤利用统计量来判断“两个事件的关系”时，算出的值越大，判断“与有关”的把握就2χ,X Y 2χX Y 越大其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用统计的相关知识逐一分析判断即可.【详解】逐一判断所给的说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍，原说法错误；a a②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，原说法正确；35y x =-x y ③线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，原说法错r 误；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为0.4，而ξ()()21,0N σσ>ξ()0,1位于区域内的概率为0.5，原说法错误；ξ()1,+∞⑤利用统计量来判断“两个事件的关系”时，算出的值越大，判断“与有关”的把握就2χ,X Y 2χX Y 越大，原说法正确.故选：B.二、填空题13．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活X 动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50n 小时的人数大约为________．【答案】0.35n【分析】利用正态分布的对称性求解即可【详解】解：由题意，，则，40μ=()240,X N σ 由，可得，()30500.3P X ≤≤=()10.3500.352P X ->==故累计时长超过50小时的人数大约有人．0.35n 故答案为：．0.35n 14．的展开式中，含项的系数为______．（用数字作答）()()532x y x y -+24x y 【答案】110-【分析】的展开式的通项公式为,采取赋值法令和令，进()52x y +()5152rr rr T C x y -+=51r -=52r -=一步求出答案.【详解】的展开式的通项公式为，令得，令得，()52x y +()5152rr rr T C x y -+=51r -=4r =52r -=3r =∴的展开式中，的系数为,故答案为.()()522x y x y -+24x y 42255232110C C ⋅-⋅=-110-故答案为：.110-【点睛】本题考查二项展开式的通项公式，赋值法是解决二项展开式的系数和问题的工具，属于基础题型.15．若的方差为2．则的方差为____________．128,,,k k k ()()()12823,23,,23k k k --- 【答案】8【分析】根据给定条件，利用方差的定义直接计算作答．【详解】设的平均数为，则，128,,,k k k k ()()()222128128k k k k k k ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦ 而的平均数为，()()()12823,23,,23k k k --- 2(3)k -则其方差为．()()()222212814444288s k k k k k k ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎢⎥⎣⎦ 故答案为：8．16．某地区数学考试的成绩服从正态分布，正态分布密度函数为X 2~(,)X N μσ()22()2x x f x σ--=，其密度曲线如图所示，则成绩位于区间的概率是__________．（结果保留3(,)x ∈-∞+∞X (86,94]为有效数字）本题用到参考数据如下：，()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=.(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤【答案】0.0215【分析】利用图象求出，利用参考数据计算，再利用对称性即μσ，(5486)P X <<，(4694)P X <<可得出答案.【详解】由图像可知，所以，8,70σμ==(70167016)0.9544P X -<<+=即；又，(5486)0.9544P X <<=(70247024)0.9974P X -<<+=即，(4694)0.9974P X <<=故结合图形可知，1(8694)(0.99740.9544)0.02152P X <<=-=故答案为：．0.0215三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（为参数），在以原点为极点，3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩αx 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为.sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点，l 和C 交于A ，B 两点，求.(0,2)P ||||PA PB +【答案】(1) .. (2)2219x y +=4π||||PA PB +=【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点在直线l 上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.(0,2)P 【详解】（1）消去参数α得，3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩2219x y +=即C 的普通方程为.2219x y +=由，得，（*）sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=将，代入（*），化简得，cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩+2y x =所以直线l 的倾斜角为.4π（2）由（1），知点在直线l 上，可设直线l 的参数方程为（t 为参数），(0,2)P cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即（t 为参数），2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入并化简，得，2219x y +=25270t ++=，245271080∆=-⨯⨯=>设A ，B 两点对应的参数分别为，，1t 2t 则，，120t t +=<122705t t =>所以，，所以10t<20t<()1212 ||||PA PBt t t t+=+=-+=【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算. 18．在二项式的展开式中，n（1）若所有二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项．64（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．【答案】（1）;（2） .52-1256【详解】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为，，根据中间项的64264n=6n∴=二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令计算的大小，即可得答案.1x=n试题解析：（1）由已知得，，0164nn n nC C C+++=264n=6n∴=展开式中二项式系数最大的项是6331130334611520282T C x x x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）展开式的通项为，23112r n rrr nT C x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0,1,,r n=由已知：成等差数列，∴n=8,02012111,,222n n nC C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12112124nnC C⨯=+在中令x=1，得各项系数和为n125619．设.求：8878710(31)x a x a x a x a-=++++(1) ；871a a a+++(2) .86420a a a a a++++【答案】（1）255；（2）32896【详解】试题分析：（1）令，求得，再令，即可求解的值；x=01a=1x=871a a a+++（2）由（1），再令，即可求解的值.=1x-86420a a a a a++++试题解析：令，得.x=01a=(1)令得，①1x =()8871031a a a a -=++++ ∴.88721022561255a a a a a ++++=-=-= (2)令得.②1x =-()88761031a a a a a --=-+--+①＋②得，()8886420242a a a a a +=++++∴.()8886420124328962a a a a a ++++=+=20．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望．（注：方差，其中为，，…… 的平均数）()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦x 1x 2x n x 【答案】（Ⅰ）平均数为 方差为3541116（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=同理可得所以随机变量Y 的分布列为：Y 1718192021P17(17)18(18)19(19)20(20)EY P Y P Y P Y P Y =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=21(21)P Y +⨯===1911111171819202184448⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【分析】（Ⅰ）当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10. 所以平均数为＝；x 8+8+9+1035=44方差s 2＝＋ ＋＋ ＝.2135(8)44-235(84-235(9)4-235(10)4-1116（Ⅱ）当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果．因此P (Y ＝17)＝＝.21618同理可得P (Y ＝18)＝，P (Y ＝19)＝，1414P (Y ＝20)＝，P (Y ＝21)＝ .1418所以随机变量Y 的分布列为Y1718192021P1814141418E (Y )＝17×P (Y ＝17)＋18×P (Y ＝18)＋19×P (Y ＝19)＋20×P (Y ＝20)＋21×P (Y ＝21)＝17×＋18× ＋19×＋20× ＋21×＝19.181414141821．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555（1）判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？99.9%（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为，求的分布X X 列、数学期望.（参考公式：，其中）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++2()P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关；（2）见解析99.9%【分析】（1）计算K 2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和．()E X 【详解】（1）由公式，所以有的把握认为喜欢“人()22552020105K 11.97810.82830252530⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯99.9%文景观”景点与年龄有关.（2）随机变量可能取得值为0，1，2，3.X ∴，()37310C 7P X 0C 24===，()2173310C C 21P X 1C 40⋅===，()1273310C C 7P X 2C 40⋅===，()33310C 1P X 3C 120===∴的分布列为XX 0123P72421407401120则.()72171E X 01230.9244040120=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．22．某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图：（1）由图可以看出，这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；y x （2）求关于的线性回归方程，并预测当温度为时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确y x 30C ︒到0.01）参考数据：，.6152.5i i y ==∑()()6185i ii x x y y =--=∑ 5.5= 2.65≈参考公式：相关系数.r =回归直线方程，，.y a bx =+()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑a y bx =-【答案】（1）详见解析（2）线性回归方程为；预测当温度为时，这种酶的活3.020.34y x =+30C ︒性指标值为13.22【解析】（1）根据题中所给数据，利用公式求得，非常接近1，从而得到酶的活性与0.97r ≈ry 温度具有较强的线性关系；x （2）根据公式求得关于的线性回归方程为，将代入回归方程，即可求得y x 3.020.34y x =+30x =结果.【详解】解：（1）由题可知，，1(81114202326)176x =+++++=，()622222221(817)(1117)(1417)(2017)(2317)(2617)252ii x x =-=-+-+-+-+-+-=∑则，0.97r ===≈因为非常接近1，所以酶的活性与温度具有较强的线性相关性.||r y x （2）由题可知，，61152.58.7566i i y y ====∑，()()()61621850.34252iii i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑，858.7517 3.02252a y bx =-=-⨯=所以关于的线性回归方程为，y x 3.020.34y x =+当时，.30x =ˆ 3.020.343013.22y=+⨯=故预测当温度为时，这种酶的活性指标值为13.22.30C ︒【点睛】本题考查线性回归分析，线性相关关系的判断以及求线性回归方程，正确利用公式是解题的关键，考查计算能力.。
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则复平面内与对应的点位于（ ）z ()1i 3i z -=+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法法则可得，即可得到答案.12z i =+【详解】因为，所以，()1i 3i z -=+()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+所以复平面内与对应的点位于第一象限，z 故选：A2．一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在上的频率为[)20,600.8，则估计样本在，内的数据个数共为[)40,50[)50,60A ．15B ．16C ．17D ．19【答案】A【解析】由题可先求样本在,内的频率,再根据总样本容量为30求解即可.[)40,50[)50,60【详解】由题易得在,内的频率为.故样本在,内的数据[)40,50[)50,60450.80.530+-=[)40,50[)50,60个数共为.300.515⨯=故选：A【点睛】本题主要考查了频率与频数的问题.属于基础题型.3．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表展示了近年来中国光伏市场的发展情况，则下列结论中不正确的是（ ）A ．2013～2020年，年光伏发电量与年份成正相关B ．2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减C ．2013～2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值小于集中式的平均值D ．2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关【答案】B【分析】观察图中数据，逐一判断选项，可得结果.【详解】对于A ，由图知，2013～2020年，随着年份的增加，光伏发电量增加，年光伏发电量与年份成正相关，故A 正确；对于B ，由图知，2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅不是逐年递减，前几年先递增，再递减，故B 不正确；对于C ，由图知，每一年的新增装机规模中，集中式的值都比分布式的值大，所以分布式的平均值小于集中式的平均值，故C 正确；对于D ，由图知，2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，所以每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D 正确.故选：B4．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）22:154x y C +=A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点22:154x y C +=2x y ==在圆上，所以，3R =故选：A5．据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线()1.2,0.5()4.8,7.5的斜率为1.1，则（ ）l A ．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D ．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.7【答案】C【分析】根据直线的斜率大小判断A ；求出判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判l y 断D 作答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值l y 增加速度变慢，A 错误；对于B ，由及得：，因为去除的两个样本点和，1.20.4y x =+3x =4y =()1.2,0.5()4.8,7.5并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为，1.2 4.80.57.53,422++==(3,4)因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B 错误；(3,4)对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B 知，，解l ˆ1.1y x a =+ˆ4 1.13a =⨯+得，ˆ0.7a=所以重新求得的回归方程为，C 正确；1.10.7y x =+对于D ，由选项C 知，，当时，，则，1.10.7y x =+2x = 1.120.72.9y =⨯+= 2.7 2.90.2-=-因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D 错误.()2,2.70.2-故选：C6．在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比丙高，乙：我的成绩比丙高，丙：乙的成绩比我和甲的都高，成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）．A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【答案】D【分析】由丙的成绩最低、最高进行推理可得，【详解】如果丙的成绩最低，则甲乙预测都正确，不合题意，若丙成绩最高，三人预测都错误，也不合题意，因此丙成绩是第二，只有D 可选，事实上，这时丙预测是错误的，甲正确，则乙错误．故选：D ．7．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种【答案】C【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，12C 另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，22A 222A 33A 不同的排队方法有：种.12232223C (A 2A )A 72⋅+⋅=故选：C.8．名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方36312法共有 A ．种B ．种C ．种D ．种90180270540【答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分步计数原336A =422364233390C C C A A =理可得：，422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=应选答案：D ．【点睛】本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．33A 9．如图，过抛物线的焦点为F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线l 于点C ，()220y px p =>若，且，则（）23AF CF =10AF =AB =A ．B ．C ．18D ．259561007【答案】B【分析】作出辅助线，求出，由三角形相似得到，进而求出，得到抛物15CF =MF CFAD AC=6p =线方程，设，，直线，联立抛物线方程，得到两根之积，由焦半()11,A x y ()22,B x y ():3AB y k x =-径得到，进而求出，从而由焦点弦长公式求出答案.17x =297x =【详解】设准线l 与x 轴交于点M ，过A 作，垂足为D ，由抛物线定义知，AD l ⊥，由得，，10AD AF ==23AF CF =15CF =因为，所以，即，得，//MF AD MF CFAD AC=15101015p =+6p =所以抛物线方程为.212y x =设，，则，所以.()11,A x y ()22,B x y 113102pAF x x =+=+=17x =设直线，联立，得到，():3AB y k x =-212y x =()222261290k x k x k -++=则，21294p x x ==∴，297x =∴.1291007677AB x x p =++==++故选：B.10．若展开式中的常数项是60，则实数的值为（ ）6(1)2x x ⎛+- ⎝a A ．±3B ．±2C ．3D ．2【答案】B【解析】由的通项公式化简，结合分析得到常数项的公62x ⎛- ⎝616(1)2rrr r r x T C -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1x +式，即可求参数值【详解】由的通项公式为，结62x ⎛- ⎝63662166(1)(1)22rrrr r r r r r r x T C C a x ---+⎛⎫=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭合知：()1x +当为常数项时，有，即(舍去)1r x T +⋅3612r -=-143r =当为常数项时，有，即11r T +⋅3602r -=4r =又∵展开式的常数项为606(1)2x x ⎛+⋅- ⎝∴，解得()4464461C 260a -+-⨯⨯⨯=2a =±故选：B【点睛】本题考查了二项式定理，已知常数项的值，保证通项公式中x 的指数为0且所求的指数r 为自然数，即可求得参数值11．已知点 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左支上的任意12F F 、22221(0,0)x y a b a b -=>>P 一点，若 的最小值为 ，则双曲线的离心率为 221||||PF PF 9a A ．2B ．5C ．3D ．2或5【答案】B【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用的最小值为9a ，确定m ＝a 或221||PF PF 4a ，此时c ＝2a 或5a ，即可求出双曲线的离心率．【详解】设，根据双曲线定义：，()1PF m m c a =≥-22PF a m=+所以，()222212||44a m PF a m a PF m m +==++因为的最小值为 ，221||PF PF 9a 所以（提示：根据“对勾函数”的特征） （不合题意舍去）或 ，m a =4m a =此时，所以双曲线的离心率为5．5a 故选B【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,cce a =的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．已知实数，，，且 ）0a >0b >1a ≠ln b =A ．B ．C ．D ．log 1a b >a b<log 1a b <a b>【答案】A【分析】设函数，利用导数得出其单调区间，取()12ln f x x xx =--x =误，得出答案.【详解】令函数，则.()12ln f x x x x =--()222122110x x f x x x x -+'=+-=≥所以单调递增，由，可得在上恒成立，在上恒成立.()f x ()10f =()0f x <()0,1()0f x >()1,+∞取x =ln ln ln fa b a ===-当时，，即，；01<<0f<ln ln 0b a -<b a <时，，即，.故B ，D 不一定成立.1>0f>ln ln 0b a ->b a>又当时，，所以，由换底公式得；01<<ln ln 0b a <<ln 1ln ba >log 1ab >时，.所以，得. 所以选项A 正确1>ln ln 0b a >>ln 1ln ba >log 1ab >故选: A二、填空题13．某中学高一年级有学生700人，高二年级有学生600人，高三年级有学生500人，现在要用按比例分层随机抽样的方法从三个年级中抽取一部分人参加6×6方队表演，则高一年级被抽取的人数为______．【答案】14【分析】根据分层抽样的定义即可求解.【详解】高一年级被抽取的人数为．7003614700600500⨯=++故答案为：14.14．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表所示，若以上两组数据的方差中较小的一个为，则______.2s 2s =学号1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679【答案】25【解析】由题意可得甲班的数据波动较小，计算甲班方差即可得解.【详解】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小.则甲班的方差为所求方差，其平均值为7，方差.()2121001055s =⨯++++=故答案为：.25【点睛】本题考查了方差的概念和计算，属于基础题.15．如图，在正方体中，E 是棱BC 的中点，G 是棱的中点，则异面直线GB ABCD A B C D -''''DD '与所成的角为______．B E '【答案】90【分析】直接建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得出向量的坐标，根据向量法即可求出两条异面直线所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，2则，，，，(0,0,1)G (2,2,0)B (1,2,0)E (2,2,2)B '则，，(2,2,1)GB =- (1,0,2)B E '=--则，()()2120120GB B E '=⨯-+⨯-⨯-=⋅所以，GB B E '⊥ 所以，所以直线与直线的夹角为．GB B E '⊥GB B E '90故答案为：．9016．已知正实数，满足，则的最大值为______．x y ln e ln x x y y =+()4x y x -+【答案】244e+【分析】把已知等式变形为，利用函数（）的单调性得的关系，ln e ln e xxyx x y =⋅()e xf x x =0x >,x y 这样把转化为的函数，再利用导数求得最大值．()4x y x -+x 【详解】由得，所以，，ln e ln xx y y =+ln e x x y y =ln e x x x x y y =ln e ln e xxy x x y =⋅因为，所以，0x >ln 0xy >设（），则，递增，()e xf x x =0x >()e (1)x f x x '=+0>()f x 所以由得，所以，ln e ln e xxy x x y =⋅ln x x y =e x x y =，22(4)(4)4e e x x x x x y x x x x x-+=-+=-+设，则，22()4e x xg x x x =-+22()24(2)(2)e e xx x x x g x x x -'=-+=-+所以时，，递增，时，，递减，02x <<()0g x '>()g x 2x >()0g x '<()g x所以．max 24()(2)4e g x g ==+故答案为：．244e +【点睛】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能lne ln e xx yx x y =⋅力，属于较难题．三、解答题17．一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐一取出进行测试．(1)求前两次取出的都是二等品的概率；(2)求第二次取出的是二等品的概率．【答案】(1)16(2)12【分析】（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有44A 种方法，然后利用古典概型的概率公式解之即可；2222A A ⨯（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，44A 1323C A ⨯然后利用古典概型的概率公式解之即可；【详解】（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有44A 种方法，2222A A ⨯所以前两次取出的产品都是二等品的概率为；222244A A 1A 6⨯=（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，44A 1323C A ⨯所以第二次取出的产品是二等品的概率为；132344C A 1A 2⨯=18．为了满足同学们多元化的需求，某学校决定每周组织一次社团活动，活动内容丰富多彩，有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筝表演等.同学们可以根据自己的兴趣选择项目参加，为了了解学生对该活动的喜爱情况，学校采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组[]40,100并绘制出如图3所示的样本频率分布直方图.(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点x 值作代表）；(2)从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同110[]70,100学中20人打分在，根据所给数据，完成下面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的[]70,10022⨯条件下，能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢该活动）？[]70,100喜欢不喜欢合计男同学女同学合计附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)频率分布直方图见详解，；73.5x =(2)列联表见详解，没有把握在犯错概率不超过0.100的条件下认为喜爱程度与性别有关.【分析】(1)利用频率分布直方图的性质以及平均数的计算公式求解.(2)利用已知的数据以及公式计算求解.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【详解】（1）各组数据频率之和为1，故[60，70]组频率，10.050.150.30.250.10.15f =-----=所以纵坐标为.样本频率分步直方图如下图：0.150.01510=样本平均数.450.05550.15650.15750.3850.25950.173.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)喜欢不喜欢合计男同学403070女同学203050合计6060120，()221201200600 3.429 3.84170506060K ⨯-=≈<⨯⨯⨯故没有把握在犯错概率不超过0.100的条件下认为喜爱程度与性别有关.19．某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量y （单位：万辆）的散点图如下：记年份代码为()1,2,3,4,5x x =(1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量y 关于年份y a bx =+2y c dx =+代码x 的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果，建立y 关于x 的回归方程.参考数据：y521ii x=∑541ii x=∑51i ii x y=∑521i ii xy=∑34559796572805，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑ˆˆay xb =-【答案】(1)2y c dx=+(2)26.5 2.5y x=+【分析】（1）根据散点图及一次函数与二次函数特点得出结论；（2）令，换元后转化为关于的线性回归方程，根据公式求出系数，得出回归直线方程，再2t x =t 换回即可．x 【详解】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②更适合．2y c dx =+（2）由（1）可设回归方程为，2y c dx =+ 令，则回归方程.2t x =y c dt =+因为，，554121979i ii i t x====∑∑552112805i ii ii i y t xy ====∑∑，，55211111551i i i i t t x =====∑∑34y =，51221555i ii ii t y t yd tt==-⋅=-∑∑ 22805511349352.5979511374-⨯⨯===-⨯，34 2.511 6.5c y dt =-=-⨯= 故回归方程为，6.5 2.5y t =+即.26.5 2.5y x =+ 20．如图，四棱锥中中，底面是直角梯形，，，P ABCD -ABCD//AB CD 60DAB ∠=︒，侧面底面，且为等腰直角三角形，．2AB AD CD ==PAD ⊥ABCD PAD 90APD∠=︒（Ⅰ）求证：；AD PB ⊥（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．PAD PBC 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结、、，根据和是正三角形，证明PG GB BD PA PD =ABD △平面即可.AD ⊥PGB （Ⅱ）根据侧面底面，，易得直线、、两两互相垂直，以G 为PAD ⊥ABCD PG AD ⊥GA GB GP 原点，直线、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得平面GA GB GP G xyz -的一个法向量，再由平面的一个法向量，设平面PBC ()000,,n x y z =PAD 1,0)n GB ==与平面所成锐二面角为，由求解.PAD PBC θ11cos ||n n n n θ⋅=⋅【详解】（Ⅰ）如图所示：取AD 的中点G ，连结、、．PG GB BD ，PA PD = PG AD ∴⊥，且，AB AD = 60DAB ∠=︒是正三角形，，ABD ∴ BG AD ⊥又，PG BG G = 平面．AD ∴⊥PGB AD PB∴⊥（Ⅱ）∵侧面底面，PAD ⊥ABCD 又，底面．．PG AD ⊥ PG ∴⊥ABCD PG BG ∴⊥∴直线、、两两互相垂直，GA GB GP 故以G 为原点，直线、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立GA GB GP 如图所示的空间直角坐标系．G xyz-设，则可求得，，，，．PG a =(0,0,)P a (,0,0)Aa ,0)B (,0,0)D a-3,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．．3,,02BC a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭,)PB a ∴=- 设是平面的一个法向量，()000,,n x y z =PBC 则且．0n BC ⋅= 0n PB ⋅=解得000030,20.ax az ⎧-=⎪∴-=000,.x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩取．y =(n =-又∵平面的一个法向量，PAD 1,0)n GB ==设平面与平面所成锐二面角为，PAD PBC θ则cos θ=所以平面与平面PAD PBC 【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法：1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．21．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为2222:1(0)x y E a b a b +=>>(0,1)A (1)求椭圆E 的方程；(2)过点作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点(2,1)P -M ，N ，当时，求k 的值．||2MN =【答案】(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩a （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由()11,B x y ()22,C x y 直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；AB AC M x Nx N MMN x x =-【详解】（1）解：依题意可得，，1b =2c =222c a b =-所以，所以椭圆方程为；2a =2214x y +=（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令()2,1P -()12y k x -=+()11,B x y ()22,C x y，1222x x -≤<≤由，消去整理得，()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩y ()()22221416816160k x k k x k k +++++=所以，解得，()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>0k <所以，，212216814k kx x k ++=-+2122161614k k x x k +⋅=+直线的方程为，令，解得，AB 1111y y x x --=0y =111M x x y =-直线的方程为，令，解得，AC 2211y y x x --=0y =221N x x y =-所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++，()()12212222x x k x x -==++所以，()()122122xx k x x -=++()12124x x x+++⎤⎦221682414k k k ⎤⎛⎫+-+⎥ ⎪+⎝⎭⎦()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得，解得4k=4k =-22．已知函数．()()1ln f x x x ax a=+-+(1)若，试判断的单调性，并证明你的结论；2a =()f x (2)若恒成立．()1,0x f x >>①求的取值范围：a ②设，表示不超过的最大整数．求．（参考数据：11111232n a n n n n =+++++++ []x x []10n a ）ln 20.69≈【答案】(1)为上的增函数，证明见解析()f x ()0,∞+(2)①；②当或2时，；当时，(],2a ∈-∞1n =[]105n a =3n ≥[]106n a =【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出函数的单调性；（2）①恒成立，只要即可，利用导数求出函数的最小值，从而可得出答()1,0x f x >>()min 0f x >案；②先利用作差法判断的单调性，然后结合①中的结论求出的范11111232n a n n n n =+++++++ n a 围，再根据的定义即可得解.[]x 【详解】（1），()()1ln 10f x x x x =+->'记，则，()1ln 1g x x x =+-()22111x g x x x x -'=-=所以，所以单调递减；()()0,1,0x g x '∈<()g x ，所以单调递增,()()1,,0x g x '∈+∞>()g x 所以，所以，即，且仅有，()min ()10g x g ==()0g x ≥()0f x '≥()10f '=所以为上的增函数；()f x ()0,∞+（2）①，()1ln 1f x x a x =++-'令，则，()1ln 1a h x x x =++-()21x h x x -'=则，所以单调递增,()()1,,0x h x '∈+∞>()h x 所以，即，()()1h x h >()()12f x f a''>=-①当时，，所以为递增函数，2a ≤()0f x ¢>()f x所以，满足题意；()()10f x f >=②当时，，2a >()()1120,e 10e a a f a f ='=-<+>'有唯一零点，且，()f x '0x ()01,e a x ∈则时，单调递减，()01,x x ∈()()0,f x f x '<所以，不合题意，舍去，()()010f x f <=综上，；(],2a ∈-∞②经计算：，()()1237370.5,0.5,0.6,0.6,0.71260a a a ==∈=∈因为，所以数列单调递增，1111110212212122n n a a n n n n n +-=+-=->+++++{}n a 所以，当或2时，，1n =0.50.6n a ≤<当时，，3n ≥30.6n a a ≥>当时，由①可知，此时，即，2a =()0f x >()21ln (1)1x x x x ->>+令，则，则有，()2111x x k -=+2121k x k +=-121ln 21k k k +<-令，1,2,,2k n n n =++ 则有，11123254141ln ln ln ln12221234121n n n n n n n n n n n +++++++<+++=++++-+ 因为，411ln ln 2ln20.72121n n n +⎛⎫=-<< ⎪++⎝⎭所以当时，，3n ≥0.60.7n a <<所以，当或2时，；当时，．1n =[]105n a =3n ≥[]106n a =【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
2022-2023学年吉林省四平市实验中学高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省四平市实验中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有（ ）A ．12种B ．17种C ．23种D ．60种【答案】A【分析】由排列､组合及简单计数问题，结合分类计数加法原理求解即可．【详解】图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有种．34512++=故选：．A 2．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种33A 排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种22A 2323A A 12=排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.3．已知，则（ ）00Δ0(Δ)(Δ)2limΔ3x f x x f x x x →+--=0()f x '=A ．B ．C ．D ．16132343【答案】B【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解.【详解】根据题意，，()()()()()()000000Δ0Δ0ΔΔΔΔ2lim lim 3ΔΔx x f x x f x f x x f x f x x f x x x x →→⎡⎤+----+--⎣⎦==，()()()()()000000limlim2x x f x x f x f x x f x f x x x∆→-∆→+∆--∆-=+=∆-∆'则.()013f x '=故选：B.4．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时()m s ()min t ()2s t t t=+2min t =速度为（ ）A ．B ．C ．D ．2m/min 4m/min5m/min6m/min【答案】C【分析】根据导数的物理意义，求导即可得到瞬时速度.【详解】解：，当时，.()()21v t s t t '==+2t =()25v =故选：C.5．已知是函数的导函数，若，则（ ）()f x '()f x ()()23f x x x f '=-⋅()1f =A ．B ．C ．D ．1-2-23【答案】B【分析】求导后，代入可求得，从而求得，代入即可得到结果.3x =()3f '()f x 1x =【详解】，，解得：，()()23f x x f ''=- ()()363f f ''∴=-()33f '=，.()23f x x x ∴=-()1132f ∴=-=-故选：B.6．若曲线和曲线在交点处的切线相同，则的值为（ ）(0)xy me m =≠2y x =P m A ．B ．C ．D ．12142e 24e【答案】D【分析】设，根据题意可建立关于，的方程组，解出即可．(,)P t n t m 【详解】设，(,)P t n 由曲线，可得，e (0)xy m m =≠e x y m '=由曲线，可得，2y x =2y x '=则，解得（舍或．2e 2e tt m t m t ⎧=⎨=⎩00t m =⎧⎨=⎩)224e t m =⎧⎪⎨=⎪⎩故选：D ．7．下列各式中，不等于的是（ ）!(N*)n n ∈A ．B ．C ．D ．1A n n-1A nn +11A n n n --()!A mn n m -【答案】B【分析】根据排列数的运算，逐一化简选项即可．【详解】选项，，正确；A 1A (1)(2)...32!n nn n n n -=⋅-⋅-⋅=A 选项，，错误；B 1A (1)(1)(2)...32(1)!nn n n n n n +=+⋅⋅-⋅-⋅=+B 选项，，正确；C 11A (1)(2)...321!n n n n n n n --=⋅-⋅-⋅⋅=C 选项，，正确．D !()!A ()!!()!m n n n m n m n n m -=-=-D 故选：．B 8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）12023e a =20222023b =20221ln2023c =+a b c A ．B ．c b a >>b c a >>C ．D ．b a c >>a b c>>【答案】D【分析】可设，求导得出，从而判断出在上单调递减，从()(1ln )=-+f x x x ()1x f x x '-=()f x (0,1)而得出，进而得出，而根据指数函数的单调性得出，这样即可得出，2022()(1)02023f f >=b c >1a >a ，的大小关系．b c 【详解】设，，()(1ln )=-+f x x x ()111x f x x x '-=-=时，，单调递减，01x ∴<<()0f x '<()f x ，∴2022()(1)02023f f >=，即，∴20222022(1ln )020232023-+>1b c >>又，102023ee 1>=．a b c ∴>>故选：．D 二、多选题9．下列运算错误的是（ ）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ．(sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x'=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误；(sin1)0'=对于D ，，D 正确.31(log )ln 3x x '=故选：AC10．如图，已知直线与曲线相切于，两点，设，两点的横坐标分()(0)g x kx k =>()y f x =A B A B 别为，，是的极小值点，设函数，则下列说法正确的有（ ）a b x c =()f x ()()()F x g x f x =-A ．是的极大值点B ．（a ）x a =()f x F '0=C ．（c ）D ．是的极小值点F '0=x b =()F x 【答案】BD【分析】由已知结合图形可得（a ），判断错误；求得（a ），知正确；求出f '0>A F '0=B （c ），可知错误；再由导数分析单调性判断正确．F '0k =>C D 【详解】直线与曲线相切于､两点，，两点的横坐标分别为，()(0)g x kx k =>()y f x =A B A B a ，b 可得：（a ）（b ），k f ='f ='0>（a ），不是的极值点，故错误；f ' 0≠x a ∴=()f x A ，()()()F x g x f x =-，()()()()F x g x f x k f x '='-'=-'（a ），故正确；F ∴'0=B 是的极小值点，（c ），x c = ()f x f ∴'0=则（c ）（c ），故错误；F 'k f =-'00k k =-=>C 由图可知，存在，使，0(,)x a b ∈0()0F x '=当，时，，当时，，0(x x ∈)b ()0F x '<(,)x b ∈+∞()0F x '>在，上单调递减，在上单调递增，()F x ∴0(x )b (,)b +∞故是的极小值点，故正确．x b =()F x D 故选：．BD 11．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）1,2,3,4,5A ．组成的三位数的个数为30B ．在组成的三位数中，奇数的个数为36C ．在组成的三位数中，“凸数”的个数为24D ．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20【答案】BD【分析】根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可.【详解】A ：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A 错误；35A 60=B ：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B 正确；243A 36=C ：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个；24A 12=23A 6=③十位数为3，则有个，所以共有个，故C 错误；22A 2=20D ：由选项C 的分析可知，D 正确；故选：BD.12．已知函数 函数，则下列说法正确的是（ ）22e ()e 2xf x x =-，()()g x f x '=A ．的最小值为B ．有2个零点()g x 2e-()g x C ．有且只有1个极值D ．有3个零点()f x ()f x 【答案】ABD【分析】求出函数及其导函数，由值的正负探讨单调性判断AB ；由函数的单调()g x ()g x '()g x '()f x 性，结合零点存在性定理判断CD 作答.【详解】由 ，得，令，得，当22e ()e 2xf x x =-22()()e e ,()e e x x g x f x x g x ''==-=-()0g x '= 2x =时，(),2x ∈-∞单调递减，当时，单调递增，因此()0()g x g x '<，(2,)x ∈+∞()0()g x g x '>，2min ()(2)e 0g x g ==-<，A 正确；因为，则存在，使得，4222(0)10(4)e 4e e (e 4)0g g =>=-=->,12(0,2),(2,4)x x ∈∈12()()0g x g x ==因此有2个零点，B 正确；()g x 当时，单调递增，当时，单调递减，1(,)x x ∈-∞()()0,()f x g x f x =>'12(,)x x x ∈()()0,()f x g x f x '=<当时， 单调递增，因此有2个极值，C 错误；2(,)x x ∈+∞()()0,()f x g x f x =>'()f x 因为，221221(2)2e 0,()(0)10()(2)e 0e f f x f f x f -=-<>=><=-<,，因此在R 上有3个零点，D 正确.6224(6)e 18e e (e 18)0f =-=->()f x 故选：ABD三、填空题13．已知函数，其中，则函数的单调递减区间是___________．2()(2)ln f x x a x a x =-++2a >()f x 【答案】1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】对求导，令，即可求解函数的单调递减区间．()f x ()0f x '<()f x 【详解】由题意可知：函数定义域为，，()f x {|0}x x >(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x --'=-++=令，可得或，()0f x '=2a x =1x =因为，则，2a >102a>>且，令，解得，0x >()0f x '<12ax <<所以函数的单调递减区间是．()f x 1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：．1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．函数的最小值为___________．24(),[2,2]1xf x x x =∈-+【答案】﹣2【分析】判断函数的奇偶性，结合x 的范围，利用基本不等式转化求解即可．【详解】函数，所以函数是奇函数，2244(),[2,2],()()11=∈--=-=-++x xf x x f x f x x x 当x ∈（0，2]时，，当且仅当x =1时取等号，所以x ∈（0，2]时，244()211==≤=++x f x x x x 函数的最大值为2．所以函数，x ∈[﹣2，2]的最小值为：﹣2．24()1xf x x =+故答案为：﹣2．15．若函数在上存在极值，则正整数的最小值为___________．32()63f x x ax x =++-R a 【答案】5【分析】求出函数的导数，由题意得函数的导数在上有两个不等实数根，再由判别式大于0求出R 实数的取值范围，即可得到正整数的最小值．a a 【详解】，32()63f x x ax x =++- ，2()326f x x ax ∴'=++函数在上存在极值， 32()63f x x ax x =++-R 函数在上不是单调函数，∴32()63f x x ax x =++-R 可得有两个不等的根，2()326f x x ax '=++即，24720a ∆=->解得，a<-a >正整数的最小值为5．∴a 故答案为：5．16．长征五号B 运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯•卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组1：4，则该模型体积的最大值为______．【答案】26π3【分析】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r ，根据题意将该模型的体积表示为r的函数，再由基本不等式求最值得答案.【详解】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r ，则圆柱的高为，∴r<该模型的体积∴22211326πππ333V r r r =⋅==，当且仅当，即2626π33≤=2232r r =-r =该模型的体积最大值为.∴26π3故答案为：.26π3四、解答题17．将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次．(1)一共出现多少种不同的抛掷情况？(2)3次都不出现奇数点朝上的情况共有多少种？(3)恰有一次出现奇数点朝上的情况共有多少种？【答案】(1)216(2)27(3)81【分析】（1）根据乘法原理求解即可；（2）根据乘法原理，3次都不出现奇数点朝上即3次都为偶数点，结合偶数有3个求解即可；（3）恰有一次出现奇数点朝上则抛的3次中有1次奇数朝上，2次偶数朝上，再根据乘法原理求解即可.【详解】（1）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，一共出现种不同的抛掷情况；666216⨯⨯=（2）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，3次都不出现奇数点朝上的情况共有种；33327⨯⨯=（3）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，恰有一次出现奇数点朝上的情况共有种．13C 33381⨯⨯⨯=18．已知函数.()3f x x =-(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，求的面积()y f x =()()3,3A f x y ,M N MON △（为坐标原点）；O (2)求与曲线相切，并过点的直线方程.()y f x =()0,1【答案】(1)6(2)12120x y -+=【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，进而结合切线方程求得，由此可得三()3f ',M N 角形面积；（2）设切点坐标，根据导数几何意义可求得在切点处的切线方程，代入点可得，由此3,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,1t 可得切线方程.【详解】（1），，又，()23f x x '= ()133f '∴=()31f =-在处的切线方程为：，即，()f x \()()3,3f ()1133y x +=-360x y --=，，.()6,0M ∴()0,2N -1162622MON S OM ON ∴=⋅=⨯⨯= （2）设过点的直线与相切于点，()0,1()f x 3,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭由，，切线方程为：，()23f x x '=()23f t t '∴=∴()233y x t t t +=-又切线过点，，解得：，()0,1331t t ∴+=-6t =-所求切线方程为：，即.∴()116212y x -=+12120x y -+=19．已知函数．321()313f x x x x =--+(1)求函数的单调区间与极值；()f x (2)求函数在区间上的最值．()f x [4,5]-【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为，的极大值为，的极(,1)-∞-(3,)+∞(1,3)-()f x 83()f x 小值为8-(2)最大值为，最小值为83733-【分析】（1）求得，分别令，，解得范围，即可得出的单调区间与()f x '()0f x '>()0f x '<x ()f x 极值；（2）求出区间端点的函数值与极值，比较即可得出函数在区间，上的最值．()f x [4-5]【详解】（1）（1）因为，2()23f x x x '=--令，可得或，()0f x '==1x -3x =和随的变化情况如下：()f x '()f x x x(,1)-∞-1-(1,3)-3(3,)+∞()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数的单调增区间为，，单调减区间为，()f x (,1)-∞-(3,)+∞(1,3)-的极大值为，的极小值为；()f x 8(1)3f -=()f x (3)8f =-（2）由（1）可知函数在，单调递增，在单调递减，()f x (4,1)--(3,5)(1,3)-，，，．8(1)3f -=(3)8f =-73(4)3f -=-8(5)3f =函数在区间，上的最大值为，最小值为．()f x [4-5]83733-20．已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围．()0f x =【答案】(1)；11a b =-⎧⎨=-⎩(2).5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即()10310f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝='⎭⎨'⎪⎩11a b =-⎧⎨=-⎩可得出答案；（2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c 的取值范()10310f f ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩围．【详解】（1）由题意得，()232f x x ax b '=++函数在及处取得极值，()f x 13x =-1x =得，解得.()11203331320a f b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增；13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增.1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意.()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．()f x 13x =-1x =又有三个不同的实根，()0f x =由图象知，解得，()150327110f c f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<所以实数c 的取值范围是．5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭21．设函数，其中为自然对数的底数．求证：()e 1x f x =-e (1)当时，；0x >()f x x >(2)．e 2ln x x ->【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）令，转化为求的最小值即可证明结论；()()e 1x g x f x x x =-=--()g x （2）结合（1）的结论转化为证，构造新函数求解其最值即可证明结论．1ln 0x x -->【详解】（1）证明：令，()()e 1x g x f x x x =-=--则，()e 1x g x '=-当时，，在上单调递增，0x >()0g x '>()g x (0,)+∞故，()(0)0g x g >=即当时，成立.0x >()f x x >（2）由（1）可得：当时，，0x >e 1x x >+要证，即证，即证，e 2ln x x ->e 21ln x x x ->-≥1ln 0x x --≥令，()1ln h x x x =--则，11()1x h x x x -'=-=当时，，在区间上单调递增，1x >()0h x '>()h x ()1,+∞当时，，在区间单调递减，01x <<()0h x '<()h x ()0,1所以在处取得最小值，()h x 1x =所以，()()10h x h ≥=即恒成立，()1ln 0h x x x =--≥所以．e 2ln x x ->22．已知函数，，．()2ln 1f x ax x =--()()()2g x f x a x =+-a ∈R (1)求函数的单调区间；()f x (2)若对任意的，恒成立，求整数a 的最小值．()0,x ∈+∞()0g x >【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x 间为，单调递增区间为⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭(2)2【分析】（1）求导，分类讨论求原函数单调性；（2）根据题意分析可得在上恒成立，构建新函数，利用2ln 21x x a x x ++>+()0,∞+()2ln 21x x x x x ϕ++=+导数结合零点代换求的最大值.()x ϕ【详解】（1）由题意可得：函数的定义域为，且，()f x ()0,∞+()21212ax f x ax x x -'=-=当时，在定义域内恒成立，0a ≤()2210ax f x x -'=<则函数的单调递减区间为；()f x ()0,∞+当时，令，则或，0a >()2210ax f x x -'==x =x =当时，， 当时，，x ⎛∈ ⎝()0f x '<x +∞⎫∈⎪⎪⎭()0f x ¢>则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭综上所述，当时，函数的单调递减区间为；0a ≤()f x ()0,∞+当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．0a >()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭（2）对任意的，恒成立，即不等式恒成立，()0,x ∈+∞()0g x >()2ln 21a x x x x +>++因为，则，所以原问题等价于在上恒成立，0x >20x x +>2ln 21x x a x x ++>+()0,∞+设，，则只需，()2ln 21x x x x x ϕ++=+()0,x ∈+∞()max a x ϕ>可得，()()()()()()()()222221221ln 2121ln x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫++-+++ ⎪+--⎝⎭'==++令在上单调递减，()ln h x x x =--()0,∞+因为，，()111ln 2ln 410222h ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭()110h =-<所以存在唯一的，使得，即，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000ln 0h x x x =--=00ln x x =-当时，，则，当时，，则，()00,x x ∈()0h x >()0x ϕ'>()0,x x ∈+∞()0h x <()0x ϕ'<则在上单调递增，在上单调递减，()x ϕ()00,x ()x ϕ()0,x +∞所以，()()000000222max 0000000ln 212111x x x x x x x x x x x x x x ϕϕ++-+++=====+++所以即可，01a x >又∵，所以，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()011,2x ∈故整数a 的最小值为2．【点睛】方法定睛：破解不等式的恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。
广东省深圳市深圳中学2021-2022高二数学下学期第一次月考试试题 理(含解析).doc
广东省深圳市深圳中学2021-2022高二数学下学期第一次月考试试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，所以，故选C. 考点：集合的运算.2.在等差数列中，若前项的和，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：.考点：等差数列的基本概念.3.已知f(x)＝x2＋，则f ′(0)等于( )A. 0B. －4C. －2D. 1【答案】D【解析】【分析】先求得函数导数，然后令求得相应导数的值.【详解】依题意，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.考点：1.三视图；2.组合体的体积5.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )．A. f(x)＝sin 2xB. f(x)＝x e xC. f(x)＝x3－xD. f(x)＝－x＋ln x【答案】B【解析】【分析】分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项. 【详解】由于，对于选项，，，不符合题意；对于选项，，符合题意；对于选项，，，不符合题意；对于选项，，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题.6.已知tan θ＝2，θ为第三象项角，则sin θ＝( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列方程组，结合为第三象限角，求得的值.【详解】由于为第三象限角，故，依题意有，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.7.设f（x）=|x﹣1|，则 =（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】画出的图像，根据定积分的几何意义求得定积分的值.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义求定积分的值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A.B.C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，令导数等于解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】依题意令，解得，，故点的坐标为，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.9.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为（2，0），双曲线的焦点坐标为（±，0）由题意，∴椭圆的方程为考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 11.若函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C. 或 D. 不存在【答案】A【解析】【分析】利用当时导数为零列方程，求得的关系式，并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的值.【详解】依题意，①，结合②，解得或.当时，函数在两侧左减右增，取得极小值，不符合题意，舍去.当时，，函数在两侧左增右减取得极大值，符合题意，故，故选A.【点睛】本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值.12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结合函数的零点求得不等式的解集.【详解】构造函数，故，故函数为奇函数，图像关于原点对称，且.当时，即函数在时单调递增.根据函数为奇函数可知函数在时递增，且，，，画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集为，故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年四川省德阳市广汉中学高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省德阳市广汉中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}240A x x x =-≤{}21,B x x n n ==-∈N A B = A ．B ．C ．D ．{}3{}1,3{}1,3,4{}1,2,3,4【答案】B【解析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.A AB ⋂【详解】，当时，，{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤ n N ∈211n -≥-所以，集合为不小于的奇数组合的集合，{}21,B x x n n ==-∈N 1-因此，.{}1,3A B = 故选：B.2．“”是“函数在区间上的增函数”的（ ）1a =()()22x x f a --=[)2,+∞A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据二次函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义，即可得到结论.【详解】解：若函数在区间上为增函数，则对称轴，()()22x x f a --=[)2,+∞2x a =≤当时，满足，即充分性成立，1a =2a ≤当时，满足，但不成立，即必要性不成立，2a =2a ≤1a =所以“”是“函数在区间上的增函数”的充分不必要条件，1a =()()22x x f a --=[)2,+∞故选：C.3．已知函数的定义域为R ，其导函数为，的部分图象如图所示，则（）()f x ()f x '()f x 'A ．在区间上单调递减B ．的一个增区间为()f x (0,1)()f x (1,1)-C ．的一个极大值为D ．的最大值为()f x (1)f -()f x (1)f 【答案】B 【解析】由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极值点，逐个判断即可【详解】由的部分图像可得：()f x '在上，，所以单调递增，所以A 不正确，B 正确；(1,1)-()0f x '>()f x 由，导函数在左右两侧的函数值异号，(1)0f '-==1x -所以是的一个极小值，所以C 不正确，(1)f -()f x 同理可知是的一个极大值，并不一定是最大值，D 不正确.(1)f ()f x 故选：B.4．已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（ ）y 22214x y m +=2mA ．或B ．C ．D ．353【答案】D【分析】由椭圆的焦点在轴上确定，再根据即可求.y 24m <222a b c =+【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得y 24m <241m -=m =故选：D.5．根据如下样本数据得到的回归方程为．若，则每增加个单位，就（ ）ˆˆˆy bx a =+ˆ7.9a =x 1y x 34567y 4 2.50.5-0.52-A ．增加个单位B ．减少个单位1.4 1.4C ．增加个单位D ．减少个单位．1.2 1.2【答案】B【分析】先根据数据求出，代入回归直线可得，根据的符号判定.x y ˆb ˆb【详解】由题意可得，，1(34567)55x =++++=1(4 2.50.50.52)0.95y =+-+-=回归方程为．若，且回归直线过点， ˆˆˆy bx a =+ˆ7.9a =(5,0.9)，解得，ˆ0.957.9b ∴=+ˆ 1.4b =-每增加1个单位，就减少1.4个单位，x ∴y 故选：B ．6．下图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）A B ．C ．D ．8π9π10π【答案】A 【解析】由三视图确定几何体为圆锥体，应用圆锥体侧面积公式求面积即可.【详解】由三视图知：几何体为底面半径为1，高为3的圆锥体，∴其侧面展开为以底面周长为弧长，圆锥体母线长为半径的扇形，故几何体的侧面积为，122S π==故选：A7．抛物线的方程为，抛物线上一点P 的横坐标为，则点P 到抛物线的焦点的距离为28x y =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出抛物线上点P 的纵坐标，再结合抛物线定义求解作答.【详解】依题意，抛物线的准线方程为，而点在抛物线上，则28x y ==2y -0)P y 28x y =，01y =所以点P 到抛物线焦点的距离为.()023y --=故选：B 8．函数在区间上是（ ）ln y x x =(01)，A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在上是单调减函数，在上是单调增函数10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．在上是单调增函数，在上是单调减函数10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【详解】主要考查导数在研究函数的单调性等方面的应用．解：函数定义域为．由得，所以函数在区间上是“在(0,)+∞ln 10y x +'=>1x e >ln y x x =(01)，上是单调减函数，在上是单调增函数”，故选C ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．命题“，”的否定为（ ）[2,)∀∈+∞x 24x ≥A ．，B ．，[2,)∀∈+∞x 24x <0[2,)∃∈+∞x 204x ≤C ．，D ．，0[2,)∃∈+∞x 204x ≥[)02,x ∞∃∈+204x <【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为，是全称量词命题，[2,)∀∈+∞x 24x ≥所以其否定为存在量词命题，即，，[)02,x ∞∃∈+204x <故选：D 10．为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图. 有下列结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的序号是（ ）A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④【答案】A【分析】根据茎叶图得到甲、乙的得分，求出中位数、平均数、方差，即可判断；【详解】甲的得分为25,28,29,31,32；乙的得分为28,29,30,31,32；因为，()12528293132295++++=()12829303132305++++=()()()()()2222212529282929293129322965⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦()()()()()2222212830293030303130323025⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为、；62故正确的有②③；故选：A11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为C 1D 1，B 1C 1的中点，O ，M 分别为BD ，EF 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．四点B ，D ，E ，F 在同一平面内B．三条直线BF，DE，CC1有公共点C．直线A1C与直线OF不是异面直线D．直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线【答案】C【分析】利用两条平行线确定一个平面可判断选项A，利用点共线定理可判断选项B，根据异面直线的定义可判断选项C，连结OM即可判断选项D．【详解】作出图象如图所示，连结B1D1，则B1D1∥BD，B1D1∥EF，所以BD∥EF，所以四点B，D，E，F在同一平面内，故选项A正确；延长BF，DE，则BF，DE相交于点P，又BF⊂平面BCC1B1，DE⊂平面DD1C1C，则P∈平面BCC1B1，P∈平面DD1C1C，又平面BCC1B1∩平面DD1C1C＝CC1，所以P∈CC1，即三条直线BF，DE，CC1有公共点P，故选项B正确；因为直线A1C为长方体的体对角线，所以直线A1C与直线OF不可能在同一平面内，所以直线A1C与直线OF是异面直线，故选项C错误；A1，O，C，C1均在平面AA1C1C内，连结OM，则OM与直线A1C相交，所以直线A 1C 上存在点N 使M ，N ，O 三点共线，故选项D 正确．故选：C【点睛】关键点点睛：根据异面直线的判定定理判定异面直线是解题的关键，属于中档题.12．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（ ）R ()f x ()()f x f x '>()()121x e f x f x -<-A ．B ．C ．D ．(),e -∞(),1∞-(),e +∞()1,+∞【答案】D【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．()()x f x g x e =【详解】解：令，则 ，()()x f x g x e =()()()0x f x f x g x e ''-=>故g （x ）在R 递增，不等式，()()121x e f x f x -<-即，21()(21)x x f x f x ee --<故，()(21)g x g x <-故x ＜2x −1，解得：x ＞1，故选：D.二、填空题13．曲线在点处的切线方程是______.223y x x =-+()1,6A -【答案】42y x =-+【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由可得，223y x x =-+22y x '=-所以曲线在点处斜率，223y x x =-+()1,6A -()2124k =⨯--=-所以曲线在点处的切线方程为，223y x x =-+()1,6A -()641y x -=-+整理得，42y x =-+故答案为：42y x =-+14．已知函数，则的值为__________．()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】1【详解】，，解得，()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ ''sin cos 4444f f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故，故答案为.)'cos sin 114444f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭115．已知焦点在x 轴上的双曲线的左右焦点别为和，其右支上存在一点P 满足222211x y m m -=-1F 2F ，且的面积为3，则该双曲线的离心率为______.12PF PF ⊥12PF F △【分析】根据双曲线焦点三角形面积公式即可求出，即可求出离心率.24m =【详解】解：由双曲线中焦点三角形面积，1222213490tan 45tan 2PF F b m S m ︒-===⇒= 所以，，24a =24417c =+-=则c e a ==.16．如图，棱长为 1 的正方体中，为线段上的动点（不含端点），有下列1111ABCD A B C D -P 1A B 结论:①平面 平面;11A D P ⊥1A AP ②多面体 的体积为定值;1D CDP -③直线 与所成的角可能为;1D P BC 3π④可能是钝角三角形.1APD 其中结论正确的序号是____________ （填上所有序号）.【答案】①②④【分析】由面面垂直的判定定理可知①正确，由等体积法可知②正确，由直线 与所成的1D P BC 角的最大值小于可知③错误，由可知④正确.45︒1cos ,0PA PD < 【详解】对于①，正方体中，，，1111ABCD A B C D -111A D AA ⊥11A D AB ⊥平面111111AA AB A AA AB A AP A D ⋂=⊂∴⊥，，平面，1A AP平面平面平面，故①正确;11A D ⊂ 11D A P ∴，11D A P ⊥1A AP 对于②，到平面的距离，1111122CDD S P =⨯⨯= ，1CDD 1BC =三棱锥，为定值，故②正确;∴1D CDP -的体积111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=对于③，易得BC ∥，即为直线与BC 所成角，，当点与点重合时，是直11A D 11A D P ∠1D P P B 1D CB 角三角形，，所以，11tan 1BC D BC D C ∠===<145D BC ∠<︒而此时直线 与所成的角是最大角，1D P BC 所以直线 与所成的角不可能为，故③错误；1D P BC 3π对于④，以点为原点建立空间直角坐标系如上图所示：D 由题得，()()1100001A D ，，，，，设，()11(01)P y y y -<<，，所以，()()1011PA y y PD y y =--+=-- ，，，，，所以21112(21)cos ,y y y y PA PD PA PD PA PD --〈〉== 当时，，102y <<1cos ,0PA PD < 即是钝角. 此时是钝角三角形.故④正确.1APD ∠1APD △故答案为：①②④三、解答题17．西昌邛海湿地马拉松比赛是四川省内最专业的国际马拉松赛事，公里，每一步都来之不42.195易，每一个向前奔跑的脚步，汇聚成永不停歇的力量，点亮这座城市的精彩．为积极参与马拉松比赛，某校决定从名学生随机抽取名学生进行体能检测，这名学生进行了公里的马拉300010010015松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是、、[)50,60[)60,70、、．[)70,80[)80,90[]90,100(1)求图中的值；a (2)根据频率分布直方图，估计这名学生比赛成绩的中位数（结果精确到）；1000.01(3)根据样本频率分布直方图，估计该校名学生中约有多少名学生能在分钟内完成公里马30008015拉松比赛？【答案】(1)0.005a =(2)71.67(3)人2250【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得实数的值；1a （2）设中位数为，根据中位数的定义可得出关于的等式，解之即可；m m （3）样本中分钟之频率，乘以可得结果.803000【详解】（1）解：由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得1，解得.()2100.040.030.02101a ⨯+++⨯=0.005a =（2）解：前两个矩形的面积之和为，()0.0050.04100.450.5+⨯=<前三个矩形的面积之和为，()0.0050.040.03100.750.5++⨯=>所以，中位数，所以，，解得.()70,80m ∈()0.45700.030.5x +-⨯=71.67m ≈（3）解：样本中分钟之前频率为，80()0.0050.040.03100.75++⨯=因此，估计该校名学生中能在分钟内完成公里马拉松比赛的学生人数为30008015.30000.752250⨯=18．已知等差数列满足：，．的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．211n n b a =-n N +∈{}n b n n T 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．21,(2)nn a n S n n =+=+4(1)nn +【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得{}n a d 3577,26a a a =+=1127{21026a d a d +=+=解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可1,a d n a n S 111()41n b n n =-+试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，{}n a d 37a =5726a a +=1127{21026a d a d +=+=解得，所以，.13,2a d ==32(1)21n a n n =+-=+2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+（2）由（1）知，，21n a n =+所以，22111111(1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++所以，11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 即数列的前项和.{}n b n 4(1)n nT n =+【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和n 19．设函数.()32962f x x x x a =-+-(1)对于任意实数x ，恒成立，求m 的最大值；()f x m '≥(2)若方程有且仅有一个实根，求a 的取值范围.()0f x =【答案】(1)34-(2)()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）对求导，得到为二次函数，因为恒成立，所以有，利()f x ()f x '()f x m '≥min ()m f x '≤用二次函数性质，求的最小值即可；()f x '（2）方程只有一个实根，说明三次函数只有一个零点，即函数极小值大于0或极大值小于()f x 0，利用导函数确定函数单调性，求出极值点，从而确定参数的取值范围．【详解】（1）解：已知函数，，则，()32962f x x x x a =-+-x ∈R 2()396f x x x -'=+因为对于任意实数x ，恒成立，则，()f x m '≥min ()m f x '≤对称轴，所以，93232x -=-=⨯2min 3333()()3(962224f x f ''==⨯-⨯+=-可得，即的最大值为.34m ≤-m 34-（2）（2）令，即，解得或，()0f x '=()()23963120x x x x -+=--=1x =2x =当时，；当时，；当时，.1x <()0f x '>12x <<()0f x '<2x >()0f x '>所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x (][),1,2,-∞+∞[]1,2当时，取极大值；当时，取极小值，1x =()f x 5(1)2f a =-2x =()f x (2)2f a =-故当或时，方程仅有一个实根，(2)0f >(1)0f <()0f x =解得或，所以a 的取值范围为.2a <52a >()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，，平PD//QA PD ⊥面ABCD ，且，.22AD QA ==2PD =(1)求证：平面PDC .//QB (2)求平面PBC 与平面PBQ 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）由已知条件根据面面平行的判定定理，可证平面平面PDC ，再由面面平行的性//QAB 质即可证明平面PDC ；//QB （2）以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC 与平面PBQ 的法向量，再根据二面角的余弦公式求得，进而得到平面PBC与cos ,m n 〈〉= 平面PBQ 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：已知四边形ABCD 是正方形，所以，//CD AB 又，且，，PD//QA PD CD D ⋂=AQ AB A ⋂=平面，平面，,PD CD ⊂PDC ,AQ AB ⊂QAB 所以平面平面PDC ，//QAB 而平面，所以平面PDC.QB ⊂ABQ //QB （2）因为四边形ABCD 是正方形，所以，AD CD ⊥又平面ABCD ，所以PD ，AD ，CD 两两互相垂直，PD ⊥以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，(0,0,2)P (2,2,0)B (0,2,0)C (2,0,1)Q ，，(2,2,2)PB ∴=- (2,0,0)CB = (0,2,1)QB =- 设是平面的一个法向量，(,,)m x y z = PBC 则，取，得，222020m PB x y z m CB x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1y =(0,1,1)m = 设是平面的一个法向量，(,,)n a b c = PBQ 则，取，得，222020n PB a b c n QB b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1b =(1,1,2)n =，cos ,m n ∴〈〉== 1sin ,2m n = 平面PBC 与平面PBQ 所成角的正弦值为.∴1221．已知椭圆的长轴长为4，点在上.2222:1(0)x y E a b a b +=>>1,⎛- ⎝E（1）求椭圆的方程；E （2）设直线与交于，两点，若(为坐标原点)，求的值.:2l y kx =+E A B 2OA OB ⋅= O k 【答案】（1） （2）2214x y +=【解析】（1）由题可得，再结合点在上，代入即可解出，得出椭圆方程；2a=1,⎛- ⎝E b （2）设，的坐标为，，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立方A B ()11,x y ()22,x y 2OA OB ⋅= 程，即可求出k 值.【详解】（1）解：由题意得 ，2a =又点在上，所以，解得，1,⎛- ⎝E 213144b +=1b =所以椭圆的标准方程为.E 2214x y +=（2）解：设，的坐标为，，依题意得，A B ()11,x y ()22,x y 联立方程组消去，得.22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()221416120k x kx +++=，所以()()221648140k k ∆=-+>234k >，，1221614k x x k -+=+1221214x x k =+1212OA OB x x y y ⋅=+ ()()121222x x kx kx =+++()()21212124k x x k x x =++++，()22212161241414k k k k k -=+⋅+⋅+++221220414k k -=++∵，所以，则，2OA OB ⋅= 2212204214k k -+=+27364k =>所以k =【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.22．已知函数．1()ln f x x ax x =++（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；()f x [)1,+∞a（2）已知函数，对于任意，总存在，使得成立，求正实数1()g x x x =+[]11,e x ∈[]21,e x ∈12()()f x g x ≤的取值范围．a 【答案】（1）或；（2）．0a ≥14a -≤101e a <≤-【分析】（1）先求导，将问题转化为或对任意恒成立，参变分离后换()0f x '≥()0f x '≤[)1,x ∞∈+元构造函数，求出最值即可求得实数的取值范围；a （2）先由单调性求出在上的最值，再将问题转化为，解不等式求()(),f x g x []1,e max max ()()f x g x ≤出正实数的取值范围即可．a 【详解】（1），，由于函数在上是单调函数，222111()ax x f x a x x x +-=-+='[)1,x ∞∈+()f x [)1,+∞或对任意恒成立，即或对任意()0'∴≥f x ()0f x '≤[)1,x ∞∈+210ax x +-≥210ax x +-≤恒成立，[)1,x ∞∈+或对任意恒成立，令，由于，，211x x a ≥-∴211a x x ≤-[)1,x ∞∈+1t x =[)1,x ∞∈+(]0,1t ∴∈设，由得，所以实数的取值范围为或；2211()24h t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭01t <≤1()04h t -≤≤a 0a ≥14a -≤（2）由（1）知，当时，函数在上为增函数，故，即0a >()f x []1,e (1)()(e)f f x f ≤≤，11()1e e a f x a +≤≤++，则当时，，所以函数在上是单调递增函数，22211()1x g x x x -'=-= []1,e x ∈()0g x '≥()g x []1,e ，(1)()(e)g x g g ≤≤∴即，对任意，总存在，使得成立，可知在区间上12()e e g x ≤≤+[]11,e x ∈[]21,e x ∈12()()f x g x ≤[]1,e ，max max()()f x g x ≤即，即，故所求正实数的取值范围．111e e e e a +≤++11e a ≤-a 101e a <≤-。
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赤峰二中2014级高二下学期期中考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字 的三位数，其中奇数的个数为A ．6B ．12C ．18D ．242.已知随机变量ξ服从正态分布N σ2（1，）,ξ≤P(4)=0.79，则-ξ≤≤P(21)=A.0.21B. 0.58C. 0.42D. 0.293.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中最多命中一次的概率为错误！未找到引用源。
，则该队员的每次罚球命中率为A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为A ．148B ．124C ．112D ．165.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5 个车站，乘客下车的可能方式有A ：105 种B ：510种 C ：50 种 D ：以上都不对 6.在(｜x ｜+x1-2)3的展开式中的常数项是( ) A.12B.-12C.-20D.20 7.在(1-x)11的展开式中，x 的奇次幂的项的系数之和是( ) A.-211 B.-210 C.211D.210-1 8.从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任ABCDE 五种不同的职务，规定女生不担任B 职务，不同的分配方案有( )A.A 102A 403B.C 102A 31A 44C 403C.C 152C 403A 55D.C 102C 403 9.某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于514757512C +C C C 的是（ ） A.()1P ξ= B.()1P ξ≤ C.()1P ξ≥ D.()2P ξ≤10.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步， 程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ）A ． 34种B ．48种C ．96种D ．144种11. 以平行六面体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率是（ ）A ．18385B ．192385C ．367385D ． 37638512.设a,b ∈｛1,2,3,4,5,6｝，则有不同离心率的椭圆22221x y a b+=，(a ＞b)的个数为（ ） Ａ．30 Ｂ．15 Ｃ．11 Ｄ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ满足ξD =2,则()=+32ξD ___________14.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为______________ 15．4个男生，3个女生排成一排，其中有且只有两个女生相邻排在一起的排法总数___________. 16．已知52x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.连续6次射击，把每次命中与否按顺序记录下来。
（本题满分10分,3+3+4)①可能出现多少种结果？②恰好命中3次的结果有多少种？③命中3次，恰好有两次是连续命中的结果有多少种？18.用0，1，2，3，4，五个数 （本题满分12分,2+2+2+3+3)（1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个无重复数字的五位数？（3）可以组成多少个无重复数字的五位奇数？（4）在没有重复数字的五位数中，按由小到大排列，42130是第几个数？（5）可以组成多少个无重复数字的五位数且奇数在奇数位上？19.在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项. (本题满分12分,5+7)（1）求它是第几项；（2）求ba 的范围.20．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响． 已知某学生只选修甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．。
（本题满分12分,6+6)（1）记“函数ξ+=2)(x x f x 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．21．(本题满分12分,5+7)高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（1）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．22. (本题满分12分,3+4+5)一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、……、100，共101点，一枚棋子开始在第0站（即10=P ），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束，已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第n 站时的概率为n P ．（1）求1P 、2P 、3P ；（2）设1--=n n n P P a )1001(≤≤n ，求证：数列{}n a 是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．理科数学试题答案一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1 D ，2 D ，3 B ，4 D ，5 A ，6 C ，7 B ，8 B ，9 B ， 10 C ，11 C ， 12 C ，13．8， 14. -2880 15.2880， 16. （0，1/4］17．①64122)(66==c ； ②2036=C ; ③1224=A18.解答：（1）4×5×5×5×5=2500（2）96 (3)36 (4)88 (5)3219.解:（1）设T 1+r =C r 12（ax m ）12－r ·（bx n ）r =C r 12a 12－r b r x m（12－r ）+nr 为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项. ┅┅┅┅┅┅5分（2）∵第5项又是系数最大的项，∴有C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3 ① C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5② 由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥23101112⨯⨯⨯a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴49 b ≥a ，即b a ≤49. 由②得b a ≥58，∴58≤b a ≤49.┅┅ 12分20．解：（1）设该学生选修甲，乙，丙的概率分别为x,y,z)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ24.0)6.01)(5.01)(4.01(6.05.04.0=---+⨯⨯=∴事件A 的概率为24.0……6分 （2）依题意知20，=ξ 则ξ的分布列为∴的数学期望为 ……12分21．（本小题满分12分）21、解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A ，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B.由于事 件A 、B 相互独立，且25262()3C p A C ==, 24262()5C P B C ==. ---------------------------------------------3分 所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=------------------------------5分22. 解：（1）∵10=P ， ∴211=P ，432121212=+⨯=P ，85214321213=⨯+⨯=P ．-----------------------3分 （2）棋子跳到第n 站，必是从第1-n 站或第2-n 站跳来的)1002(≤≤n ，所以212121--+=n n n P P P ， ∴)(212121212111--------=++-=-n n n n n n n P P P P P P P ， ∴)1002(211≤≤-=-n a a n n ，且21011-=-=P P a ，故{}n a 是公比为21-，首项为21-的等比数列)1001(≤≤n ．-----------------------------------------------------7分（3）由（2）知，)()()(989912019921P P P P P P a a a -++-+-=+++992)21()21()21(-++-+-= 3)21(199099---=-⇒P P )211(3210099-=⇒P ．故玩该游戏获胜的概率为)211(3210099-=P ．--------------------------------------------12分。