福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座高考推理和创新题新人教版
2024-2025学年福建省福州市高一上学期10月月考数学检测试题
2024-2025学年福建省福州市高一上学期10月月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知全集，则集合（）(](]0,4,2,4U U A B A C B =⋃=⋂=B =A.B.C.D.(],2∞-(),2∞-(]0,2()0,22. 某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y 1（万件），市场供应量y 2（万件）与市场价格x （百元/件）分别近似地满足下列关系：，，当时的需150y x =-+2210y x =-12y y =求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（ ）A .6百元B. 8百元C. 9百元D. 18百元3. 设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（）[]x x x A.= |x| B.C.> D.>[]x []x []x -x[]x 1x -4. 已知函数，则函数的零点所在区间为（2943,0()2log 9,0x xx f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩(())y f f x =）A. B. C. D. (1,0)-73,2⎛⎫⎪⎝⎭7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭(4,5)5. 设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩()1f f(x)a A.B.C. D.[)1,2-[]1,0-[]1,2[)1,+∞6. 已知函数的定义域为，且，，()f x R ()()()()0f x y f x y f x f y ++--=()11f -=则（ ）A. B. 为奇函数()00f =()f x C.D.的周期为3()81f =-()f x 7. 函数的定义域均为，且，()(),f x g x R ()()()()4488f xg x g x f x +-=--=，关于对称，，则的值为（）()g x 4x =()48g =()1812m f m =∑A .B. C. D. 24-32-34-40-8. 已知函数，若有且仅有两个整数、使得()()()lg 2240f x x a x a a =+--+>1x 2x ，，则的取值范围是（）()10f x >()20f x >a A. B. (]0,2lg 3-(]2lg 3,2lg 2--C.D.(]2lg 2,2-(]2lg 3,2-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9. 下列命题正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件1a >21a >B. “”是“”的必要不充分条件M N >lgM lgN >C. 命题“”的否定是“，使得”2,10x R x ∀∈+<x R ∃∈210x +<D. 设函数的导数为，则“”是“在处取得极值”的充要条件()f x ()f x '0()0f x '=()f x 0x x =10. 若函数的定义域为，且，，则（ ()f x R ()()2()()f x y f x y f x f y ++-=(2)1f =-）A. B. 为偶函数(0)0f =()f x C. 的图象关于点对称 D.()f x (1)0，301()1i f i ==-∑11. 已知函数是R 上的奇函数，对于任意，都有成()y f x =x R ∈(4)()(2)f x f x f +=+立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）[)0,2x ∈()21=-x f x A. (2)0f =B. 点是函数的图象的一个对称中心(4,0)()y f x =C. 函数在上单调递增()y f x =[6,2]--D. 函数在上有3个零点()y f x =[6,6]-三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12. 设函数，若为奇函数，则______.()()x x f x e ae a R -=+∈()f x a =13.=______422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14. 设为实数，若，则的取值范围m {}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，m 是．四、解答题：本题共5小题，共77分.15. 阅读下面题目及其解答过程．已知函数，23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…（1）求f （－2）与f （2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ①．因为2＞0，所以f （2）＝②．（2）因为x≤0时，有f(x)＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f(x)在上的最大值为③．(,0]-∞又因为x ＞0时，有，22()2(1)11f x x x x =-+=--+…而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1．综上，f(x)的最大值为⑤．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A ．（－2）＋3＝1B ．2(2)2(2)8--+⨯-=-②A.2＋3＝5 B ．22220-+⨯=③ A.3 B.0④A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0⑤A.1 B.316. 如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记30m 空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，ABC V DEFG F BC 边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍．DG AC G C D A（1）设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解S 2m AD x m S x 析式；（2）当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．AD 17. 已知定义在上的奇函数f （x ）满足：时，.R 0x ≥21()21x xf x -=+（1）求的表达式；()f x （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.x ()2(23)10f ax f ax ++->a 18. 已知，且．0,a b a cd >≥≥≥ab cd ≥（1）请给出的一组值，使得成立；,,,a b c d 2()a b c d ++≥（2）证明不等式恒成立．a b c d ++≥19. 对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则S ,x y S ∈x y S +∈x y S-∈称为一个好集合．以下记为的元素个数．S SS（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）3（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）4S =（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数S 2019S =S m S m 倍．。
福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题
福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题一、单选题1．设集合{2,4,7}M =-，{}230N xx x n =--=∣，若{4}M N ⋂=，则N =（ ） A ．{3,4}- B ．{2,4} C ．{1,4}D ．{1,4}-2．命题“[]1,2x ∃∈-，2102x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．0a ≥B ．3a ≥-C ．0a ≤D ．3a ≥3．已知奇函数()()22cos x xf x m x -=+⋅，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．124．若函数()ln 2h x x ax =-在[]1,3上不单调，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,1)-∞D ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．已知2sin 3αα=，则πcos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．6365-B ．1781-C ．2425 D ．456．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()121n n n S S S +=+，则511a S =（ ） A ．12-B ．23-C ．2-D ．34-7．已知函数22()e 2e 4(0)x x f x a a x a =-->，若函数()f x 的值域与(())f f x 的值域相同，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1]C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞8．已知0ω>，函数()sin f x x ω=与()cos g x x ω=的图象在[]π,2π上最多有两个公共点，则ω的取值范围为（ ）A ．15170,,448⎛⎤⎛⎫ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭UB ．59170,,448⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦UC ．179210,,848⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．17950,,842⎛⎤⎛⎫ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U二、多选题9．若a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若a b <，则33a b < C ．若||||a a b b <，则a b <D ．若0a b >>，则11b ba a+<+ 10．已知函数()ϕx 的定义域为R ，对于x ∀，y ∈R ，恒有()()()x y x y t ϕϕϕ+=+-，且当0x >时，()x t ϕ<，则下列命题正确的有（ ）A ．(0)t ϕ=B ．()(2)x t x ϕϕ=-C ．(2024)2(2024)t ϕϕ-=-D ．x y ∀≠∈R ，()[()()]0x y x y ϕϕ--<11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(32)(31)(61)n n n n S n S n S +-++-=+（n ∈N ，且2n ≥），若112a =，215a =，则下列说法正确的是（ ）A ．5114a =B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C ．数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的最小项为12D ．数列1(1)n n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前2n 项和2n T 为21812n n +三、填空题12．函数()22024log 1y ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是．13．已知数列{}n a 满足121,2a a ==，且12n n n a a a ++=+，则2029a = 14．已知不等式22ln 21e xa x x x+-≤-恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题15．已知函数ππ()sin sin (0)63f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)当2ω=时，求()f x 的对称轴方程和最大值；(2)若*ω∈N ，且()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，求()f x 在区间4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上的极值点个数．16．已知函数2()log 4(2)21x xf x a a ⎡⎤=++⋅++⎣⎦．(1)若0a =，求满足2()4f x <<的x 的取值范围； (2)若对任意1x ≥，(x)x f ≥恒成立，求a 的取值范围． 17．已知函数()cos 1f x x ax =+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程； (2)当12a =时，求()f x 在区间(0,)+∞上的零点个数． 18．设n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，11122n n n a a ++-=，134a =，数列{}n b 是公比为23-的等比数列，2289S T =．(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)比较n S 和n T 的大小．19．如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数()f x 的一个零点0x ，先取定一个初值1x ，曲线()y f x =在1x x =处的切线为1l ，记1l 与x 轴的交点横坐标为2x ，曲线()y f x =在2x x =处的切线为2l ，记2l 与x 轴的交点横坐标为3x ，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到0x 的近似值()*n x n ∈N ，设函数3()1f x x x =+-，令11x =．(1)证明：()f x 存在唯一零点0x ，且0213x <<； (2)已知23n x >，证明：2100n n x x x x +-<-； (3)经过4次迭代后，判断0x 的近似值5x 与0x 的差值小于710-．。
高中数学试题-2024~2025学年福州市高三年级第一次质量检测数学答案
2024-2025学年福州市高三年级第一次质量检测数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
15. （13分）已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+． （1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）求{}n a 的前n 项和n S ．【解法一】（1）证明：因为132n n a a +=+，且12a =，所以10n a +≠， ··················································································· 1分 所以1132111n n n n a a a a ++++=++ ········································································ 3分 3(1)31n n a a +==+， ···································································· 5分 又113a +=，所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列． ······························· 6分 （2）由（1）得13n n a +=，所以31n n a =−， ············································· 8分 所以()()()2313131n n S =−+−++−()233333n n =++++− ···························································· 10分13313n n +−=−− ············································································ 12分 133.2n n +−=− ············································································ 13分【解法二】（1）证明：因为132n n a a +=+，所以()113331n n n a a a ++=+=+， ····························································· 2分 因为12a =，所以1130a +=≠，所以10n a +≠， ········································ 4分 所以1131n n a a ++=+, 所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列． ······························· 6分 （2）略，同解法一． 16. （15分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2cos cos cos a C C B =⋅． （1）求角C ；（2）若4a =，b =D 为AB 中点，求CD 的长． 【解法一】（1）因为2cos cos cos a C C B =+⋅， 由正弦定理，得2sin cos cos sin A C B C B C =·············································· 2分()B C =+ ·································································· 4分()πA −A =，······································································ 6分 因为0πA <<，则sin 0A ≠，所以cos C =， ·········································· 7分 由于0πC <<，则π6C =； ···································································· 8分 （2）因为D 为AB 中点，故()12CD CA CB =+， ······································ 10分22111πcos 4426CA CB CA CB =++ ············································ 13分 1113164442=⨯+⨯+ 314=，················································································· 14分 所以CD ． ······································································ 15分 【解法二】（1）因为2coscos cos a CC B =⋅，由余弦定理，得2222222cos 22a b c a c b a C ab ac+−+−=··························· 2分 ， ···························································· 4分所以cos C =， ················································································ 6分 由于0πC <<，则π6C =； ···································································· 8分 （2）由（1）知，π6ACB ∠=， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos c a b ab ACB =+−∠··································································· 10分 22424=+−⨯ 7=， ··························································································· 11分 故c =， ······················································································· 12分 因为D 为AB 中点，所以cos cos 0ADC BDC ∠+∠=，故222222022AD CD AC BD CD BC AD CD BD CD +−+−+=⨯⨯⨯⨯， ·········································· 13分22222240CD CD +−+−=，故CD ． ··········································································· 15分 【解法三】（1）略，同解法一或解法二； （2）由（1）知，π6ACB ∠=， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos c a b ab ACB =+−∠··································································· 10分22424=+−⨯ 7=， ··························································································· 11分故c =， ······················································································· 12分 所以222cos 2b c a A bc+−=2224+−==， ············································································· 13分 在ACD △中，由余弦定理， 得2222cos CD AC AD AC AD A =+−⋅222⎛=+− ⎝⎭⎝314=， ······················································································· 14分故CD ． ··········································································· 15分 17. （15分）如图，在四棱锥S ABCD −中，BC ⊥平面SAB ，∥AD BC ，1SA BC ==，SB =，o 45SBA ∠=．（1）求证：SA ⊥平面ABCD ；（2）若12AD =，求平面SCD 与平面SAB 的夹角的余弦值． 【解法一】（1）在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由正弦定理，得sin sin SA SBSBA SAB=∠∠， ········································································· 1分所以1sin 45︒， ······································································ 2分 所以sin 1SAB ∠=，因为0180SAB ︒<∠<︒，所以90SAB ∠=︒，所以SA AB ⊥． ··················································································· 4分 因为BC ⊥平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥， ··················································································· 5分 又BCAB B =，所以SA ⊥平面ABCD ； ········································································· 6分 （2）解：由（1）知SA ⊥平面ABCD ，又,⊂AB AD 平面ABCD ，所以SA AB ⊥，SA AD ⊥，因为BC ⊥平面SAB ， ··········································································· 7分 ⊂AB 平面SAB ，所以BC AB ⊥，因为∥AD BC ，所以AD AB ⊥，所以,,SA AD AB 两两垂直． ··································································· 8分 以点A 为原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ················································································ 9分 则1(1,1,0),,0,0,2(0,0,1),D S C ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()1,1,1SC =−，1,0,12SD ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，设平面SCD 的法向量为1(,,)x y z =n ，则11,,SC SD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即110,10,2SC x y z SD x z ⎧⋅=+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n 取2x =，则()12,1,1=−n ， ·································································· 11分显然平面SAB 的一个法向量()21,0,0=n ， ················································ 12分 所以cos ⋅=⋅121212n n n ,n n n ····································································· 13分==········································································· 14分 所以平面SCD 与平面SAB ． ··································· 15分 【解法二】（1）证明：设AB x =，在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由余弦定理，得2222cos SA SB AB SB S AB BA =∠+−⋅， · (1)分 所以212co 5s 4x =+−︒， (2)分所以221x +−=， 所以2210x x −+=，解得1x =． ························································································ 3分 所以2222SA AB SB +==，所以SA AB ⊥． ················································ 4分 因为BC ⊥平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥， ··················································································· 5分 又BCAB B =，所以SA ⊥平面ABCD ； ········································································· 6分 （2）略，同解法一．【解法三】（1）设AB x =，在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由余弦定理，得2222cos SA SB AB SB S AB BA =∠+−⋅， (1)分所以212co 5s 4x =+−︒， ································································ 2分所以221x+−=，所以2210x x−+=，解得1x=． ························································································3分所以2222SA AB SB+==，所以SA AB⊥．················································4分因为BC⊥平面SAB，BC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面SAB；·································································5分又平面ABCD平面SAB AB=，SA AB⊥，SA⊂平面SAB，所以SA⊥平面ABCD；·········································································6分（2）由（1）知SA⊥平面ABCD，过B作BM SA，则BM⊥平面ABCD，又,AB BC⊂平面ABCD，所以BM AB⊥，BM BC⊥，因为BC⊥平面SAB，···········································································7分又⊂AB平面SAB，所以BC AB⊥，所以,,BM BA BC两两垂直．··································································8分以点B为原点，分别以BA，BC，BM所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ················································································9分则1(0,1,0),1,(,0,21,0,1),CS D⎛⎫⎪⎝⎭所以()1,1,1SC=−−，11,,02CD⎛⎫=−⎪⎝⎭，设平面SCD的法向量为1(,,)x y z=n，则11,,SCCD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩nn即110,10,2SC x y zCD x y⎧⋅=−+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩nn取2y=，则()11,2,1=n， ···································································· 11分显然平面SAB的一个法向量()20,1,0=n， ··············································· 12分所以cos⋅=⋅121212n nn,nn n····································································· 13分=。
福建省福州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题
福建省福州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题一、单选题1．直线0x 的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．在正四面体OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u ur r ，D 为BC 中点，E 为AD 靠近D 的三等分点，用向量a r ，b r ，c r 表示OE =u u u r（ ）A ．111333OE a b c =++u u u r r r r B ．1223OE a b c =++u u u r r r rC ．111242OE a b c =++u u u r r r rD ．111244OE a b c =++u u u r r r r3．下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是（ ） A ．2()1f x x =- B ．1()f x x x=- C ．12()log ||f x x =D ．||()2x f x =4．已知直线l 的倾斜角为34π，直线1l 经过点()3,2A 和(),1B a -，且直线l 与1l 垂直，a 的值为（ ） A ．1B ．6C ．0或6D ．05．从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是（ ） A ．13B ．14C ．12D ．236．正四面体P ABC ﹣的棱长为2，点D 是PAB V 的重心，则PD BC ⋅u u u r u u u r的值为（ ） A ．12B ．12-C ．23D ．23-7．空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,0A ，()0,1,2B ，()1,0,2C ，点P 在平面ABC 内，且OP ⊥平面ABC ，则BP =（ ）AB C D 8．在等腰直角三角形ABC 中，3AB AC ==，点P 是边AB 上异于A B ､的一点，光线从点P出发，经BC CA ､反射后又回到点P ，如图，若光线QR 经过ABC V 的重心，则AP =（ ）A ．32B ．34C ．1D ．2二、多选题9．已知一组数据：3，4，4，6，7，8，10，则这组数据的（ ） A ．极差为7 B ．众数为4C ．方差为407D ．第60百分位数为710．已知(2,1,2)a =-r，(2,2,1)b =r ，则（ ）A ．a r，b r夹角为锐角B ．a b +rr 与a b -r r 相互垂直 C ．||||a b a b +=-r r r rD ．以a r，b r11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A B 的中点，P 为棱BC 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．存在点P ，使11D P AC ⊥B ．存在点P ，使1PE D E =C ．四面体11EPCD 的体积为定值83D ．二面角11P DE C --的余弦值的取值范围是23⎡⎢⎣⎦三、填空题12．已知复数1i2iz -=+（i 为虚数单位），则z =. 13．已知()1,1,2=-a r ，()2,2,3b =-r ，则b r 在a r方向上的投影向量为.14．如图正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1AA 的中点，点F 为正方形11AA B B 内一动点，且//CF 平面1DEC ，若异面直线CF 与11A D 所成角为θ，则tan θ的最小值为.四、解答题15．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160，第二组[)160,165，⋯，第八组[]190,195，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(1)求第七组的频率；(2)估计该校800名男生的身高的中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件{}5E x y =-≤，求()P E .16．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．17．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =sin cos cos sin sin sin A C A C C Ac b a a b ++=+--.（1）求ABC V 外接圆的半径； （2）若3c =，求ABC V 的面积.18．已知ABC V 的三个顶点是()2,3A ，()1,2B ，()4,4C -. (1)求BC 边上的高所在直线1l 的方程；(2)若直线2l 过点C ，且点A ，B 到直线2l 的距离相等，求直线2l 的方程.19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAB 是等边三角形，24BC AB ==，AB AC ⊥，PB AC ⊥.请用空间向量的知识解答下列问题：(1)求PD 与平面PAB 所成角的大小；(2)设Q 为侧棱PD 上一点，四边形BEQF 是过B ，Q 两点的截面，且//AC 平面BEQF ，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD DQDP的值；若不存在，说明理由.。
福建省福州高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷
福建省福州高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}1,2,3,4,0,1,2,3A B ==，则A B =U （ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,2,3,4 C ．{}0,1,2,3D ．{}0,1,2,3,42．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题中，真命题为（ ） A ．若,a b c d >>，则a c b d ->- B ．若,a b c d >>，则ac bd > C ．若0a b >>D ．若0a b >>，则2211a b> 3．已知8N N M x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合M 的真子集的个数是（ ）A ．7B ．8C ．15D ．164．已知集合{}{},1|2,1A B x ax =-==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭5．若实数a ，b 满足15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，则32a b -的最小值为（ ） A ．6-B ．2-C ．10D ．146．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．关于x 的不等式2210mx mx +-<的解集为R 的一个必要不充分条件是（ ） A ．10m -<< B ．10m -<≤ C ．20m -<<D ．20m -<≤8．无字证明即无需语言的证明（proof without words ），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径做半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ．连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则下面可由CD DE ≥进行无字证明的不等式为（ ）A ()20,0aba b a b>>+ B ．)0,02a ba b +≥>> C ．()2220,0a b ab a b +≥>>D ．()220,022a b a b a b ++≥>>二、多选题9．图中阴影部分用集合表示正确的是（ ）A ．AB ⋂ B ．()()A U AB ⋂痧C ．()U A B ⋂ðD ．()()U U A B ⋂痧10．下列说法正确的有（ ）A ．命题p ：2R,0x x ∀∈>，则2:R,0p x x ⌝∃∈<B ．“粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华．”其中“腹有诗书”是“气自华”的充分条件C ．“1ab >”是“1a >且1b >”的必要条件D ．“x ，y 为无理数”是“x y +为无理数”的既不充分也不必要条件 11．已知0,0,22a b a b >>+=，则下列结论正确的有（ ）A ．ab 的最大值12B ．22a b +的最小值为1C ．12a b+的最小值92D ．1323a b a b+++的最小值85三、填空题12．已知集合{}{}20,2,0,A m B m =-=，且A B =，则实数m 的值为．13．已知命题：“41,201x x a x ∀>+->-”为真命题，则实数a 的取值范围是． 14．关于不等式组()2220330x x x k x k ⎧-->⎪⎨+--<⎪⎩的整数解的集合为{2}-，则实数k 的取值范围是.四、解答题15．已知集合{}|14A x x =<<，集合{}|21B x m x m =-<<+． (1)当1m =时，求A B ⋂；(2)若A B =∅I ，求实数m 的取值范围．16．已知命题p ：“2,40x x ax ∃∈-+=R ”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A ． (1)求集合A ；(2)设集合{}121|B x m x m =+<<+，若t B ∈是t A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．17．“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x 年，则其所需维修保养费用x 年来的总和为()2210x x +万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y 万元．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到30万元以上；(2)该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（盈利总额年平均盈利额＝使用年数）18．设()212()y ax a x a a =+-+-∈R ．(1)当a =2时，解关于x 的不等式1y <； (2)当0a <时，解关于x 的不等式1y a <-；(3)若关于x 的不等式2y ≥-在1x ≥时有解，求实数a 的取值范围．19．若一个集合含有n 个元素(2,N)n n ≥∈，且这n 个元素之和等于这n 个元素之积，则称该集合为n 元“复活集”.(1)直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）；(2)求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由.。
福建省2024-2025学年高二上学期10月月考模拟数学试卷 (解析版)
2024-2025学年福建省高二上学期10月月考模拟数学试卷注 意 事 项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(0,3,3)a =是直线l 的方向向量，(1,1,0)b − 是平面m 的一个法向量，则直线l与平面m 所成的角为（ ） A ．π6B ．π4C．π3D ．π2【答案】A【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合线面角的公式即可得到结果. 【详解】设直线l 与平面m 所成的角为θ，由题意可得，1sin cos ,2a θ=< ，即π6θ=.故选：A 2．已知()2,1,3a =−，()1,4,2b =−− ，(),2,4c λ= ，若a ，b ，c共面，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由a，b，c 三向量共面，我们可以用向量a，b作基底表示向量c，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．【详解】 ()2,1,3a =− ，()1,4,2b =−−，∴a与b不平行，又 a，b，c三向量共面，则存在实数x ，y 使c xa yb =+，即242324x y x y x y λ−= −+=−= ，解得213x y λ== =． 故选：C3．如图，在棱长均相等的四面体O ABC −中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设,,OA a OB b OC c === ，则OE =（ ）A ．111663a b c ++B ．111333a b c ++C ．111663a b c +−D ．112663a b c ++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】由于12CE ED =， 所以()11113332CE CD CA AD CA AB==+=+ 1136CA AB +, 所以1136OE OC CE OC CA AB =+=++()()1136OC OA OC OB OA =+−+−112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D4．设,R x y ∈，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y =，()2,4,2c =− 且,//a c b c ⊥，则a b += （ ）A．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得,x y 的值，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量(),1,1,a x = ()1,,1,= b y ()2,4,2,=−c 且,//a c b c ⊥，可得2420124x y−+== − ，解得1,2x y ==−，所以()1,1,1a = ，()1,2,1b =− ，则()2,1,2a b +− ，所以3a b +=. 故选：C.5．已知三棱锥O ABC −，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a = ，OB b =，OC c = ，用a ，b ，c表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12b c a +− B ．()12a b c +− C ．()12a b c −+ D ．()12c a b −− 【答案】A【分析】由向量对应线段的空间关系，应用向量加法法则用OA ，OB ，OC 表示出MN即可.【详解】由图知：1111()2222MN MO OC CN OA OC CB OA OC OB OC =++=−++=−++− 1111()2222OA OB OC b c a =−++=+−.故选：A6．已知正三棱柱111ABC A B C −的各棱长都为2，以下选项正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1BC 垂直B ．1BC 与平面11AA B BC ．平面1ABC 与平面ABCD ．点C 到直线1AB【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,由空间向量法求空间角、距离，判断垂直． 【详解】如图，以AB 为x 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B，C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B，1C ，11(2,0,2),(2)AB BC −，112420AB BC ⋅=−+=≠ ，1AB 与1BC不垂直，A 错；平面11AA B B 的一个法向量为(0,1,0)m =，111cos ,BC m BC mBC m ⋅==所以1BC 与平面11AA B BB 正确； 设平面1ABC 的一个法向量是(,,)n x y z = ，又(2,0,0)AB =，由100n AB n BC ⋅= ⋅=得2020x x z = −+= ，令2y =得(0,2,n = ，平面ABC 的一个法向量是(0,0,1)p =，cos ,n p =所以平面1ABC 与平面ABCC 错；AC =，12AB AC ⋅=，d 所以点C 到直线1AB的距离为h ===，D 错； 故选：B ．7．在正方体1111ABCD A B C D −中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠.【详解】正方体1111ABCD A B C D −中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上 此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角设正方体的边长为2,则1PC EC EP =−−,2BC =所以tan BC BPC PC ∠=【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.8．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍薨，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，且二面角E AD B −−与F BC A −−相等，则EF长度的取值范围为（ ）A ．()2,14B ．()2,8C ．()0,12D ．()2,12【答案】A【分析】由题意找到二面角E AD B −−与F BC A −−的两个极端位置，即二面角的平面角为0 和180 时，求得相应EF 的长，集合题意即可得答案.【详解】由题意可知AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，故ADE 与BCF 的底边,AD BC 上的高为3=， 因为二面角E AD B −−与F BC A −−相等，故当该二面角的平面角为0 时，此时EF 落在四边形ABCD 内，长度为8232−×=，当该二面角的平面角为180 时，此时EF 落在平面ABCD 上，长度为82314+×=，由于该几何体ABCDEF 为五面体，故二面角E AD B −−与F BC A −−的平面角大于0 小于180 ，故EF 长度的取值范围为()2,14，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024-2025学年福建省福州市高新一中高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年福建省福州市高新一中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈Z|x(x−3)<0}，B ={−1,2,3}，则A ∩B =( )A. {2}B. {2,3}C. {−1,1,2,3}D. ⌀2.已知α∈(π2,π)，sinα=35，则tan (α+π4)=( )A. −17B. 7C. 17D. −73.“lna >lnb ”是“ a >b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)=xcosxe |x|−1的图象大致为( )A. B.C. D.5.实数x ，y 满足2x +y =−1，x >0，则x−yx 的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.已知函数f(x)=log 0.5(x 2−ax +3a)在(2,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [−4,4]D. (−4,4]7.已知定义域为R 的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)−f(x)<0，f(0)=1，则( )A. ef(−1)<1B. f(1)>eC. f(12)<eD. f(1)>e f(12)8.已知f(x)={|ln (−x)|,x <0x 2−4x +5,x ≥1，若方程f(x)=m(m ∈R)有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4的取值范围是( )A. (3,4)B. (2,4)C. [0,4)D. [3,4)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，与sin5π6的值相等的是( )A. cos2π3B. cos18°cos42°−sin18°sin42°C. 2sin15°sin75°D. tan30°+tan15°1−tan30∘tan15∘10.已知a>0，b>0，a+2b=1，下列结论正确的是( )A. 1a +2b的最小值为9 B. a2+b2的最小值为15C. log2a+log2b的最小值为−3D. 2a+4b的最小值为2211.设函数f(x)与其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x+2)为偶函数，f(1+x)−f(1−x)=0，则( )A. f′(1+x)=f′(1−x)B. f′(3)=0C. f′(2025)=0D. f(2+x)+f(2−x)=2f(2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
福建师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
福建师大附中2024-2025学年第一学期高二第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 若角α的终边上一点的坐标为(11)−，，则cos α=( )A. 1−B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角α的终边上一点的坐标为(11)−，，它与原点的距离r=，∴cos x r α==， 故选：C.2. 下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是 A. 1y x=B. y x =C. 21y x =−+D. 243y x x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数；对于C 选项，函数21y x =−+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =−+在区间()1,2上为减函数. 故选B.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.3. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D 【解析】【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++×=， 故乙班成绩的75百分位数为80，由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数57258596768269279687882899874.820x ×++++×+×+×++×++=甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =×+×+××+×=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D 4.的直三棱柱111ABC A B C −中，ABC 为等边三角形，且ABC的外接圆半径为 ） A. 12π B. 8π C. 6π D. 3π【答案】A为【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC可得2πsin3a =，故a =则ABC的面积2S.可得11S AA AA ⋅==1AA =， 设三棱柱外接球的半径为R，则2221723233AA R =+=+=， 故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =. 故选：A ．5. 已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+−<<，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象关于y 轴对称，则关于函数()f x ，下列命题正确的是 A. 函数()f x 在区间,63ππ−上有最小值 B. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=C. 函数()f x 在区间,63ππ−上单调递增 D. 函数()f x 的一个对称点为,03π【答案】C 【解析】【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【详解】将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到2[2]233y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），此时函数为偶函数， 则232k k Z ππϕπ+=+∈，， 即06k k Z πϕππϕ=−+∈− ，，＜＜，∴当0k =时，6，πϕ=−则26f x sin x π=−（）（），当63x ππ−＜＜时22233262x x πππππ−−−，＜＜，＜＜， 则此时函数()f x 在区间,63ππ − 上单调递增，且()f x 在区间,63ππ−上没有最小值， 故C 正确， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数性质判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC =6BC =，D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，Q 为DE 上一点，AQ GQ ⊥，当AQG 的面积取得最小值时，三棱锥Q AEF −外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】【分析】连接GF ，GD ，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设EQ x =，DQ y =，根据222AQ GQ AG +=得到()2221697x y x y +++=++，得到12AQG S AQ GQ =⋅= ，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接GF ，GD ，因为D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，的所以2//,11,//,2GF GF PA PA DE PA PA DE ==，1//,2GD BC GD BC =，1//,2EF BC EF BC =，则//GF DE ，因为PA ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，AE ⊂ 平面ABC ，所以DE AE ⊥，所以DE GD ⊥，AF ⊂ 平面ABC ，所以GF AF ⊥．设EQ x =，DQ y =，则AQ ，GQ ，AG ==，因为AQ GQ ⊥，所以222AQ GQ AG +=，即()2221697x y x y +++=++， 整理得9xy =，所以12AQGS AQ GQ =⋅= 由基本不等式得2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即x =y =所以当AQC S 取得最小值时，EQ =，DQ =． 因为AF EF ⊥，QE ⊥平面AEF ，所以可将三棱锥Q AEF −补形为如图所示的长方体，则三棱锥Q AEF −的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为AQ =，故三棱锥Q AEF −，故三棱锥Q AEF −外接球的表面积为4π728π×=，故选：B ．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．7. 、，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D.12或32【答案】C 【解析】【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的定义可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ， 则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论： ①E 在AC 、11A C 的同侧，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11211OO EO EO =−=−=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥， 因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 1AFAA F A F∠==； ②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11213OO EO EO =+=+=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF A C ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 3AFAA F A F∠==. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.8. 在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，2BA BC += ，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是A [2,1)− B. 2,13C. 22,3 −D. 22,3−【答案】D 【解析】【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+= ，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅−=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四.边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD += ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ∩=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中， 1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos 2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠ ， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈− ， 所以当11[,]22x ∈− 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈−，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.二、多选题（每小题6分，共18分）9. 一组样本数据12,,,n x x x …的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++…，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s ′，则（ ） A. 2y x > B. 2y x = C. s s ′> D. s s ′=【答案】BC 【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】由题意322nx n xyx n+⋅=， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==−+−++−=−∑，同理222222211(3)9nnkkk n k n ns xn x xnx=+=+=−⋅=−∑∑ 两式相加得22221210nk k ns x nx ==−∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx ==′=−⋅=−∑∑，所以2222ns ns ′>，s s ′>． 故选：BC ．10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（ ）A. 1//A B 平面1AECB. EF 与1BC 所成的角为30°C. ⊥EF 平面1B ACD. 平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】设点M 为棱11A D 的中点，得到四边形1AEC M 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得1//A B 平面1AEC ，可判定A 正确；再得到四边形1AEC M 为菱形，求得截面的面积，可判定D 正确；设1CC 的中点为N ，证得1//EN BC ，得到NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，利用余弦定理求得cos NEF ∠，可判定B 正确；假设⊥EF 平面1B AC 正确，得到1EF B C ⊥，结合11FC B C ⊥，证得1B C ⊥平面1EFC ，得到11B C EC ⊥，进而判定C 错误．【详解】如图1所示，设点M 为棱11A D 的中点，则1MC AE ，平行且相等，所以四边形1AEC M 为平行四边形，又1//A B ME ，1⊄A B 平面1AEC ，ME ⊂平面1AEC ，所以1//A B 平面1AEC ，故A 正确； 由上可知，四边形1AEC M 为平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面，易得11AE EC C M MA ====，故四边形1AEC M 为菱形，又其对角线EM =，1AC =12××，故D 正确； 设1CC 的中点为N ，连接,EN FN ，因为,E N 分别为BC 与1CC 的中点，所以1//EN BC ，故NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，又EN FN ==，EF =由余弦定理可得222cos 2EN EF NF NEF EN EF +−∠==⋅ 所以EF 与1BC 所成的角为30°，故B 正确；如图2所示，假设⊥EF 平面1B AC 正确，则1EF B C ⊥，又11FC B C ⊥，1EF FC F ∩=，所以1B C ⊥平面1EFC ，得11B C EC ⊥． 在正方形11B C CB 中，11B C EC ⊥，显然不成立，所以假设错误， 即⊥EF 平面1B AC 错误，故C 错误． 故选：ABD ．11. 已知,a b 均为正数且11a b a b+=+，下列不等式正确的有（ ）A. 23+≥B.2+≥C. 3a +≥D.23a b a+≥ 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件可得1ab =，然后逐个分析判断即可 【详解】由11a b a b+=+，得a b a b ab ++=，所以()()0ab a b a b +−+=，()(1)0a b ab +−= 因为,a b 均为正数，所以1ab =，对于A ，2≥===，即ab 时取等号，所以A 错误，对于B 2+≥=，即1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为1ab =，所以1a b=，所以13a b +=+≥=，=，即1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，因为1ab =，所以22223a a ba b b b a ab++==++≥，当且仅当2a b =，即1a b ==时取等号，所以D 正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知1x >−，则41x x ++的最小值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】由1x >−可得10x +>，将41x x ++整理为4111++−+x x ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >−，所以10x +>，所以441111x x x x +=++−++13≥−=， 当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号， 所以41x x ++的最小值为3， 故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x + =++<， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】 ①. ﹣14 ②. 1(1,][0,)2−−+∞ 【解析】【分析】（1）对分段函数的两段函数分别求最小值，然后比较可得； （2）结合函数性质与解方程()0f x =，可得结论．【详解】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥ =++< ， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==， 1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+−，min 31()()24f x f =−=−， 所以32x =−时，min 1()4f x =−；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥ = <，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点， 但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a −和2a −，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =−或2x a =−，因为()f x 只有两个零点，所以121a a −< −≥，解得112a −<≤−， 综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2−−+∞ ．【点睛】本题考查求分段函数的最值，由分段函数的零点个数求参数取值范围．解题时需分类讨论，按分段函数的定义分类讨论．14. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC = ，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=− ，则AE AC ⋅= ____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+ 由45AF BC ⋅=− 可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE ACAB AC AC ⋅=+⋅ ，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =,12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =， 同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ,由45AF BC ⋅=− ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅−=−+⋅=− , 可得：14244422cos 5555BAC ×−×+××∠=−,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=×××+×= ,故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.四、解答题（共77分）15. 如图1，在平面四边形PBCD 中，已知BC PB ⊥，PD CD ⊥，6PB =，2BC =，2DP CD =，DA PB ⊥于点A .将PAD △沿AD 折起使得PA ⊥平面ABCD ，如图2，设MD PD λ=（01λ≤≤）.（1）若23λ=，求证：PB //平面MAC ； （2）若直线AM 与平面PCD，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ= 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】在平面四边形PBCD 中，BC PB ⊥，6PB =，2BC =，所以CP =tan BPC ∠= 又PD CD ⊥，2DP CD =，所以CD =，PD =，1tan 2DPC ∠=， 所以()1123tan tan 111123BPD BPC DPC +∠=∠+∠==−×，所以45BPD ∠=°. 所以在Rt PAD △中，易得4PA AD ==. 因为DA PB ⊥，BC PB ⊥，所以//AD BC .在四棱锥P ABCD −中，连接BD ，设BD AC F ∩=，连接MF ，因为23λ=，所以2DMMP =， 又2AD DFBC FB==，所以MF PB ∥. 因为MF ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，所以PB ∥平面MAC .【小问2详解】由题意易知AB ，AD ，AP 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ， 则()2,2,0CD =− ，()0,4,4PD =−.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⋅= ⋅=，即220440x y y z −+= −= ， 令1x =，得11y z == ，即()1,1,1n = . 由MD PD λ=，得()0,4,4MD λλ=− ， 故()0,44,4M λλ−，()0,44,4AM λλ=−.由直线AM 与平面PCD，的得cos ,AM n AM n AM n⋅==，解得12λ=. 16. 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．（1）求证：11BC A C ；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥面ABC ，11AB A B ∥， 又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC⊂平面11BCC B ， 所以1AB BC ⊥，因为11AB A B ∥，所以11A B ⊥1BC ， 在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ， 所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ， 所以11BC A C ．法二：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以11BC A C ．【小问2详解】由（1）得11BC A C ，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ∩=， 所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角， 因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得OH = 又在Rt BOH中，BO =BH =，cos OH BHO BH ∠=， 所以二面角11B A C B −−法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ， 则111111020n BC x n BA y z ⋅== ⋅+ ，取11y =，得1(0,1,2)n =− ，1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ， 则21222112020n B C x z n B A y ⋅=−= ⋅== ，取21x =，得2(1,0,1)n = ， 设二面角11B A C B −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==因为θ为锐角，所以二面角11B A C B −−17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；． 【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得12MNcos DMN DM∠==．则异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDM CD∠=．即直线CD 与平面ABD． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．Rt △CAD 中，CD=4．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 棱柱1111ABCD A B C D −的所有棱长都等于4，60ABC ∠=°，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=°.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B −−的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AA BD ⋅=，即可证得1DB AA ⊥；在（2）分别求得平面1AA D 和平面1AA B 的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CP CC λ= ，求得BP 的坐标和平面11DA C 的法向量，结合30n BP ⋅= ，求得1λ=−，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD 交AC 于O ，则BD AC ⊥，连接1A O ，在1AAO 中，14AA =，2AO =，160AAO ∠=°，∴2221112cos 60AO AA AO AA AO =+−=°⋅22211AO A O AA +=， ∴1A O AO ⊥，由于平面11AA C C ⊥平面ABCD ，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A −，()B ，()0,2,0C，()D −，(10,0,A ， （1）由于()BD =−，(10,2,AA =，()2,0AB = ， 则10AA BD ⋅= ，∴1BD AA ⊥.（2）设平面1AA D 的法向量()2,,n x y z = ，则21200n AA n AD ⋅= ⋅=，即0y y += + ，取1x =，可得()21n =− ， 同理，可得平面1AA B的法向量()11,n = ， 所以1212123cos 5n n n n n n ⋅⋅==− ， 又由图可知成钝角，所以二面角1D A A B −−的平面角的余弦值是35. （3）假设在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ，设1CP CC λ= ，(),,P x y z ，则()(,2,0,2,x y z λ−=，得(0,22,)P λ+，(22,)BP λ−+， 设3n ⊥ 平面11DA C ，则31131n A C n DA ⊥ ⊥ ，设()3333,,n x y z = ，得到333200y = +=，不妨取()31,0,1n =− ，又因为//BP 平面11DA C ，则30n BP ⋅= 即0−=得1λ=−.即点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =.【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意()f x A ∈，()f x 均存在反函数1()f x −，且1()f x A −∈；②对任意()f x A ∈，方程()f x x =均有解；③对任意()f x 、()g x A ∈，若函数()g x 为定义在R 上的一次函数，则(())f g x A ∈.（1）若1()()2x f x =，()23g x x =−，均在集合A 中，求证：函数12()log (23)h x x A =−∈； （2）若函数2()1x a f x x +=+（1x ≥）在集合A 中，求实数a 的取值范围； （3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.【答案】（1）见详解；（2）[]1,3a ∈；（3）见详解； 【解析】【分析】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③即可证明.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，可得1a ≥，变形21()1211x a a f x x x x ++==++−++，[)()1,x ∈+∞.与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =）， 由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=，可得ad b bc d +=+，即11b d a c =−−，即可得证. 【详解】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③可得：()()112()log (23)hx x f g x A −=−=∈.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，1a ∴≥， 由22111()12111x a x a a f x x x x x +−+++===++−+++[)()1,x ∈+∞,2>，3a >时，112a −>，且()112a f f − =， ∴此时()f x 没有反函数，即不满足性质①.2≤，13a ≤≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴此时()f x 有反函数，即满足性质①.综上：[]1,3a ∈.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=， ∴ad b bc d +=+，即11b d ac =−−， ()1f x x =，可得ax b x +=，1b x a =−, ()2f x x =，可得cx d x +=，1d x c =−, 由此可知：对于任意两个函数()1f x ，()2f x ，存在相同的0x 满足：()()10020f x x f x =，∴存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.质，难度较大.。
福建省福州市2024-2025学年高一上学期10月份第一次月考数学模拟试卷(解析版)
2024-2025学年福州市高一上学期第一次月考数学模拟试卷总分150分；考试时间120分钟；一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组对象中不能组成集合的是（ ）．A ．2023年男篮世界杯参赛队伍B ．中国古典长篇小说四大名著C ．高中数学中的难题D ．我国的直辖市【答案】C【分析】根据组成集合的要素之确定性即可得解.【详解】A ，B ，D 所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C 高中数学中的难题，怎样算难题不能确定，不能组成集合，故选：C ．2. 已知M,N 都是U 的子集,则图中的阴影部分表示( )A. M ∪NB. ∁U (M ∪N)C. (∁U M)∩ND. ∁U (M∩N)【答案】B【分析】观察图形可知，图中非阴影部分所表示的集合是A B ∪，从而得出图中阴影部分所表示的集合.【详解】由题意，图中非阴影部分所表示的集合是A B ∪，所以图中阴影部分所表示的集合为A B ∪的 补集，即图中阴影部分所表示的集合为()U C A B ，故选B.【点睛】本题主要考查集合的venn 图的表示及应用，其中venn 图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的关系，熟记venn 图的含义是解答的关键.3．若集合{}1,2,3A =，(){},|40,,Bx y x y x y A =+−>∈，则集合B 的真子集个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C 【分析】先用列举法求出集合B ，在根据真子集的公式21n −求解.【详解】由题意可知()()(){}2,3,3,2,3,3B =，所以集合B 的真子集个数为3217−=个.故选：C4．已知集合{}12A x x =−<<，{}01B x x =<<，则（ ） A ．A B >B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A B = 【答案】C【分析】根据子集包含关系得到答案. 【详解】{}{}0112x x x x <<⊆−<<，故B ⊆A .故选：C5．已知命题3:0,p x x x ∀≥>，命题2:0,10q x x ∃<+>，则（ ）A ．p 和q 均为真命题B ．p ¬和q 均为真命题C ．p 和q ¬均为真命题D ．p ¬和q ¬均为真命题 【答案】B【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断.【详解】对于命题p ，当1x =时，3x x =，所以p 为假命题，则p ¬为真命题；对于命题q ，当1x =−时，210x ，所以q 为真命题.综上，p ¬和q 均为真命题.故选：B.6．设,a b ∈R ，则“1a <且1b <”是“2a b +<”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.【详解】若1a <且1b <，则2a b +<，即充分性成立；若2a b +<，例如1,0a b ==，满足2a b +<，但不满足1a <且1b <，即必要性不成立；综上所述：“1a <且1b <”是“2a b +<”的充分不必要条件.故选：A.7．227x x +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】由题意知0x ≠，所以2270,0x x >>，所以227x x +≥当且仅当227x x =，即2x 时，等号成立. 故选：B.8．若关于x 的方程()2210mx m x m +−+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．14m <B ．14m >C ．14m <且0m ≠ D ．14m >且0m ≠ 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出不等式组并求解即得.【详解】由方程()2210mx m x m +−+=有两个不相等的实数根，得()220Δ2140m m m ≠ −−> ， 即410m −+>，解得14m <，因此14m <且0m ≠， 所以实数m 的取值范围是14m <且0m ≠. 故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．“11a b>”是“a b >”的充分不必要条件B ．“A =∅”是“A B ∩=∅”的充分不必要条件C ．若,,R a b c ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D ．若,R a b ∈，则“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件【答案】BD【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】对于A 选项，当2,3a b ==时， 11;23a b ><，当1,2a b =−=−时， 11212−>−−>−，，所以两者既不充分也不必要，故A 错误;对于B 选项，当A B ∩=∅时，可取}{}{1,2A B ==，但A ≠∅，当A =∅时，A B ∩=∅，故 B 正确; 对于C 选项，当 22ab cb >时， 20b >，从而a c >，反之，a c >时，若0b =，则 22ab cb =，所以两者不是充要条件，故 C 错误；对于D 选项，220,0a b a +≠≠且00b a b ≠⇔+≠，故D 正确，故选：BD .10．下列命题中，是真命题的有（ ）A ．集合{}1,2的所有真子集为{}{}1,2B ．若{}{}1,2,a b =（其中,a b ∈R ），则3a b +=C ．{x x 是等边三角形}⊆}D ．{}{}3,6,x x k k x x z z =∈⊆=∈N N【答案】BC【分析】根据真子集的定义即可判断A ；根据等集的定义即可判断B ；根据子集的定义即可判断CD.【详解】集合{}1,2真子集是∅，{}{}1,2共3个，所以A 为假命题；由{}{}1,2,a b =，知2a =，1b =，则3a b +=，则B 为真命题； 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C 为真命题；{}623,x x z z z ==×∈N ，所以{}{}6,3,x x z z x x k k =∈⊆=∈N N ，所以D 为假命题．故选：BC.11．若关于x 的一元二次不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为{}23x x −<<，则（ ）A ．0a >B ．0bc >C ．0a b +=D ．0a b c −+>【答案】BCD 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断.【详解】对于A ，由题意，结合二次函数2y ax bx c ++的图象知，抛物线开口应向下，则a<0，故A 错误；对于B ，依题意，a<0，且一元二次方程20ax bx c ++=的两根为2−和3， 由韦达定理，2323b a c a −+=− −×=，故0b a =−>，60c a =−>，即0bc >，故B 正确； 对于C ，由上分析可得0a b +=，故C 正确； 对于D ，由上分析可得()(6)40a b c a a a a −+=−−+−=−>，故D 正确.故选：BCD.12. 对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和．给定集合 1,2,3,4S ，定义集合(){},T f A A S A ⊆≠∅，则下列说法正确的是（ ）A. 7T ∈B. 8T ∉C. 集合T 中有10个元素D. 集合T 中有11个元素 【答案】AC【分析】列举出集合A ，求出对应的()f A 的值，可得出集合T ，即可得出合适的选项.【详解】A S ⊆ 且A ≠∅.①当A 为单元素集合时，集合A 可取{}1、{}2、{}3、{}4，()f A 可取1、2、3、4；②当A 中的元素个数为2时，集合A 可取{}1,2、{}1,3、{}1,4、{}2,3、{}2,4、{}3,4，()f A 可取3、4、5、6、7；③当A 中的元素个数为3时，集合A 可取{}1,2,3、{}1,2,4、{}1,3,4、{}2,3,4，()f A 可取6、7、8、9；④当A S =时，()10f A =.综上所述，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10T =，AC 选项正确，BD 选项错误.故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 命题“x ∀∈R ，240x x −+≥”的否定为______.【答案】x ∃∈R ，240x x −+<【分析】利用全称量词命题的否定求解.【详解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“x ∀∈R ，240x x −+≥”的否定为“x ∃∈R ，240x x −+<”.故答案为：x ∃∈R ，240x x −+<14．集合{}2|40A x x =−=的子集个数是 ．【答案】4【分析】首先求集合，然后再求集合的子集个数.【详解】由x 2-4=0，解得：x =±2，故A ={2，-2}，故子集的个数是22=4个．故答案为：4.【点睛】本题考查空集和子集个数，属于基础题.15. 已知0a >，则91a a ++的最小值是______． 【答案】5【分析】构造基本不等式求出最小值即可.【详解】由题意可得，99111511a a a a +=++−≥=++，当且仅当911a a +=+，即2a =时，等号成立．故答案为：5.16．不等式2320x x −++>的解集为 ．【答案】2,13 −【分析】利用十字相乘法因式分解，即可解得；【详解】解：由2320x x −++>得232(1)(32)0x x x x −−=−+<，解得213x −<< 所以不等式2320x x −++>的解集为2,13 −． 故答案为：2,13 −.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题.四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知关于x 不等式：()23130ax a x −++<． （1）当2a =−时，解此不等式；（2）当0a >时，解此不等式．【答案】（1）1{|2x x <−或}3x > （2）当13a =时，解集为∅；当103a <<时，解集为1{|3}x x a<<；当13a >时，解集为1{|3}x x a << 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可； （2）不等式可变形为(x －3)(x －1a )＜0，然后分a ＝13、0＜a ＜13、a ＞13三种情况讨论即可. 【小问1详解】当a ＝－2时，不等式－2x 2＋5x ＋3＜0整理得(2x ＋1)(x －3)＞0，解得x ＜－12或x ＞3，当a ＝－2时，原不等式解集为{x |x ＜－12或x ＞3}．【小问2详解】当a ＞0时，不等式ax 2－(3a ＋1)x ＋＜0整理得：(x －3)(x －1a )＜0， 当a ＝13时，1a ＝3，此时不等式无解； 当0＜a ＜13时，1a ＞3，解得3＜x ＜1a ； 当a ＞13时，1a ＜3，解得1a ＜x ＜3； 综上：当a ＝13时，解集为∅； 当0＜a ＜13时，解集为{x |3＜x ＜1a }； 当a ＞13时，解集为{x |1a ＜x ＜3}. 18. 已知集合{}{}25,123A x x B x m x m =−≤≤=−≤≤+.（1）若4m =，求A B ∪；的（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|211x x −（2）()[],41,1−∞−−【分析】（1）4m =时，求出集合B ，由此能求出A B ∪；（2）由A B B = 可得B A ⊆，当B =∅时，123m m −>+，当B ≠∅时，12312235m m m m −+ −− +，由此能求出实数m 的取值范围．【小问1详解】解：4m =时，集合{}|25A x x =− ，{}|311B x x = ，{}|211A B x x ∴=− ．【小问2详解】解：A B B = ，B A ∴⊆，∴当B =∅时，123m m −>+，解得4m <−，当B ≠∅时，12312235m m m m −+ −− +，解得11m − ， ∴实数m 的取值范围是()[],41,1−∞−− ．19. 已知实数a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2（1）求12a b+的最小值； （2）求a 2＋4b 2＋5ab 的最大值.【答案】（1）92； （2）92. 【分析】(1)利用12112(2)2a b a b a b +=++ 转化为用基本不等式求解； (2)22245(2)4a b ab a b ab ab ++=++=+，根据a ＋2b ＝2利用基本不等式求出ab 范围即可.【小问1详解】12112122(2)522b a a b a b a b a b +=++=++∵0,0a b >>，∴1221955222b a a b ++≥+= ， 当且仅当22b a a b=，即23a b ==时，等号成立. ∴12a b +的最小值为92； 【小问2详解】∵22245(2)4a b ab a b ab ab ++=++=+，又22a b +=≥12≤ab ，故224219452a b ab ++≤+=， 当且仅当2a b =，即11,2a b ==时，等号成立. 故2245a b ab ++取得最大值92. 20. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为248m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为8005800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】当房屋的正面边长为8m ，侧面边长为6m 时，房屋总造价最低，为63400元.【分析】设房屋的正面边长为xm ，侧面边长为y m ，总造价为z 元，由题意得出48xy =，然后根据题意得出z 关于x 的函数表达式，利用基本不等式可求出z 的最小值，利用等号求出对应的x 值，综合可得出结论.【详解】设房屋正面边长为xm ，侧面边长为y m ，总造价为z 元，则48xy =，即48y x=，5760043120068005800360058005800z x y x x ×=⋅+⋅+=++≥63400=. 当5760043600x x×=时，即当8x =时，z 有最小值，最低总造价为63400元. 答：当房屋的正面边长为8m ，侧面边长为6m 时，房屋总造价最低，为63400元.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要注意等号成立的条件，考查计算能力，属的于基础题.21. 已知命题:p x ∃∈R ，240x x m −+=为假命题. （1）求实数m 的取值集合B ；（2）设{}34A x a x a =<<+，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}4Bm m => （2）43a a≥【分析】（1）由题意可得Δ0<，即可求得集合B ； （2）分析可知A B ，分A =∅、A ≠∅两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式（组），综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】 解：由题意可得1640m ∆=−<，解得4m >，故{}4B m m =>.【小问2详解】解：由题意可知A B . 当A =∅时，则34a a ≥+，解得2a ≥，此时A B 成立； 当A ≠∅时，则3434a a a <+ ≥ ，解得423a ≤<. 综上所述，实数a 的取值范围是43a a≥. 22. 已知集合2{|320,R,R}A x ax x x a =−+=∈∈. （1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ； （3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围【答案】（1）9,8 +∞（2）a 的值为0或98，当0a =时23A = ，当98a =时43A =第11页/共11页（3）9{0},8∞ ∪+【分析】（1）A 是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；（2）A 中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根； （3）A 中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根.【小问1详解】A 是空集，0a ∴≠且Δ0<，980a ∴−<，解得98a >， a ∴的取值范围为：98+∞（，）； 【小问2详解】当0a =时，集合2{|320}3A x x=−+==， 当0a ≠时，Δ0=，980a ∴−=，解得98a =，此时集合43A =， 综上所求，a 的值为0或98，当0a =时，集合23A = ，当98a =时，集合43A =； 【小问3详解】 由12（），（）可知，当A 中至多有一个元素时，98a ≥或0a =， a ∴的取值范围为：{}90[8+∞ ，）.。
2022-2023学年福建省福州格致中学高三上学期第二次月考(10月)数学试卷带讲解
11.已知 是平面向量， 是单位向量，非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，则 可能取到的值为（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，由给定条件，确定 ， 的终点的轨迹即可求解作答.
【详解】将向量 平移到共起点O，以点O为原点，单位向量 的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
又因为C选项 ，
所以 ，故 ，D正确.
故选：ACD.
【点睛】注意将问题化为 在 上有两个变号零点求参数范围问题，由此得到的 的单调性和零点情况判断 的单调性和零点，根据零点得到 ，利用对数均值不等式求证不等式.
三、填空题
13.若 为纯虚数（ 为虚数单位），则实数 ___________；
【答案】-1
12.已知函数 有两个极值点 ， ，则下列选项正确的有（）
A. B.函数 有两个零点
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】问题化为 在 上有两个变号零点，讨论参数a研究 的单调性，结合零点存在性定理判断区间零点情况，进而求出a的范围，再研究 的单调性，结合零点存在性定理判断 零点个数，且可得 ，最后应用对数均值不等式 判断C、D.
夜晚天气
日落云里走
下雨
未下雨
出现
25
5
未出现
25
45
附： ，其中 ．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C.依据 的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
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福建省福州市2012年10月高中数学学科会议专题讲座高考推理和创新题考点透析：推理既包括演绎推理，也包括合情推理；一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明. （1）演绎推理。
高考对推理论证能力的考查主要体现在对演绎推理的考查上，试卷中考查演绎推理的题型，既可使用选择题、填空题的形式，也可使用解答题的形式进行重点考查。
（2）合情推理.归纳和类比均属于合情推理.在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论。
对于创新：提倡开放探索关注创新意识高考作为选拔性考试，应该偏重于能力测验，特别是能力倾向测验，适当考查考生在未来的学习或工作中是否具有创新意识。
因此，高考中可适当设置开放性、探索性试题，考查创新意识和探究精神。
考查创新意识的问题应立足于中学数学，以中学数学的基础知识为基本素材，考查学生创造性地应用知识分析问题、解决问题的能力。
高考对创新意识的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖的问题。
高考对应用意识和创新意识的考查，其意义已超出了数学学习，对提高考生的学习能力、工作能力和数学素养都有重要的意义。
具有创新性质的思维活动表现为：能从题目的条件中提取有用的信息，从题目的求解(或求证)中考虑需要的信息。
能在记忆系统里储存的数学信息中提取有关的信息，作为解决问题的依据，推动①中信息的延伸。
③将①、②中获得的信息联系起来，进行加工、组合，主要是通过分析和综合，一方面从已知到未知，另一方面从未知到已知，寻找正反两个方向的知识“衔接点”——一个固有的或确定的数学关系。
将③中的思维过程整理,形成一个从条件到结论的行动序列.高考中对创新意识的考查要求考生能够将能力要素进行有机的组合,能力要素的有机组合首先是各种能力的综合,但又不是所有能力要素的综合,是解题所需的能力要素的组合,它包括观察能力、记忆能力、理解能力、分析能力和运用知识的能力等,以及空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和数据处理能力的综合运用.近几年来高考多会结合合情推理知识点，相继推出一些背景新颖、构思精巧、情境别致，具有相当深度和明确导向的创新题型，试题中此类题目分值10分左右（上海、湖北、湖南、江苏较为典型），并且主观题、客观题设置较为灵活，这些创新型问题往往成为了试卷的闪光点和把关点。
福建高考2010、2011、2012年三年推理和创新题数据统计分析：理科年份题号题型分值考查知识点2010年1015选择题填空题9分函数函数2011年1015选择题填空题9分函数、向量映射2012年1015选择题填空题9分函数函数文科年份题号题型分值考查知识点2010年121516选择题填空题填空题13分集合集合类比推理、三角函数2011年1216选择题填空题9分推理函数上表说明了近三年福建省对创新题考查比较稳定，基本上是最后一道选择题和最后一道填空题，是整卷的把关点之一，难度较大。
考查知识涉及集合、函数、导数、三角函数、向量、推理。
考点例析：创新方向一：定义“新概念”或“新运算”型新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的．例1.（2012年广东理8）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅o 。
若平面向量,a b 满足||||0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且ab o 和b a o 都在集合{|}2∈nn Z 中，则a b o = （ ）A ．12 B. 1 C. 32 D. 52【解析】：因为||cos cos ||2θθ⋅==≥>⋅o a b a a b b b b ，||cos cos 1||θθ⋅==≤<⋅o b a b b a a a a且a b o 和b a o 都在集合{|}2∈nn Z 中所以，||1cos ||2θ==o b b a a ，||1||2cos θ=b a ，所以2||cos 2cos 2||θθ==<o a a b b所以<122≤<o a b ，故有1=o a b 23评注：在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．例2.（湖南文16）对于N n *∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯L ,当i k =时1i a =，当01i k ≤≤-时ia 为0或1，定义nb 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，a2，…，ak 中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；（2）记cm 为数列{bn}中第m 个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm 的最大值是___. 【答案】（1）3；（2）2. 【解析】（1）观察知000112,1,1a ab =⨯==；1010221202,1,0,1a ab =⨯+⨯===；一次类推10331212,0b =⨯+⨯=；21044120202,1b =⨯+⨯+⨯=；21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =，781,1b b ==，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm 的最大值为２.创新方向二：归纳类比型求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，并对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联；求解归纳推理问题的关键是从一些特殊的例子中寻找共同的规律．例3.(2012湖南理)设N=2n （n ∈N*，n ≥2），将N 个数x1,x2,…，xN 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN ，将此操作称为C 变换，将P1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p；当2≤i ≤n-2时，将Pi 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段C 变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；（2）当N=2n （n ≥8）时，x173位于P4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x =L ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16)L ,113571524616P x x x x x x x x x =L L ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)L L ,2159133711152616P x x x x x x x x x x x =L ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)L , x7位于P2中的第6个位置,；（2）当)8(2≥=n N n时，173x 在1P 第87个位置，在2P 第44个位置， 当25628==N 时，2P 被分成4段，每段64个数，而173x 落在第一段第22个偶数位，173x 在3P 位置为542232=+个位置，3P分成8段，每段32个数字，而173x 落在第二段第11个偶数位，173x 在4P 位置为59111632=++；当51229==N 时，2P 被分成4段每段4段，每段128个数，而173x 落在第一段第22个偶数位，173x 在3P 位置为862264=+个位置，3P 分成8段，每段64个数字，而173x 落在第二段第11个偶数位，173x 在4P 位置为107113264=++；以此归纳推理知173x 位于P4中的第43211n -⨯+个位置。
评注：本题题目文字较多，理解题意是解题的关键。
是考查在新环境下的创新意识，考查运算能力、阅读理解能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.创新方向三：探索探究型探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题．例 4.(2012年福建理科)函数f （x ）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+则称f （x ）在[a,b]上具有性质P 。
设f （x ）在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①f （x ）在[1,3]上的图像是连续不断的；②f （x2）在[1,3]上具有性质P ；③若f （x ）在x=2处取得最大值1，则f （x ）=1，x ∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++其中真命题的序号是A.①②B.①③C.②④D.③④ （福建理10） 【答案】D ．【解析】若函数)(x f 在3=x 时是孤立的点，如图，则①可以排除；函数x x f -=)(具有性质p ，而函数22)(x x f -=不具有性质p ，所以②可以排除；设]3,1[,,222121∈=+x x x x ，则)]2()([21)]()([21)2(121f x f x f x f f +≤+≤,即1)2()(1=≥f x f ，又1)(1≤x f ，所以1)(1=x f ，因此③正确；)]()()()([41)]2()2([21)4(432143214321x f x f x f x f x x f x x f x x x x f +++≤+++≤+++所以④正确.故选D.评注：本题是凹函数性质的研究和应用，常见的形式是：在“连续”条件下，利用数形结合思想解决问题，此类题目比较多考察的目标和方法也比较单一，但命题老师采用“变异”创新的手段进行试题编制，通过弱化条件促使考试及其解决问题所需使用的数学思与方法等产生突变，进而使原试题考查从单一到走向多元化。
这道题4选项容易判断正确，因此1必定是错误，只要在命题2、3中选择1个并作出判断即可。