数学思考：韩信走马分油
韩信分油问题_6994
韩信分油问题上海市爱国学校七（2）班姚逸磊指导老师：滕晨晖摘要：很早的时候,我就听过这样一则趣味数学故事―――《韩信分油》:据说,韩信在一次外出巡游时,遇到了一个农夫。
农夫很发愁,他有一桶油,重10斤,农夫手头有两个桶,一个3斤,一个7斤,农夫想把这一桶10斤的油分成两个5斤。
如果想利用一个3斤和一个5斤的油桶,把一桶8斤的油分成两桶4斤的油呢?现实生活中也常遇到此种问题,那么该如何解决呢?有什么技巧规律吗?关键词：韩信分油两个桶 10斤的油两个5斤模型假设：以分10斤油为例。
10斤、3斤、7斤的桶命名为A、B、C。
如何把这一桶10斤的油分成两个5斤呢？模型建立：先从A中倒3斤油把B灌满,然后再把这3斤油倒入C中。
接着,再从A中倒出3斤油把B灌满,再把这3斤油倒入C中。
第三次,从A中倒出3斤油把B灌满。
此时,A 中剩油1斤,B中剩油3斤,C中剩油6斤。
此时,从B中倒出1斤油,把C灌满。
这时,A中剩油1斤,B2斤,C7斤。
把C中的油全部倒入A中,再把B中油全部倒入C中。
此时,A中剩油8斤,B0斤,C2斤。
从A中倒油入B,直至B满为止,再把B中3斤油全部倒入C中,终于,A中剩油5斤,B0斤,C5斤,满足题意。
图：模型求解：用倒推法，总量10斤油平均分配，而没有5斤的容器。
由于容量最小的是3斤的油葫芦故先用油葫芦将7斤的瓦罐装满，则油葫芦内还有2斤。
再将瓦罐内7斤油倒回油桶，将油葫芦内2斤油倒入瓦罐，再装3斤即到5斤模型检验：我认为规律就是一定要从小的容器着手（3斤的油葫芦），一点一点分配10=5+5；5=3+2；再联想到大的7斤的瓦罐 2+7=9；而9=3+3+3为什么都是加没有减了？因为加2斤的有到7斤的瓦罐有可能，而从7斤的瓦罐倒出2斤的油很难（如果可以的话，就不用这么复杂了）！总结：韩信分油利用倒推法可以求出这种解法。
同学们不妨试试利用倒推法将一个3斤和一个5斤的油桶,把一桶8斤的油分成两桶4斤的油，相信你一定可以的！匈牙利解法概述匈牙利解法是求解指派问题的一种新颖而又简便的解法，它是美国数学家库恩(Kuhn)于1955年提出的．库恩引用了匈牙利数学家康尼格(Konig)一个关于矩阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最小直线数，这种解法称为匈牙利法．指派问题的最优解有这样一个性质，若从系数矩阵的一行(列)各元素中分别减去该行(列)的最小元素，得到新矩阵，那么以新矩阵为系数矩阵求得的最优解和用原矩阵求得的最优解相同．利用这个性质，可使原系数矩阵变换为含有很多0元素的新矩阵，而最优解保持不变．[编辑]匈牙利解法的步骤具体操作为第一步：使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素．(1)从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素；(2)再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素．第二步：进行试指派．若此时得到的mPn，应回到第一步，重新对系数矩阵进行变换。
经典趣味数学题—分油问题的一般性求解
经典趣味数学题—分油问题的一般性求解分油问题是一道非常经典的初等数学趣味题。
它有很多种表述版本。
例如，版本1：日本分油问题。
有一个装满油的8公升容器，另有一个5公升及3公升的空容器各一个，且三个容器都没有刻度，试将此8公升油分成4公升。
版本2：法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题：某人有12品脱美酒，想把一半赠人，但没有6品脱的容器，而只有一个8品脱和一个5品脱的容器，问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中。
版本3：我国的韩信分油问题：韩信遇到两个路人争执不下，原因是两人有装满10斤的油¨和两个3斤、7斤的空油¨，无法平均分出两份，每份5斤油。
韩信是如何解决这个难题的？版本4：史泰因豪斯在《数学万花筒》中的表述：有装有14千克酒的容器，另外有可装5 千克和9千克酒的容器，要把酒平分，该如何办？版本5：别莱利曼在《趣味几何学》中表述：一只水桶，可装12杓水，还有两只空桶，容量分别为9杓和5杓，如何把大水桶的水分成两半？解决这类问题通常有尝试法、几何坐标法和不定方程法。
这里将详细讨论用不定方程来解这类题的基本思路和步骤拆分。
（一）分析思路我们注意到这类题有几个共同的特点：（1）三个容器A、B、C按容积由小到大排列，分别为自然数N1,N2,N3；得到的油M是小于N的自然数。
（2）两个较小容器的容积数N1,N2互素的（不是互素的要简单一些）。
（3）由于容器没有刻度，倒油过程中，较小容器总需要倒空或者填满。
（4）小容器倒油的次数X、Y是整数，最后需要得到的油M也是正整数。
（5）在小容器里得到数量较少的油，如容器N1得到小于等于N1的油；容器N2得到大于N1小于等于N2的油所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程。
方程列为N2·X+N1·Y=M其中，N=N1+N2,M=（N1+N2）/2，则是平均分油问题，是分油问题的一个特例。
与一般不定方程有所不同的是，在倒油问题上，这里X和Y取正值，也可取负值。
韩信分油没那么复杂
解决韩信倒油问题一般思路例1. 有10升、7升、3升3个桶，其中10升装满油，另两个为空桶，如何将10升分为2个5升？第一步：分析数据10÷2=5，而5可以有3种方案构成：①5=2+3；②5=7-2；③5=1+4；第二步：选择方案由于案○3中的1,4均不是现有容器的容量，由于容器的个数有限，要同时造出1和4，然后合并他们是不可能的。
所以可取的组合方案中的容量必须至少有等于原有容器的容量。
其中方案○1中的3为已有，方案2中的7为已有，都是可试探的方案；第三步：寻找解决方案的途径方案①5=2+3，就是要找出一个“2”，只要注意到，3×3-7=2即可。
即连续3次从10升杯中倒满3升，并倒入7升杯，最后一次留在3升倍中即为2升：腾空7升杯，加入2升，再加入3升即为5升。
方案○25=7-2，就是要找出一个“-2”。
“-2”意思就是有一个容量为2的空杯，用7升杯将他加满。
没有，可以造一个。
只要注意到，在3升杯中加入1升，它就相当于容量为2的空杯。
问题变为找到1升并加入3升杯中。
只要再注意到7-3×2=1，即加满7升杯，连续2次从7升杯中倒出3升，最后一次留在7升杯中即为1升：腾空3升杯，加入1升，3升即变为可以再注满2升的“空杯”。
加满7升杯，再用它加满3升杯，最后一次留在7升倍中即为5升。
该题的思路具有一般性。
下面几题都可以用此法解决。
例2. 有8升、5升、3升3个桶，其中8升装满油，另两个为空桶，如何将8升分为2个4升？例3. 有12升、8升、5升3个桶，其中12升装满油，另两个为空桶，如何将12升分为2个6升？答案：12,0,0、480、435、930、903、183、165。
例4. 有14升、9升、5升3个桶，其中14升装满油，另两个为空桶，如何将14升分为2个7升？..答案：590、545、10,0,4、194、185、680、635、11,0,3、最后2，9，3。
5升桶可用于9-2或5+2。
选修课5-分油问题
3次 +1次
-3斤
7斤 3次ຫໍສະໝຸດ 32 斤 斤1斤油篓 10斤
油罐 7斤
油葫芦 3斤
练习一
假设有一个池塘，里面有无穷多的水。 现有2只空水壶，容积分别为5升和6升。 问题是如何只用这2只水壶从池塘里取得3升的水。 1升 5升
6升
练习二
大容器中有24斤油，今只有盛5斤、11斤和13斤的 容器各一个，如何才能将油平均分成三等份?
练习四 日本分油问题： 有一个装满油的8公升容器，另有一个 5公升及3公升的空容器各一个，且三 个容器都没有刻度，试将此8公升油分 成4公升。
5公升
3公升
同学们今天的学习有什么收获啊？
分油问题
——培养学生的发散性思维 临沂商城实验学校
例1、韩信立马分油故事
这是我国西汉时期的一个有趣的数学故事。有一次，刘邦手 下的名将韩信在路上骑马，见路旁正围着很多人看热闹，他 走近一看，原来两个中年男子正为分油着急，二人说“我们 有10斤油，需要平分，每人5斤，可没有秤，只有一只能装下 10斤的油篓，一个可装7斤的油罐，一个能装3斤的油葫芦， 折腾半天分不开”。韩信说了一句：“葫芦归罐，罐归篓”。 可他们也没听懂，韩信只好将具体分法说了一遍，俩人分完 高兴地各自回家了。你知道他们是怎样分的吗？
答案： 先装满13斤的容器，从中倒满5斤的容器后余下即为8斤， 将它倒人11斤的容器中，而把5斤容器中的油倒回大容器; 再从大容器中取油装满13斤的容器，倒出5斤后剩下8斤; 5斤容器中的油倒回大容器，则大容器中的油也是8斤。
练习三 史泰因豪斯在《数学万花筒》中的表述： 有装有14千克酒的容器，另外有可装 5千克和9千克酒的容器，要把酒平分， 该如何办？
韩信分油问题
上海市爱国学校 七（2）班 姚逸磊 指导老师：滕晨晖 关键词：韩信分油 10斤的油 两个5斤
韩信分油问题
• 摘要：很早的时候,我就听过这样一则趣味 数学故事―――《韩信分油》:据说,韩信在 一次外出巡游时,遇到了一个农夫。农夫很 发愁,他有一桶油,重10斤,农夫手头有两个桶, 一个3斤,一个7斤,农夫想把这一桶10斤的油 分成两个5斤。如果想利用一个3斤和一个5 斤的油桶,把一桶8斤的油分成两桶4斤的油 呢?现实生活中也常遇到此种问题,那么该如 何解决呢?有什么技巧规律吗?
韩信分油问题
韩信分油问题
韩信分油问题
韩信分油问题
韩信分油问题
韩信分油问题
韩信分油问题
韩信分油问题
韩信分油问题
• 模型求解：用倒推法，总量10斤油平均分配，而没 有5斤的容器。由于容量最小的是3斤的油葫芦故先 用油葫芦将7斤的瓦罐装满，则油葫芦内还有2斤。 再将瓦罐内7斤油倒回油桶，将油葫芦内2斤油倒入 瓦罐，再装3斤即到5斤 • 模型检验：我认为规律就是一定要从小的容器着手 （3斤的油葫芦），一点一点分配 10=5+5；5=3+2； 再联想到大的7斤的瓦罐 2+7=9；而9=3+3+3 • 为什么都是加没有减了？因为加2斤的有到7斤的瓦 罐有可能，而从7斤的瓦罐倒出2斤的油很难（如果 可以的话，就不用这么复杂了）！
韩信分油问题
• 模型假设：以分10斤油为例。10斤、3斤、7斤的桶 命名为A、B、C。如何把这一桶10斤的油分成两个5 斤呢？ • 模型建立： 先从A中倒3斤油把B灌满,然后再把这3 斤油倒入C中。接着,再从A中倒出3斤油把B灌满,再 把这3斤油倒入C中。第三次,从A中倒出3斤油把B灌 满。此时,A中剩油1斤,B中剩油3斤,C中剩油6斤。此 时,从B中倒出1斤油,把C灌满。这时,A中剩油1斤,B2 斤,C7斤。把C中的油全部倒入A中,再把B中油全部倒 入C中。此时,A中剩油8斤,B0斤,C2斤。从A中倒油入 B,直至B满为止,再把B中3斤油全部倒入C中,终于,A中 剩油5斤,B0斤,C5斤,满足题意。
(完整)小学数学世界名题巧解(32)
小学数学世界名题巧解
﹙韩信走马分油的问题﹚
此题是我国古代数学问题。
题目如下：
两个人一起买了10斤油，只有三斤、七斤、十斤的油篓各一个，两人倒来倒去，怎么也分不均匀。
韩信骑在马上看见了，没有下马，很快就给分均匀了。
韩信是怎样分均匀的？﹙斤，是已废止使用的
重量单位。
﹚
解：因为3×3＝9﹙斤﹚，9－7＝2﹙斤﹚，所以从十斤的篓里
向三斤的篓里连续倒出三个3斤，倒入七斤的篓里，七斤的篓倒满了，三斤的篓里就剩下2斤油。
现在七斤的篓里有7斤油，十斤的篓里有1斤油，三斤的篓里
有2斤油。
解题的关键是设法腾出一只篓，好把三斤篓中的2斤油倒进去。
然后，好用三斤的篓取出3斤油。
由于七斤的篓已满，因此，只能把七斤篓中的油全部倒入十斤
的篓中，十斤的篓中有油：1＋7＝8﹙斤﹚；然后，把三斤篓中的2
斤油倒入七斤的篓中。
此时，三斤的篓是空的，七斤的篓中有油2斤。
因为十斤的篓中已经有油8斤，所以，用三斤的篓从十斤的篓中取出3斤油，十斤的篓中剩下油：8－3＝5﹙斤﹚。
把三斤篓中的3斤油倒入已有2斤油的七斤的篓中，七斤的篓中便有5斤油了。
答：﹙略﹚。
韩信立马分油问题的三种策略
韩信立马分油问题的三种策略作者：张安军来源：《中学数学杂志(初中版)》2016年第01期韩信立马分油问题.相传汉代军事家韩信一天访友归来，途中经过一集市，遇见卖油翁与顾客争执.买者想买5斤油，而卖者无法计量，因而告诉买者，要么买3斤，要么买7斤.韩信询问得知，卖油翁油娄中的葫芦恰好装有10斤油，但他仅有装3斤和7斤的葫芦，而买者执意要买5斤油.韩信立在马上稍加思索道：“你们无须再争，以我之法保你们都满意.”韩信下马经过几次倒油，买卖双方皆大欢喜.你知道，韩信是怎么倒油吗[1]？策略一摸着石头过河，盲目拼凑在解决这个问题时，你可能尝试着拼凑，运气好的话，你或许可以很快地凑成功，当然这种成功有着偶然性，犹如摸着石头过河，凭感觉，缺乏目标，尝试操作时间久一些，有可能拼凑成功，如下表1：策略二正难则反，从结果中逆推然而这样的操作是有几分偶然性和盲目性，倘若中间凑不成功，那么又要从头开始.如果我们调整一下策略，从结果开始，逆推进行，从上面的表格中可以发现最后三个容器的状态分别为5、5、0斤.由于每次倒油，从上表中可以发现这样一个有趣的现象，就是在这三个容器中至少有一个容器被倒空，或被倒满，不会出现三个容器都同时有油但未满的状态；有了这条规则，在逆推的过程中，同时还要关注倒油前后的等价性，即第（n+1）次←→第n次，如下从结果逆向思考，可以减少倒油过程的盲目性，又可以最小的次数达到符合要求的操作，如上表从结果逆向最小需要9次就可.从中可以得到启发，考虑问题思维不要单向度，正难则反，执果溯源，确定解题的方向.策略三化无形为有形，利用图象解决上述的10斤、7斤、3斤的葫芦为了方便起见，把它们分别记作1、2、3号葫芦，刚开始时，1、2、3号葫芦分别是10斤、0斤、0斤，用数学符号记作（10，0，0），由于不管如何操作，1、2、3号葫芦所装的油的总和为10斤，即（z，x，y）中x+y+z=10，当x，y，z中有两个量确定时，第三个量也唯一的确定，因此可以用三个数中的两个数表示问题中的量，不妨用2、3号的葫芦表示，如（7，3）表示2、3号葫芦所装的油分别为7斤、3斤，推广之（x，y）表示2、3号葫芦所装的油分别为x斤、y斤（0≤x≤7，0≤y≤3，x，y为整数），这样可以在直角坐标系中表示（x，y）中的点，横坐标表示2号葫芦所装的油，纵坐标表示3号葫芦所装的油，坐标的单位表示装油的斤数.图1为了从形中探寻规律，现把表3中7、3斤装的葫芦斤数组成横、纵坐标的点表示在图1中，从点（0，0）开始，结束点为（5，0），点与点之间用箭头表示，依次连接，可以发现在长为7、宽为3的长方形的边上组成45°或90°夹角，但缺乏规律，为了寻求规律，如图2，采用倾斜角为60°的斜坐标，同样以横坐标表示7斤葫芦所装的油，斜坐标表示3斤葫芦所装的油，坐标的单位仍表示装油的斤数，可以最外围的四边形如同入射光线碰到平面镜要进行反射，从（0，0）出发，第1次反射只有两种可能，（7，0）或（0，3），不妨从（0，0）开始第1次入射点为（7，0），如图2，最后只要到达（5，0）需要9次，如果从（0，0）开始第1次入射点为（0，3），如图3所示，需要12次.有了图象法解决倒油问题，这类问题就变得轻松、简单，和韩信立马分油相类似的有泊松倒酒趣题，据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏：某人有12品脱啤酒一瓶，想从中倒出6品脱.但是他没有6品脱的容器，只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器.怎样的倒法才能使8品脱和12品脱的容器中恰好各装6品脱啤酒[2]？亲爱的读者相信你也会解决此类问题.参考文献[1]王青建.数学开心辞典[M].北京：科学出版社，2008：130.[2]李原.泊松趣题的启迪[J].数学学习与研究，2012（5）：36.。
韩信分油有几种方法
韩信分油有几种方法
韩信分油的方法有以下几种：
1. 使用容器法：将两个容器准备好，一个容器用来装有韩信要分的油，另一个容器用来装被分出的油。
首先，将要分的油倒入第一个容器，然后根据需要的比例，在第一个容器中倒入适量的另一种油，搅拌均匀，最后将混合的油倒入第二个容器中，即完成了分油。
2. 使用比例法：根据韩信要分油的比例，将整体的油量分成相应比例的几个部分，然后将这些部分分别倒入不同的容器中。
3. 使用称重法：首先准备一个可以称重的容器，将要分油的容器放在称重器上，记录下整体的油量。
然后按照韩信要分的比例，将相应比例的油分别倒入其他容器中，最后重新称重剩余的油，计算出被分出的油的量。
这些方法是常用的分油方法，根据具体情况，可以选择合适的方法来进行油的分配。
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韩信走马分油
我们刚刚学习了平均分的知识，其实在生活中分东西的事经常发生，今天就来给小读者们讲一个韩信走马分油的故事。
看你读完这个故事后，会不会得到一些启示。
从前，有两个人，一起买了10斤油，他们两个人有3个装油的篓（lǒu）子，三个篓子分别能装油3斤、7斤和10斤。
可是，这两个人用这三个篓子倒来倒去都不能把这10斤油平均分成2份，最后这两个人居然打了起来。
当时正好赶上韩信骑着马从两个人这路过，问明白原因后，韩信骑在马上，很快就把这个问题给解决了。
让我们一起来看看，韩信是怎么倒这些油的。
（1）先把所有的油都倒进10斤的油篓里。
（2）用3斤的油篓从10斤的油篓里往外倒油，把倒出的油都倒进7斤的油篓里。
于是有：3×3＝9（斤），9－7＝2（斤）。
10－9＝1（斤）这时，10斤的油篓里
还剩下1斤油，3斤的油篓里还剩下2斤油，7斤的油篓里装满了油。
（3）这时，把7斤的油篓里的油全部倒进10斤的油篓里，得到：1＋7＝8（斤）。
再把3斤的油篓里（还剩2斤油）的油都倒进7斤的油篓里。
（4）从10斤的油篓的8斤中再倒出3斤，有8－3＝5（斤），最后再把3斤油篓里的油全部倒进7斤篓里，有3＋2＝5（斤）
分完了，每人恰好得到5斤油，小读者们，你们看懂了吗？。