2021年杨浦区初中数学一模
2021年上海市初三数学一模25题汇编
一：函数解析式问题（2021年宝山25）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC ，点D 、E 在边AB 上，∠DCE =45°，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD. （1）求证：DE BE CE ⋅=2；（2）当AC = 3， AD =2 BD 时，求DE 的长； （3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F . 设x BCBD=，y FMD =∠tan ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.解：（1）∵Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC = BC ，∠DCE =45∴ ∠B =∠DCE = 45°. 又∵∠BEC =∠CED ,∴△BEC ∽ △CED . ∴ CEDE BECE =,∴DE BE CE ⋅=2.（2）∵∠ACD = 45°+∠ACE =∠BEC ∠B =∠BAC∴△BEC ∽ △ACD .∴ACBE ADBC =.又AC = BC =3 ，∠ACB =90°， ∴23=AB . ∵ AD =2 BD ，∴2=BD ,22=AD . 可得429=BE ，∴425=DE（3）延长BC 交MA 延长线于点G.∵MA ⊥AB ，∠B = 45°， 可得∠G =∠B= ∠DCE.又∵∠MCB =∠B +∠BCD ，∠MCB =∠G +∠GMC ， ∴∠GMC =∠BCD.∴△BCD ∽△GMC .∴CMCDCG BD =，∴CM CG CD BD =. ∵∠B =∠DCM = 45°，∴△BCD ∽△CMD .∵ MF ⊥FC ，∴CF CM 2=. ∴x CFCD CM CD BC BD ===2， ∴x CFCD2=. ∴tan ∠FMD =x CFFD21-=， ）（22021<<-=x x y .（2021年静安25）已知∠MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，∠EBD =∠MAN ，且CE //BD ，sin ∠MAN=35，AB =5，AC =9．（1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE=BC ·BE ； （2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在∠MAN 外部时，设AD =x ，△BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．解：（1）∵ CE //BD ，∴ ∠CEB =∠DBE ，∠DBA =∠BCE ．∵∠A=∠DBE ，∴ ∠A =∠BEC ．∴ △ABD ∽△ECB ． ∴AD EBAB EC ＝． ∵AD DFAB BC=， ∴EB DFEC BC =，∴ DF ·CE=BC ·BE ．（2）过点B 作BH ⊥AN ，垂足为H ． ∵ CE//BD ，∴∠CEB ＝∠EB D ＝∠A ，又∵∠BCE ＝∠ECA ，∴△CEB ∽△CAE . ∴CE CACB CE =，∴2CE =CB CA ⋅，∵AB =5，AC =9，∴BC =4，∴24936CE ==⨯，∴CE =6. ∵BD ABCE AC=，∴561093AB CE BD ==AC ⋅⨯=. （第25题图）（备用图）BC （图1）FABDC E NM在Rt △ABH 中，3sin 535BH AB A =⋅=⨯=，∴ AH4=． DH=．AD=43±. （3）过点B 作BH ⊥AN ，垂足为H ．BH =4，AH =3，DH =4x -．2222224)3825BD =DH +BH x x x =-+=-+（．∵△ECB ∽△ABD ，∴22EBC ADB S BC S BD△△＝． ∵322ABD S AD BH x =⋅△１＝，∴21638252y x x x =-+， ∴224825x y x x =-+．定义域为44x <<．二：相似三角形问题（2021年闵行25）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ，联结EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：△ADE ∽△CDF ，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结BG ．当△BGE 与△DEH 相似时，求x 的值．解：（1）在矩形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =∠BCD = 90°，AB = CD ．又∵∠BCD +∠DCF = 180°，∴∠DCF = 90°，∴∠DCF =∠BAD ． ∵DF ⊥DE ，∴∠EDF = 90°，（第25题（备用图）∴∠EDF =∠ADC = 90°，∴EDF EDH ADC EDH ∠-∠=∠-∠． ∴∠ADE =∠CDF ．∴△ADE ∽△CDF ．∴AD DECD DF=． 又∵AD = 1，CD = AB = 2，∴12DE DF =． 在Rt △DEF 中，∠EDF = 90°，∴1tan 2DE EFD DF ∠==． （2）∵△ADE ∽△CDF ，∴12AE AD CF CD ==． ∵AE = x ，∴2CF x =．在矩形ABCD 中，AB // CD ，AD = BC ． 由AB // CD ，得CH CFBE BF=． 又∵21BF x =+，2CH y =-，2BE x =-，∴22221y xx x -=-+． ∴ y 关于x 的函数解析式为22221x y x +=+．其定义域为02x <<． （3）延长BG ，交射线CD 于点P ．由AB // CD ，得∠BEG =∠DHE ．∴当△EDH ∽△BEG 时，可以有以下两种情况：① 当∠DEH =∠BGE 时，ED // BG ，又∵AB // CD ，∴四边形BEDP 是平行 四边形．∴2EB DP x ==-，∴PC x =．∵DH y =，∴2222(2)222121x x x HC y x x +-=-=-=++． ∵AB // CD ，∴HC HG AE GE =，HG PG GE GB =，PG PC GB AB =．∴HC PC AE AB=． 即2(2)212x x x x x -+= 02x <<（），解得x =∴x =． ② 当∠DEH =∠GBE 时，∵EB // DH ，∴∠DEH =∠GBE =∠BPC ．∴tan 2BCBPC PC∠==． ∴14HC PC AE AB ==． 即2(2)1214x x x x -+= 02x <<（），解得32x =．∴32x =．综上所述，x =或32x =． （2021年杨浦25）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，∠EDB =∠ADC ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点G ，交射线AC 于点F .（1）如果点D 为边BC 的中点，求∠DAB 的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD =x ，CF =y ， 求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结DF ，如果△CDF 与△AGE 相似，求线段CD 的长.解：（1）过D 作DH AB ⊥，垂足为点H.在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AC =BC =4，∴AB ==在Rt △BDH 中，∵BD =2，∴BH DH =在Rt △ADH中，AH =1tan 3DH DAB AH ∠==. （2）过A 作AH //DE 交BC 的延长线于H ，垂足为点M.∵EF ⊥AD ，∴∠AFG+∠CAD =90°. ∵∠ACB =90°，∴∠ADC +∠CAD=90°. ∴∠AFG=∠ADC . 又∵∠EDB =∠ADC ，∴∠AFG=∠EDB. ∵AC =BC =4，∴∠BAC=∠B=45°.∴△AEF ∽△BED .备用图AC第25题图 ABCEDG F∴AE AFBE BD=. ∵AH //DE ，∴AE DHBE BD=. ∴AF =DH .∵AH //DE ，∴∠H =∠EDB. 又∵∠EDB =∠ADC ，∴∠H=∠ADC . ∴AD =AH .∵AC ⊥DH ，∴HC =CD . ∵CD=x ，∴HC =x . ∴AF =DH =2x .42y x =-（02x <≤）.（3）i ）当点F 在边AC 上时，∵∠FCD =∠AGE =90°，∴当△CDF 与△AGE 相似时，∠DFC =∠GAE 或∠FDC =∠GAE . 过D 作DH AB ⊥，垂足为点H.在Rt △ADH中，)4tan 4x DH x GAE AH x --∠===+. ①当∠DFC =∠GAE 时，∴tan tan DFC GAE ∠=∠.∴44x xy x-=+.∴8x =-（1分） ②当∠FDC =∠GAE 时，∴tan tan FDC GAE ∠=∠.∴44y xx x-=+.∴4x = . ii ）当点F 在边AC的延长线上时，同理可得CD . 综上所述：如果△CDF 与△AGE 相似，线段CD的长为84-、（2021年松江25）如图，已知在等腰△ABC 中，AB =AC=，tan ∠ABC =2，BF ⊥AC ，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）. （1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG=4，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，联结DF ，如果△DQF 和△ABC 相似， 求线段BD 的长.解：（1）过点A 作AH ⊥B C ，垂足为H ∵AB =AC ，∴BH=HC在Rt △ABH 中，tan ∠ABC ==2AHBH∴cos ∠ABC==5BH AB ，∵AB= ∴BH=5 ∴BC=10（2）过点A 作AM ∥BG 交GD 的延长线于点M ∴AM AF CG FC =，AM ADBG BD=在Rt △BFC 中，cos ∠ACB =cos ∠ACB=，BC=10 ∴FC=∴AF=CG=4，∴AM=6∴614=，∴AD=2D·BAFC（图1）DBA FC（图2）G BAF（备用图）H（图BA DFCM（图GDFCBA（3）∵BF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠BFC=∠DEB=90°，∴∠BQE=∠ACB ∵∠BQE=∠DQF ，∴∠DQF=∠ACB ∵△DQF 和△ABC 相似，∴DQ QF AC BC =或DQ FQBC AC=2DEBE = ∵tan ∠BQE=tan ∠ACB = tan ∠ABC =2，∴2BEQE=,设BE=x ，QE=2x ，则DE=4x ∴，BD=，DQ=3x ∵BF=2CF=QF= （ⅰ）当DQ QF AC BC =10=，解得x=85 ∴BD==5（ⅱ）当DQ FQ BC AC =时，则，310x ，解得x=2011 ∴BD==11综上所述，BD=5或BD=11三：等腰三角形问题（2021年崇明25）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．点D 为斜边AB 的中点，ED ⊥AB ，交边BC 于点E ．点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：△ADP ∽△EDQ ；（2）设AP x =，BQ y =．求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结PQ ，交线段ED 于点F ．当△PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．解：（1）证明：∵ED ⊥AB ，PD ⊥QD ，∴∠ADP =∠EDQ=90°—∠PDEAD BCPEQ第25题图AD BCP EQ第25题备用图F（图3）BA DFCQ∵∠ACB= 90°，ED ⊥AB ，∴∠A =∠DEQ=90°—∠B∴△ADP ∽△EDQ（2）∵∠ACB= 90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，tan B =34∵点D 为AB 的中点，∴AD = DB= 5 ∴DE =154，BE =254∵△ADP ∽△EDQ ，∴EQ DEAP AD =，即2515445x = ∴32544y x =-+定义域：0≤x ≤253（3）∵ED ⊥AB ，PD ⊥QD ，∴∠PDE =∠QDB=90°—∠EDQ ∵tan ∠QPD =34DQ DE PD AD ==，∴∠QPD=∠B ∴△ADP ∽△EDQ①当PD=PF 时，BD=BQ∴5y =，即325544x -+=，∴53x =②当FP=FD 时，QD=QB ，∴12BQ BE = ∴258y =，即32525448x -+=，∴256x = ③当DP=DF 时，DQ=DB=DC ，即点Q 在点C 处，∴点P 不在射线AC 上，舍去.综上所述，AP 的长为53或256（2021年虹口25）如图12，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，过点A 作射线AM //BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），联结BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，∠DBE =∠C ． （1）当AD =1时，求FB 的长；（2）设AD =x ，FG =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果△DBH 是等腰三角形，请直接写出AD 的长．∴BC FB=．∴． （2）∵∠ABC =90°，AB =3，BC =4，∴AC=5．∵∠BAD =90°，AB =3，AD x =，∴． ∵AD //BC ，∴4FA FD AD x FCFBBC===． ∴可得 204FC x =+，4FB x =+．∵∠DBE =∠C ，∠BFG =∠CFB ， ∴△FBG ∽△FCB ． ∴2FB FG FC =⋅． ∴220(44y x x =⋅++．即2436520x y x +=+（04x <<）．（3）AD 的长为78或32或94．四：圆为背景问题（2021年奉贤25）已知⊙O 的直径AB =4，点P 为弧AB 上一点，联结PA 、PO ，点C 为劣弧AP 上一点（点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA 、PO 于点D 、E . （1）如图10，当cos ∠CBO =87时，求BC 的长；（2）当点C 为劣弧AP 的中点，且△EDP 与△AOP 相似时，求∠ABC 的度数； （3）当AD =2DP ，且△BEO 为直角三角形时，求四边形AOED 的面积.解（1）过点O 作OF ⊥BC ，垂足为点F ∵OF ⊥BC ，∴BF=CF=21BC 在Rt △BOF 中，cos ∠CBO =OBBF，87=2BF ∴BF=47，BC=27（2）联结OC ，设∠B 的大小为x ∵OB=OC ∴∠B=∠C= x ，∴∠AOC= 2x 又∵点C 为劣弧AP 的中点，CO 为半径，OA=OP ∴OC ⊥AP ，∴∠AOC=∠POC= 2x ∴∠A=∠P=90°-2x ，∠PEC= 3x ∵△EDP ∽△AOP ，∠PDE >∠A∴∠PED =∠A ∴3x=90°-2x ，x=18°，即∠ABC=18° （3）过点O 作OG ∥AP 交BC 于点G备用图备用图BO图10P A B C DE OAB O∵OG ∥AP ∴21==AB OB AD OG , PE OEDP OG =∴ AD =2OG 又∵AD =2DP ∴OG = DP ∴OE = PE =1 ∵△BEO 为直角三角形①当∠BOE=90°时，过点D 作DM ∥AB 交PO 于点M∵DM ∥AB ∴PAPDAO DM =，∠PMD =∠POA=90° ∵AD =2DP ，PO = AO=2 ∴DM=32∴S AOED = S △AOP - S △PDE =DM PE OP AO ××21××21-=312-=35②当∠BEO=90°时，联结OD∵OE =1，OB =2，∴∠B =30°，∠BOP=60°，BE =3 ∴∠P =∠A =30°∴∠A =∠B =30°，∴AD =BD ∴OD ⊥AB ，OD =332=3OB ∴S AOED = S △ABD - S △OBE =BE OE OD AB ××21××21-=23334-=365（2021年金山25）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如图1中，O A ∠=∠21. 已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射线AO于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，43tan =∠OAC .(1)求弦AC 的长.(2)当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值. (3)当1=OE 时，.BOBOA解（1）作AC OH ⊥垂足为点H ，OH 过圆心， 由垂径定理得：AC CH AH 21==；∵在OAH R ∆t 中43tan ==∠AH OH OAC ，设x AH x OH 4,3==， ∴在OAH R ∆t 中，可得：222OA AH OH =+，由⊙O 的半径为5可得：()()222543=+x x ， 解得：1±=x ，（1-=x 舍去）∴4,3==AH OH , ∴82==AH AC . (2)∵AEC DEO ∠=∠，∴当DOE ∆与AEC ∆相似时可得：A DOE ∠=∠或者ACD DOE ∠=∠；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.可知：DOE ACD ∠=∠21，∴DOE ACD ∠≠∠∴当DOE ∆与AEC ∆相似时不存在ACD DOE ∠=∠情况. ∴当DOE ∆与AEC ∆相似时，A DOE ∠=∠， ∴AC OD //，∴AEOEAC OD =； ∵8,5===AC OA OD ，得AE AE -=585,∴1340=AE ；作AC EG ⊥垂足为G ，可得： 90=∠=∠AHO AGE ,∴OH GE //，∴AH AGOH EG AO AE ==即4351340AG EG ==, ∴1324=EG ，1332=AG ，137213328=-=CG ,∴在CEG R ∆t 中，3113721324tan ===∠CG EG DCA .（3）当1=OE 时，AD 的长是52或1452918. 五：定值问题（2021年黄浦25）如图10，四边形ABCD 中，AB =AD =4，CB =CD =3，∠ABC =∠ADC =90°，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且∠MCN =∠BCD ，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q .（1）求sin ∠MCN 的值；（2）当DN =DC 时，求∠CNM 的度数； （3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相应的位置.解：（1）联结AC ，由AB =AD ，CB =CD ，AC =AC ，得△ABC ≌△ADC ，即∠ACB =∠ACD =12∠BCD =∠MCN . 12PQMNP NMDBAQ（图10）于是在△ABC 中，∠ABC=90°，5AC ==，则sin ∠ACB 45AB AC ==，即sin ∠MCN 45=. （2）在△CDN 中，∠CDN =90°，DN =DC ，可得∠DNC =∠DCN =45°.作∠BCS =∠NCD 交边AB 的延长线于点S .又CB =CD ，∠CBS =∠CDN =90°，得△CBS ≌△CDN . 得CS =CN ，∠CSB =∠CND .于是∠MCS =∠MCB +∠BCS =∠MCB +∠DCN =12∠BCD =∠MCN ， 又CM =CM ，所以△MCS ≌△MCN ，得∠CNM =∠MSC =∠CND =45°. （3）不变.易知∠ADB =∠ACD =∠MCN ，由（2）知∠CNM =∠CND ， 得∠CMN =∠DQN =CQP ，又∠MCN =∠PCQ ，得△CNM ∽△CPQ ，则△CSM ∽△CPQ . 设AC 与BD 的交点为H ，易知CH ⊥PQ ，又CB ⊥MS ，所以PQ CHMN CB=. 在△BCH 中，∠BHC =90°，sin ∠HCB 45=，易知cos ∠HCB 35=， 即35PQ CH MN CB ==. 六：线段长度问题（2021年黄浦25）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF.（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长；（2）如图12，如果12CF BC =，①求证：∠CFE =∠DAE ；图11DD②求线段EF 的长.解：（1）过点F 作FH ⊥AB ，垂足为H .得FH ∥BC ∥AD ，∠BFH =∠CBF ，∠AFH =∠DAE. ∵1tan 2EAD ∠=，3tan 4CBF ∠=，∴1tan 2AFH ∠=，3tan 4BFH ∠=.在Rt △BFH 中，设BH =3k ，由3tan 4BFH ∠=易得FH =4k .在Rt △AFH 中，由FH =4k ，1tan 2AFH ∠=易得AH =2k，AF = 又∵AB =6，∴2k+3k=6，解得65k =.∴125AH =，AF =（2）如图12-1，延长AE 交BC 的延长线于G .易得AD ∥BG ，DAE G ∠=∠,AD DE CGCE=在Rt ADE △中，∵90D ∠=︒，1tan 2EAD ∠=，8AD =，∴tan 4DE AD EAD =⋅∠=，642CE CD DE =-=-=.备用图H图11D图13-1G图12-∴842CG=.解得4CG =又∵1=42CF BC =，∴CG CF =，∴CFG G ∠=∠.∴∠CFE =∠DAE.（3）如图13-1，联结BD 交AE 于P ，类似（1）可求AP =∵AB CD ∥，∴DP AB BP DE =.将6AB =，4DE =代入，得32DP BP =.又∵10BD =，∴4DP DE ==. ∴DPE DEP ∠=∠.又∵180-180-APD DPE CEF DEP ∠=︒∠∠=︒∠，，∴APD CEF ∠=∠ 又∵∠CFE =∠DAE ，∴△CEF ∽△APD . ∴AP DP EF CE=.将AP ==4DP 、=-=2CE CD DE代入，得EF =（2021年浦东25）四边形ABCD 是菱形，∠B ≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF ⊥AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC =3CF ．（1）如图1，当∠B =90°时，求ABE S △与ECF S △的比值； （2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE =∠B 且CF =2时，求菱形的边长．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∠B =90°，∴∠C =90°，∠CFE +∠CEF =90°．∵EF ⊥AE ，∴∠AEB +∠CEF =90°．∴∠CFE =∠BEA ． ∴△ABE ∽△ECF ．FDCBA （第25题图3）（第25题图2）FDCBA（第25题图1）FEDCBA∴AB BE EC CF =．∵EC =3CF ．∴3AB ECBE CF==．∴AB =BC =3BE ．∴32AB EC=．∴2239()()24ABE ECFS ABSEC ===，即94ABE ECFS S =．（2）由（1）中结论可知当E 为BC 中点时，∠B 不为90°．分别过点A 、F 作AG ⊥BC 、 FH ⊥BC ，垂足分别为点G 、H ．∴∠AGE =∠EHF =90°． ∵∠AEG =∠EFH ， ∴△AGE ∽△EHF ．∴AG GE EHHF=．设CF =k ，CH =x ．由题意得 CE =BE =3k ，AB =6k ，EH =3k +x ，HF 由△ABG ∽△FCH ，可得66BG AB k CHFCk===．∴BG =6x．∴AG GE =3k -6x3k x+．化简可得 k =5x ．在Rt △ABG 中，cos B =BG AB =6165x x k k ==．即cos B =15．（3）由于∠B =∠AFE ，所以∠B 不为90°．在DC 的延长线上取点P ，使得EP =EC ． ∴∠P =∠ECP =∠D =∠B =∠AFE ．∵∠AFP =∠EFP +∠AFE =∠D +∠FAD ， ∴∠EFP =∠FAD ．∴△EFP ∽△FAD ．∴cos EP PF EF AFE FDDAFA===∠．∵CF =2，EC =3CF ， ∴EC =EP =6．设菱形ABCD 的边长为m ．∴62cos 2PC AFE m m+==∠-．∴4(1)2m PC m +=-．∴cos P =1123(2)PC m EP m +=-． ∵∠AFE =∠P ，∴cos ∠AFE =cos P．∴6123(2)m m m +=--，解得 m =17．经检验m =17是方程的解． ∴菱形ABCD 的边长是17．（2021年普陀25）如图14，矩形ABCD 中，1AB =，，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =． 设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=； （2）当点G 在△ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切； （3）当∠FGD =∠AFE 时，求线段BE 的长．解：（1）∵矩形ABCD ，∴90BAD B C CDA ∠=∠=∠=∠=︒，3AD BC ==，1CD AB ==． 由90BAD ∠=︒，可得90BAE EAD ∠+∠=︒． 由AE AF ⊥，可得90DAF EAD ∠+∠=︒． ∴BAE DAF ∠=∠．3BC =F图14CBADE G备用图C BAD由90CDA ∠=︒，可得90ADF ∠=︒． ∴B ADF ∠=∠． ∴△ABE ∽△ADF ． ∴AD DFAB BE=． （2）由AD AB 可得3DF x =． 过点G 作GH DF ⊥，H 为垂足． 可证GH //EC ，∴GH FH FGEC FC FE==． 由:FG GE =在Rt △DGH 中，3cot 61GH xDGH DH x -∠==-． ∵GH //AD ，3cot cot 61xADG DGH x -∠=∠=-． （3）解法一：过点G 作GH DF ⊥，H 为垂足． 同第（2 ∵FGD AFE ∠=∠，∴GD //AF ． ∴FAD ADG ∠=∠．又∵AD //GH ．∴DGH ADG ∠=∠．∴DGH FAD ∠=∠． ∴tan tan DGH FAD ∠=∠．得 12331313x x x -=-，解得 x =． 即 BE =．AB CD GF HEAB CD GF M E解法二：过点G 作GM //AF ． ∵FGD AFE ∠=∠，∴GD //AF ． 证90AEM ∠=︒，可得 BAE CEM ∠=∠． 得1631x xx -=-，解得x =． （2021年徐汇25）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，12=AC ，5=BC ，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC ∆外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当BE AE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH ∆和ABG ∆相似，求ABE ∠sin 的值； （3）当AE AG =时，求CD 的长．解：（1）∵四边形CDEF 是正方形，∴CF EF DE CD ===，︒=∠90DEF ；∵BE AE ⊥，∴DEF AEB ∠=︒=∠90；∴FEG DEG DEG AED ∠+∠=∠+∠；∴FEG AED ∠=∠； 又︒=∠=∠90F ADE ，∴EFB ADE ∆≅∆；∴BF AD =； 设x CD =，则x EF CF ==，x AD -=12； ∴x x +=-512；解得27=x ∴4492==CD S CDEF 正方形． （2）当BEH ∆和ABG ∆相似时，又EBH ABG ∠=∠，所以分两种情况考虑：︒1 ∵︒+∠=∠+∠=∠90BAG ADH BAG BHE ； ∴BAG BHE ∠≠∠；（备用图）BAC（第25题G FE D BAC︒2 当BAG BEH ∠=∠时，∵BC DE //，∴CBG BEH ∠=∠；∴BAG CBG ∠=∠；∴ACBCBAG BC CG CBG =∠==∠tan tan ； ∴1255=CG ；得1225=CG ；∴12119=AG ； 过点A 作BE AM ⊥，垂足为M ．在AMG Rt ∆中，︒=∠90AMG ；1312sin sin sin =∠=∠==∠ABC BGC AG AM AGM ；可得13119=AM ； 在AMB Rt ∆中，︒=∠90AMB ，169119sin ==∠AB AM ABE ； 综合︒1、︒2，如果BEH ∆和ABG ∆相似，ABE ∠sin 的值是169119． （3）同（2），过点A 作BE AM ⊥，垂足为M ．设x CD =．∵EF CD //，∴BF BC EF CG =；即x x CG +=55；解得xxCG +=55； ∴x x AG ++=5760，x x DG +=52；∵AE AG =，∴GE GM 21=；由AGM EGD ∠=∠，︒=∠=∠90AMG EDG ，∴EDG ∆∽AMG ∆； ∴AGGMGE GD =；得AG GD GE ⋅=22；即AG GD DE DG ⋅=+222； 即x x x x x x x ++⋅+⨯=++576052)5(2224； 化简，得095422=--x x ；解得21942±=x （负值舍去） ∴21942+=CD ． （2021年长宁25）已知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A B 、不重合），联结CM ，作90CMF ︒∠=，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ，点G 为线段MF 的中点，联结DG .（1）如图1，如果4AD AM ==，当点E 与点G 重合时，求MFC ∆的面积； （2）如图2，如果2AM =，4BM =，当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD x =，2DG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果6AM =，8CD =，F EDG ∠=∠，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）解：（1） 四边形ABCD 是矩形，90//.A AB CD ∴∠=︒，//.AG MGAB CD GD GF∴=， 4MG FG AD ==，， 2.AG ∴=在Rt AMG ∆中, 24A AG AM ∠︒===90，，， 1tan .2AG AMG AM ∴∠==MG ==2MG FG MF MG =∴==，//AB CD ，F AMG ∴∠=∠， 1tan tan .2F AMG ∴∠=∠= 在Rt CMF ∆中, 90CMF ︒∠=，tan MC MF F ∴==120.2MFC S MC MF ∆∴=⋅⋅=（2）分别过点G 、点M 作GK CF MH CF ⊥⊥，，垂足分别为点K 、点.H 9090GKF MHF MHC ︒∴∠=︒∠=∠=，，四边形ABCD 是矩形，90ADC A MHF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ADHM 是矩形，2DH AM ∴==， MH AD x ==， 同理可得 4.CH BM ==90CMF ∠=︒ 90F MCF ∴∠+∠=︒ 90MHC ∠=︒90MCF CMH ∴∠+∠=︒F CMH ∴∠=∠， FMH CMH ∴∆∆∽，.MH CH FH MH ∴=2.4x FH ∴=GK CF MH CF ⊥⊥，，//GK MH ∴，.FG GK FK FM MH FH∴== ABCDEF(G ) M图1 CDFM 图2第25题图2FM FG =2x GK ∴=，2.8x KH FK ==22.8x DK DH KH ∴=-=-在Rt GKD ∆中,22290GKD GK DK GK ︒∠=∴=+，，2GK y =424644x x y ∴=-+（4x <<）（3）七：取值范围问题（2021年青浦25）在△ABC 中，∠C= 90°，AC =2，BC=D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ=2BP ，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ ⊥AB ；（2）如果点P 在线段BC 上，当△PQD 是直角三角形时，求BP 的长；（3）将△PQD 沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于△ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．解：（1）∵∠C= 90°，AC =2，BC=∴AB4=．∴=BC AB ． ∵BQ=2BP，∴=BQ BP ∴=BQ BC BP AB． DPABCD Q（第25题图）（备用图）又∵∠B =∠B ，∴△BQP ∽△BCA ． ∴∠BQP =∠BCA ．∵∠C= 90°，∴∠BQP =90°． 即PQ ⊥AB ．（2）（i ）当∠PQD =90°时，∵∠PQD < ∠PQA =90°， ∴此种情况不存在． （ii ）当∠QPD =90°时， ∵∠PQB =∠QPD =90°，∴AB ∥PD ，∴=CP CDBP DA． ∵CD =DA ， ∴BP =CP ．∵BC =BP = （iii ）当∠QDP =90°时，过点Q 作QH ⊥AC ，垂足为点H ．设BP =2x ，则BQ x ，PC =2x ，QA =4．∴AH =22-x ，QH =32-x，HD =12-x ．∵∠QDC =∠CDP +90°，∠QDC =∠DQH +90°， ∴∠CDP =∠DQH ． ∴tan ∠CDP =tan ∠DQH ． ∴=CP HD DC QH ．2=x ．解得1x ，2x∴BP ．综上所述，当△PQD 是直角三角形时，线段BP 的长为．（3）33<<BP ．。
∥3套精选试卷∥上海市杨浦区2020-2021中考数学毕业升学考试一模试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列计算正确的是（ ）A ．235+=B ．a a a +=222C ．(1)x y x xy +=+D ．236()mn mn =【答案】C【解析】解：A 、不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；B ．23a a a += ，故B 错误；C ．1x y x xy +=+（） ，正确； D ．2326mn m n =（），故D 错误．故选C ．2．关于反比例函数y=2x，下列说法中错误的是（ ） A ．它的图象是双曲线B ．它的图象在第一、三象限C ．y 的值随x 的值增大而减小D ．若点（a ，b ）在它的图象上，则点（b ，a ）也在它的图象上【答案】C 【解析】根据反比例函数y=2x的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析、解答． 【详解】A ．反比例函数2y x =的图像是双曲线，正确； B ．k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；C ．在每一象限内，y 的值随x 的增大而减小，错误；D ．∵ab=ba ，∴若点（a ，b ）在它的图像上，则点（b ，a ）也在它的图像上，故正确．故选C ．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．3．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为()A．22B．4 C．32D．42【答案】B【解析】求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可．【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC，∴AD=BD，在△ADC和△BDF中CAD DBF AD BDFDB ADC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC≌△BDF，∴DF=CD=4，故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．5．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可知，当03x ≤≤时，11222y AP AB x x =⋅=⨯=； 当35x <≤时， ABE ADP EPC ABCD y S S S S ∆∆∆=---矩形()()11123123325222x x =⨯-⨯⨯-⨯--⨯-1922x =-+； 当57x <≤时，()1127722y AB EP x x =⋅=⨯⨯-=-.∵3x =时，3y =；5x =时，2y =.∴结合函数解析式，可知选项B 正确.【点睛】考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积． 6．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】C 【解析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．【详解】∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE ，∴∠ACD=90°-20°=70°，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°，AC=CE∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°在△ADC 中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，即45°+70°+∠ADC=180°，解得：∠ADC=65°，故选C ．【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．7．如果关于x 的不等式组2030x a x b -≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有2x =、3x =，那么适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对(,)a b 共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】D【解析】求出不等式组的解集，根据已知求出1＜2a ≤2、3≤3b ＜4，求出2＜a≤4、9≤b ＜12，即可得出答案．【详解】解不等式2x−a≥0，得：x≥2a ， 解不等式3x−b≤0，得：x≤3b ， ∵不等式组的整数解仅有x ＝2、x ＝3，则1＜2a ≤2、3≤3b ＜4， 解得：2＜a≤4、9≤b ＜12，则a ＝3时，b ＝9、10、11；当a ＝4时，b ＝9、10、11；所以适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对（a ，b ）共有6个，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a 、b 的值．8．如图，圆弧形拱桥的跨径12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的半径为（ ）米A．6.5B．9C．13D．15【答案】A【解析】试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5考点：垂径定理的应用．9．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（）A．13B．2C．2D．3【答案】B【解析】根据勾股定理和三角函数即可解答.【详解】解：已知在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，设a=x,则c=3x,b=229x x-=22x.即tanA=22x =24.故选B.【点睛】本题考查勾股定理和三角函数,熟悉掌握是解题关键.10．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（）A3B．2 C．23D．(123+【答案】C【解析】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由垂径定理得到C为AB的中点，再由折叠得到CD=OC，求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，即可确定出AB的长．【详解】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由折叠得到CD=OC=12OD=1cm ， 在Rt △AOC 中，根据勾股定理得：AC 2+OC 2=OA 2，即AC 2+1=4，解得：AC=3cm ，则AB=2AC=23cm ．故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 .【答案】36或5【解析】（3）当B′D=B′C 时，过B′点作GH ∥AD ，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D 时，AG=DH=12DC=8，由AE=3，AB=36，得BE=3． 由翻折的性质，得B′E=BE=3，∴EG=AG ﹣AE=8﹣3=5，∴22'B E EG -22135-，∴B′H=GH ﹣B′G=36﹣33=4，∴22'B H DH +2248+5（3）当DB′=CD 时，则DB′=36（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合）；（3）当CB′=CD 时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E 、C 在BB′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分BB′，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为36或45．故答案为36或45．考点：3．翻折变换（折叠问题）；3．分类讨论．12．规定：()a b a b b ⊗=+，如：()2323315⊗=+⨯=，若23x ⊗=，则x ＝__.【答案】1或-1【解析】根据a ⊗b=（a+b ）b ，列出关于x 的方程（2+x ）x=1，解方程即可． 【详解】依题意得：（2+x ）x=1，整理，得 x 2+2x=1，所以 （x+1）2=4，所以x+1=±2，所以x=1或x=-1．故答案是：1或-1．【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．13．如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是℃．【答案】11.【解析】试题解析：∵由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃﹣5℃=8℃；周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日温差=16℃﹣5℃=11℃，∴这7天中最大的日温差是11℃．考点：1.有理数大小比较；2.有理数的减法．14．若关于x、y的二元一次方程组2133x y mx y-=+⎧⎨+=⎩的解满足x＋y＞0，则m的取值范围是____．【答案】m>-1【解析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+y，代入x+y＞0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．【详解】解：2133x y mx y-=+⎧⎨+=⎩①②，①+②得1x+1y＝1m+4，则x+y＝m+1，根据题意得m+1＞0，解得m＞﹣1．故答案是：m＞﹣1．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出x+y的值，再得到关于m的不等式．15．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．【答案】40【解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如﹣2x 2﹣2x+1＝﹣x 2+5x ﹣3：则所捂住的多项式是___．【答案】x 2+7x-4 【解析】设他所捂的多项式为A ，则22(53)(221)A x x x x =-+-++-；接下来利用去括号法则对其进行去括号，然后合并同类项即可.【详解】解：设他所捂的多项式为A ，则根据题目信息可得 22(53)(221),A x x x x =-+-++-2253221,x x x x =-+-++-27 4.x x =+-他所捂的多项式为27 4.x x +-故答案为27 4.x x +-【点睛】本题是一道关于整数加减运算的题目，解答本题的关键是熟练掌握整数的加减运算；17．如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为1 cm ，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA 上，则边BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm 1．【答案】4π 【解析】根据直角三角形的性质求出OC 、BC ，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，∴∠OBC=30°，∴OC=12OB=1则边BC扫过区域的面积为：2 2112012012=3603604πππ⎛⎫⨯ ⎪⨯⎝⎭-故答案为4π．【点睛】考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键.18．如图，在△ABC中，点E，F分别是AC，BC的中点，若S四边形ABFE=9，则S三角形EFC=________．【答案】3【解析】分析：由已知条件易得：EF∥AB，且EF：AB=1：2，从而可得△CEF∽△CAB，且相似比为1：2，设S△CEF=x，根据相似三角形的性质可得方程：194xx=+，解此方程即可求得△EFC的面积.详解：∵在△ABC中，点E，F分别是AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF：AB=1：2，∴△CEF∽△CAB，∴S△CEF：S△CAB=1：4，设S△CEF=x，∵S△CAB=S△CEF+S四边形ABFE，S四边形ABFE=9，∴194xx=+，解得：3x=，经检验：3x=是所列方程的解.故答案为：3.点睛：熟悉三角形的中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是正确解答本题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：AB ＝DC ；试判断△OEF 的形状，并说明理由．【答案】（1）证明略（2）等腰三角形，理由略【解析】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ， 即BF ＝CE ．又∵∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，∴△ABF ≌△DCE （AAS ），∴AB ＝DC ．（2）△OEF 为等腰三角形理由如下：∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB=∠DEC ．∴OE=OF ．∴△OEF 为等腰三角形．20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k y x x=>的图像与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ,N 两点.若点M 是AB 边的中点，求反比例函数k y x=的解析式和点N 的坐标；若2AM =，求直线MN 的解析式及OMN △的面积【答案】（1）18y x=，N(3，6)；（2）y ＝－x ＋2，S △OMN ＝3. 【解析】（1）求出点M 坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，把N 点的纵坐标代入解析式即可求得横坐标；（2）根据M 点的坐标与反比例函数的解析式，求得N 点的坐标，利用待定系数法求得直线MN 的解析式，根据△OMN ＝S 正方形OABC －S △OAM －S △OCN －S △BMN 即可得到答案．【详解】解：(1)∵点M 是AB 边的中点，∴M(6，3)．∵反比例函数y ＝k x 经过点M ，∴3＝6k ．∴k ＝1． ∴反比例函数的解析式为y ＝18x ． 当y ＝6时，x ＝3，∴N(3，6)．(2)由题意，知M(6，2)，N(2，6)．设直线MN 的解析式为y ＝ax ＋b ，则6226a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得18a b =-⎧⎨=⎩， ∴直线MN 的解析式为y ＝－x ＋2．∴S △OMN ＝S 正方形OABC －S △OAM －S △OCN －S △BMN ＝36－6－6－2＝3．【点睛】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，正方形的性质，求得M 、N 点的坐标是解题的关键．21．如图，△ABC 和△ADE 分别是以BC ，DE 为底边且顶角相等的等腰三角形，点D 在线段BC 上，AF 平分DE 交BC 于点F ，连接BE ，EF ．CD 与BE 相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；若∠BAC=90°，求证：BF 1+CD 1=FD 1．【答案】（1）CD=BE ，理由见解析；（1）证明见解析.【解析】（1）由两个三角形为等腰三角形可得AB ＝AC ，AE ＝AD ，由∠BAC ＝∠EAD 可得∠EAB ＝∠CAD ，根据“SAS”可证得△EAB ≌△CAD ，即可得出结论；（1）根据（1）中结论和等腰直角三角形的性质得出∠EBF ＝90°，在Rt △EBF 中由勾股定理得出BF 1＋BE 1＝EF 1，然后证得EF ＝FD ，BE ＝CD ，等量代换即可得出结论．【详解】解：（1）CD ＝BE ，理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等腰三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵∠EAD ＝∠BAC ，∴∠EAD ﹣∠BAD ＝∠BAC ﹣∠BAD ，即∠EAB ＝∠CAD ，在△EAB 与△CAD 中AE AD EAB CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAB ≌△CAD ，∴BE＝CD；（1）∵∠BAC＝90°，∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABF＝∠C＝45°，∵△EAB≌△CAD，∴∠EBA＝∠C，∴∠EBA＝45°，∴∠EBF＝90°，在Rt△BFE中，BF1＋BE1＝EF1，∵AF平分DE，AE＝AD，∴AF垂直平分DE，∴EF＝FD，由（1）可知，BE＝CD，∴BF1＋CD1＝FD1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合题意寻找出三角形全等的条件是解决此题的关键．22．小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之间的函数图象如图所示．求小张骑自行车的速度；求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；求小张与小李相遇时x的值．【答案】（1）300米/分；（2）y=﹣300x+3000；（3）7811分．【解析】（1）由图象看出所需时间．再根据路程÷时间=速度算出小张骑自行车的速度．（2）根据由小张的速度可知：B（10，0），设出一次函数解析式，用待定系数法求解即可. （3）求出CD的解析式，列出方程，求解即可.【详解】解：（1）由题意得：240012003004-=（米/分），答：小张骑自行车的速度是300米/分；（2）由小张的速度可知：B （10，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，把A （6，1200）和B （10，0）代入得：10061200,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：3003000,k b =-⎧⎨=⎩ ∴小张停留后再出发时y 与x 之间的函数表达式；3003000y x =-+；（3）小李骑摩托车所用的时间： 24003,800= ∵C （6，0），D （9，2400），同理得：CD 的解析式为：y=800x ﹣4800，则80048003003000x x -=-+， 7811x = 答：小张与小李相遇时x 的值是7811分．【点睛】考查一次函数的应用，考查学生观察图象的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.23．先化简，再求值：（x+2y ）（x ﹣2y ）+（20xy 3﹣8x 2y 2）÷4xy ，其中x ＝2018，y ＝1．【答案】 (x ﹣y)2；2.【解析】首先利用多项式的乘法法则以及多项式与单项式的除法法则计算，然后合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可．【详解】原式= x 2﹣4y 2+4xy(5y 2-2xy)÷4xy＝x 2﹣4y 2+5y 2﹣2xy＝x 2﹣2xy+y 2，＝(x ﹣y)2，当x ＝2028，y ＝2时，原式＝(2028﹣2)2＝(﹣2)2＝2．【点睛】本题考查的是整式的混合运算，正确利用多项式的乘法法则以及合并同类项法则是解题的关键.24．立定跳远是嘉兴市体育中考的抽考项目之一，某校九年级（1），（2）班准备集体购买某品牌的立定跳远训练鞋．现了解到某网店正好有这种品牌训练鞋的促销活动，其购买的单价y（元/双）与一次性购买的数量x（双）之间满足的函数关系如图所示．当10≤x＜60时，求y关于x的函数表达式；九（1），（2）班共购买此品牌鞋子100双，由于某种原因需分两次购买，且一次购买数量多于25双且少于60双；①若两次购买鞋子共花费9200元，求第一次的购买数量；②如何规划两次购买的方案，使所花费用最少，最少多少元？【答案】（1）y＝150﹣x；（2）①第一批购买数量为30双或40双．②第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【解析】（1）若购买x双（10＜x＜1），每件的单价＝140﹣（购买数量﹣10），依此可得y关于x的函数关系式；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双，根据购买两批鞋子一共花了9200元列出方程求解即可．分两种情况考虑：当25＜x≤40时，则1≤100﹣x＜75；当40＜x＜1时，则40＜100﹣x＜1．②把两次的花费与第一次购买的双数用函数表示出来．【详解】解：（1）购买x双（10＜x＜1）时，y＝140﹣（x﹣10）＝150﹣x．故y关于x的函数关系式是y＝150﹣x；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双．当25＜x≤40时，则1≤100﹣x＜75，则x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，解得x1＝30，x2＝40；当40＜x＜1时，则40＜100﹣x＜1，则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝9200，解得x＝30或x＝70，但40＜x＜1，所以无解；答：第一批购买数量为30双或40双．②设第一次购买x双，则第二次购买（100﹣x）双，设两次花费w元．当25＜x≤40时w＝x（150﹣x）+80（100﹣x）＝﹣（x﹣35）2+9225，∴x＝26时，w有最小值，最小值为9144元；当40＜x＜1时，w＝x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝﹣2（x﹣50）2+10000，∴x＝41或59时，w有最小值，最小值为9838元，综上所述：第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．25．解方程：.【答案】【解析】两边同时乘以（x-3），得到整式方程，解整式方程后进行检验即可得.【详解】两边同时乘以（x-3），得2-x-1=x-3，解得：x=2检验：当x=2时，x-3≠0，所以x=2是原方程的根，所以原方程的根是x=2.【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法以及注意事项是解题的关键.26．计算：|2|82﹣π）0+2cos45°．解方程：33xx-=1﹣13x-【答案】（1）﹣1；（2）x=﹣1是原方程的根．【解析】（1）直接化简二次根式进而利用零指数幂的性质以及特殊角三角函数值进而得出答案；（2）直接去分母再解方程得出答案．【详解】（1）原式2﹣2﹣2=2﹣2=﹣1；（2）去分母得：3x=x﹣3+1，解得：x=﹣1，检验：当x=﹣1时，x﹣3≠0，故x=﹣1是原方程的根．【点睛】此题主要考查了实数运算和解分式方程，正确掌握解分式方程的方法是解题关键．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．不等式组123122x x -<⎧⎪⎨+≤⎪⎩的正整数解的个数是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】先解不等式组得到-1＜x≤3，再找出此范围内的正整数．【详解】解不等式1-2x ＜3，得：x ＞-1，解不等式12x +≤2，得：x≤3， 则不等式组的解集为-1＜x≤3，所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，故选C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确得出 一元一次不等式组的解集. 2．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE=3ED ，DF=CF ，则AG GF的值是( )A ．43B ．54C ．65D ．76【答案】C【解析】如图作，FN ∥AD ，交AB 于N ，交BE 于M ．设DE=a ，则AE=3a ，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.【详解】如图作，FN ∥AD ，交AB 于N ，交BE 于M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴36552AG AE aGF FM a===，故选C．【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．3．甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零件．设乙每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（）A．2402008x x=-B．2402008x x=+C．2402008x x=+D．2402008x x=-【答案】B【解析】根据题意设出未知数，根据甲所用的时间＝乙所用的时间，用时间列出分式方程即可. 【详解】设乙每天完成x个零件，则甲每天完成(x+8)个.即得，2402008x x+＝，故选B.【点睛】找出甲所用的时间＝乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.4．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84 B．336 C．510 D．1326【答案】C【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，故选：C．点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.5．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）A．B． C．D．【答案】BA C D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去【解析】试题解析：选项,,的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.故选B.6．某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（）A．74 B．44 C．42 D．40【答案】C【解析】试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C.考点：众数.7．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ，∴AB ∥CD ∥EF∴△ABE ∽△DCE ， ∴，故选项B 正确，∵EF ∥AB ， ∴， ∴，故选项C ，D 正确，故选：A ．【点睛】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．关于x 的不等式组0312(1)x m x x -<⎧⎨->-⎩无解，那么m 的取值范围为( ) A ．m≤－1B ．m<－1C ．－1<m≤0D ．－1≤m<0【答案】A【解析】先求出每一个不等式的解集，然后再根据不等式组无解得到有关m 的不等式，就可以求出m 的取值范围了. 【详解】()03121x m x x -<⎧⎪⎨->-⎪⎩①②， 解不等式①得：x<m ，解不等式②得：x>-1，由于原不等式组无解，所以m≤-1，故选A.【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解问题，熟知一元一次不等式组解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.9．一次函数y=ax+b 与反比例函数a b y x-=，其中ab ＜0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据一次函数的位置确定a 、b 的大小，看是否符合ab<0，计算a-b 确定符号，确定双曲线的位置．【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a b x- 的图象过一、三象限， 所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0，∴反比例函数y=a b x-的图象过二、四象限， 所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a b x-的图象过一、三象限， 所以此选项正确；D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a 、b 的大小10．下列四个多项式，能因式分解的是()A．a－1 B．a2＋1C．x2－4y D．x2－6x＋9【答案】D【解析】试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．试题解析：x2-6x+9=（x-3）2．故选D．考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需_____根火柴棒．【答案】2n+1．【解析】解：根据图形可得出：当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为9；……由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2（n﹣1）=2n+1．故答案为：2n+1．12．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC 的周长为____．【答案】3【解析】试题分析：因为等腰△ABC的周长为33，底边BC=5，所以AB=AC=8，又DE垂直平分AB，所以AE=BE,所以△BEC的周长为=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=3．考点：3．等腰三角形的性质；3．垂直平分线的性质．13．正五边形的内角和等于______度．【答案】540【解析】过正五边形五个顶点，可以画三条对角线，把五边形分成3个三角形∴正五边形的内角和=3 180=540°14．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝15米，那么该古城墙的高度CD是_____米．【答案】10【解析】首先证明△ABP∽△CDP，可得ABBP=CDPD，再代入相应数据可得答案．【详解】如图，由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴ABBP =CD PD，∵AB=2米，BP=3米，PD=15米，∴23=15 CD，解得：CD=10米.故答案为10.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.15．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．【答案】40【解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.16．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为______． 【答案】1【解析】首先设黄球的个数为x 个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．解：设黄球的个数为x 个， 根据题意得：88x+=2/3解得：x=1． ∴黄球的个数为1．17．不等式组32132x x x ->⎧⎪⎨≤⎪⎩的解是____. 【答案】16x <≤【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】32132x x x ＞①②-⎧⎪⎨≤⎪⎩ 解不等式①，得x ＞1，解不等式②，得x≤1，所以不等式组的解集是1＜x≤1，故答案是：1＜x≤1．【点睛】考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．已知23-是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是________． 【答案】23+【解析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将3【详解】设方程的另一根为x 1，又∵3x 13，解得x 13． 故答案为：23【点睛】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：3，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米，求点B到地面的距离；求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）【答案】（1）2；（2）宣传牌CD高（20﹣3m．【解析】试题分析：（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH=BHAH333．得到∠BAH=30°，于是得到结果BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×12=2；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=1．cos30°3在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，即tan60°=15DE，得到3，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，求出3，于是得到DF=DE﹣EF=DE ﹣32．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°，求得∠C=∠CBF=42°，得出3+12，即可求得结果．试题解析：解：（1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH=BHAH33∴∠BAH=30°，∴BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×12=2．答：点B距水平面AE的高度BH是2米；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=1．cos30°3在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，即tan60°=15DE，∴3，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，∴3+12，DF=DE﹣EF=DE﹣32．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°，∴∠C=∠CBF=42°，∴3，∴CD=CF﹣3+12﹣（32）=20﹣3．答：广告牌CD的高度约为（20﹣320．如图，建筑物AB 的高为6cm ，在其正东方向有个通信塔CD ，在它们之间的地面点M （B ，M ，D 三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A 、塔项C 的仰角分别为37°和60°，在A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高度．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3=1.73，精确到0.1m ）【答案】通信塔CD 的高度约为15.9cm ．【解析】过点A 作AE ⊥CD 于E ，设CE=xm ，解直角三角形求出AE ，解直角三角形求出BM 、DM ，即可得出关于x 的方程，求出方程的解即可．【详解】过点A 作AE ⊥CD 于E ，则四边形ABDE 是矩形，设CE=xcm ，在Rt △AEC 中，∠AEC=90°，∠CAE=30°， 所以AE=330CE tan =︒xcm ， 在Rt △CDM 中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm ， DM=)36603x CD tan +=︒cm ， 在Rt △ABM 中，BM=63737AB tan tan =︒︒cm ，。
2024年上海市杨浦区九年级中考一模数学试题
2024年上海市杨浦区九年级中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1）AB C D 2．已知a b >，下列不等式成立的是（ ）A ．a b ->-B ．22a b -<-C ．22a b <D ．0a b -< 3．当k ＜0，b ＜0时，一次函数y =kx +b 的图像不经过．．．（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知一组数据a ，2，4，1，6的中位数是4，那么a 可以是（ ）A ．0B ．2C ．3D ．55．下列命题中，真命题的是（ ）A ．四条边相等的四边形是正方形B ．四个内角相等的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线互相垂直的矩形是正方形 6．如图，在ABC V 中，AB AC ≠，120BAC ∠=︒，将ABC V 绕点C 逆时针旋转，点A 、B 分别落在点D 、E 处，如果点A 、D 、E 在同一直线上，那么下列结论错误的是（ ）A ．60ADC ∠=︒B ．60ACD ∠=︒C ．BCD ECD∠=∠ D ．BAD BCE ∠=∠二、填空题7．计算：3262a a ÷=．8．在实数范围内因式分解23=x -9．函数y =10．若关于x 的方程260x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是．11．布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是．12．已知反比例函数1k y x-=的图象在每一个象限内，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是． 13．根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x ，根据题意可列方程．14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点，CE 与对角线BD 相交于点F ，设向量AB a u u u r r =，向量BC b u u u r r =，那么向量BF =u u u r ．（用含a r 、b r 的式子表示）15．近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是元．16．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，如果4BD CD =，那么tan B =．17．如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是厘米．18．已知矩形ABCD 中，5AB =，以AD 为半径的圆A 和以CD 为半径的圆C 相交于点D 、E ，如果点E 到直线BC 的距离不超过3，设AD 的长度为m ，则m 的取值范围是．三、解答题19．计算：)0112112713-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭．20．解方程组：222124440x y x xy y +=⎧⎨-+-=⎩．21．如图，已知在ABC V 中，9AB AC ==，cos B =点G 是ABC V 的重心，延长AG 交边BC 于点D ，以G 为圆心，GA 为半径的圆分别交边AB 、AC 于点E 、F ．(1)求AG 的长；(2)求BE 的长．22．寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图像．根据图像提供的信息回答下列问题：(1)图中的=a _______，b =______；(2)求提速后y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；(3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由．23．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，BD BC =，DBC ∠的平分线交AD 延长线于点E ，交CD 于点F ．(1)求证：四边形BCED 是菱形；(2)连接AC 交BF 于点G ，如果AC CE ⊥，求证：2AB AG AC =⋅．24．定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l 外有一点H ，圆Q 经过点H 且与直线l 相切，则称圆Q 是点H 与直线l 的点切圆．阅读以上材料，解决问题：已知直线OA 外有一点P ，PA OA ⊥，4OA =，2AP =，圆M 是点P 与直线OA 的点切圆．(1)如果圆心M 在线段OP 上，那么圆M 的半径长是_____（直接写出答案）．(2)如图2，以O 为坐标原点、OA 为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，点P 在第一象限，设圆心M 的坐标是(),x y ．①求y 关于x 的函数解析式；②点B 是①中所求函数图象上的一点，连接BP 并延长交此函数图象于另一点C ．如果:1:4CP BP =，求点B 的坐标．25．已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．(1)如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CD AF的值； (2)如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG V 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．。
2021年上海中考一模数学试卷 第17、18、23题汇编
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2021年上海市宝山区初三一模数学试卷2021年上海市奉贤区初三一模数学试卷2021年上海市嘉定区初三一模数学试卷2021年上海市虹口区初三一模数学试卷2021年上海市黄浦区初三一模数学试卷2021年上海市静安区初三一模数学试卷2021年上海市崇明区初三一模数学试卷2021年上海市普陀区初三一模数学试卷2021年上海市松江区初三一模数学试卷2021年上海市徐汇区初三一模数学试卷2021年上海市杨浦区初三一模数学试卷2021年上海市浦东新区初三一模数学试卷
AC=BC，
2021年上海市浦东新区初三一模数学试卷。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题15 几何综合(解答题25题压轴题)(逐题详解版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ． （1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值；（3）当AG AE =时，求CD 的长．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求∠MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ．（1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S 与ECF S 的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD 的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．13. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．14.（2021宝山一模） 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．15. （2021松江一模）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．16.（2021嘉定一模）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF .（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长； （2）如图12，如果12CF BC =， ①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值； （3）当AG AE =时，求CD 的长．【答案】（1）494；（2）119169；（3． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB 的长，设CD=x ，则AD=12-x ，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x 的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，利用三角函数求出x 的值，再求∠ABE 的正弦值即可；（3）设边长为x ，利用∠BCG∠∠EDG ，得出5DE DG x BC GC ==，然后联立512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，根据AG=AE ，求解即可．【详解】解：（1）Rt∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，13= ，设CD=x ，则AD=12-x ，在∠ADE 中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在∠BFE 中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在∠ABE 中，AE∠BE ，∠AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∠正方形CDEF 的面积=CD²=72×72=494； （2）如图：延长ED 交AB 于H ，∠∠BEH∠∠ABG ，且∠ABG=∠EBH ，∠∠BEH=∠BAG ， ∠DE∠EF ，∠∠BEH=∠EBF ，∠∠BAC=∠EBF ，设边长为x ， 则tan∠EBF=5x x +，tan∠BAC=512，令5x x +=512，则x=257, ∠25125971284HDAH ADBCAB AC-====，∠59767138484AH =⋅=， ∠BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=， ∠HE=HD+x=59584， 过H 作HM ，与BE 相交于M ，5sin sin 13B M AG HE ∠=∠=,595sin 84s 951419165in 81332HM HE HEM ABE BH BH ⨯⋅∠∠====；（3）∠DE//BC,∠∠BCG∠∠EDG ，设边长为x ，∠5DE DG xBC GC ==， ∠DG+GC=x ，∠DG=25x x +，GC=55x x +，则512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，令AG=AE ， 则或（舍去）．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A 、B 不重合），联结CM ，作∠CMF ＝90°，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ．点G 为线段MF 的中点，联结DG ．（1）如图1，如果AD ＝AM ＝4，当点E 与点G 重合时，求∠MFC 的面积；（2）如图2，如果AM ＝2，BM ＝4．当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD ＝x ，DG 2＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM ＝6，CD ＝8，∠F ＝∠EDG ，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）20；（2）()4244644x x y x =-+<；（3）AD =或【分析】（1）运用ASA 证明∠AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点G 在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M 作MH∠DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∠AE ED =又∠FED=∠MEA∠∠()AME DFE ASA ≅∆ ∠.4AM FD DH ===∠MH FC ⊥∠∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∠90FMC ∠=︒，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM∠∠FMH∠∠MCH ∠12MH HC FH MH ==∠2CH =，CF 10=∠1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH∠DC ，过G 点作GP∠DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∠FG GM =，//GP MH ∠111222GP MH AD x ===，12FP PH FH == ∠MH∠DC ，∠∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90° ∠∠FMC=90°，∠∠FMH+∠HMC=90° ∠∠FMH=∠HCM ，∠FHM MHC △∽△∠FH MH MH HC =，即4FH x x =，∠24x FH =∠28x PH =，228x DP =-，12GP x =∠222DG DP GP =+∠424644x x y =-+由00FH DP >⎧⎨>⎩ 可得4x <<∠定义域为4x <<（3）点G 在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠∠AD BC =∠ADJ BCM ≌△△， 2AJ BM == ∠1GJ GMDG GF==，∠AG DG =∠∠12=∠∠∠1390+∠=︒∠∠3490+∠=︒ ∠∠90AGE =︒∠AG 垂直平分FM ∠6AF AM ==∠4DF MJ ==∠AD ===点G 在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠，AD BC =∠ADL BCM ≌△△， ∠2AL BM ==∠∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∠90DGE ∠=︒，DG 垂直平分FM ∠8DM DF ==，6AM =，∠AD =AD =或【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长； （3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BDx BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-；（3）)．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FDMF=y ，然后结合已知条件得出结果． 【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ； （2）由题意得∠DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ， 同理可得∠DEC∠∠DCA ，AD=AC ，∠BC=AC ，∠BE=AD=BC=AC ，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，-6，-3，∠DE=AB-BD--3)=6-．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DECD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF，∠FD FDCF MF==y，∠BDxBC=，BE=BC，∠BD BDxBE BC==，∠,FD BDy xCF BE==，∠DE=1xBDx-，CD=1yFDx-，∠FD DECD BD=，11y xy x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ． （1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值； （3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =， 设,CF a = 再设DH x =， 利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==， 设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒， ∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒， ,EF AE ⊥ 90BEA CEF ∴∠+∠=︒， ,BAE CEF ∴∠=∠ ,BEA CFE ∴∽ BE AB CF CE ∴=，,BE CFAB CE∴= 3,EC CF =3,AB BE ∴= 设,,CF a BE b == 3,CE a ∴= 3,AB BC b a ∴==+ 而33,AB BE b ==33,b a b ∴+= 3,2b a ∴= 9,2AB a ∴= 22992.34ABE CEFaSAB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH AD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴ ,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠ ()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥ ,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===， 设,DH x = 22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴= ,DH a ∴= 1cos ,55DH a DDF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠ 1cos .5B ∴=（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,EC EH H ECH ∴=∠=∠ 23,CF CE CF ==， 6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y == 则2,DC AD x ==+ ,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ， ,//,B D AB CD ∴∠=∠ ,B ECH ∴∠=∠ ,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠ cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠ ,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽ ,EH HF EF DF AD AF ∴== 622,26y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+= 即菱形ABCD 的边长为：17. 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ==142ADB S DB AC ∴=⋅=12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH == 1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH∠CB 于H∠EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∠ACD EHD ．∠AC EH CD DH = 即44EH x x EH=--．∠()444x EH x -=+ ．∠EH∠CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∠)44x EB x -==+ ，AB =∠)44x AE x -=+∠EF AD ⊥，90C ∠=︒∠AFG ADC ∠=∠ ．∠EDB ADC ∠=∠ ∠AFG EDB ∠=∠．∠45FAE B ∠=∠=︒∠AFE BDE ．∠AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt∠MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=(4).2x - 在Rt∠ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+所以tan∠DAB=44DM x AM x -=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∠CDF 与∠AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan∠FDC=tan∠DAB,得44y x x x-=⋅+结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0. 解得-4 或--4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan∠CFD=tan∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x -=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或3-（舍去） 如果∠CFD=∠DAB, 44x x y x-=+与y=2x -4整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为-4、8- 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且2BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2或6；（3）33BP << 【分析】（1）证明∠BPQ∠∠BAC 即可；（2）由∠PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan3AC B BC ===，求出∠B=30，30DPC ∠=︒，计算tan 30CD CP ︒===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，证明∠EQD∠∠CDP ，得到QE ED CD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 602CD =︒，即可得到3BP =【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∠4AB ==，∠BC AB ==，∠BQ BP =，∠BQ BP =∠BQ BC BP AB =，∠QBP CBA ∠=∠， BPQBAC ∴，∠90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∠ABC中，tan 3AC B BC ===，∠∠B=30， ∠9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒， ∠2AC =，点D 为边AC 的中点，∠CD=1，∠tan 30CD CP ︒===，BP BC CP ∴=-= 当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，∠∠EQD+∠EDQ=∠EDQ+∠CDP=90︒，EQD CDP ∴，QE ED CD CP∴=， 设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，∠∠B=30，∠BQP=90︒， ∠PQ=12t ，∠60QPB ∠=︒，∠cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 60QF PQ =⋅︒=，∠1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD t =-=-，134t -∴=t ∴=或t =（舍去）， 综上，BP或6；（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=3m ∴=； ②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∠60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1， ∠PC=tan 603CD =︒，∠3BP =BP <<． ．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35． 【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可； （3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC ∵4AB AD ==，3CB CD ==∴AC 垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3∴5== ∴sin MCN ∠=sin ∠ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90°∴△BCG ≌△DCN ∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN∴∠MCN=12∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=12∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=12∠BCD=∠MCN ∵CM=CM ， ∠G=∠CND,∴△GMC ≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC当DN=NC时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD=12∠BCD=∠MCN∴∠NDP=∠NCP∴D、C、N、P四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC∴△CPQ∽△CNM∴PQ CP MN CN=在Rt△CPN中，CPCN=cos∠MCN=cos∠ACB=35∴不会发生变化35PQMN=【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<+． 【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ． （3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD ，∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ．∠∠A=∠DBE ，∠∠A=∠BEC ．∠∠ABD∠∠ECB ，∠AD EB AB EC ＝．∠AD DF AB BC=，∠EB DFEC BC =，∠DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD，∠∠CEB=∠EBD=∠A，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CACB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936CE==⨯，∠CE=6．∠BD ABCE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，∠AH=224AB BH-=．==．AD=4±（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x<．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，点D为斜边AB 的中点，ED AB⊥，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD QD⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED EDB AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDFBDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1）PD QD ⊥，ED AB ⊥∠A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∠ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△，∠EQ EDAP AD= 又点D 为斜边AB 的中点，∠AD BD = ， EQ ED EDAP AD BD==又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQB BD AD AP==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10D 为AB 中点， ∠BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254AP x =，可得34EQ x =，BQ BE EQ =-， 253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED EDFPD B DP AD BD∠====，∠FPD B ∠=∠，又∠PDF BDQ ∠=∠， ∠PDFBDQ △△，∠PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =， 253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E在边AB 上（点E与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）45x =或45x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠； （2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x yx x-=+-，故可求解； （3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解． 【详解】解：（1）∠90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∠ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDFEAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠=∠FAD FCD △∽△∠2AB DC ==，1AD =，∠12DE AD DF CD == ∠1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△∠12EA DE AD FC DF CD ===∠22FC EA x ==∠AB //CD∠FCH FBE △∽△，∠FC CH FB BE =∠22212x y x x -=+-∠222(02)21x y x x +=<<+， （3）∠AE x =，DH y =，过点E 作EM∠CD 于M 点，∠四边形AEMD 为矩形∠MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∠2BE x =-，DE =EH =∠AB //CD∠AEG CHG △∽△∠EG AE HG CH =∠EG AE EH AE CH =+∠AEEG EH AE CH=⋅+∠BEG DHE ∠=∠， 若BEG DHE △∽△， ∠BE EG DH HE =∠BE AEDH AE CH =+即22x x y x y -=+- 化简得2240x y +-=∠22221x y x +=+∠222212240x x x +⨯-++=化简得22508x x +=-解得x =45x =若EGB HDE △∽△∠BE EG EH HD = ∠2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∠22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++=∠=372-4×26×20=-711＜0，∠方程无解综上，45x =和x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数； ()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∠AOP 和∠OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一： 作OG BC ⊥，∠BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二： 连接AC ，∠AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=； （2）∠AO=OP ，∠∠PAO=∠P ，∠P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPEOPA ∴∆∆P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠，C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠， CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠，AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠， 即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∠DH//OP ，∠∠ADH∠∠APO ，∠23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=，∠AB=4，∠OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==，∠DH//OP ，∠∠BOE∠∠BHD ， 28433EO OB EODH HB ∴===，1EO ∴=， AHD AOED HOEDS S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∠∠ACD∠∠PED ，∠ACB∠∠OEB ，2AD DP =，∠2CD AC ADDE PE DP===，2AC EP ∴=，又,AO BO =∠=2CB AC ABBE OE BO==，2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∠AO=OP ，∠∠PAO=∠APO ，∠PAO+∠APO=∠EOB=60°，∠30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切； （3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题12二次函数基本概念(逐题详解版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题12二次函数基本概念一、单选题1．（2021·上海九年级一模）抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()2,3-2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）关于抛物线2y x x ，下列说法中，正确的是（ ）A ．经过坐标原点B ．顶点是坐标原点C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）A ．-1B ．3C ．4D ．04．（2021·上海黄浦区·九年级一模）抛物线243y x x =-+-不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（ ） A ．点A 、B 、CB ．点A 、BC ．点A 、CD ．点B 、C6．（2021·上海静安区·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．A ．0ac <B ．抛物线的对称轴为直线1x =C ．0a b c -+=D ．点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()2y a x m k =++的图像如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）A ．0m <，0k <B ．0m <，0k >C ．0m >，0k <D ．0m >，0k >9．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，那么根据图象，下列判断正确的是（ ）A ．0a <B ．0b >C ．0ab >D ．0c10．（2021·上海闵行区·九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．223y x x=-- B ．22(1)y x x =--+ C ．21129y x x =+ D ．2y ax bx c =++11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）将抛物线22y x = 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（ ）A ．221y x =-B ．221y x =+C ．2 21() y x =+D ．2 21() y x =-12．（2021·上海虹口区·九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．212y x =- B ．y =C ．22y x =-D ．()222y x x =--13．（2021·上海嘉定区·九年级一模）抛物线223y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()0,3-D ．()0,314．（2021·上海宝山区·九年级一模）若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ） A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =+-15．（2021·上海崇明区·九年级一模）抛物线()2y a x k k =-+的顶点总在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．直线y x =上D ．直线y x=-上16．（2021·上海普陀区·九年级一模）在下列对抛物线2(1)y x =--的描述中，正确的是（ ）A ．开口向上B ．顶点在x 轴上C ．对称轴是直线1x =-D ．与y 轴的交点是(0,1)17．（2021·上海松江区·九年级一模）将抛物线y=2x 2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（ ） A ．y=2x 2+3 B ．y=2x 2﹣3 C ．y=2（x+3）2 D ．y=2（x ﹣3）2二、填空题18．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知抛物线22y x x c =-+经过点()11,A y -和()22,By ，比较1y 与2y的大小：1y _____________2y （选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．19．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知抛物线2yx ，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点()2,2A ，那么平移后的抛物线的表达式是______．20．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知抛物线()211y a x =-+的开口向上，那么a 的取值范围是______．21．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如果抛物线()232y x b x c =+++的顶点为(),b c ，那么该抛物线的顶点坐标是________．22．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线2C 的表达式为______．23．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果(2，1y )、(3，2y )是抛物线()21y x =+上两点，那么1y ______2y ．（填“>”或“<”）24．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向______．（填“向上”或“向下”）25．（2021·上海静安区·九年级一模）抛物线236y x =-的顶点坐标为____．26．（2021·上海静安区·九年级一模）二次函数223y x x =-图像的开口方向是____．27．（2021·上海宝山区·九年级一模）如果抛物线()21y m x m =++（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向______．28．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果二次函数2)1?( y x =-的图像上有两点1(2,)y 和2(4,)y ，那么1y _____2y （填“>”、“=”或“<”）29．（2021·上海虹口区·九年级一模）沿着x 轴正方向看，抛物线22y x =-在y 轴左侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）．30．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果抛物线l 经过点()2,0A -和()5,0B ，那么该抛物线的对称轴是直线________．31．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果抛物线2y x a =-经过点()2,0，那么a 的值是______．32．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点1,0A ，那么()1f -=________0．（填“>”“<”或“=”)33．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()22y x m k =++-的顶点在x 轴上，那么常数k 为______．34．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，那么2a b+______0.（从＜，＝，＞中选择）35．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()213y x =+-的图像与y 轴的交点坐标为______． 36．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()221y a x =-的开口向下，那么实数a 的取值范围是______．37．（2021·上海普陀区·九年级一模）二次函数224y x x =+图像的顶点坐标为__________．38．（2021·上海杨浦区·九年级一模）抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，则△ABC 的面积＝__．39．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知，二次函数()2f x ax bx c =++的部分对应值如下表，则()3f -=________．40．（2021·上海金山区·九年级一模）抛物线22y x =-沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是______．（填“上升”或“下降”）41．（2021·上海九年级一模）二次函数22y x x m =++图像上的最低点的横坐标为_________________．42．（2021·上海崇明区·九年级一模）如果将抛物线()21y x =-先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为________．43．（2021·上海闵行区·九年级一模）将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为_________．44．（2021·上海闵行区·九年级一模）抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是___________的（填“上升”或“下降”）．45．（2021·上海松江区·九年级一模）已知点()12,A y ，()23,B y 在抛物线22y x x c =-+（c 为常数）上，则1y ____2y （填“>”、“=”或“<”）46．（2021·上海奉贤区·九年级一模）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线，如果抛物线21:2C y x x =-与抛物线2C 关于直线1x =-的对称曲线，那么抛物线2C 的表达式为_______________________．47．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(1,0)A ，那么(1)f -__________0．（填“>”、“<”或“=”）48．（2021·上海普陀区·九年级一模）沿着x 轴正方向看，如果抛物线2(2)y a x =-在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 的取值范围是__________．49．（2021·上海杨浦区·九年级一模）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______m ．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题12二次函数基本概念一、单选题1．（2021·上海九年级一模）抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()2,3-【答案】A【分析】根据顶点式解析式的性质解答．【详解】抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是()2,3-，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数顶点式解析式的性质：2()y a x h k =-+中顶点坐标为（h ，k ）．2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）关于抛物线2y x x ，下列说法中，正确的是（ ）A ．经过坐标原点B ．顶点是坐标原点C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =【答案】A【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出正确结果． 【详解】解：2yx x ，二次项前面的系数大于0，∴抛物线开口向上，有最低点，当x=0时，y=0，∴抛物线经过坐标原点，2y xx 21124x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴抛物线的对称轴为直线12x =，顶点坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，-，综上所述，B 、C 、D 选项均不正确，只有A 选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的基本性质，学会化顶点式判断是解决本题的关键．3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）A ．-1B ．3C ．4D ．0【答案】D【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论． 【详解】解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0）△抛物线的对称轴为直线x=022+=1，而1312-+= △x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0 △这个被蘸上了墨水的函数值是0，故选D ．【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键．4．（2021·上海黄浦区·九年级一模）抛物线243y x x =-+-不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】求出抛物线的图象和x 轴、y 轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：243y x x =-+-＝()221x --+，即抛物线的顶点坐标是（2，1），在第一象限；当y ＝0时，243x x -+-＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3即抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），都在x 轴的正半轴上，当x=0时，y=-3△抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），△a ＝-1＜0，△抛物线的图象的开口向下，大致画出图象如下：即抛物线的图象过第一、三、四象限，不过第二象限，故选：B ．【点睛】本题考查了求函数图象与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式．5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（ ）A ．点A 、B 、CB ．点A 、BC ．点A 、CD ．点B 、C【答案】C【分析】先把12A ，，()21C ，代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：221y x x =-++，再判断B 不在抛物线上，从而可得答案．【详解】解：把12A ，，()21C ，代入抛物线的解析式，124211a b a b ++=⎧∴⎨++=⎩ 即：120a b a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：1,2a b =-⎧⎨=⎩ ∴ 抛物线为：221,y x x =-++ 当2x =时，44113,y =-++=≠()23B ∴，不在抛物线221y x x =-++上，∴ 抛物线21y ax bx =++可以经过的点是,.A C 故选：.C【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．6．（2021·上海静安区·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【答案】A【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则选出正确选项．【详解】抛物线22(1)3y x =+-要通过平移得到22y x =，需要先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即()22211332y x x =+--+=．故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的平移，解题的关键是掌握抛物线的平移方法．7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．A ．0ac <B ．抛物线的对称轴为直线1x =C ．0a b c -+=D ．点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >【答案】B【分析】根据图象分别求出a 、c 的符号，即可判断A ；根据抛物线与x 轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x =1，即可判断B ；把x =-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C ；将x =-2与x =2带入二次函数，可得出y 1与y 2的值，即可判断D ．【详解】解：△二次函数的图象开口向上，△a ＞0，△二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，△c ＜0，△ac ＜0 选项A 正确；△由图像可看出，抛物线与x 轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称， △抛物线的对称轴不是x=1 选项B 错误；把x=-1代入y=ax 2+bx+c 得：y=a -b+c ，由图像可知，x=-1时y=0，△a -b+c=0 选项C 正确；把x=-2和x=2代入y=ax 2+bx+c 中，由图像可知，y 1＞0，y 2＜0，△y 1＞y 2 选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a 、b 、c 之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()2y a x m k =++的图像如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）A ．0m <，0k <B ．0m <，0k >C ．0m >，0k <D ．0m >，0k >【答案】A 【分析】根据函数图象的位置及顶点坐标所在的象限确定答案．【详解】由函数图象知：二次函数的图象顶点在第四象限，△顶点坐标为（-m ，k ），△-m>0，k<0，△m<0，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数图象，根据函数图象与各项系数之间的关系．9．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，那么根据图象，下列判断正确的是（ ）A ．0a <B ．0b >C ．0ab >D ．0c【答案】D 【分析】根据开口方向可判断a 的正负；根据对称轴的位置可判断b 的正负；进而得出ab 的正负；将(0,0)O 代入二次函数可得出c 的值即可． 【详解】解：抛物线开口向上，0a ∴>，故A 选项错误；抛物线对称轴在y 轴的右侧，02b a ∴->，0b ∴<，故B 选项错误； 0ab ∴<，故C 选项错误；二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，0c ∴=，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据性质判断,,a b c 的正负是解题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．223y x x =--B ．22(1)y x x =--+C ．21129y x x =+D ．2y ax bx c =++【答案】C【分析】函数解析式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数，根据定义解答．【详解】A 、223y x x=--中含有分式，故不是二次函数； B 、22(1)y x x =--+=2x -1，不符合定义，故不是二次函数；C 、21129y x x =+符合定义，故是二次函数；D 、2y ax bx c =++中a 不确定不等于0，故不是二次函数；故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）将抛物线22y x = 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（ ）A ．221y x =-B ．221y x =+C ．2 21() y x =+D ．2 21() y x =-【答案】C 【分析】根据抛物线平移的规律“上加下减，左加右减”即可选择．【详解】原抛物线向左平移1个单位后得：22(1)y x =+．故选C ．【点睛】本题考查抛物线平移与抛物线解析式的变化规律．掌握其规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．12．（2021·上海虹口区·九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．212y x =-B ．y =C ．22y x =-D ．()222y x x =-- 【答案】C【分析】形如y=ax 2+bx+c （a≠0），a ，b ，c 是常数的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 为常数项，x 为自变量，y 为因变量，据此解题．【详解】A ．212y x =-右边不是整式，不是二次函数，故A 错误；B ． y =B 错误；C ．22y x =-是二次函数，故C 正确；D ．()222242444y x x x x x x =-+=-=--+-是一次函数，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·上海嘉定区·九年级一模）抛物线223y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()0,3-D ．()0,3 【答案】C【分析】直接由抛物线解析式即可求得答案．【详解】解：△抛物线为223y x =-，△抛物线顶点坐标为(0，-3)，故选:C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+ 中，顶点坐标为(h ，k)，对称轴为x=h ．14．（2021·上海宝山区·九年级一模）若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ）A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =+- 【答案】A【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：()212y x =-+。
2021-2022学年上海市杨浦区九年级(上)期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）1.将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，下列结论中，正确的是( )A. 开口方向不变B. 顶点不变C. 与x轴的交点不变D. 与y轴的交点不变2.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果∠A=α，AC=1，那么AB等于( )A. sinαB. cosαC. 1sinαD. 1cosα3.已知e1⃗⃗⃗ 和e2⃗⃗⃗ 都是单位向量，下列结论中，正确的是( )A. e1⃗⃗⃗ =e2⃗⃗⃗B. e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ =0⃗C. |e1⃗⃗⃗ |+|e2⃗⃗⃗ |=2D. e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ =24.已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是( )A. PBAP =√5+12B. PBAB=√5+12C. APAB=√5−12D. APPB=√5−125.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是( )A. AEFC =OEOFB. AEDE =BFFCC. ADBC =OEOFD. ADDE =BCBF6.如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE=∠C，下列结论中，错误的是( )A. DFGC =12B. DEBC=12C. AEAB=12D. ADBD=127.已知yx =34，那么x−yx=______.8.计算：cos245∘−tan30∘sin60∘=______.9.抛物线y=x2+3与y轴的交点坐标为______.10.二次函数y=x2−4x图象上的最低点的纵坐标为______.11.已知a⃗的长度为2，b⃗ 的长度为4，且b⃗ 和a⃗方向相反，用向量a⃗表示向量b⃗ =______.12.如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周长之比等于______.13. 已知在△ABC 中，AB =10，BC =16，∠B =60∘，那么AC =______.14. 已知在△ABC 中，∠C =90∘，AC =8，BC =6，点G 是△ABC 的重心，那么点G 到斜边AB 的距离是______.15. 在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为______米． 16. 如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 在它的北偏东60∘方向上，航行12海里到达点C 处，测得小岛A 在它的北偏东30∘方向上，那么小岛A 到航线BC 的距离等于______海里．17. 新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt △ABC 为“格线三角形”，且∠BAC =90∘，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为______.18. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90∘，tanA =512，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90∘后得△ADE ，点B 落在点D 处，点C 落在点E 处，连接BE 、CD ，作∠CAD 的平分线AN ，交线段BE 于点M ，交线段CD 于点N ，那么AMAN 的值为______.19. 如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，且DE =23BC. (1)如果AC =6，求AE 的长；(2)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a ⃗ 、b⃗ 的线性组合表示向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .20. 已知二次函数y =2x 2−4x +5.(1)用配方法把二次函数y =2x 2−4x +5化为y =a(x +m)2+k 的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，与y 轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．，点E是21.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD=2，BD=6，tan∠B=23边BC的中点．(1)求边AC的长；(2)求∠EAB的正弦值．22.如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C 处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i=1：3，坡顶D到BC的距离DE=20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50∘，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度(结果精确到1米)(参考数据：sin50∘≈0.77；cos50∘≈0.64；tan50∘≈1.19)23.已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，AE//CD，DE//AB，过点C作CF//AD，交线段AE于点F，连接BF.(1)求证：△ABF≌△EAD；(2)如果射线BF经过点D，求证：BE2=EC⋅BC.x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，24.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12与y轴交于点C(0,2)，点P是该抛物线在第一象限内一点，连接AP、BC，AP与线段BC相交于点F.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；(3)过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF=PH，求线段PH的长度．25.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD< AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F.(1)当点D在边AB上时，①求证：∠AFC=45∘；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；(2)连接CE、BE，如果S△ACE=12，求S△ABE的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确．B、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，顶点的横坐标不变，纵坐标改变，故错误；C、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，形状不变，顶点改变，与x轴的交点改变，故错误．D、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故错误．故选：A.由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的图象形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．2.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果∠A=α，AC=1，那么：cosA=ACAB =1AB，∴AB=1cosα，故选：D.在Rt△ABC中，根据∠A的余弦即可解答．本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦和正切的区别是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据单位向量的定义可知：e1⃗⃗⃗ 和e2⃗⃗⃗ 的模长都是1，但是这两个向量并没有明确方向，∴A，B，D错误，C正确，故选：C.根据单位向量的定义判断即可．本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2=PB⋅AB，∴点P是AB的黄金分割点，∴AP AB =√5−12，故选：C.根据黄金分割的定义判断即可．本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：A.∵AD//BC，∴△AOE∽△COF，∴AE FC =OEOF，A正确，故本选项不符合题意；B.∵AD//BC，∴△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，∴AE FC =OEOF，DEBF=OEOF，∴AE FC =DEBF，∴AE DE =FCBF，B错误，故本选项符合题意；C.∵AD//BC，∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，∴AO CO =OEOF，ADBC=AOCO，∴AD BC =OEOF，C正确，故本选项不符合题意；D.∵AD//BC，∴△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，∴DE BF =DOBO，ADBC=DOBO，∴AD BC =DEBF，∴AD DE =BCBF，D正确，故本选项不符合题意；故选：B.根据相似三角形的判定得出△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，再根据相似三角形的性质得出比例式，最后根据比例的性质得出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理和比例的性质等知识点，能熟记相似三角形的性质定理和判定定理是解此题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠CAG，∵点F是AG的中点，∴AF=FG=12，∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠BAC，∴△DAE∽△CAB，∴∠AED=∠B，DEBC =ADAC=AEAB，又∵∠BAG=∠CAG，∴△EAF∽△BAG，∴AE AB =AFAG=12，∴DE BC =AEAB=12，∵∠ADE=∠C，∠BAG=∠CAG，∴△ADF∽△ACG，∴AD AC =AFAG=DFGC=12，∴选项A、B、C正确，选项D错误. 故选：D.通过证明△DAE∽△CAB，△EAF∽△BAG，可得AEAB =AFAG=12，DEBC=AEAB=12，通过证明△ADF∽△ACG，可得ADAC =AFAG=DFGC=12，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．7.【答案】14【解析】解：∵yx =34，∴设x=4k，y=3k，∴x−yx =4k−3k4k=k4k=14，故答案为：14.利用设k法解答，即可得到结果．本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．8.【答案】0【解析】解：cos245∘−tan30∘sin60∘=12−√33×√32=12−12=0，故答案为：0.原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.【答案】(0,3)【解析】解：当x=0时，y=3，则抛物线y=x2+3与y轴交点的坐标为(0,3)，故答案为：(0,3)把x=0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10.【答案】−4【解析】解：∵y=x2−4x=(x−2)2−4，∴抛物线最低点坐标为(2,−4)，∴抛物线最低点的纵坐标为−4.故答案为：−4.将二次函数解析式化为顶点式求解即可．本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化．11.【答案】−2a⃗【解析】解：∵a⃗的长度为2，b⃗ 的长度为4，且b⃗ 和a⃗方向相反，∴b⃗ =−2a⃗，故答案为：−2a⃗ .根据a⃗与b⃗ 的长度与方向即可得出结果．本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．12.【答案】4：9【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，∴它们的周长之比等于4：9，故答案为：4：9.根据相似三角形的性质即可得出结果．本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．13.【答案】14【解析】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADB =∠ADC =90∘，∵∠B =60∘， ∴sin60∘=ADAB，cos60∘=BD AB， ∵AB =10， ∴√32=AD 10，12=BD10， ∴BD =5，AD =5√3， ∵BC =16，BD =5， ∴CD =BC −BD =11，由勾股定理得：AC =√AD 2+CD 2=√(5√3)2+112=14， 故答案为：14.过A 作AD ⊥BC 于D ，解直角三角形求出BD 和AD ，求出CD ，再根据勾股定理即可求出AC. 本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理是解此题的关键．14.【答案】85【解析】解：过C 点作CE ⊥AB 于E ，过G 点作GH ⊥AB 于H ，如图． 在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，AC =8，BC =6， ∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10， ∵12CE ⋅AB =12AC ⋅BC ， ∴CE =8×610=245， ∵G 是△ABC 的重心， ∴DG =12CG ， ∴DG =13CD ，∵CE ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴GH//CE，∴△DHG∽△DEC，∴GH CE =DGDC=13，∴GH=13CE=13×245=85.故答案为：85.过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB，再利用三角形等面积法求出CE=245，根据G是△ABC的重心得到DG=13CD，然后证明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的长度．此题考查了三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，也考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质．15.【答案】15【解析】解：设旗杆的高度为x米，根据同一时刻，物高与影长成正比得，x：1.8=25：3，x=15，∴旗杆的高度为15米，故答案为：15.根据同一时刻，物高与影长成正比即可列出等式求解．本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行投影的基本特征：物高与影长成正比是解题的关键．16.【答案】6√3【解析】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得：BC=12海里，∠ABC=90∘−60∘=30∘，∠ACE=90∘−30∘=60∘，∴∠BAC=∠ACE−∠ABC=30∘，∴∠BAC=∠ABC，∴AC=BC=12海里，在Rt△ACE中，sin∠ACE=AEAC，∴AE=AC⋅sin∠ACE=12×√32=6√3(海里)，即小岛A到航线BC的距离是6√3海里，故答案为：6√3.过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，根据三角形的外角性质得∠BAC=∠ABC，由等腰三角形的判定得AC=BC，再由锐角三角函数定义求出AE的长即可．本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17.【答案】3【解析】解：过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，则∠CDA=∠AEB=90∘，∵直线a//直线b//直线c，相邻两条平行线间的距离相等(设为d)，∴BF⊥直线c，CD=2d，∴BE=BF=d，∵∠CAB=90∘，∠CDA=90∘，∴∠DCA+∠DAC=90∘，∠EAB+∠DAC=90∘，∴∠DCA=∠EAB，在△CDA和△AEB中，{∠DCA=∠EAB ∠CDA=∠AEB AC=AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)，∴AE=CD=2d，AD=BE=d，∴CF=DE=AE+AD=2d+d=3d，∵BF=d，∴cotα=CFBF =3dd=3，故答案为：3.过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，根据全等三角形的判定得出△CDA≌△AEB，根据全等三角形的性质得出AE=CD=2d，AD=BE=d，求出CF= DE=AE+AD=3d，再解直角三角形求出答案即可．本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．18.【答案】23 【解析】解：由∠C =90∘和tanA =512可设BC =5k ，AC =12k ， ∴AB =13k ，由旋转得，AE =AC =12k ，ED =BC =5k ，AB =AD =13k ，如图，以点C 为原点，BC 和AC 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,12k)，B(−5k,0)，∵旋转角为90∘，∴E(12k,12k)，D(12k,7k)，过点N 作NF ⊥AC 于点F ，交BE 于点P ，过点N 作NH ⊥AD 于点H ，∵AN 平分∠CAD ，∴NF =NH ，∴S △ANC S △AND =AC AD =12k13k =1213， 又∵△ANC 在边CN 上的高和△AND 在边DN 上的高相等，∴CNDN =S △ANC S △AND =1213， ∴点N 的坐标为(144k 25,84k 25)，设直线BE 的解析式为y =mx +n (m ≠0)，则{−5km +n =012km +n =12k ，解得：{m =1217n =60k 17， ∴直线BE 的解析式为y =1217x +6017k ， 当y =84k 25时，1217x +6017k =84k 25， 解得：x =−625k ，∴P(−625k,84k 25)， ∴NP =144k 25−(−625k)=6k ，∵NF ⊥AC ，∠EAC =90∘，∴AE//NP ，∴△MAF ∽△MNP ，∴AM NM =AE NP =12k6k =2，∴AM AN =23，故答案为：23.先根据题目条件作出图象，由∠C =90∘和tanA =512设BC =5k ，AC =12k ，然后由旋转的性质得到AE =AC =12k ，ED =BC =5k ，AB =AD =13k ，以点C 为原点、BC 和AC 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,12k)，B(−5k,0)，E(12k,12k)，D(12k,7k)，过点N 作NF ⊥AC 于点F ，交BE 于点P ，过点N 作NH ⊥AD 于点H ，得到NF =NH ，得到S △ANC S △AND=AC AD =12k 13k ，然后由高相等的两个三角形的面积之比为底边长之比得到CN DN 的值，进而用含有k 的式子表示点N 的坐标，再求得直线BE 的解析式，然后求得点P 的坐标得到NP 的长，最后通过△MAE ∽△MNP 得到AM NM 的值，即可得到AM AN的值． 本题考查了旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形的面积，解题的关键是通过旋转的性质建立平面直角坐标系．19.【答案】解：(1)∵DE//BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC =DE BC ，∵DE =23BC ，∴AE =23×6=4；(2)由(1)知，DE BC =23， ∴DE =23BC ，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(b ⃗ −a ⃗ ). 【解析】(1)根据相似三角形的性质得出等式即可求解；(2)根据平面向量的加减运算法则即可求解．本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．20.【答案】解：(1)y =2x 2−4x +5=2(x 2−2x)+5=2(x 2−2x +1−1)+5=2(x −1)2+3，∴开口向上，对称轴为直线x =1，顶点坐标为(1,3).(2)抛物线y =2x 2−4x +5沿y 轴向下平移5个单位后解析式是y =2x 2−4x +5−5，即y =2x2−4x.∵y=2x2−4x=2(x−1)2−2，∴顶点C的坐标是(1,−2).在y=2x2−4x中令y=0，则2x2−4x=0，解得x=0或2，∴A(2,0)，B(0,0)，∴△ABC的面积为：12×2×2=2.【解析】(1)利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．(2)首先求得抛物线y=2x2−4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式，利用配方法求得C的坐标，令y=0求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．本题考查的是二次函数三种形式的转化，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与几何变换，三角形的面积，掌握配方法、平移的规律是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD=6，tan∠B=CDBD =23，∴CD=4.在Rt△CDA中，AC=√CD2+AD2=√42+22=2√5.(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD//EF.又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF=BF=3，EF=12CD=2.∴AF=AD+DF=5.在Rt△AEF中，AE=√AF2+EF2=√52+22=√29.∴sin∠EAB=EF AE=2√29=229√29.【解析】(1)利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理即可求出AC；(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.先判断EF是三角形的中位线，再求出EF、DF、AF及AE，最后即可求出∠EAB的正弦值．本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及三角形的中位线定理是解决本题的关键．22.【答案】解：过D作DF⊥AB于F，则DF=EB，FB=DE=20米，∵斜坡CD的坡度i=1：3=DE：CE，坡顶D到BC的距离DE=20米，∴CE=3DE=60(米)，∴DF=EB=BC−CE=100−60=40(米)，在Rt△ADF中，∠ADF=50∘，∵tan∠ADF=AFDF=tan50∘≈1.19，∴AF≈1.19DF=1.19×40=47.6(米)，∴AB=AF+BF≈47.6+20≈68(米)，即建筑物AB的高度约为68米．【解析】过D作DF⊥AB于F，由坡度的定义求出CE=3DE=60(米)，则DF=EB=40(米)，再解直角三角形求出AF的长，即可得出答案本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23.【答案】解：(1)证明：∵AE//CD，∴∠AEB=∠BCD，∵∠ABC=∠BCD，∴∠ABC=∠AEB，∴AB=AE，∵DE//AB，∴∠DEC=∠ABC，∠AED=∠BAF，∵∠ABC=∠BCD，∴∠DEC=∠BCD，∴DE=DC，∵CF//AD，AE//CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF=CD，∴AF=DE，在△ABF和△EAD中，{AB=EA∠BAF=∠AED AF=ED，∴△ABF≌△EAD(SAS)；(2)如图，连接FD，∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线，∵AE//DC，∴△BEF∽△BCD，∴BE BC =EFCD，ECBE=DFBF，∵DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴EF AF =DFBF，∴EC BE =EFAF，∵CD=AF，∴BE BC =EFCD=EFAF=ECBE，∴BE2=EC⋅BC.【解析】(1)先证AB=AE，DE=DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF=CD，进而得出AF=DE，再由平行线性质得∠AED=∠BAF，进而证得结论；(2)通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得BEBC =EFCD=EFAF=ECBE，即可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)和点C(0,2)代入y =−12x 2+bx +c ，∴{−12−b +c =0c =2， ∴{b =32c =2， ∴y =−12x 2+32x +2；(2)∵y =−12x 2+32x +2，∴对称轴为直线x =32，令y =0，则−12x 2+32x +2=0，解得x =−1或x =4，∴B(4,0)，设直线BC 的解析式为y =kx +m (k ≠0)，∴{4k +m =0m =2， ∴{k =−12m =2， ∴y =−12x +2，∴E(32,54)，设直线AE 的解析式为y =k′x +n (k ′≠0)，∴{−k′+n =032k′+n =54， ∴{k′=12n =12， ∴y =12x +12，联立{y =12x +12y =−12x 2+32x +2， ∴x =3或x =−1(舍)，∴P(3,2)；(3)设P(t,−12t 2+32t +2)，则H(t,−12t +2)，∴PH =−12t 2+2t ，设直线AP 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)，∴{−k 1+b 1=0k 1t +b 1=−12t 2+32t +2， ∴{k 1=4−t 2b 1=4−t 2， ∴y =4−t 2x +4−t 2， 联立{y =−12x +2y =4−t 2x +4−t 2， ∴x =t 5−t ，∴F(t 5−t ,20−5t 10−2t)， 直线AP 与y 轴交点E(0,4−t 2)， ∴CE =2−4−t2=t2， ∵PF =PH ，∴∠PFH =∠PHF ，∵PG//y 轴，∴∠ECF =∠PHF ，∵∠CFE =∠PFH ，∴∠CEF =∠CFE ，∴CE =EF ，∴(t 2)2=(t 5−t )2+(20−5t 10−2t −4−t 2)2，∴(4−t)2+4=(5−t)2，∴t =52，∴PH =−12t 2+2t =158. 【解析】(1)将点A(−1,0)和点C(0,2)代入y =−12x 2+bx +c ，即可求解；(2)分别求出B(4,0)和直线BC 的解析式为y =−12x +2，可得E(32,54)，再求直线AE 的解析式为y =12x +12，联立{y =12x +12y =−12x 2+32x +2，即可求点P(3,2)； (3)设P(t,−12t 2+32t +2)，则H(t,−12t +2)，则PH =−12t 2+2t ，用待定系数法求出直线AP 的解析式为y =4−t 2x +4−t 2，联立{y =−12x +2y =4−t 2x +4−t 2，可求出F(t 5−t ,20−5t 10−2t )，直线AP 与y 轴交点E(0,4−t 2)，则CE =t 2，再由PF =PH ，可得CE =EF ，则有方程(t 2)2=(t 5−t )2+(20−5t 10−2t −4−t 2)2，求出t =52，即可求PH=−12t2+2t=158.本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算是解题的关键．25.【答案】解：(1)①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∴∠ACE=90∘−2α，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠AEC=∠EAC=12[180∘−(90∘−2α)]=45∘+α，∵∠AEC=∠AFC+∠ECF=∠AFC+α，∴∠AFC=45∘；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由(1)知：∠AFC=45∘，∴∠BEF=45∘，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG=∠DBC=45∘，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G=∠BCD=∠BAG，∵∠G+∠BAG=∠ABC=45∘，∴∠G=∠BCD=22.5∘，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BD，BH=√2BD，∠BHD=45∘，∵∠CDH=∠BHD−∠BCD=45∘−22.5∘=22.5∘=∠BCD，∴CH=DH=BD，∵CH+BH=BC=5，∴BD+√2BD=5，∴BD=5√2+1=5√2−5，∴线段BD的长为5√2−5；(2)Ⅰ.当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=12AE，∴①AM2+CM2=AC2=25，∵S△ACE=12AE⋅CM=12，∴②AM⋅CM=12，①+②×2，得：(AM+CM)2=49③，①-②×2，得：(AM−CM)2=49③，∵CM>AM>0，∴AM=3，CM=4，∴AE=6，由(1)知：∠AFC=45∘，BE⊥CF，∴∠BEF=45∘，∵∠AFC=∠ABC=45∘，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB=180∘，∴∠AFB=90∘，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，设EF=BF=x，则AE=x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(x+6)2+x2=50，解得：x=1或x=−7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=12AE⋅BF=12×6×1=3；Ⅰ.当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由(1)知：∠AFC=45∘，CF垂直平分BE，∴∠BEF=45∘，BF=EF，∴∠EBF=∠BEF=45∘，∴∠BFE=90∘，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=12AE，与Ⅰ同理可得：AM=EM=4，CM=3，AE=8，设BF=EF=y，则AF=8−y，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(8−x)2+x2=50，解得：x=1或x=7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=12AE⋅BF=12×8×1=4；综上，S△ABE的值为3或4.【解析】(1)①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∠ACE=90∘−2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G=∠BCD=22.5∘，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH=DH=BD，再根据CH+BH=BC=5，建立方程求解即可；(2)分两种情况：Ⅰ.当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅰ.当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。
上海市杨浦区2021年中考数学一模试卷附答案
中考数学一模试卷一、单选题（共6题；共12分）1.关于抛物线，下列说法中，正确的是（）A. 经过坐标原点B. 顶点是坐标原点C. 有最高点D. 对称轴是直线2.在中，如果，，那么这个三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形3.如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°4.在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（）A. B. C. D.5.下列命题中，正确的是（）A. 如果为单位向量，那么B. 如果、都是单位向量，那么C. 如果，那么D. 如果，那么6.在梯形中，，对角线与相交于点O，下列说法中，错误的是（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共12分）7.计算：________．8.已知抛物线的开口向上，那么a的取值范围是________．9.如果小明沿着坡度为的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了________米．10.已知线段的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（），那么线段的长是________厘米．11.抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，则△ABC的面积＝________．12.已知抛物线，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点，那么平移后的抛物线的表达式是________．13.一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________m．14.如图，已知在平行四边形中，点E在边上，，联结交对角线于点O，那么的值为________．15.如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么________．16.如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为________．17.新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为________．18.如图，已知在△ABC中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1//AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为________．三、解答题（共7题；共66分）19.计算：．20.已知一个二次函数的图像经过点、、．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点、在这个二次函数图像上，且，那么________ ．（填“<”或者“>”）21.如图，已知在中，点D、E分别在边、上，，点M为边上一点，，联结交于点N．（1）求的值；（2）设，，如果，请用向量、表示向量．22.如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，，米，求河宽（即点A到边的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）23.已知：如图，在梯形中，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线于点F．（1）求证：；（2）如果，求证：线段是线段、的比例中项．24.已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标；（3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．25.如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．（1）如果点D为边的中点，求的正切值；（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结如果与相似，求线段的长．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：，二次项前面的系数大于0，抛物线开口向上，有最低点，当x=0时，y=0，抛物线经过坐标原点，，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，综上所述，B、C、D选项均不符合题意，只有A选项符合题意．故答案为：A．【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出符合题意结果．2.【解析】【解答】∵，，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＋∠B＝90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故答案为：D．【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判断三角形的形状．3.【解析】【解答】解：根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，可知，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°，故答案为：A．【分析】根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，即可得出答案．4.【解析】【解答】A、,可证明DE∥BC,故本选项符合题意；B、,不可证明DE∥BC,故本选项不符合题意；C、,不可证明DE∥BC,故本选项不符合题意；D、不可证明DE∥BC,故本选项不符合题意．故答案为：A．【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案．5.【解析】【解答】A、如果为单位向量，则有，但不等于1，所以，故不符合题意；B、长度等于1的向量是单位向量，故不符合题意；C、如果，那么，故符合题意；D、表示这两个向量长度相等，而表示的是长度相等，方向也相同的两个向量，故不符合题意；故答案为：C．【分析】根据向量的定义和要素可直接进行排除选项．6.【解析】【解答】解：如图所示：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，，，故D不符合题意，∴，∴，故C符合题意；∵，∴，A不符合题意；∴，即，故B不符合题意；故答案为：C．【分析】根据相似三角形的性质及等积法可直接进行排除选项．二、填空题7.【解析】【解答】解：；故答案为：．【分析】根据向量的线性运算可直接进行求解．8.【解析】【解答】解：由抛物线的开口向上，可得：，解得：；故答案为：．【分析】根据二次函数的图像与性质可直接进行求解．9.【解析】【解答】解：设高度上升了h，则水平前进了2.4h，由勾股定理得：，解得h=50．故答案为50．【分析】设高度上升了h，则水平前进了2.4h，然后根据勾股定理解答即可．10.【解析】【解答】解：点P是线段AB的黄金分割点（），，可知（厘米），（厘米）故答案为：．【分析】根据黄金比值可知，计算得出结果即可．11.【解析】【解答】解：y＝0时，0＝x2﹣4x+3，解得x1＝3，x2＝1∴线段AB的长为2，∵与y轴交点C（0，3），∴以AB为底的△ABC的高为3，∴S△ABC＝×2×3＝3，故答案为：3．【分析】先根据题意求出AB的长。