二次指数平滑法算例
第7章4指数平滑法
4 3100 1940 1160 1160 1345600 1894 1206 1206 1454436 1967 1133 1133 1283689
5 1750 2056 -306 306 93636 2497 -747 747 558009 2987 -1237 1237 1530169
6 1550 2026 -476 476 226576 2123 -573 573 328329 1874 -324 324 104976
一、一次指数平滑法
设时间序列： X tX 1,X 2,...,X t,...,X n
一次指数平滑值计算公式为：
St(1)Xt(1)St( 11 )
其中：
S (1) t
第t期的一次指数平滑值
Xt 第t期的观测值
加权系数，0 1
指数平滑如何克服移动平均的不足？
St(1 )X t(1)St( 1 1 ) S t( 1 1 )X t 1 (1 )S t( 1 ) 2
……
S 1 (1 )X 1(1)S0 (1 )
迭代可得，
St(1)Xt(1)Xt1(1)2Xt2... ＋ (1-) tS0 (1)
S(1) t
Xt(1)Xt1(1)2Xt2...
＋ (1-) tS0 (1)
权系数为： ， （ 1 - ） ， （ 1 - ） 2 ， . . .
按指数几何级数衰减，符合指数规律，又具有平滑 数据的作用，因此称为指数平滑法。
2
825 720.7 689.4 752.0 13.4 676.0
3
774 736.7 703.6 769.8 14.2 765.4
4
716 730.5 711.7 749.3 8.1 784.0
二次指数平滑法预测模型推导过程
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指数平滑法-应用技术-典例-详细教材
1.2 指数平滑法的基本公式
指数平滑法的基本公式是：
St · yt (1 )St 1
式中， St--时间t的平滑值； yt--时间t的实际值； St − 1--时间t-1的平滑值； α--平滑常数，其取值范围为[0,1]
由该公式可知： 1.St是yt和 St − 1的加权算数平均数，随着 α取值的 大小变化，决定yt和 St − 1对St的影响程度，当α 取1时，St = yt；当 取0时，St = St − 1。 2.St具有逐期追溯性质，可探源至St − t + 1为止，包 括全部数据。其过程中，平滑常数以指数形式递 减，故称之为指数平滑法。指数平滑常数取值至 关重要。平滑常数决定了平滑水平以及对预测值 与实际结果之间差异的响应速度。
（1）经验判断法。这种方法主要依赖于时间序列的
发展趋势和预测者的经验做出判断。
1、当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，应选 较小的 值，一般可在0.05～0.20之间取值； 2、当时间序列有波动，但长期趋势变化不大时， 可选稍大的 值，常在0.1～0.4之间取值； 3、当时间序列波动很大，长期趋势变化幅度较 大，呈现明显且迅速的上升或下降趋势时，宜选 择较大的 值，如可在0.6～0.8间选值，以使预测模 型灵敏度高些，能迅速跟上数据的变化； 4、当时间序列数据是上升（或下降）的发展趋 势类型， 应取较大的值，在0.6~1之间。
yt f (Tt , St , Ct , It )
谢 谢 观 赏
设一次指数平滑为
，则二次指数平滑
的计算公式为：
若时间序列 从某时期开始具有直线趋势，且 认为未来时期亦按此直线趋势变化，则与趋势移动平均类 似，可用如下的直线趋势模型来预测。
式中t为当前时期数；T为由当前时期数t到预测期的时 期数； 为第t+T期的预测值； 为截距， 为斜率， 其计算公式为：
二次移动平均法与指数平滑法
二次移动平均法一次移动平均法一般只适用于现象没有明显的上升或下降趋势的现象，若时间数列呈直线趋势，则要进行二次移动平均法。
二次移动平均法，就是在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均。
建立二次移动平均法直线预测模型：式中：和分别代表第t期的一次移动平均数和二次移动平均数；，N为选择移动平均的时期数。
应用二次移动平均法请注意：1.时间数列发展趋势为直线型；2.在计算以及时，移动平均的项数N应相同，其值的确定方法同一次移动平均; 3) 与不直接用于预测。
指数平滑法指数平滑法是在移动平均法的基础上发展起来的一种趋势分析预测法。
其具体操作方法是以前期的实际值和前期的预测值（或平滑值），经过修匀处理后作为本期预测值。
根据平滑次数不同，指数平滑法分为一次指数平滑法和二次指数平滑法。
一次指数平滑法一次指数平滑公式是由移动平均数的计算公式改进而来的，其基本公式为：式中：为第t期一次指数平滑值；为第t–1期一次指数平滑值； a为平滑系数。
平滑系数a在原数列波动不大时，a取较小值（0.1—0.3），以加重前期预测值的权重；若原数列波动较大时，则a可取较大值（如0.6—0.9）,以加重前期观测值的权重。
实践中可分别用几个不同的a值试算对比，然后选用误差较小的a值。
对于初始值的确定，若资料项数较大（如n大于或等于50）则可把第一期观测值作为初始值使用，因为经过多次平滑推算后，对的影响已经不会很大了，若资料项数n较小（n小于或等于20），此时可用前几期观测值的平均数作为使用。
二次指数平滑法一次指数平滑一般也只能适用于没有明显趋势的现象，若时间数列呈上升或下降的直线趋势变化，则要进行二次指数平滑。
二次指数平滑法是在第一次平滑的基础上再进行一次指数平滑。
因此，二次指数平滑值计算公式为：式中：分别为t期和t–1期的二次指数平滑值；a为平滑系数。
在和已知的条件下，二次指数平滑法的预测模型为：。
需求预测
2
21.00
3
23.00
4
24.00
5
25.00
6
27.00
7
26.00
8
25.00
9
26.00
10
28.00
11
27.00
12
29.00
预测方法
时间序列的构成：
趋势成分：随时间的推移而表现出的一种倾向（上 升、下降、平稳）。
季节成分：特定周期时间里有规则的波动如：
➢每天有二次交通高峰； ➢每周周末，影院的客流量较大； ➢某些产品的季节性需求变化等。
预测方法
表 4 某公司的月销售额一次指数平滑预测表(α=0.7)
月 实际销 α×上月 上月预测销 (1-α)×上 本月平滑预
份 售额 实际销售 售额(千元) 月预测销售 测销售额
(千元) 额(千元)
额(千元) (千元)
1 10.00
11.00
2 12.00 7.00
11.00
3.30
10.30
3 13.00 8.40
27.00
26.50
预测方法
结果： N 越大,预测值越平滑，对干扰的 灵敏性越低，预测值的响应性也就越小。
例：
某电器公司电子原器件周销售值记录如下表所 示。取N=3和N=9。
试用简单平均法预测第16周的预测值。 解：
计算见下表。 N=3和N=9第16周的预测值分别为：
SMA16=（2300+2300+2000）/3=2200 SMA16 =（1300+…….+2000）/9=1956
例 1 某电子音响器材公司 SONY 牌CD机 的逐月销售量记录（如表 1 所示），取 n=3 和 n=4 ，试用简单移动平均法进行预 测。
二次曲线指数平滑法
0.225576
24.64799
17
1999
25.93
24.44553
22.99798
21.68169
26.02432
1.775674
0.131251
26.68459
18
2000
28.04
26.24276
24.62037
23.15103
28.0182
2.005012
0.153048
27.86562
19
2001
29.45
27.84638
26.23338
24.6922
29.53122
1.792582
0.071831
30.09974
20
2002
31.47
29.65819
27.94578
26.31899
31.45621
1.926448
0.085617
31.35971
21
2003
33.99
31.8241
29.88494
一次移动平均法 一次指数平滑法 线性二次移动平均法 线性二次指数平滑法 二次曲线指数平滑法
销售额 预测值
销售额 预测值
一次移动平均法
一次指数平滑法
图表标题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
有明显的线性变化趋势时 用线性二次移动平均法
线性二次指数平滑法
应用背景：
有的时间序列虽然有增加或减少趋势，但不一定 是线性的，可能按二次曲线的形状增加而减少。
20.76097
1.146825
0.120052
20.34774
15
1997
时间序列平滑预测法
如果是线形趋势变化，则分析线落后于真
实数据变化，形成滞后偏差 yt－ Mt(1}
线形变化如下： bt = yt－yt-1 有： yt-1 = yt－bt yt-2 = yt-1－bty=yty-1tt-2bt
yt = at+btt
bt
:
y = t-N+1 yt－(N－1)bt t-1 t
考虑到： Mt(1} = (yt + yt-1 +…… + yt-N+1)/N ={Nyt－[1+2+……(N－1)]bt}/N
1+2+……(N－1) = [N(N－1)]/2 ∴ Mt(1} = [Nyt－(N/2)(N－1)bt]/N
=yt－(N－1)bt/2…① Mt-1(1) = yt-1－(N－1)bt/2
= yt－(N+1)bt/2 ……②
①－② :
Mt(1} - Mt-1(1) = yt － yt-1 = bt 即； Mt-1(1) = Mt(1} -bt
代入 at= yt
得
at= 2 Mt(1} － Mt(2) ………….⑥
bt =2[Mt(1} -Mt(平均法预
测公式。
注：1)预测公式是以t时刻为基准的，这个 时刻可以随意选取，当选择靠近当前时刻，准 确度较高 ;
y a 2．∵ t+T－ = Mt(1} t + btT － Mt(1}
α = 0.5时， x12= S11(1) = 234 当 α = 0.9时, x12= S11(1) =238.6 平滑效
果差，后期数据影响大。 可以看到：对于波动变化很大的情形，由
一次的指数平滑曲线来模拟误差很大而对振动 较小的情形，则比较合适。
二次指数平滑法-myOM
根据国家统计局公报，2005年我国粮食产量为 9680亿斤，棉花产量为570万吨，油料产量为3078万 吨。陈锡康等的预测得到证实，误差仅分别为产量 的1.3% 0.9%和0.6%。
这项预测为政府判断粮食生产形势，制订农业 和粮食政策提供了科学依据。在安排粮食收购(粮仓 建设及准备粮食收购资金等)、消费、储存、运输、 进口、出口等方面产生突出的社会经济效益。
21
4、影响需求预测的因素
商业周期 产品生命周期 竞争者的行为 顾客偏好 随机影响 ……
广告 促销努力
商业信誉
产品设计 产品质量 信用政策 …… 企业通过 努力可以 做到
22
企业无法 控制
5、预测中应注意的几个问题
费用
判断在预测中的作用
选择预测方法 辨别信息 取舍预测结果
14
需求预测的种类（按主客观因素所起的作用）
定性预测方法：又称主观预测法，因为其依据是来源 不同的各种主观意见。它简单明了，不需要数学公 式。包括：德尔菲法、部门主观集体讨论法、用户 调查法、销售人员意见汇集法等。 定量预测方法：又称统计预测法，其主要特点是利用 统计资料和数学模型来进行预测。定量预测法并不 完全排除主观因素。可分为：因果模型和时间序列 模型。
早在上世纪70年代末，原中共中央书记处农村政策 研究室和国务院农村发展研究中心安排中国科学院从事 全国粮食产量预测并提出两项要求： 第一、为便于中央及早安排粮食的消费、存储和进 出口，要求预测提前期为半年左右。如果到九月份或十 月份才发现粮食歉收需要进口，国际市场粮价就已大幅 度上升了。 第二、要求预测很精确，误差在3%以下。 陈锡康在管理科学与工程领域上的主要科研成就为 提出投入占用产出技术和进行全国粮食产量预测研究。 陈锡康在预测全国粮食产量，编制中国农业投入产 出表过程中，发现耕地、水、固定资产等占用品在粮食 生产中起重要作用，但在传统的投入产出模型中没有得 到充分反映。 4