锐角三角函数的单元检测

锐角三角函数的单元检测

一、选择题

1．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G .若4BC =，1DE AF ==，则GF 的长为（ ）

A ．135

B ．125

C ．195

D ．165

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的性质以及勾股定理求得5BE CF ==，证明BCE CDF ∆≅∆，根据全等三角形的性质可得CBE DCF ∠=∠，继而根据cos cos BC CG CBE ECG BE CE

∠=∠=

=，可求得CG 的长，进而根据GF CF CG =-即可求得答案.

【详解】

∵四边形ABCD 是正方形，4BC =，

∴4BC CD AD ===，90BCE CDF ∠=∠=︒，

∵1AF DE ==，

∴3DF CE ==， ∴22345BE CF =+=，

在BCE ∆和CDF ∆中， BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴()BCE CDF SAS ∆≅∆，

∴CBE DCF ∠=∠，

∵90CBE CEB ECG CEB CGE ∠+∠=∠+∠=︒=∠，

cos cos BC CG CBE ECG BE CE ∠=∠=

=， ∴453CG =，125

CG =， ∴1213555

GF CF CG =-=-=，

【点睛】

本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.

2．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）

A ．1000sin α米

B ．1000tan α米

C ．1000tan α米

D ．1000sin α

米 【答案】C

【解析】

【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB

α=

，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ∆中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α=

， ∴1000tan tan AC AB αα

==米． 故选：C ．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=

23，那么AB 的长是（ ） A ．3

B ．43

C 5

D 13【答案】A

【解析】

根据锐角三角函数的性质，可知cosA=AC AB =23

，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.

点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A ∠的邻边斜边，然后带入数值即可求解. 4．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75

B ．15或30

C ．75或15

D ．15或45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．

【详解】

利用垂径定理可知：AD=3222AE =， ．

sin ∠AOD=

32，∴∠AOD=60°； sin ∠AOE=22

，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°．

故选：C ．

【点睛】

此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.

5．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）

A ．78.6米

B ．78.7米

C ．78.8米

D ．78.9米

【答案】C

【解析】

【分析】 如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度

【详解】

如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G

∵BC 的坡度为1:0.75

∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm

∵BC=140m

∴在Rt △BCF 中，()2220.75140x x +=，解得：x=112

∴CF=112m ，BF=84m

∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形

∵DE=55m ，CE=FG=36m

∴DG=167m ，BG=120m

设AB=ym

∵∠DAB=40°

∴tan40°=1670.84120

DG AG y ==+ 解得：y=78.8

故选：C

【点睛】

本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.

6．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m 高的天桥一侧修建了40m 长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )

A ．