数列知识点常用结论

数列知识点及常用结论

一、等差数列

（1）等差数列的基本公式

①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差） ()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差）

()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=??

=+-??-=?-?

②前n 项和公式：11()(1)22

n n n a a n n S na d +-=

=+ （2）证明等差数列的法方

①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）?{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）?{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ?{}n a 为等差数列 即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+

④前n 项和公式法：2

n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ?{}n a 为等差数列

即：关于n 的不含常数项的二次函数

（3）常用结论

①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b + (k ， b 为非零常数)均为等差数列.

②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +. 特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a

③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ??????仍为公差为3d 的等差数

列)

④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++??????+，2122k k k k k S S a a a ++-=++??????+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++??????+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d

⑤若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n

S n

也为等差数列. ⑥ 11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -=?=?

-≥? 此性质对任何一种数列都适用

⑦求n S 最值的方法：

I: 若1a >0，公差d<0，则当10

k k a a +≥??≤?时，则n S 有最大值,且k S 最大；

若1a <0，公差d>0，则当10

k k a a +≤??

≥?时，则n S 有最小值，且k S 最小；

II ：求前n 项和2

n S pn qn =+的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ，

当n k = 时，k S 为最值，是最大或最小，通过n S 的开口来判断。

二、等比数列

（1）等比数列的基本公式

①通项公式：1

1n n a a q -= （从第1项1a 开始为等比）

n m

n m a a q -= （从第m 项m a 开始为等差）

②前n 项和公式：1(1)

,(1)1n n a q S q q

-=

≠-，1,(1)n S na q == （2）证明等比数列的法方

①定义法：对任意的n ，都有1(0)n n n a qa a +=≠?

1

n n

a q a +=(q ≠0) ?{}n a 为等比数列

②等比中项法：2

11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列 ③通项公式法：1

(,0n n a aq a q -=是不为的常数)?{}n a 为等比数列

（3）常用结论

①若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1

{

}n a ，{}n k a ，2{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {}n n

a b (k 为非零常数) 均为等比数列.

②若m+n=p+q (m ， n ， p ， q ∈*N )，则n m a a =p q a a .

特别的，当n+m=2k 时，得n m a a =2

k a

③在等比数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1

k q

+ (例如：1a ，4a ，7a ，10a ??????仍为公比3

q 的等比数列)

④若数列{}n a 为等差数列，则记

12k k S a a a =++??????+，2122k k k k k S S a a a ++-=++??????+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++??????+，

则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等比数列，且公差为k

q

三、求任意数列通项公式n a 的方法

（1）累加法：若n a 满足a n+1=a n +f(n)利用累加法求：n a

12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+??????+-

例题：若11=a ，且12+=+n n a a n ，求：n a

练习题：若数列n a 满足1120++--=n n n a a ，且10=a

（2）累乘法：若n a 满足1()+=?n n a f n a 利用累乘法求：n a

324

11231

(

)()()()n n n a a a a a a a a a a -=?????? 例题：在数列{a n }中，1111

,2++==n n n a a a n

，求：n a .

练习题：在数列{a n }中，11a =且1n n a na +=，求：n a （提示：123......!n n ???=）

（3）递推公式中既有n S ，又有n a ，用逐差法

11n n n S a S S -?=?

-≥? n=1

　n 2

特别注意：该公式对一切数列都成立。

（4）若n a 满足1,()+=+≠n n a pa q p q ，则两边加：1

=

-q

x p ，在提公因式P ，构造出一个等比数列，再出求：n a

例题：已知数列{}n a ，满足：121+=+n n a a ，且11=a ，求：n a

习题1：已知数列{}n a 满足：131+-=n n a a 且11=a ，求：n a

习题2：已知数列{}n a 满足：12a =，且n n S a n +=，求：n a

（5）若n a 满足1++=+n k n n a pa p ，则两边同时除以：1+n p ，构造出一个等差数列，

再求出：n a

例题：已知n a 满足：11=a 1122-+=+n n n a a ，求：n a 解：111122222-++=+?

=+n n n n n n n a a a a ，既有：11

222

+-=n n n n a a

所以：2??

????

n n a 是首项为：1122=a ，公差12=d 的等差数列

11(1)2222=+-?=∴n n

a n n 所以：1222

-=?=?n

n n n a n

习题1：已知1133++-=n n n a a 且11=a ，求：n a

习题2：已知1

1232n n n a a -+=+?且11a =，求：n a

（六）待定系数法：若{}n a 满足以下关系：

()1n n a ka f n +=+ 都可用待定系数法转变成一个等比数列来：

温馨提示：提k ，对()f n 待定系数

例题1：已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式. 解：11152(5)235++++?=+??=-?n n n n n n n a x a x a a x ，与原式对应得，1=-x

1

1

1155

2(5)25

++++--=-?=-∴n n n

n n n n

n a a a a 所以：{}5-n n a 是首项1151-=a ，公比2=q 的等比数列 既有：115252---=?=+n n n n n n a a

例题2：已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式. 解：11123(2)322++++?+=+?+?=+?+n n n n n n n a x y a x y a a x y ，

与原式对应得：5,2==x y

1

1

11522

52

23(

522)3

522+++++?++?+=+?+?=+?+∴n n n

n n n n

n a a a a

所以：{}522+?+n n a 是首项为：1152213+?+=a ，公比3=q 的等比数列

既有：11522133133522--+?+=??=?-?-n n n n n n a a

（七）颠倒法：若{}n a 满足：1n

n n C a a a C

+?=

+，用颠倒法；

11111n

n n

n n n n

n n n C a a C a C a a C a C a C a C a C a

++?+=

?==+=++??? 所以：

1111n n a a C +-=，所以：1{}n a 是以首项为：11a ，公差1

d C

=的等差数列

例题1：已知122

n

n n a a a +?=

+，且12a =，求：n a

例题2：已知1133n n n n a a a a ++?=-，且11a =，求：n a

（八）倒数换元法：若数列{}n a 满足：1+?=

?+n

n n A a a B a C

，则颠倒变成

111n n n n B a C C B a A a A a A

+?+==?+? 然后再用两边加：

1-q

p 或者待定系数法既可求出1??????

n a ，再颠倒就可得到：{}n a 例题：若数列{}n a 满足：123

+=

+n

n n a a a ，且11=a ，求：n a 解：1121311322++=

?=?++n n n n n a a a a a ，两边加：1得：11313

122

++=?+n n a a 111

11313

1(1)1221+++∴

+=+?=+n n n

n

a a a a ， 所以：11??+?

???

n a 是首项为：1112+=a ，公比：3

2=q 的等比数列；

既有：122

121213132212()2232

--------+=??=?=-n n n n n n n n n n a a a

若用待定系数法：11121311131

()3222+++=

?=?+?+=++n n n n n n n

a a x x a a a a a

11131313112222

+++=+?=+n n n n x x x a a a a 与原式子对应得1=x ，然后的方法同上；

习题：已知1132n n n n a a a a ++?=-且11a =，求：n a

四、求前n 项和S n 的方法

（1）错位相减求和

主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n 项和；或者是等差与等比的商的前n 项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。既：设n

a 为等差数列，n

b 为等比数列，求：n n a b ?或

n n a b 的前n 项和常用此方法（n n

a

b 都转变为乘积形式）

例题1：已知数列2n n a =，数列{}n b 的前n 项和22n S n n =+，求数列{}n n a b ?的前

n 项和n T

例题2：求数列31

2n n

n a +=的{}n n a b ?的前n 项和n S

习题1：求：23124272...(32)2n n S n =?+?+?++-?

习题2：设数列1

(21)

3

n n n a ++=，求n a 的前n 项和n S