数学美的本质
数学美的内容及对数学教学的意义
数学美的内容及对数学教学的意义数学，作为一门科学，往往有着严谨的逻辑和抽象的表达方式，但它同时也具备着独特的美感。
数学美是指在数学思维和数学表达中所展现出来的美感，它既包括数学的形式美，也包括数学的思维美。
数学美作为一种独特的文化现象，拥有广泛的内涵和深远的意义。
本文将围绕数学美的内容展开探讨，并分析其对数学教学的积极意义。
一、数学美的内容1.数学的形式美数学的形式美是指数学表达和数学符号所具备的美感。
数学语言的简洁性与准确性是数学形式美的重要体现。
数学公式及其推理过程具有简练的结构和逻辑，其中各种符号和运算符号的组合与排列展现出一种美感。
例如，欧拉公式e^iπ+1=0，虽然只包含了五个基本数学符号，却能够展示出数学界的伟大。
2.数学的思维美数学的思维美是指数学思维的独特性和深邃性。
数学思维的抽象和逻辑是数学思维美的主要表现形式。
数学家们通过抽象出一种数学模型来描述和解决实际问题，体现了数学思维的独特之处。
例如，费马大定理在数学领域长期是一个悬而未决的问题，但通过数学家安德鲁·怀尔斯的努力，最终证明了费马大定理，展示了数学思维的深邃和美感。
二、数学美对数学教学的意义1.激发学生学习兴趣数学美作为数学教学的一种资源，能够吸引学生对数学的兴趣和好奇心。
通过在数学课堂上展示数学问题的美感和思维的魅力，可以激发学生学习数学的主动性和积极性。
例如，老师可以向学生介绍一些数学难题或数学优美的公式，引导学生深入思考和解决问题，从而培养他们对数学的兴趣和喜爱。
2.培养学生创新思维数学美的存在要求学生具备创新思维，通过推理和证明来探索数学领域的未知之美。
在数学教学中，教师应该注重培养学生的创新思维，激发他们发现和解决问题的能力。
例如，可以组织数学建模比赛，让学生运用所学的数学知识解决实际问题，培养他们的创新思维和解决问题的能力。
3.促进学生的审美能力数学美要求学生能够在数学符号和公式中感受到美的内涵，对数学问题进行审美评价。
数学之美
数学之美数学的世界，是一个充满了美的世界：数的美、式的美、形的美……，在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称，我们可以感受到布局的合理，结构的严谨、关系的和谐以及形式的简洁。
经过对数学美表现的研究，我们可以肯定的回答，数学中含有美的因素，数学发展受美育思想的影响，在此，可以借助古代哲学家、数学家普洛克拉斯的断言：“哪里有数，哪里就有美”。
我们该怎么把数学的魅力展示给我们学生看呢？倘若我们深入考察某个结论产生的背景知识，所经历过的一些曲折过程，所反映的一些自然社会现象，之后再反过来看这个结论就会有感触了。
我们也把这种过程讲给学生，那在讲述的过程中教师就能融入自己的感受，表达得就更有激情，同时也能与学生产生共鸣。
此时，学生就能真正体会到数学的神奇与魅力。
中学数学中的美，体现在以下几个方面。
1 语言的简洁美数学之所以如此重要，就在于它是精确、简约、通用的科学语言；它用最少量，最明确的语言表达最大量，最准确的信息；用最抽象，最概括的语言表达普遍存在的矛盾规律，绝没有含糊不清或产生歧义的缺点。
一个公式胜过一打说明。
也正因为如此，数学语言成为全世界使用最广泛的语言，成为唯一通用的科学语言。
伟人说过：“美，本质上终究是简单性。
”美，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。
在数学界，也被多数人所认同。
朴素，简单，是其外在形式，只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。
例如用符号“⊥”来表示两直线互相垂直；用符号“∥”来表示两直线互相平行；用希腊字母“△”表示一元二次方程根的判别式；圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球的定义：球是到定点的距离等于定长的点的集合；公理：两点之间线段最短；半径为R的圆的周长为：C=2πR等等，都充分体现了数学语言的简洁美。
2 图形符号的对称美在自然界有许多对称的事物，动物的身体结构是对称的，如飞禽的双翅、双脚等。
植物的许多叶片是对称的，有的叶片上的缕纹也是对称的，如玉米的叶子。
数学之美
陈省身
世事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点线面体包完。 我 也曾一度狂热地迷恋这精微而博大的数学，稿纸上哗哗画满数字、 公式、符号，在我闲暇时忙碌后，这是我身心俱受益的活动。不知 为什么，就那样被吸引了。美国著名心理学家布隆菲尔德说过， “数学是语言所能达到的最高境界。”渐渐地，我体会到了，数学 有种张力，有种深邃，或许正是如此，她才不愧为自然学科的基础， 构筑现代文明的基石。
命题变换中：
命题 逆命题 否命题 逆否命题
统一与和谐美是数学美的又一侧面，它比对称美具有广泛 性。以几何与代数的和谐与统一的表现为例：行列式与 矩阵
其性质和类型取决三个量： a h a c, b b , b c d a b c e d e f
，是平移和旋转变换下不变的量。
而数学的形式美还不单纯表现在自然数所玩弄的这些许花 样上，和谐的比例与优美的曲线或图形都能给人以强烈的形 式美的享受。“黄金分割”成为人们普遍喜爱的美的比例,优 美的曲线同样带给人们美的享受,对称均衡是数学形式美的主 要特征……然而数学带给人们的美远不止这直观的形式美。 数学内在美的标准在于它的真实、准确简洁、和谐与普 遍……
吴文俊
丘成桐
陶哲轩
数学之美不只在于那美丽的皇冠——哥德巴赫猜想，也不只在于那美丽的奖牌——菲尔茨奖， 而是无处不在的，伊恩· 斯图尔特说过“我们的世界是建立在数学基础之上的，数学不可避免融入 我们的整个文化之中。……”只要细心观察，你会发现数学之美在你生活的每一个角落。 审美需要距离。让我们悄悄地停下脚步，凝望数学大师那沉思的背影；让我们静静地回味大师平 凡的话语，领会数学那纯净之美、和谐之美吧。或许，有那么一天，你也会加入到数学之美的创造 者行列。
[1] 首先 ,随意 挑一个数字(0.1.2.3.4.5.6.7) ； [2] 把这个数字 乘上2 ； [3] 然后 加上 25； [4] 再乘以 50； [5] 如果你今年的生日已经过了，把得到的数目 加上761 ，如果还没过，加 760； [6] 最后一个步骤，用这个数目减去你出生的那 一年 (公元)
为什么说数学是美的？
这个恒等式对于普通人来说，可能察觉 不到美在哪里，但是对于理解数学的人来说， 这个恒等式实在是太美了。因为它把 5 个最 重要的数学常数简洁地联系了起来。这 5 个 数学常数分别如下：
e 和 π——分别为自然底数和圆周率， 为两个最为常用的超越数；
i——虚数单位，它的平方等于 -1； 1——乘法的单位元，也就是说任何数 乘上它结果不变； 0——加法的单位元，也就是说任何数
加上它结果不变。
破解数学之美的原理
之前许多研究人员认为，人对数学之美 的体验与人对艺术的体验应该是有区别的。 然而，最近一篇发表在《人类神经学前沿》 的论文指出，其实这种观点是完全错误的。
为什么说数学是美的？ 鲍福黎/文
超越 数是这样 一 种 数， 它不满足 任何一种 系数是整 数的多项 式 方 程。 不是超越 数的数都 是 代 数 数， 它们都满 足上面所 说 的 方 程。 超越数应 该有无穷 多 个， 不 过超越数 的证明极 为 困 难， 例如我们 现在都不 清 楚 e+π 是否是超 越 数。 所 以现今发 现的超越 数极少。
而这个研究结果也自然产生一个问题： 既然人审美时的生物学原理都是一样的，那 么在未来是否可以对美进行量化呢？很显然 对这个问题的解答，还需要更多地相关研 究。
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研究人员所做的是，首先让参与实验的 15 名数学家在空闲时去评价所提供的 60 个 数学公式。评价标准从 -5 分（最丑）到 +5 分（最美）。两周之后，研究人员再请他们 来实验室重新评价这些数学公式。他们评价 公式时，研究人员同时使用功能磁共振成像 技术来观测他们的大脑活动情况。
关于数学之美的描述
关于数学之美的描述数学之美是一种独特的、深入人类心灵的艺术形式。
它以精确、逻辑和秩序为基础，通过数学公式、结构和理论，创造出令人惊叹的美感。
以下是关于数学之美的几个主要描述：对称性：数学中的对称性是一种常见的美学元素。
无论是几何形状（如圆形、正方形、矩形等），还是复杂的数学函数和公式，对称性都是一种引人注目的美感。
比例与和谐：许多重要的数学结构和理论都与比例和和谐有关。
比如黄金分割（Golden Ratio）就是一种特殊的比例，它在自然和人造物体中频繁出现，给人带来视觉上的美感。
简洁与明了：数学以其简洁明了的方式揭示了世界的本质。
一个简单的数学公式或定理，往往能揭示复杂现象背后的规律，这种简洁性本身就是一种美。
逻辑与推理：数学的基础是逻辑和推理，这也是其独特的美学价值。
通过严谨的逻辑和推理，数学能够解答那些看似复杂的问题，并得出精确的答案。
无限与未知：数学中充满了无限的可能性和未知的领域。
这种无限和未知的美感，激发了人类的探索精神，驱使我们去解开数学中的谜团。
抽象与具体：数学的抽象性允许它描述和探索各种复杂的概念，而具体的应用则使这些概念变得生动和有意义。
这种抽象与具体的结合，展示了数学的深度和广度。
应用广泛性：数学在科学、工程、经济、艺术等许多领域都有广泛的应用。
这种跨学科的通用性，使得数学成为一种强大的工具，也展现了它的美学价值。
激发探索精神：数学之美还在于它激发了人类的探索精神。
从古至今，无数数学家和科学家在追求数学真理的过程中，展现出无比的毅力和智慧。
这种探索精神本身就是一种美。
超越语言：数学是一种超越语言的文化，它可以被全人类理解，不受地域和文化的限制。
这种超越性的美学价值在于它促进了不同文化和国家之间的交流和理解。
解构与重构：通过解构复杂的数学问题，将其分解为更小的部分，然后通过逻辑和推理重构答案，这种过程本身就是一种美。
它展示了数学的严谨性和创造性。
总的来说，数学之美是一种深邃、精确和无与伦比的美。
数学中蕴含的美
数学中蕴含的美众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。
她不但有智育的功能，也有其美育的功能。
数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。
下面从几个方面来欣赏数学美。
一、简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。
”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。
朴素，简单，是其外在形式。
只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。
欧拉给出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。
世间的多面体有多少？没有人能说清楚。
但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。
如：平面图的点数Ｖ、边数Ｅ、区域数Ｆ满足V－Ｅ＋Ｆ＝２，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。
由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。
在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。
比如：圆的周长公式：C=2πR勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。
数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。
正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。
二、和谐美数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。
欧拉公式：曾获得“最美的数学定理”称号。
欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。
与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。
对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派生出许多美的，有用的结论来。
数学中的美
数学中美的欣赏数学美是一种蕴涵的美，它需要从深处去挖掘。
关于数学美的内容很多,本文是为了从浅层阐述数学的美,让学生初步感受数学中美的存在，所以本文就主要从数学美的概念、数学美与其它美的区别、数学美的内容和它在数学教育中的体现这几个方面作以下的阐述。
一、数学美的概念美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。
通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。
数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。
简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。
历史上许多学者、数学家对数学美从不同的侧面作过生动的阐述。
普洛克拉斯早就断言：“哪里有数，哪里就有美。
”亚里士多德也曾讲过：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。
因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。
”徐利治教授说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美。
数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性，对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。
以上的论述可见，数学中充满着美的因素，数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的呈现，它不是什么虚无飘渺、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。
二、数学美与其它美的区别数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。
美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。
”数学美与其它美的区别还在于它是蕴涵在其中的美。
打个比方来说，大家一定都有这种感觉，绝大部分同学对音体美容易产生兴趣，而对数学感兴趣的不多。
我认为，这主要有两个方面的原因：一是音体美中所表现出来的美是外显的，这种美同学们比较容易感受、认识和理解；而数学中的美虽然也有一些表现在数学对象的外表，如精美的图形、优美的公式、巧妙的解法等等，但总的来说数学中的美还是深深地蕴藏在它的基本结构之中，这种内在的理性美学生往往难以感受、认识和理解，这也是数学区别于其它学科的主要特征之一。
浅窥数学解题中的简洁美
浅窥数学解题中的简洁美由于数学反映的是自然的本质，因此，数学美本质上是自然美的抽象画，既有结论之美，也有方法之美，还有结构之美.与普通的自然美一样，归纳起来，数学美体现为以下几个特征：简洁性、和谐性、奇异性.数学的美妙之处在于能把混乱化为和谐,纷杂化为对称,繁复变为简单,还在于能将一个陌生的问题利用熟知的"相似问题"进行类比,使其得以解决.1.数学美的简洁性，包括符号美、抽象美、统一美、常数美.数学理论的过人之处之一就在于她能用简洁的方式揭示复杂的现象.数学美的简洁性是数学美的重要标志，它是指数学的证明方法、表达形式和理论体系结构的简单性.主要包括符号美、抽象美、统一美和常数美等.有人说，文学家能将一句话拓展成一本书，数学家则把一句话缩为一个符号，其简洁性无与伦比，体现为符号美；数学家关注万事万物的共同特质数与形，忽略其具体物质属性，高度的抽象性使数学内涵丰富、寓意深刻、应用广泛，展示着抽象美；数学家建立不同事物之间的联系，发现其相同点，表现为统一美；数学家寻求变化中的永恒，动态中的静止，用常数或不变量描述事物本质，带给人们常数美.比如，著名的欧拉恒等式，把自然界中5个最重要的常数0,1,i,eπ,通过数学的3个最基本的运算：加、乘、指数运算有机地联系起来，体现了数学的符号美、抽象美、统一美和常数美；反映多面体的顶点数v，棱数e、面数f关系的欧拉公式f-e+v=2体现了数学的统一美和常数美；全部二次曲线(椭圆、抛物线、双曲线)可以统一为圆锥曲线，而它们又分别表达了三种宇宙速度下物体运动的轨迹；笛卡尔通过坐标方法，用方程表示图形，用计算代替推理，实现几何、代数、逻辑的统一；高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何和黎曼几何统一；克莱因用变换群的观点统一了19世纪发展起来的各种几何学，认为不同的几何只不过是在相应的变换群下不变性质的科学，这些都反映了数学的统一美.简洁性的另一个值得强调的是常数美中的不变量问题，数学所关注的本质、共性、联系、规律等，归根结底都是某种不变性，而不变性的一个重要表现就是不变量，这种不变量是数学简洁美的一个重要体现.2.数学美的和谐性，包括对称美、序列美、节奏美、协调美.和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性.数学美的和谐性也是数学结构美的重要标志，数学的整体与部分、部分与部分之间的和谐协调性，具体体现为对称美、序列美、节奏美、协调美等.其中对称美反映的是万事万物变化中的某种不变性，它包含着匀称、平衡与稳定；序列美、节奏美和协调美反映的是万事万物变化中的某种秩序、联系和规律，它包含着有序(单调)、递归、循环(周期)、整齐与层次.和谐性是自然的本质反映，自然界本身是和谐的统一体；和谐性也是真理的客观表现——真的东西是美丽的，正如爱因斯坦所说：“形式上的美丽，意味着理论上的正确.”数学中的和谐美俯拾即是.比如：杨辉三角；几何学中的黄金分割比；反映角度函数值关系的各种三角恒等式等.3.数学美的奇异性.包括奇异美、有限美、神秘美、对比美等.数学美的奇异性是指研究对象不能用任何现成的理论解释的特殊性质.奇异是一种美，奇异到极致更是一种美.数学的奇异美包括有限美、神秘美、对比美.有限美是指以有限认识、表达与研究无限，具有神奇之功；神秘美是指某些结论不可思议、甚至无法验证，但却绝对正确无疑；对比美主要指数学中的突变现象形成巨大的反差，令人惊叹.比如，二进制中0与1的丰富含义，正多面体的个数有限性，数学归纳法的两步证明等都体现了有限美；抽屉原理证明的各种存在性，超越数、幻方等都体现了神秘美；所有分形图形的复杂与美丽，勾股定理产生的勾股方程与费马猜想的反差等都反映了对比美.在某种意义上，数学美的简洁性是数学抽象的体现，数学美的和谐性与奇异性是现实世界的统一性与多样性在数学中的反映.数学总被人们误以为是枯燥乏味的学科，让人提不起兴趣。
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滑动反射对称．后来借助映射通过群的概念给出一个更一般
的对称群的概念．对称是一个几何图形中的如下的性质：在
某个变换群 G 的作用下，Φ 被映射到自身上，这个群称为
Φ 的对称群．这个对称反映一个图形形状的某种正则性，即
它在群 G 中的变换作用的不变性．对称这种变与不变的特
性，在数学历史的进程，曾引起许多数学家心理上极大的震
第 15 卷第 3 期 2006 年 8 月
数学教育学报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Vol.15, No.3 Aug., 2006
数学美的本质
张玉峰 1，孟爱红 2
（1．辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029；2．辽宁师范大学 城市与环境学院，辽宁 大连 116029）
爱因斯坦所发现．另一个是从 1915 年开始到 1970 年，经过
半个多世纪的探索，才了解到的规范场对称性．这两个对称
性的发现是 20 世纪末物理学最重要的成就之一．
对称是一个十分广泛的课题，在自然界和艺术中有重要 意义．反映到数学上，数学家给出严格的对称概念[6~7]．首
先给出特殊图形的概念：反射对称、旋转对称、平移对称、
第定律都已被发现，在统一美的驱使下麦克斯韦则运用偏微
分方程和矢量代数把电和磁统一起来，建立起赏心悦目的麦
克斯韦方程组：
G
∫∫ ⎧∇
⎪
⋅
EG
=
4πρ
∫∫ ⎪∇ ⋅ B = 0
⎪G ⎨∇× E
+
1
G ∂B
=0
⎧
⎪
⎪
，
⎪⎪ ⎨
∫ ∫∫ ⎪
⎪ ⎪∇ ×
∫ ∫∫ ⎩
G B
−
C 1
C
∂Gt ∂E ∂t
=
4π C
从新石器时代的陶器几何纹饰图案看出[3]，新石器时代 的人已具有了圆、圆柱、圆锥、圆台、球、垂直、平行、弧 形、三角形等几何观念．对均衡、比例等特性有了较多的体 会，审美意识也就产生了，在他们绘图和设计中表现出对空 间关系的关心．这种关系铺设了通向几何学的道路，陶器、 编织物上的图案，显示出和谐性、对称性和相似性．这些特 性反映了图形中蕴含着一些初等数学关系，由此，一种朦胧 的数学美也就孕育其中．
撼．17 世纪的雅各·伯努利（1655—1705）对数螺线进行
了深入研究，发现这种曲线经过多种变换后仍然为对数螺
线．例如对数螺线的渐屈线和渐伸线都还是对数螺线．自然 对数螺线的极点至其切线的垂线的轨迹，也还是对数螺 线．以极点为发光点，经对数螺线反射后得到无数条反射线， 与所有这些反射线相切的曲线，仍然是对数螺线．对数螺线 放大或缩小后的性质丝毫不变，只是位置有所变化而已．雅 各·伯努利深为这种特性所眷恋，据他的遗嘱，在他的墓碑 上镌刻上一正一反两条对数螺线，并附以颂词：“虽然变化 了，但我依然如故！”18、19 世纪之交的数学王子高斯（1777 —1855）用直尺和圆规给出正十七边形的作图法，这是他还 是 19 岁年轻人时发现的．直到那时，他对此后是从事古典 文化的研究还是从事数学研究尚拿不定主意，这一成功促使 他最后决定选择数学事业．正十七边形的几何图形是由一阶 数为 17 的循环群来刻画的，但它隐含的代数对称性却是一 阶数为 16 的循环群表述的，这种代数上的对称性决定了正 十七边形的可作图性．高斯逝世后，为了纪念他，据他的遗 嘱为他建立起正十七边棱柱形台座纪念像．
数学从原始礼仪图腾分化出来之后，首倡“数学美在于 形式”说是毕达哥拉斯学派．这个学派盛行于古希腊（公元 前 6 世纪），他们都是些数学家、天文学家和物理学家．该 学派从现实基础上提出对美的看法，首先从数学与声音去研 究音乐的节奏的和谐．他们认真研究了琴弦长度之间的关 系，发现乐器的琴弦在一定的张力作用下，其频率与弦长成 反比，如果两根弦长之比为 2:3，那么振动频率之比为 3:2．又 发现用 3 根弦组成的乐器中，当 3 弦长度之比为 3:4:6 时， 发出的音最和谐．因此他们持美就是和谐、比例适度的观 点．后来把所发现的数的和谐原理，推广到天文学的研究，
就是数学的美．数学的真善美统一于人类的社会实践中．数
学随着社会的发展而丰富着，数学美的内容与特征也在不断
丰富着，从不太完美的形式向比较完美的形式过渡．下面我
们仅以数学的对称美这一侧面予以阐述．
在 19 世纪 70 年代，从不同的角度反映电场和磁场的基
本性质的库仑定律，安培定律，毕奥—沙·瓦拉定律，法拉
ZHANG Yu-feng1, MENG Ai-hong2
(1. Mathematical School, Liaoning Normal University, Liaoning Dalian 116029, China; 2. School of City and Environment, Liaoning Normal University, Liaoning Dalian 116029, China)
第3期
张玉峰等：数学美的本质
25
3 数学美的发展ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学美的概念与其它的事物一样，也是随着社会的发展
而发展．数学是真善美的辨证统一．数学的真善美反映了数
学 3 个不同的侧面，就其反映外部现实的真实存在事物量的
必然性而言，就是数学的真；就其表现对外部现实和目的要
求而言，就是数学的善；就其体现人的能动的创造力而言，
G j
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
G E
⋅
dσG
=
4πQ
GG
B ⋅ dσ GG E ⋅ de = GG B ⋅ de =
=0
−1 C
4π I C
+
G ∂B ∂τ 1
C
⋅
G dσ
G ∂E ∂τ
G ⋅ dσ
．
这个方程组，从数学形式看，具有完全优美的对称形
式．从物理内容看，揭示了物理世界的对称美，概括了丰富
的物理内容．由之可推演出极化电荷和诱导电流，介质中的
致谢：对徐本顺教授的热情指导深表感谢，王晶昕教授 对本文提出了宝贵修改建议，一并表示感谢!
［参 考 文 献］
[1] 刘萍，张雄．数学美的哲学思考[J]．数学教育学报，1999，8（3）：38． [2] 中外数学简史编写组．中国数学简史[M]．济南：山东教育出版社，1989． [3] 赫尔曼·外尔．对称[M]．冯承天，陆继宗译．上海：上海科技教育出版社，2002． [4] 克莱因 M．西方文化中的数学[M]．上海：复旦大学出版社，2004．
综上所述，数学美是现实美的反映，它是现实肯定实践 的一种自由形式．相对数学美的鉴赏者的意识，它是存在于 数学世界中，但相对客观世界的现实美而言，它是第二性的， 是意识形态的．美是客观的，现实与数学，存在与意识是有 分有合，是对立的统一．美诞生于生活、实践和现实的能动 关系中，它经过人们的主观意识的反映，成为数学当中的美， 经过人们的思想情感又影响人们的数学实践、科学实践、社 会实践活动，从而又创造和增多了现实的美、生活的美．于 是反复循环，不断上升，人们就创造出了更新更美的生活， 也不断创造出更丰富、更完美的数学．这正是思维与存在的 同一性，主观与客观，数学与现实的辩证法．数学来源于现 实，又为现实服务．
另外，数学素养、艺术素养和哲学素养是数学审美心理 结构的构成因素[5]．数学价值因素是数学家选择数学事物作 为研究对象的基础，而艺术素养对数学美感具有激励作 用．数学家的艺术素养有助于促进其思维达到数学的创造境 界．哲学素养能给数学家综合理论指导，有助于数学家洞悉 数学的内在美和理论美．
收稿日期：2006–02–23 基金项目：国家自然科学基金——贝克隆变换与 Paffiya 及其应用（10471139） 作者简介：张玉峰（1963―），男，山东泰安人，博士，主要从事数学方法论研究．
1 美的根源
为了解读数学美的根源，先谈一下美的根源． 人的美感的形成，是长期的社会实践，特别是生产劳动 实践，在自然人化的历史过程中积淀的结果．就个体来说， 主要靠个体训练、文化传统、个人修养． 人类的史前文化源远流长，人类在几十万年制造和使用 工具的物质生产实践中，在作为运用规律的主体活动的劳动 过程中，各种自然秩序，形式规律，对称、比例、和谐、均 衡、秩序、节奏、韵律等，与主体心理结构形成同形同构对 应，从而成为美．科学家从猿到人的研究中，也充分说明， 从人手、人脑到人的生理—心理结构，包括诸如逻辑、数学 观念的智力结构等，都起源于制造工具的活动中．从美学角 度看，这个史前的漫长历程，在主体方面萌发和形成的审美 心理结构，这就是美感的本质，在客体方面就成为美的根源， 即美的本质[1~2]．
摘要：数学家庞加勒曾把数学美的内容和基本特征概括为统一性、简洁性、对称性、协调性和奇异性．徐利治教授认为 这一概括十分精辟，也为大多数数学家所承认．数学美的概念与其它的事物一样，也是随着社会的发展而发展．数学美是现 实美的反映，它是现实肯定实践的一种自由形式．
关键词：自由形式数学美；现实美；自然的人化 中图分类号：G40–014 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2006）03–0024–03