传输线方程
传输线方程
传输线方程是一种非常重要的物理学公式，用于描述电路中传输线的特性。
它可以用来计算某一电路中传输线的电压、电流、功率和电阻等参数。
传输线方程是电路中传输线特性的重要公式。
它可以用来计算某一电路中传输线的参数，包括电压、电流、功率和电阻等。
传输线方程的定义如下：
传输线方程由两部分组成，即传输线的电压和电流。
传输线的电压是指传输线上的电压，它由两个部分组成，一部分是电压的幅度，另一部分是电压的相位。
电流是指传输线上的电流，它也由两个部分组成，一部分是电流的幅度，另一部分是电流的相位。
通过传输线方程，可以计算出传输线的功率和电阻等参数。
电功率是指传输线上传输电能的能量，它取决于传输线的电阻和电流。
电阻是指传输线上电能损失的程度，它决定了传输线上电流的大小。
传输线方程是电路中传输线特性的重要公式，它可以用来计算某一电路中传输线的电压、电流、功率和电阻等参数，从而帮助我们更好地了解传输线的特性，提高电路的可靠性。
传输线方程及解
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V
0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
rlgc计算公式
rlgc计算公式
RLGC（电阻、电感、电导、电容）计算公式主要用于传输线方程的求解，该方程描述了电压和电流随位置和时间的变化。
在RLGC模型中，R、L、G 和C分别是传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容。
电压和电流都是位置x和时间t的函数，偏微分方程中当位置增量dx无限趋近于0时，能够得到著名的传输线方程，也叫电报方程（telegraph equation）。
对传输线方程进行拉式变换并求解得到位置为x处的信号和x=0处信号的关系，其公式为：
\(V(x,t) = V_0(t) e^{-\alpha x}\)
其中实部α影响单位距离幅度衰减，虚部β影响单位距离相位延迟。
另外，RLGC模型也常用于描述电路中元件的等效特性，比如RLC电路中的电阻、电感、电容。
在RLGC模型中，阻抗Z0的表达式为：
\(Z0 = \sqrt{\frac{R}{G} \frac{L}{C}}\)
如需更多RLGC计算公式及其应用，建议咨询电子工程领域业内人士或查阅相关教学视频。
传输线方程及其解
对于均匀无耗传输线 Z 0 L / C
当损耗很小时，即当 R L G C 时，特性阻抗为
Z 0 ( R jL) /(G jC ) L C (1 R / jL)1/ 2 (1 G / jC ) 1/ 2 L C (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) L C
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
第一章 均匀传输线理论
1.1节 1.2节 1.3节 1.4节 1.5节 1.6节 1.7节
微波工程基础
均匀传输线方程及其解 传输线的阻抗与状态参量 无耗传输线的状态分析 传输线的传输功率、效率与损耗 阻抗匹配 史密斯圆图及其应用 同轴线的特性阻抗
1
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
c d
微波工程基础
LC
16
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
(3) 相速与传输线波长（相波长） 相速(phase velocity) —传输线上行波等相位面沿传输 方向的传播速度。 其表达式为
vp
dz dt L C
不管是入射波还是反射波，它们都是行波。
z
行波在传播过程中其幅度按e 衰减，称 为衰减常数。而相位随z 连续滞后 z ，故称 为相位常数。
微波工程基础
14
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
6. 传输线的工作特性参数
(1)特性阻抗——传输线上行波的电压与电流的比值
R jL Z0 G jC
传输线方程解析解求解方法的探讨
均匀传输线方程还存在一些难以解决的问题，因此对传输线方程通过拉氏变换在复频域内求解成为了一个研究方向。
为了便于计算，假设线上电压、电流都为零初始条件，则对方程（１）、（２）两端分别取拉氏变换可得如下的形式一一ｄＵ＿（ｘ，ｓ）：（风＋ｓＬｏ）Ｉ（ｘ，ｓ）（６）ａ，ｘ—ａ—Ｉ（＿ｘ，ｓ）：（Ｇ。
＋ｓＣｏ）Ｕ（ｘ，ｓ）（７）ａｘ其中Ｕ（ｘ，Ｊ）和舡声）分别为ｕ（ｘ，０和如，ｆ）的象函数。
联立方程（６）、（７）可解得线上电压电流的复频域通解为ｕ（ｘ，Ｊ）＝Ｆｓ（ｓ）ｅ一７‘’ｎ＋Ｅ０）Ｐ＋７‘。
ｎ（８）ｍ，班赤ｋ∽州小一哪矿巾¨】（９）上两式中ｒ（ｓ）为均匀传输线的传播常数，其定义为ｙ（ｓ）＝．，／—（Ｒｏ＋ＳＬ—ｏ）（Ｇｏ＋—ｓＣ—ｏ）（１０）ｚ。
（ｓ）为均匀传输线的特性阻抗，其定义为Ｚｃ（ｓ）＝Ｆ１０）、Ｆ２（ｓ）均为。
的定。
在式（８）、（９）中，分别令ｘ－－－－Ｏ并分别代２，至ｔＪ式（１２）、（ｔ３）ｔ扣，可得关于Ｆｌ（ｓ）、，２０）的方程组Ｅ（Ｊ）＋Ｒ（ｓ）＝ｕ，（ｓ）一丽１ｍ）一删ｍ）（１４’Ｆｌ（ｓ）ｅ‘７‘５’。
＋Ｅ（Ｊ）ｅ７‘’’‘。
去ｋ∽ｅ州叫一哪矽∽７ｍ）（１５）联立方程０４）、（１５）将求解所得的Ｆｌ（ｓ）、Ｆ２（ｓ）分别代入式（８）、（９）可得均匀传输线在给定边界条件下吣，）和Ｊ０，ｓ）的解为Ｕ（ｘ∽＝筹箫琊ｍ），ｓ）２≥而≤老嚣Ｆ七（ｓ）（，ｓ（５）（１６）怖）＝蒂鞴ｋ（Ｓ）Ｕｓ∽如印２亩‘蒜黹而。
’（１７）其中ｎ。
（Ｊ）、ｎ２０）分别为传输线始端和终端的反ｏＦ＝＝ｉ＝；ｒ。
图１长度为ｌ传输线的复频域模型图１所示为一段均匀传输线的复频域模型，该传输线的长度为，，假设其始端接有内阻为ｚｏ（ｓ）的电压源己‘Ｏ），终端接入一任意负载Ｚ施），则始端和终端边界条件的复频域形式分别为ｕ（ｏ，ｓ）＝Ｕｓ（ｓ）一Ｉ（ｏ，ｓ）ｚｏ（ｓ）（１２）ｕ（１，５）＝，（，，ｓ）ＺＬ（ｓ）（１３）０８）州加揣∽，㈣＝丽ｚ丽Ａｓ）而（２０）如果给出激励源“Ｏ）的具体形式．那么对式（ｔ４）、（１５）分别求取拉氏反变换则可获得线上电压、电流在给定边界条件下的解析解，但是从现有的文献州中还找不到可以描述线上行波多次反射过程的拉氏变换对，因此只能求取某些特定情形下的解析解。
传输线分布参数、传输线方程及解 ppt课件
u i
u((z2,-t1) ) i( z , t )
二、传输线方程
i(z) u(z)
z
i(z+ z)
u(z+ z)
z+ z
Lz
Rz
Cz
Gz
图 2-5 长线效应
二、传输线方程
利用基尔霍夫定律，有
u z
Ri
L
i t
i z
Gu
C
u t
当典型Δz→0时，有
u(zz,t)u(z,t)Ri(z,t)Li(zt,t)z i(zz,t)i(z,t)Gu(z,t)Cu(zt,t)z
低频电路有很多课程，唯独没有传输线课程。理由 很简单：只有两根线有什么理论可言？这里却要深 入研究这个问题。
1、低频传输线 在低频中，我们中要研究一条线(因为另一条线是作 为回路出现的)。电流几乎均匀地分布在导线内。电 流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)。 由分析可知，Poynting矢量集中在导体内部传播，外 部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和
le j2l
E gZ0 Z0 Zg
0
E q Z0le j2l Z0 Zg
g
Z0 Z0
Zg Zg
,称l 为Z Z反00 射Z Zll 系数。
四、无耗传输线的边界条件
可得
A1
D1 D
(Z0
Zg
EgZ0 )(1 glej2l
)
A2
D2 D
(Z0
EgZ0lej2l Zg )(1 glej2l
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
(2-2) (2-3)
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
传输线公式整理
1.传输线方程传输线方程 波动方程 通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)()()()(11z U C j dz z dI z I L j dz z dU ωω → ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0)()(0)()(222222z I dzz I d z U dz z U d ββ → ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--)(1)()(21021zj z j z j z j e A e A Z z I e A e A z U ββββ终端边界条件()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-lj lj e I Z U A e I Z U A ββ202220212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--+=+=-++=--)'()'(22)'()'()'(22)'('0202'0202'202'202z I z I e Z I Z U e Z I Z U z I z U z U e I Z U e I Z U z U r i z j z j r i z j z j ββββ ⎪⎩⎪⎨⎧+=+='cos 'sin )'('sin 'cos )'(202202z I z Z U j z I z I jZ z U z U ββββ 始端边界条件 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=101210112121I Z U A I Z U A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--+=+=-++=--)()(22)()()(22)('0101'0101'101'101z I z I e Z I Z U e Z I Z U z I z U z U e I Z U e I Z U z U r i z j z j r i z j z j ββββ ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=z I z Z U j z I z I jZ z U z U ββββcos sin )(sin cos )(1011012.特性参数相位常数 相速度 相波长11C L ωβ= 111C L dtdz v p ===βω rp p T v ελβπλ02===特性阻抗 驻波系数 行波系数 110)()()()(C L z I z U z I z U Z r r i i =-==Γ-Γ+===11m i nm a x m i nm a x II UU ρ ρ1=K输入阻抗'cos 'sin 'sin 'cos )'()'((202202z I z Z U j z I jZ z U z I z U Z in ββββ++==输入阻抗与负载阻抗的关系'')'(000z tg jZ Z z tg jZ Z Z z Z L L in ββ++= 周期性：)'()2/'(z Z m z Z in g in =+λ反射系数（反射系数与该参考面的输入阻抗有一一对应的关系）电压、电流反射系数：)'()'()'(z U z U z i r V =Γ ； )'()'()'(z I z I z i r I =Γ → )'()'(z z I V Γ-=Γ)]'(1)['()'()]'(1)['()'(z z I z I z z U z U Γ-=Γ+=++终端、任意点反射系数：'2)'(z j L e z β-Γ=Γ； 20ϕj L L L L e Z Z Z Z Γ=+-=Γ → )'2(2)'(z j L ez βϕ-Γ=Γ周期性： )'()2'(z mz g Γ=+Γλ反射系数与驻波系数关系：ρρ+-=Γ11反射系数与阻抗关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=ΓΓ-Γ+=000)'()'()'()'(1)'(1)'(Z z Z Z z Z z z z Z z Z → z ’=0时，负载情况 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=ΓΓ-Γ+=00011Z Z Z Z Z Z L LLL L L传输功率())()()(12)()(22z P z P z Z z U z P rii -=Γ-=电压波腹点 K Z U IUz P 02maxminmax2121)(==传输线功率容量 K Z U P br br 0221=3.传输线工作状态（见附件PPT ）4.阻抗圆图θπφλθ∆=∆=∆4l5.阻抗匹配4/λ匹配 L Z Z Z 001=。
传输线方程推导
传输线方程推导一、引言在电磁场理论中，传输线方程是一个非常重要的概念，它描述了电磁波在传输线上的传播规律。
本文将介绍传输线方程的推导过程，希望能够对读者加深对该概念的理解。
二、传输线模型在推导传输线方程之前，我们需要先了解传输线模型。
一般情况下，我们可以把一根导体上的电磁波看成是在两个无限大平面之间来回反射的波。
这两个平面可以是两根金属导线、金属板、或者其他形式的导体。
三、传输线方程推导（一）微元法我们可以通过微元法来推导出传输线方程。
假设有一段长度为dx的微小元，在这段微小元内有一个电阻R和一个电感L，并且这段微小元内没有任何外部源。
当电磁波通过这段微小元时，会产生一个交变电流i和一个交变电压v。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，我们可以得到以下方程组：v = Ri + L(di/dt)di/dx = (d/dx)(v/L - Ri)（二）傅里叶变换法除了使用微元法，我们还可以使用傅里叶变换法来推导传输线方程。
假设有一段长度为dx的微小元，在这段微小元内有一个电阻R和一个电感L，并且这段微小元内没有任何外部源。
当电磁波通过这段微小元时，会产生一个交变电流i和一个交变电压v。
我们可以对i和v进行傅里叶变换，得到以下方程组：V(f) = I(f) * Z(f)Z(f) = R + j2πfL其中，V(f)和I(f)分别表示电压和电流在频域中的表达式，Z(f)表示传输线的特性阻抗。
（三）传输线方程将微元法和傅里叶变换法结合起来，我们可以得到传输线方程：(d/dx)(V(x, f)) = -j2πfL(x)V(x, f) + R(x)dI(x, f)/dx(d/dx)(I(x, f)) = -j2πfC(x)I(x, f) + G(x)dV(x, f)/dx其中，V(x,f)和I(x,f)分别表示电压和电流在时域和频域中的表达式，L(x)，C(x)，R(x)，G(x)分别表示传输线在不同位置处的感应、容纳、阻抗、导纳。
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V + = A1e-
gz
表示向+z方向传播的波，即自源到 1 + I = A e 1 负载方向的入射波，用V+或I +表示. Z0
V - = A2 e g z
gz
表示向-z方向传播的波，即自负载 到源方向的反射波，用V-或I -表示。 I - = - 1 A e g z 2 Z0 电压电流解为
j wt j y v ( z ) j wt 轾 v( z , t ) = V0 cos(wt + y v ( z )) = Re 轾 V e e = Re V ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌 j wt j y I ( z ) j wt 轾 i ( z , t ) = I 0 cos(wt + y I ( z )) = Re 轾 I e e = Re I ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌
③TEM波传输线的长度为10cm，当信号频率为 10GHz （ λ
=3cm)时。
l /λ ①短线(0.00167)；②长线(3.33)；③长线(3.33)。
2. 传输线的分布参数 (Distributed parameter)
低频传输线在低频电路中只起连接线的作用，因频率低， 其本身分布参数所引起的效应可以忽略不计，所以在低频电路 中只考虑时间因子而忽略空间效应，因而把传输线当作集总参 数电路来处理是允许的。 而对于微波传输线，因为频率很高，此时分布参数效应不 能再忽视了，传输线不能仅当作连接线，它将形成分布参数电 路，参与整个电路的工作。因而传输线在电路中所引起的效应 必须用传输线理论来研究。 亦即，在微波传输线上处处存在分布电阻、分布电感，线 间处处存在分布电容和漏电电导。用R1、L1、G1、C1分别表 示传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容，它们的数值 与传输线截面尺寸、导体材料、填充介质以及工作频率有关。
m D+ ln p pe ¢ ln 2 Rs pd pwe ⅱ ln
D2 - d 2 d D2 - d 2 d
D+
D+
D2 - d 2 d
对于铜材料的同轴线（0.8cm—2cm），其所填充介质为
e r 2.5,
则其各分布参数为：
10 S / m
8
R1 = 0.32 碬 10- 2 / m L1 = 1.83? 10- 7 H / m
高频信号通过传输线时将产生分布参数效应： ①分布电阻: 电流流过导线将使导线发热产生电阻；Rl为传输
线上单位长度的分布电阻。
②分布电导 ：导线间绝缘不完善而存在漏电流；Gl为传输线 上单位长度的分布电导。 ③分布电感：导线中有电流，周围有磁场；Ll为传输线上单位长 度的分布电感。 ④分布电容：导线间有电压，导线间有电场。Cl为传输线上
电压的解为： 电流的解为：
V ( z) A1e
z
A2 e
z
电压、电流是 位置的函数
dV ( z ) 1 1 I ( z) = = A1e- g z - A2 e g z ) ( R1 + jwL1 dz Z0
式中
Z0
R1 j L1 为传输线的特性阻抗 G1 jC1
V ( z ) = A1e- g z + A2 e g z 1 - gz gz I ( z) = A e A e ( ) 1 2 Z0
m b ln 2p a b a RS 骣 1 1÷ ç + ÷ ç 桫 2p ç a b÷ b 2pwe ⅱ ln a 2pe ¢ ln
双导线 D：线间距离 d：导线直径
平行板传输线 W：平板宽度 d：板间距离 m,e：填充介质
md W e¢ W d 2) Rl(W/m) Gl(S/m)
式中V(z)和I(z)分别为传输线上 z 处电压和电流的复有效值.
j wt v ( z, t ) i ( z, t ) v( z , t ) = Re 轾 V ( z ) e R i ( z , t ) L 犏 1 1 臌 z t j wt i ( z, t ) v ( z, t ) 故有 i ( z , t ) = Re 轾 I ( z ) e 犏 G v ( z , t ) C 臌 1 1 z t ¶ v ( z, t ) dV ( z ) jwt = Re[ e ] ¶z dz ¶ i ( z, t ) dI ( z ) jwt = Re[ e ]; ¶z dz 抖 v ( z, t ) = Re[ (V ( z )e jwt )] = Re[ j wV ( z ) e jwt ]; 抖 t t 抖 i ( z, t ) = Re[ ( I ( z )e jwt )] = Re[ j w I ( z ) e jwt ] 抖 t t
频有很大的不同。它是描述传输线的基本方程，是电压、电
流的变化规律及其相互关系的微分方程： 1. 可以从场的角度以某种TEM传输线导出； 2. 也可以从路的角度，由分布参数得到的传输线电路模 型导出。
本节采用路的理论分析，然后对时谐情况求解，最后研
究传输线的特性参数。
一、传输线方程
1) 一般传输线方程
v ( z, t ) i ( z, t ) R1i ( z, t ) L1 z t i ( z, t ) v ( z, t ) G1v ( z, t ) C1 z t
2）时谐均匀传输线方程
a）时谐传输线方程 电压和电流随时间作正弦变化或余弦变化。 则电压电流的瞬时值可用复数来表示：
eg z
V I
V ( z ) = A1e-
gz
+ A2 e g z = V + + V gz
1 I ( z) = A1e( Z0
- A2 e
gz
？
V I
)=
I+ + I-
z
c)电压、电流的定解
始端
终端
上面两个解中的两项分别代表向+z方向和-z方向传播的电 磁波，+z方向的为入射波，-z方向的为反射波。 式中的积分常数由传输线的边界条件确定。 V ( z ) = A1e- g z + A2 e g z 三种边界条件：已知终端电压VL和电流IL； 已知始端的电压V0和电流I0；
(Rl+jLl)Dz
(Gl+jCl)Dz
b)电压和电流的通解
对上述方程再微分，并相互代入：
dV ( z ) dz dI ( z ) dz
= - Z1 I ( z )
= - Y1V ( z )
两边求导
d 2V z Z1Y1V z 0 2 dz d 2I z Z1Y1 I z 0 2 dz
第二章 传输线理论
2-0 引 言
一、传输线的种类大致可分三种
TEM波
TE、TM波
表面波
二、分布参数的概念
1. 长线理论
长线：几何长度与线上传输电磁波的波长相比拟的传输线。 短线：几何长度与线上电磁波的波长相比可忽略不计的传输线. 传输线的电长度：是传输线的几何长度 l 与其上工作波长l 的
比值（l / l）。
V (d ) VL Z 0 I L d VL Z 0 I L d e e 2 2 VL Z 0 I L d VL Z 0 I L d I (d ) e e 2Z 0 2Z 0
单位长度的分布电容。
3. 均匀传输线的电路模型
根据传输线上的分布参数是否均匀分布，可将其分为均匀 传输线和不均匀传输线。
可以把均匀传输线分割成许多小的微元段dz(dz<<l)，这样每 个微元段可看作集总参数电路，用一个型网络来等效。于是整 个传输线可等效成无穷多个型网络的级联。
如传输线上无损耗，则为无耗传输线。即R=0, G=0。
移项
d 2V ( z ) dz d 2 I (z) dz
2 2
= - Z1 = - Y1
dI ( z)
dz dV ( z ) dz
= Z1Y1V ( z) = Z1Y1 I ( z )
定义电压传播常数：
Z1Y1
R1 j L1 G1 jC1
则方程变为：
d 2V z 2 V z 0 2 dz d 2 I z 2 I z 0 2 dz
代入得
VL Z 0 I L (l z ) VL Z 0 I L (l z ) e e 2 2 VL Z 0 I L (l z ) VL Z 0 I L (l z ) I ( z) e e 2Z 0 2Z 0
令d = l - z，d为以终点为坐标原点，则线上任一点上有
dz dI ( z ) dz
= - R1 I ( z ) - j wL1 I ( z )
= - G1V ( z ) - j wC1V ( z )
得复有效值的均匀传输线方程
dV ( z ) dz dI ( z ) dz
= - Z1 I ( z )
= - Y1V ( z )
Z1、Y1为分别为传输线 单位长度的串联阻抗、 并联导纳.
有耗线
无耗线
均匀传输线
沿线的分布参数 Rl， Gl ， Ll ， Cl与距 离无关的传输线 沿线的分布参数 Rl， Gl ， Ll ， Cl与距 离有关的传输线
不均匀传输线
表2.1-1
双导线、同轴线和平行板
传输线的分布参数与材料及尺寸的关系(P17 )
同轴线 a：内导体半径 b：外导体半径 m,e：填充介质
当f =2GHz时
wL1 = 2.3碬 103 / m ? R1
C1 = 0.15 10- 9 F / m G1 6.8 10- 8 S / m
wC1 = 1.89S / m ? G1
可忽略R1和G1的影响——低耗线。
2.1 传输线方程