四维几何基础知识(四)

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点在四维空间画法几何中的表示

点在四维空间画法几何中的表示
点在四维空间画法几何中的表示，为建筑增添了新的可能性。

四维空间几何学的崛起为建筑提供了一种新的视角，并展示出独特的可能性。

四维空间几何学的理念基于点，在这种空间中，点可以通过三个方向（长、宽和高）的基本元素来反映出建筑物的错综复杂的结构和外观。

首先，点可以用来展示建筑物内外部空间的管理。

管理空间可以进一步产生复杂的结构，并在点之间进行互动，从而将管理空间中的形式、性质及其功能有机地结合在一起。

其次，点可以用来表示建筑物的传输函数。

在传输函数中，可以用点来表示外部传播耦合的数量和形式。

空间几何学同样可以用来表示内部传播耦合的数量及形式。

此外，点也可以用来表示阴影和光线的分布与变化，以及建筑物屋面表面的形状与结构。

点在高级建筑设计中，可以灵活地组织平面元素，赋予建筑物动态的量感。

同时，设计者可以利用多种点定义和几何变换，让建筑更具表现力，增添艺术气息。

总的来说，点在空间几何学中的运用，大大拓展了建筑的可能性与灵活性，为建筑提供了丰富的表达形式，使建筑物赋予了强烈的三维效果与想象力。

只有细心的运用，才能真正发挥出点的潜在能力，从而促进建筑发展，满足信息时代个性化需求。

四维几何基础知识(三)

高一数学知识点四维图片

高一数学知识点四维图片数学知识点是学习数学的基础，它们为我们建立起数学思维的框架，帮助我们理解和应用数学的原理和概念。

对于高一学生来说，数学知识点的掌握尤为重要，因为它们为我们打下了学习高等数学的基础。

本文将通过使用四维图片的形式，来展示高一数学知识点，并进一步帮助读者加深对这些知识点的理解。

1. 平面几何平面几何是数学中的一个重要分支，它研究的是在二维平面上的点、线、面及其相互关系。

在高一平面几何的学习中，我们需要掌握的知识点包括：直线、射线、线段、角、三角形、四边形等。

这是一个四维图片，其中第一维度表示几何图形的种类，第二维度表示图形的性质，第三维度表示图形的名称，第四维度表示图形的图像。

通过这个四维图片，我们可以直观地了解每个几何图形的特点和属性。

2. 代数运算代数是数学研究中的另一个重要分支，它研究的是数的运算规律和数之间的关系。

在高一代数运算的学习中，我们需要掌握的知识点包括：整式的乘法、除法、加法和减法，方程的解法，函数的概念和性质等。

这是一个四维图片，其中第一维度表示运算的类型，第二维度表示运算的规则，第三维度表示运算的名称，第四维度表示运算的示例。

通过这个四维图片，我们可以直观地了解每个代数运算的步骤和原理。

3. 几何变换几何变换是研究平面图形在平移、旋转、翻转和拉伸等操作后的性质和关系的数学分支。

在高一几何变换的学习中，我们需要掌握的知识点包括：平移、旋转、翻转和拉伸的定义、性质和应用等。

这是一个四维图片，其中第一维度表示变换的类型，第二维度表示变换的规则，第三维度表示变换的名称，第四维度表示变换的示例。

通过这个四维图片，我们可以直观地了解每种几何变换的操作和效果。

4. 解析几何解析几何是数学中研究用代数方法解决几何问题的分支。

在高一解析几何的学习中，我们需要掌握的知识点包括：坐标系的建立，直线的方程和性质，圆的方程和性质，曲线的方程和性质等。

这是一个四维图片，其中第一维度表示几何图形的类型，第二维度表示几何图形的性质，第三维度表示几何图形的名称，第四维度表示几何图形的图像。

四维几何基础知识(五)

导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者四维几何基础知识(201802第一次更新)第五章: 曲体定义: 曲体是曲面在四维空间的类比, 在三维几何里,曲面是母线在空间中运动的轨迹.同样的推理,曲体可以看成平面或曲面在四维空间中运动的轨迹.特性: 正如曲面不能存在于二维空间一样,曲体只能存在于四维及以上的空间中,它可以与三维空间相交于点,线,面,体.用途: 因为人类尚未开发四维空间,目前曲体没有明显的用途,但曲体极有可能与宇宙中的未知现象有关,例如黑洞,虫洞.如果未来真的证实了四维空间的存在,那么曲体是进入高维空间和其它三维空间的最佳通道.曲体产生方法: 一是平面或曲面绕面轴旋转一周所得.二是曲面在第四维方向上的直线运动,也可以看作是无数相同的曲面在第四维方向上叠加.***/此段内容是特别说明,因为目前学界对四维几何的研究是包含在”三维以上几何研究”之中的,很少有针对性的研究,在本文之前,甚至没有”曲体”的概念.本人也无从查找曲体的正式名称,所以下列曲体之命名,是根据中国几何数学传统的命名方法,从三维物体的名称中传承而来./******下面是几例比较简单的曲体.一>圆柱面柱体(图一)图一的四维坐标系中是一个长方体,它的三条棱长分别是a,b,r.现在以它的面ABCD作旋转面,以面ABCD的平行面S作面轴,以面OABE作定位面,将面ABCD 向W轴方向旋转一周,得到一个圆柱面柱体,红色和蓝色的柱面是此圆柱面柱体底部和顶部的两个面,夹在其中的是面ABCD的旋转轨迹,也就是柱体.它的体积计算公式: V=2πr*a*b.圆柱面柱体亦可用另一方法求得:在三维坐标系中有一圆柱面,圆半径为r, 柱面高为h,此圆柱面的面积S=2πr*h.将圆柱面向第四维方向垂直移动距离为d,所形成的轨迹即圆柱面柱体, 体积计算公式: V=2πr*h*d.二>圆锥面柱体(图二)将图一稍作变化,在长方体中,对角面OECD作为旋转面,面轴为S ,定位面为面OABE, 将面OECD向W轴方向旋转一周,得到一个圆锥面柱体,红色和蓝色的锥面是此柱体的底面和顶面,它的体积计算公式:V=πr*(√(r∧2+a∧2))*b.在图二中,可以先把线段OD绕Z轴旋转得到圆锥面,它的底部圆周长为L=2πr,母线长为√(r∧2+a∧2), 将圆锥面向第四维方向垂直移动距离为b,所形成的轨迹即圆锥面柱体, 体积计算公式: V=πr*(√(r∧2+a∧2))*b.三>圆面环体(图三)在四维坐标系中有一个长方体,在长方体的侧面ABCD中包含有一个半径为R的圆面,将此圆面作为旋转面,以面ABCD的平行面S作面轴,以面OABE作定位面,此圆面向W轴方向旋转一周,得到一个圆面环体. 它的体积计算公式:V=2(π∧2)*r*(R∧2)圆面环体较难想象,我们可以让它”穿过”一个三维空间,通过观察它形成的一个连续变化的图形,推测它的形状.将圆面环体调整位置,使其与底空间相交于一个圆圈线.我们可以想象一个救生圈浮在水面的样子,当然这只是一个类比,实际状况不是如此.把此圆面环体以垂直于底空间的方向穿过底空间,在底空间的观测者看到的是一个圆圈变成一个圆柱面, 圆柱面的高慢慢增长,到达最大值后慢慢减短,直至变成一个圆圈,此时圆面环体穿过了底空间.我们把圆圈变成圆柱面时变化的高,连续不断的画成无数条线段,按时间顺序排列起来,就是一个圆面,其实就是上例中的旋转圆面.四>用面轴旋转的原理证明圆夬表体的体积公式.在之前的章节中曾经提到,用半个圆球作旋转体,以半圆球的大圆面作面轴,旋转一周可以得到圆夬,其中圆夬的表体部分,是由半圆球的球面旋转得来的.这样我们可以把半球面分解成无数个平行于面轴的圆圈A系列,每个圆圈上的点绕面轴旋转形成另一种圆圈B系列,把圆圈A系列乘以圆圈B系列,再把所得之积累加起来,就能得到圆夬表体的体积.设半圆球的半径为R,在图四中,O是半圆球的球心,C是圆圈A系列上的一个点,CO与面轴的夹角为θ,这样可以得到A系列圆周长为2πR*cosθ, B系列圆周长为2πR*sinθ.现在列出求体积的积分式,积分自变量选取的是弧长CD,这一点非常重要.设: 弧长CD=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至πR/2. 所求的积分式为:五>用”牵引法”原理求底体为大圆球的圆夬台的侧表体体积公式.图五是一个所在圆夬半径为R的圆夬台,它的底体是以点O为球心的大圆球,顶体是球心与点O距离为H的小圆球,它的侧体是由无数个介于底体圆球和顶体圆球之间的,半径由底至顶逐渐变小的圆球表面累加而成,也就是说,把这些圆球表面累加起来,就是此圆夬台的侧表体体积公式.过点C作圆面S1垂直于CO,过点O作圆面垂直于OC,过线段CO作大圆面,与圆面S1的圆周相交于点A, 与圆面S2的圆周相交于点B,以弧线AB为自变量, 设: 弧长AB=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至Rθ. 所求的积分式为:把θ=arcsin(H/R)代入上式,得到:V=2π(R∧3)(arcsin(H/R)+H(√(R∧2- H∧2))/ (R ∧2))六>球面环体如图六所示,在底空间内有一个圆球表面,将此球面以平面S为面轴,向第四维W 轴方向旋转一周,所形成的轨迹就是球面环体.本例中圆球面是中心对称图形,所求的是360度轨迹,因此不需要定位面.现在我们计算球面环体的体积公式.将圆球表面分解成无数个平行于面轴的圆圈A系列,在每个圆圈上取点,绕面轴旋转形成另一种圆圈B系列, 把圆圈A系列乘以圆圈B系列,再把所得之积累加起来,就能得到球面环体的体积公式.图七是一个以点P为球心,R为半径的圆球表面,点O是点P在面轴S上的投影,PO 垂直于面轴S,PO=r. 过点P作平行于面轴S的平面,与圆球表面相交于圆圈1,在平行圆圈A系列中任意选择一圆圈作为圆圈2,过线段PO作一垂直于面轴的平面,与圆圈1, 圆圈2分别相交于点D,点C,不难证得点C,点D在圆球表面的大圆圈上.现在以圆圈1为分界线,把圆球表面分成两部分求球面环体的体积公式,先求圆圈1与面轴之间那半个球表面旋转所得的球面环体的体积..设: 弧长CD=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至πR/2. 所求的积分式为:同样的原理,我们可以得到另半个球表面旋转所得的球面环体的体积.球面环体的体积公式:V=V1+V2=8r(π∧2) (R∧2)七>球面柱体在前面的例子中,用半球面绕面轴旋转的方法求得圆夬的外表体.同样的原理,半个圆柱面以它过中心的竖截面为面轴,底部半圆为定位面旋转,可以得到一个球面柱体.图八左边的蓝色部分是半个圆柱面,绿色的是面轴,红色的是顶部半圆弧的旋转轨迹,能看出是一个圆球外表的模样. 半个圆柱面旋转一周后,得到图右所示的球面柱体.从图右可以观察到, 球面柱体相当于三维空间中的圆球面,向第四维方向垂直移动一段距离的轨迹.体积公式:V=4π(r∧2)*h八>球面锥体球面锥体的原理与球面柱体相类似,旋转面为半个锥面,面轴是过顶点垂直于底圆面的竖截面,定位面是锥面的底圆面. 体积公式:V=(4/3)π(r∧2)*h。

四维几何基础知识(四)

所以在本文中暂时取名为“面轴”,以使读者更容易的理解和想象。

一〉面轴的原理面轴旋转就是以面为轴进行旋转，这样的旋转方式在三维空间是不可行的，因为一个平面就占了二维，而旋转运动也是二维，在三维空间内的几何形如果以面为轴旋转，其结果就是撞到这个面上，所以面轴只能出现在四维及以上空间.而以面为轴的旋转，三维内无法全面的观察，为了描述这个状态，我们先以线轴作为类比。

图一中，OP是线轴，线段AB绕OP旋转.这个过程，我们可以把线段AB分解成无数个点，每个点作垂直于OP的直线与之相交，这样可以看成每个点都以相交点为圆心，垂线长度为半径做圆周运动。

把所有的点连合起来，就是线段AB绕线轴OP旋转不仅是线段，所有的几何形绕线轴旋转都可以分解成无数个点，每个点垂直于线轴旋转，再把所有的旋转的点整合起来就是此几何形绕线轴旋转的过程。

四维空间概念及其数学模型推演

四维空间概念及其数学模型推演四维空间是指包括三维空间和时间维度在内的空间。

本文将探讨四维空间的概念，并展示其数学模型的推演过程。

首先，我们来了解什么是三维空间。

三维空间是我们通常所熟悉的空间，它由长度、宽度和高度构成，可用笛卡尔坐标系表示。

在三维空间中，我们可以确定物体的位置和方向。

在三维空间的基础上，加入时间维度，就得到了四维空间。

时间维度可以看作是第四个坐标轴，用来表示事件的发生顺序和持续时间。

这意味着在四维空间中，我们不仅可以确定物体的位置和方向，还可以确定事件发生的时刻。

要推演四维空间的数学模型，我们可以利用爱因斯坦的相对论理论。

相对论认为时间和空间是相互关联的，并非独立存在。

根据相对论的观点，光速在任何参考系中都是恒定的。

这就引入了时空间隔的概念，即光速乘以时间和空间之间的差距。

时空间隔可以用来度量事件在四维空间中的间隔长度。

数学上，我们可以使用闵氏度规来推导四维空间的数学模型。

闵氏度规是一种度量时空间隔的方法，它可以用来计算事件的间隔长度。

闵氏度规的公式为：ds² = -dt² + dx² + dy² + dz²其中，ds²表示时空间隔的平方，dt表示时间差，dx、dy和dz表示在三维空间中的位置差。

该公式中的负号表示时间差需要取负值，以确保时空间隔是实数。

通过闵氏度规，我们可以计算出任意两个事件之间的间隔长度。

如果间隔长度为正数，则表示两个事件之间是类空间隔，即有因果关系，信息可以相互传递。

如果间隔长度为零，则表示两个事件之间是类光空隔，即有可能相互影响。

如果间隔长度为负数，则表示两个事件之间是类时空隔，即有确定的因果关系，信息无法相互传递。

随着数学模型的推演，我们可以进一步探讨四维空间的奇特性质。

在四维空间中，由于时间的存在，可以出现时间的弯曲和时空的弯曲。

这就是相对论中著名的“引力弯曲”，它可以解释为质量和能量改变时，时空的弯曲效应。

四元正四面体摆法要点

四元正四面体摆法要点四元正四面体摆法要点正四面体是一种具有四个相等边长和六个相等面积的多面体。

它的几何形状独特且美丽，因此常被用于艺术、科学和数学领域。

在四元正四面体摆法中，它被用作一种特殊的布局工具，以提供各种创意和解决问题的可能性。

在本文中，我们将探讨四元正四面体摆法的要点，并深入剖析其使用方式以及对创意思维的影响。

1. 基本了解让我们来了解一下什么是四元正四面体摆法。

在数学中，四元正四面体是一个四维几何体，由四个面相等的正四面体组成。

它具有多个维度的特性，因此可以用于揭示事物的复杂关系和多变性。

在摆法中，我们将四元正四面体所代表的思维方式应用于创意过程中，以获得不同的角度和解决方案。

2. 四元思维模式四元正四面体摆法鼓励我们采用更全面、深入和灵活的思维方式。

它基于四个基本维度：事实、概念、价值和未来。

这些维度代表了不同角度和观点，使我们能够从多个维度去思考和理解一个问题或主题。

通过将这些维度交叉应用，我们可以从全新的角度发现新的可能性和解决方案。

3. 事实维度事实维度是关于现实和客观信息的。

它要求我们收集和分析相关的数据、观察现象并进行实证研究。

在应用四元正四面体摆法时，我们需要根据事实维度收集相关背景知识、案例研究和实证数据，以便更好地理解问题的本质和现状。

4. 概念维度概念维度是关于观念和抽象概念的。

它要求我们思考问题的本质、原理和可能的因果关系。

通过概念维度，我们可以应用概念模型、分类和归纳法，以深入理解问题的内在逻辑和潜在规律。

5. 价值维度价值维度是关于主观观点和实践经验的。

它要求我们考虑道德、伦理、情感和文化因素对问题的影响。

通过价值维度，我们可以从个人和群体的角度去思考问题，并将其与我们的核心价值观进行比较和权衡。

6. 未来维度未来维度是关于预测和前瞻性思考的。

它要求我们考虑问题的演变趋势、可能的结果和长远影响。

通过未来维度，我们可以应用场景分析、趋势预测和创造性想象，以预测和规划未来的发展方向。

四维空间向量的基

四维空间向量的基四维空间向量是指在四维坐标系中表示的向量。

在四维空间中，我们可以用四个分量来表示一个向量。

为了方便描述和计算，我们可以选择合适的基来表示四维空间向量。

下面我们将介绍四维空间向量的基及其相关的内容。

1. 标准基在三维空间中，我们可以选择三个相互垂直的单位向量作为基，分别表示x、y、z轴的方向。

同样，在四维空间中，我们也可以选择四个相互垂直的单位向量作为基，分别表示x、y、z、w轴的方向。

我们一般用{i, j, k, l}来表示四维空间的标准基。

2. 向量坐标表示在四维空间中，一个向量可以用四个分量表示。

假设有一个向量a，用{a1, a2, a3, a4}表示其分量。

分量a1表示a在x轴上的投影长度，a2表示在y轴上的投影长度，a3表示在z轴上的投影长度，a4表示在w轴上的投影长度。

向量a可以表示为a = a1*i + a2*j + a3*k + a4*l。

3. 基向量的性质在四维空间中，基向量具有以下性质：- 互相垂直：标准基中的四个单位向量{i, j, k, l}相互垂直，即它们之间两两正交。

- 单位长度：标准基中的四个单位向量{i, j, k, l}的长度都为1。

- 完备性：标准基中的四个单位向量{i, j, k, l}张成整个四维空间。

4. 基变换在四维空间中，我们可以通过基变换将一个向量表示在不同的基下。

设有向量a在标准基{i, j, k, l}下的分量为{a1, a2, a3, a4}，我们希望将其表示在另一个基{i', j', k', l'}下。

则有以下关系：{a1, a2, a3, a4} = {i', j', k', l'} * {a1', a2', a3', a4'}其中，{a1', a2', a3', a4'}表示向量a在基{i', j', k', l'}下的分量。

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所以在本文中暂时取名为“面轴”,以使读者更容易的理解和想象。

一〉面轴的原理
面轴旋转就是以面为轴进行旋转，这样的旋转方式在三维空间是不可行的，因为一个平面就占了二维，而旋转运动也是二维，在三维空间内的几何形如果以面为轴旋转，其结果就是撞到这个面上，所以面轴只能出现在四维及以上空间.而以面为轴的旋转，三维内无法全面的观察，为了描述这个状态，我们先以线轴作为类比。

图一中，OP是线轴，线段AB绕OP旋转.
这个过程，我们可以把线段AB分解成无数个点，每个点作垂直于OP的直线与之相交，这样可以看成每个点都以相交点为圆心，垂线长度为半径做圆周运动。

把所有的点连合起来，就是线段AB绕线轴OP旋转
不仅是线段，所有的几何形绕线轴旋转都可以分解成无数个点，每个点垂直于线轴旋转，再把所有的旋转的点整合起来就是此几何形绕线轴旋转的过程。

以上过程类比到面轴，我们就可以得到以面为轴的旋转原理：
若几何形围绕面轴旋转，可以看成此几何形分解成无数个点，每个点作垂直于
该面轴的垂线并相交于交点，每个点都以相交点为圆心，垂线长度为半径旋转，旋转方向为该几何形围绕面轴旋转的方向。

把所有的旋转的点整合起来,就是此几何形绕面轴旋转的过程。

这个过程描述比较复杂，但有另外一个描述比较简单，那就是“镜子原理”，把面轴看作是一面镜子，当几何形绕面轴旋转180度后，它的位置和形态就是“镜子中的自己“
二>旋转方向.
因为面轴本身是二维的,所以旋转的方向是360度,这点与一维线轴有区别.当我们确定面轴时,还要说明旋转的方向,这样才能保证旋转轨迹的唯一性.
三>定位线和定位面
在四维空间中,还有以中心点,以线为轴的旋转,这样的旋转最终都要转化为以面为轴的旋转,也需要说明旋转的方向,要实现这一点,就要引入定位线和定位面的概念.我们先看下面的这个例子.
在三维空间O-XYZ中有线段AB绕O点向X轴正方向旋转,求线段AB的旋转轨迹.(图二左)
从例子中所提供的条件,是没办法确定线段AB的旋转轨迹的,必须再加上一个条件:
在线段AB上有一点C,以CO为定位线,向X轴正方向旋转,这样一来线段AB的旋转轨迹就确定了. (图二右)
将定位线的概念引入四维空间,就能得到这样的定义:在四维空间中,有几何形α绕线轴L旋转,在几何形α有一关键点A,经点A和线轴L作一平面,此平面即为定位面.经线轴L作平面S垂直于定位面,则平面S是几何形α的面轴,结合几何形α的旋转方向,就可以确定几何形α的旋转轨迹.
如果几何形绕中心点旋转,必须要求得相对应的定位面和面轴,才能确定几何形的旋转轨迹.
例一: 有一四维空间O-XYZW,在底空间O-XYZ中,有一正方体OABC-DEFG棱长为L,现在以面OABC为定位面,线段OA为轴,将此正方体旋转一周,旋转方向为W轴正方向,求旋转轨迹形成的夬的夬积.(图三)
答:从图中可知,平面OAED垂直于平面OABC, 平面OAED是此正方体旋转的面轴.现在将平面BCGF分解成无数个点,每个点作垂线垂直于面轴OAED,则每条垂线的长度均为L,将所有的垂线绕垂直点旋转一周,可以得到无数个面积为π(L∧2)的圆,而之前的那无数个点,分解自一个面积为(L∧2)的正方形,所以旋转轨迹形成的夬的夬积为:
J=S1*S2=π(L∧2)* (L∧2)= π(L∧4)
新形成的夬是一个圆柱柱夬,它的底体与顶体为圆柱体,侧体为两个圆柱体和一个四维的圆柱面柱体.
例二: 有一四维空间O-XYZW,在底空间O-XYZ中,有一正方体OABC-DEFG棱长为L,现在以面OAFG为定位面,线段OA为轴,将此正方体旋转一周,旋转方向为
W轴正方向,求旋转轨迹形成的夬的夬积.(图四)
OAFG,且相交于线段OA,则平面S为此次旋转的面轴.
把正方体分解成无数点,绕面轴旋转一周形成无数个圆圈,将所有的圆圈集合在一起，就是所求的夬积.而所有的这些点中,与面轴等距离的点组成一个与面轴平行的平面．此题可用积分方法求解.
在正方体中,线段GO垂直于面轴S,也垂直于线轴OA,它的长度为(√2)L. 将正方体分解成无数个平行于面轴S的平面,这些平面分为两部分:在与面轴S的距离处于0和(√2)L/2之间时,面积公式为:
S=(cot(π/4))*H*2*L=2LH
其中H为该平面到面轴S的距离. 与面轴S的距离处于(√2)L/2和(√2)L之间时, 面积公式为:
S=(cot(π/4))*( (√2)L –H)*2*L=2L((√2)L –H)
这样我们可以得到两个积分公式：
计算得到：
J=J1+J2= ((√2) /3)π(L∧4)+ ((2√2) /3)π(L∧4)= (√2)π(L∧4)
这是一个菱环柱夬,它的底体和顶体为菱环体，侧体为2个四维圆锥面柱体和2个四维圆锥台面柱体．
例三: 用面轴旋转的原理验证圆夬的体积公式.(图五)
答:在三维空间中,我们用半个圆面,绕直径旋转一周,就可以得到一个圆球.同样的道理,在四维空间中,用半个圆球,以大圆面作面轴,向第四维方向旋转一周,就能得
到圆夬.
将半径为R的半个圆球分解成无数个平行于面轴的圆面,以其中一个圆面作参照,圆面上的每个点与面轴的距离都是相等的.把每个点作垂线垂直于面轴,再以垂线长度作半径,与面轴交点作圆心画圆,这样无数个圆面上的无数个点,可以得到无数个圆圈.把这无数个圆圈集合起来,就是圆夬的夬积.
设某个平行于面轴的圆面的圆心为P,圆周上有一点A, 连接点P与球心O,则OP 等于圆面上的每个点与面轴的距离H;连接点A与球心O,线段AO等于半径R,则此圆面的半径AP等于√(R∧2-H∧2),面积是π(R∧2-H∧2),圆面上的点绕面轴旋转得到的圆圈为2πH,将面积乘以圆圈长度,再把每个圆面带圆圈累加起来,就是圆夬的夬积(图六).
下面是求圆夬夬积的积分公式.。