第二章 训练3
第2章 二次函数专题训练3 二次函数的最值及自变量的取值范围(含答案)
专题训练三 二次函数的最值及自变量的取值范围由自变量的取值范围求函数值的取值范围1.二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>3,则x的取值范围是( )A.-4<x<1B.-2<x<0C.x<-4或x>1D.x<-2或x>02.二次函数y=-x2+bx+c,若y≥2时,x的取值范围为n-3≤x≤n+1(n为常数),则当n-4≤x≤n时,y的取值范围为( )A.-3≤y≤5B.-3≤y≤6C.0≤y≤5D.0≤y<63.已知二次函数y=-x2+2x+3,当-1≤x≤2时,y的取值范围为 .4.已知二次函数y=-x2+bx+c,函数值y与自变量x之间的部分对应值如表:x…-4-101…y…-21-2-7…(1)写出二次函数图象的对称轴;(2)求二次函数的表达式;(3)当-4<x<-1时,写出函数值y的取值范围.由自变量取值范围下的函数最值求字母系数5.(2024西安临潼区二模)已知抛物线y=-(x -n )2-1(n 为常数),当1≤x ≤4时,其对应的函数值最大为-10,则n 的值为( )A.4B.-2或7C.1或7D.-2或46.如图,抛物线y=12x 2-x -32的顶点为D 点,与y 轴交于C 点,点M (m ,0)是x 轴上的一个动点,当MC+MD 的值最小时,m 的值是( )A.13B.12C.23D.377.(2024苏州期末)如图,Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P 从点A 出发沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动,点Q 从B 出发沿边BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动,P ,Q 两点同时出发,当一点到达终点时另一点也停止运动,设运动时间为t (s).(1)若P ,Q 两点的距离为42 cm 时,求t 的值;(2)当t 为何值时,△BPQ 的面积最大?并求出最大面积.8.(2024廊坊大城县期中)已知抛物线y=x 2+ax+a+1经过点A (-2,3).(1)求a的值;(2)已知点P(m,y P),Q(m-4,y Q)均在该抛物线上.①若m=0,请比较y P与y Q的大小关系;②当-3≤x≤m时,函数y的最大值是6,最小值是2,求m的取值范围.9.(2024葫芦岛绥中县月考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴相交于点C.(1)求此抛物线的表达式;(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不与点B、C重合),过点P作y轴的平行线交直线BC 于点D,设点P的横坐标为m.①用含有m的代数式表示线段PD的长;②连接PB,PC,求△PBC的面积最大时点P的坐标.【详解答案】1.B 解析:由题图可得:抛物线对称轴为直线x =-1,当x =0时,y =3,根据抛物线的对称性可得:当x =-2时,y =3,∴若y>3,则x 的取值范围是-2<x<0,故选B .2.B 解析:由题意知,当y ≥2时,x 的取值范围为n-3≤x ≤n +1,且抛物线开口向下,∴对称轴是直线x =n -3+n +12=n-1=-b-2.∴b =2(n-1).∴抛物线为y =-x 2+2(n-1)x +c.又当x =n +1时,y =-(n +1)2+2(n-1)·(n +1)+c =2,∴c =-n 2+2n +5.∴二次函数为y =-x 2+2(n-1)x-n 2+2n +5.∵抛物线开口向下,∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大.∵n-1-(n-4)=3>n-(n-1)=1,n-4<n-1<n ,又n-4≤x ≤n ,∴当x =n-1时,y 取最大值为y =-(n-1)2+2(n-1)2-n 2+2n +5=6;当x =n-4时,y 取最小值为y =-(n-4)2+2(n-4)(n-1)-n 2+2n +5=-3.∴当n-4≤x ≤n 时,-3≤y ≤6.故选B .3.0≤y ≤4 解析:∵二次函数y =-x 2+2x +3=-(x-1)2+4,∴该函数图象开口向下,对称轴为直线x =1.∵-1≤x ≤2,∴当x =-1时,y 取得最小值0;当x =1时,y 取得最大值4;∴当-1≤x ≤2时,y 的取值范围为0≤y ≤4.4.解:(1)∵x =-4和x =0时的函数值相等,都是-2,∴此函数图象的对称轴为直线x =-4+02=-2.(2)将(-1,1),(0,-2)代入y =-x 2+bx +c ,得-1-b +c =1.c =-2.解得b =-4,c =-2,∴二次函数的表达式为y =-x 2-4x-2.(3)∵y =-x 2-4x-2=-(x +2)2+2,∴当x =-2时,y 取得最大值2.由表可知当x =-4时y =-2,当x =-1时y =1,∴当-4<x<-1时,-2<y ≤2.5.B 解析:①当n ≥4时,当x =4,y =-10时,代入抛物线y =-(x-n )2-1(n 为常数),得-10=-(4-n )2-1,整理,得n 2-8n +7=0,解得n =7或1(舍去),②当n ≤1时,当x =1,y =-10时,代入抛物线y =-(x-n )2-1(n 为常数),得-10=-(1-n )2-1,整理,得n 2-2n-8=0,解得n =-2或4(舍去).故n 的值为7或-2.故选B .6.D 解析:当x =0时,y =12x 2-x-32=-32,则点C 的坐标为0∴C 点关于x 轴的对称点C'的坐标为0∵y =12x 2-x-32=12(x-1)2-2,∴点D 的坐标为(1,-2).连接C'D 交x 轴于M ,如图,∵MC +MD =MC'+MD =C'D ,∴此时MC +MD 的值最小.设直线C'D 的表达式为y =kx +32,把D (1,-2)代入,得-2=k +32,解得k =-72,∴直线C'D 的表达式为y =-72x +32,当y =0时,-72x +32=0,解得x =37,∴此时M 0,即m =37.故选D .7.解:(1)由题意知,BP =(6-t )cm,BQ =2t cm .在Rt △BPQ 中,PQ 2=PB 2+BQ 2=(6-t )2+(2t )2.又∵P ,Q 两点的距离为42 cm,∴(6-t )2+(2t )2=(42)2,解得t 1=2,t 2=25.又∵0≤t ≤4,∴上述两解都符合题意,故t 的值为2或25.(2)由(1)知,BP =(6-t )cm,BQ =2t cm,∴S △BPQ =12BP ·BQ =12·2t (6-t )=t (6-t )=-t 2+6t =-(t 2-6t +9)+9=-(t-3)2+9.又∵0≤t ≤4,且-1<0,∴当t =3时,S △BPQ 有最大值为9 cm 2.8.解:(1)将点A (-2,3)代入y =x 2+ax +a +1中,得3=4-2a +a +1,解得a =2.(2)①∵a =2,∴抛物线为y =x 2+2x +3,当m =0时,点P (m ,y P ),Q (m-4,y Q )为P (0,y P ),Q (-4,y Q ),∴y P =0+0+3=3,y Q =16-8+3=11,∴y P 与y Q 的大小关系为y P <y Q ;②y =x 2+2x +3=(x +1)2+2.当x 2+2x +3=6时,x 1=-3,x 2=1.如图,根据图象和题意可得m 的取值范围是-1≤m ≤1.9.解:(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)经过点A (1,0)和点B (3,0),∴将A ,B 点坐标代入,得a +b +3=0,9a +3b +3=0,解得a =1,b =-4,∴抛物线表达式为y =x 2-4x +3.(2)①由y =x 2-4x +3可知,抛物线对称轴为直线x =2,点C (0,3),设直线BC 的表达式为y =kx +c.将点B (3,0),C (0,3)代入直线BC 表达式y =kx +c ,则3k +c =0,c =3,解得k =-1.c =3.∴直线BC 的表达式为y BC =-x +3.设P (m ,m 2-4m +3),如图,过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ,∴点D 的坐标为(m ,-m +3),∴PD =(-m +3)-(m 2-4m +3)=-m 2+3m ;②S △PBC =S △CPD +S △BPD =12OB ·PD =-32m 2+92m=+278,∴当m =32时,S 有最大值.当m =32时,m 2-4m +3=-34.∴点P∴△PBC 的面积最大时点P。
人教版高中化学选修5第二章第三节卤代烃易错题训练(有答案,word)
第二章第三节卤代烃易错题训练一、单选题1．某些牙膏中含有的消毒剂三氯生遇含氯自来水能生成三氯甲烷，哥罗芳能导致肝病甚至癌症，已知三氯生的结构简式如图。
有关说法正确的是A．三氯生的分子式为：C12H6Cl3O2B．三氯甲烷只有一种结构，可推知CH4是正四面体C．三氯生能与NaOH溶液反应D．常温下，三氯生易溶于水2．卤代烷C5H11Cl的结构有八种，其中能发生消去反应生成两种烯烃的结构有A、二种B、三种C、四种D、八种3．下列除杂方法（括号中为除杂试剂和分离方法）可行的是（）A．苯中的苯酚（溴水，过滤）B．乙酸乙酯中的乙酸（烧碱，分液）C．溴乙烷中的乙醇（水，分液）D．乙烷中的乙烯（酸性高锰酸钾，分液）4．某烯烃CH3CH=C（CH3）2是由卤代烷消去而生成，则该卤代烷的结构有（）A．一种B．二种C．三种D．四种5．在卤代烃R—CH2—CH2—X中化学键如图所示：（①为C—X键，②C—H为键）则下列说法正确的是A．发生水解反应时，被破坏的键是①和③B．发生消去反应时，被破坏的键是①和④C．发生消去反应时，被破坏的键是②和③D．发生水解反应时，被破坏的键是①6．为了检验某溴代烃中的溴元素，现进行如下操作，其中合理的是A．取溴代烃少许，加入ＡgNO3溶液。
B．取溴代烃少许与NaOH水溶液共热，然后加入ＡgNO3溶液。
C．取溴代烃少许与NaOH乙醇溶液共热后，加入稀硝酸酸化后，再加入ＡgNO3溶液。
D．取溴代烃少许与NaOH水溶液共热后，加入稀硝酸酸化后，再加入ＡgNO3溶液。
7．下列实验操作中正确的是( )A．制取溴苯：将铁屑、溴水、苯混合加热B．实验室制取硝基苯：先加入浓硫酸，再加苯，最后滴入浓硝酸C．鉴别乙烯和苯：向乙烯和苯中分别滴入酸性KMnO4溶液，振荡，观察是否褪色D．检验卤代烃中的卤素原子：加入NaOH溶液共热，再加AgNO3溶液，观察沉淀颜色8．组成为C4H9Cl的卤代烃，可能存在的同分异构体有A．两种B．三种C．五种D．四种9．某饱和一卤代烃发生消去后，若可得到三种烯烃，则该饱和一卤代烃至少有几个碳原子（）A．5 B．6 C．7 D．810．某共轭二烯烃与H2加成后的产物是, 则该二烯烃与Br21:1加成后的产物可能有A．1种B．2种C．3种D．4种11．分子式为C3H6Cl2的有机物，发生一元氯代反应后生成的产物有两种结构，则原C3H6Cl2应是( )A．1，3二氯丙烷B．1，1二氯丙烷C．1，2二氯丙烷D．2，2二氯丙烷12．分子式为C3H6Cl2的有机物，发生一氯取代反应后，只生成一种物质，则原有机物（C3H6Cl2）应该是A．1,3—二氯丙烷B．1,1—二氯丙烷C．1,2—二氯丙烷D．2,2—二氯丙烷二、填空题13．烯烃A在一定条件下可以按下面的框图进行反应。
第二章 2.2 2.2.4 第二课时 均值不等式的应用
第二课时 均值不等式的应用课标要求素养要求掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0).结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.通过学习均值不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.教材知识探究(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？提示 这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x 与宽y 的和一定，求xy 的最大值，xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝252＝625，当且仅当x ＝y ＝25时取等号，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x 与宽y 之和最小值，x ＋y ≥2xy ＝210 000＝200，当且仅当x ＝y ＝100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省.1.均值不等式与最大(小)值 口诀：和定积最大，积定和最小两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2.均值不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.教材拓展补遗[微判断]1.对于实数a ，b ，若a ＋b 为定值，则ab 有最大值.(×) 提示 a ，b 不一定为正实数.2.对于实数a ，b ，若ab 为定值，则a ＋b 有最小值.(×) 提示 a ，b 不一定为正实数.3.若x >2，则x ＋1x 的最小值为2.(×)提示 当且仅当x ＝1时才能取得最小值2，故x >2时，取不到最小值2. [微训练]1.已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是________. 解析 a ＋b ≥2ab ＝210，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立. 答案 2102.已知m ，n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是________.解析 由m 2＋n 2≥2mn ，∴mn ≤m 2＋n 22＝50.当且仅当m ＝n ＝±52时等号成立. 答案 50 [微思考]1.利用均值不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？ 提示 利用均值不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.2.已知x ，y 为正数，且1x ＋4y ＝1，求x ＋y 的最小值. 下面是某同学的解题过程：解：因为x >0，y >0，所以1＝1x ＋4y ≥2×2xy ＝4xy ，所以xy ≥4.从而x ＋y ≥2xy≥2×4＝8.故x ＋y 的最小值为8. 请分析上面解法是否正确，并说明理由. 解 这个同学的解法是错误的.理由如下：上述解法中连续使用两次均值不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当1x ＝4y ＝12，即x ＝2，y ＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x ＝y 时，等号成立，因此x ＋y 不能等于8.正解 x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝y x ＋4x y ＋5≥2·y x ·4x y ＋5＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1，y x ＝4x y ，即x ＝3，y ＝6时，等号成立.故x ＋y 的最小值为9.题型一 利用均值不等式求最值注意均值不等式成立的条件，且等号能否取得 【例1】 (1)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值. 解 (1)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立.∴x ＋4x －2的最小值为6.(2)法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋（2x －16）＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2（x －8）×16x －8＋10＝18， 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥108y x ·2xy ＋10＝18，当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.规律方法 利用均值不等式求最值的策略【训练1】 (1)若x <0，求y ＝12x ＋3x 的最大值； (2)若x >1，求y ＝1x －1＋x 的最小值. 解 (1)因为x <0，所以y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋（－3x ）≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·（－3x ） ＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以y 的最大值为－12. (2)因为x >1，所以x －1>0，y ＝1x －1＋x －1＋1≥ 2（x －1）·1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立，所以y的最小值为3.题型二 利用均值不等式解决实际应用问题【例2】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解 (1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1).(2)因为8010⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100， 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米. 规律方法 利用均值不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.【训练2】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解 设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 题型三 均值不等式的综合应用均值不等式应用的关键是获得定值的条件，解题时需灵活地选择方法 【探究1】 已知x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________. 解析 法一 (1的代换)： 因为1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . 因为x >0，y >0，所以y x ＋9xy ≥2y x ·9xy ＝6，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x ①时，取“＝”. 又1x ＋9y ＝1，②解①②可得x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法二 (消元法)：由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.因为x >0，y >0，所以y －9>0.所以x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10≥2（y －9）·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时，取“＝”，此时x ＝4， 所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法三 (构造定值)：因为x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以x >1，y >9.由1x ＋9y ＝1，得y ＋9x ＝xyxy －9x －y ＋9－9＝0(x －1)(y －9)＝9(定值).所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝2×3＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值是16. 答案 16【探究2】 已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8D.7解析 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，所以要使2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b时，等号成立，所以m ≤9. 答案 B【探究3】 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a ＞0，b ＞0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)【探究4】 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________. 解析 正数x ，y 满足x ＋y ＝1， 即有(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4（y ＋1）x ＋2≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4（y ＋1）x ＋2＝14×(5＋4)＝94，当且仅当x ＝2y ＝23时，取得最小值94. 答案 94规律方法 利用均值不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用均值不等式求最值. (2)构造法：①构造不等式：利用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，将式子转化为含ab 或a ＋b 的不等式，将ab ，(a ＋b )作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用均值不等式求最值.(3)函数法：若利用均值不等式时等号取不到，无法利用均值不等式求最值时，则可将要求的式子看成一个函数求最值.【训练3】 (1)已知2a ＋b ＝1，a >0，b >0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.2 2 B.3－2 2 C.3＋2 2D.3＋ 2(2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( ) A.3＋2 2 B.3－2 2 C.6－4 2D.6＋4 2解析 (1)1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋1b 的最小值是3＋2 2.(2)1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋2 2b a ·a b＋2c a ·a c ＋2c b ·2bc ＝6＋42，当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc 即a ＝c ＝2－22，b ＝2－12时，等号成立. 答案 (1)C (2)D一、素养落地1.通过运用均值不等式求最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用均值不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.2.利用均值不等式求最值(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件. (3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的. 二、素养训练1.当x >0时，12x ＋4x 的最小值为( ) A.4 B.8 C.8 3D.16解析 ∵x >0，∴12x >0，4x >0. ∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝83， 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，12x ＋4x 的最小值为8 3. 答案 C2.已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( ) A.－12 B.－1 C.2D.0解析 ∵x >－2，∴x ＋2>0，∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2（x ＋2）·1x ＋2－2＝0，当且仅当x ＝－1时“＝”成立. 答案 D3.已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，那么xy 的最大值是________. 解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ＝2≥22xy ，∴2xy ≤1， ∴xy ≤12，当且仅当x ＝2y 即x ＝1，y ＝12时“＝”成立. 答案124.若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，则a 的取值范围是________. 解析 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0，＋∞)恒成立ax ≤x 2＋1，x ∈(0，＋∞)恒成立a ≤x＋1x ，x ∈(0，＋∞)恒成立. ∵x ∈(0，＋∞)，x ＋1x ≥2，∴a ≤2. 答案 (－∞，2]5.已知x >0，y >0，a >0，b >0，a ，b 为常数且满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，取“＝”的条件为bx y ＝ayx ，此时x ＋y 的最小值＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18.① 又a ＋b ＝10.②联立①②有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.基础达标一、选择题1.若x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A.1＋ 2B.2C.3D.4解析 ∵x >1，∴x 2－x ＋1x －1＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立. 答案 B2.已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( ) A.18 B.16 C.8D.10解析 ∵x >0，y >0且8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y ，即x＝12，y ＝3时，等号成立. 答案 A3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处D.2千米处解析 设仓库与车站的距离为d ，则y 1＝k 1d ，y 2＝k 2d ，由题意知2＝k 110，8＝10k 2，∴k 1＝20，k 2＝0.8.∴y 1＋y 2＝20d ＋0.8d ≥216＝8，当且仅当20d ＝0.8d ，即d ＝5时，等号成立.选A. 答案 A4.设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是( ) A.(38－373) m 3 B.16 m 3 C.4 2 m 3D.14 m 3解析 设车厢的长为b m ，高为a m.由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2a a ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t >1，则V ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫20－2t －18t≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当2t ＝18t ，即t ＝3时取“＝”，此时a ＝2.故选B. 答案 B5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为( )A.10 mB.20 mC.30 mD.40 m解析 设矩形的另一边长为y .由三角形相似得x 40＝40－y40，其中0<x <40，0<y <40，∴40＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝20时，矩形的面积取得最大值.故选B. 答案 B 二、填空题6.设x >－1，则（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值是______.解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝（t ＋4）（t ＋1）t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值9.答案 97.已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________. 解析 根据题意，3a ＋b ＝2ab32b ＋12a ＝1，则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32b ＋12a (a ＋b )＝2＋3a 2b ＋b 2a ≥2＋23a 2b ·b 2a ＝2＋3，当且仅当b ＝3a 即a ＝3＋12，b ＝3＋32时等号成立， 则a ＋b 的最小值为2＋ 3. 答案 2＋ 3 8.若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 因为x >0，所以x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15.当且仅当x ＝1时，等号成立， 所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15.所以a ≥15. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≥15三、解答题9.(1)若x >0，求y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求y ＝4x (3－2x )的最大值. 解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x 时， 即x 2＝4，x ＝2时取等号.∴y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0<x <32，∴3－2x >0， ∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ， 即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92. 10.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解 设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元. 根据题意，有z ＝150×4 8003＋120(2×3x ＋2×3y ) ＝240 000＋720(x ＋y ).由容积为4 800 m 3，可得3xy ＝4 800. 因此，xy ＝1 600.故z ＝240 000＋720(x ＋y )≥240 000＋720×2xy ＝240 000＋720×2 1 600＝297 600， 当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝40时，等号成立.所以，将水池的底面设计成边长为40 m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.能力提升11.已知x ，y 都是正数.(1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值. 解 (1)∵3x ＋2y ＝12，∴xy ＝16·3x ·2y ≤16×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 22＝6，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝2，y ＝3时，等号成立. ∴xy 的最大值为6.(2)∵x ＋2y ＝3，∴1＝x 3＋2y3， ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2y 3＝13＋23＋x 3y ＋2y 3x≥1＋2x 3y ·2y 3x ＝1＋223，当且仅当x 3y ＝2y3x ，即x ＝32－3，y ＝3－322时取等号， ∴1x ＋1y 的最小值为1＋223.12.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2020年日本东京奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件.已知2020年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用.若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完.(1)将2020年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数.(2)该企业2020年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 解 (1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1.当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－2t ＋1)＋3. 当销售x (万件)时，年销售收入为150%[32(3－2t ＋1)＋3]＋12t .由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝150%⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t －⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3－t ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）(t ≥0).(2)y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y 取最大值42万元，∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大。
2019春八年级生物下册第七单元第二章第三节基因的显性和隐性习题
练一练
如图所示的是几种声音输入到示波器上显示的波形， 其中音调相同的是 甲、乙；响度相同的是 甲、丙 。
甲
乙
丙
课堂小结
音调
概念：乐音的高低 决定因素：声源的振动频率
乐
概声源的振动振幅
决定因素
人与声源的距离
音调与响度的区分
随堂训练
随堂训练
4.如图所示，小赵用宽窄不同的橡皮筋制成了一个橡 皮筋吉他。当他用相同的力拨动不同的橡皮筋时，会 发出跟吉他一样的声音，此声音是由橡皮筋 振动 而 产生的。当拨动松紧程度相同、宽窄不同的橡皮筋时， 他听到声音的 音调 不同。
1.男低音独唱时由女高音轻声伴唱，则男低音比女高 音( B )
A、音调低，响度大 B、音调低，响度小 C、音调高，响度大 D、音调高，响度小
随堂训练
2.如图所示，用薄木片从木梳的梳齿上以相同速 度不等的力滑过，可以用来研究发声体的（ ）
A、响度 B、音调 C、音色 D、以上都可以
随堂训练
3.小明的二胡断了一根细琴弦，他用一根粗弦代替 后，则发出的声音的音调（ C ） A、保持不变 B、变高 C、变低 D、无法确定
高中化学 第二章第三节 2 化学平衡的移动跟踪训练(含解析)新人教版选修4
化学平衡的移动1、在密闭容中发生下列反应a A(g) c C(g)+d D(g),压缩到原来的一半,当再次达到平衡时D的浓度为原平衡的1.8倍,下列叙述正确的是( )A.A的转化率变大B.平衡向正反应方向移动C.D的体积分数变大D.a<c+d2、下图表示一定条件下N2+3H22NH3的反应速率和时间的关系,其中t1是达到平衡需要的时间,t2~t3是改变一个条件后出现的情况,则该条件可能是（）A.加压B.升温C.加入催化剂D.增大反应物浓度3、现有m A(s)＋n B(g)q C(g) ΔH<0的可逆反应，在一定温度下达平衡时，B的体积分数φ(B)和压强p的关系如图所示，则有关该反应的下列描述正确的是( )A.m＋n<qB.n>qC.x点的混合物中v正<v逆D.x点比y点的正反应速率小4、可逆反应aA（g）+bB（s）cC（g）+dD（g），其他条件不变，C的物质的量分数和温度(T)或压强(P)关系如图，其中正确的是（）A．使用催化剂，C的物质的量分数增加B．升高温度，平衡向正反应方向移动C ．化学方程式的系数a ＜c ＋dD ．根据图像无法确定改变温度后平衡移动方向5、一定条件下，通过下列反应可以制备特种陶瓷的原料MgO ：()()4MgSO s CO g ＋()()()22MgO s CO g SO g ΔH ＋＋＞0该反应在恒容的密闭容器中达到平衡后，若仅改变图中横坐标x 的值，重新达到平衡后，纵坐标y 随x 变化趋势合理的是( )选项 xyA ． 4MgSO 的质量（忽略体积） CO 的转化率B ． CO 的物质的量2CO 与CO 的物质的量之比C ． 2SO 的浓度 平衡常数KD ．温度 容器内混合气体的密度6、下列事实中，不能应用化学平衡移动原理来解释的是（ ） ①可用浓氨水和NaOH 固体快速制氨气 ②700K 左右比室温更有利于合成氨反应 ③开启啤酒瓶后，瓶中马上泛起大量泡沫 ④温度升高水的K W 增大 ⑤对于反应2HI(g) H 2(g)+I 2(g)达平衡后，缩小容器体积可使体系颜色变深 A. ①②③B. ②④⑤C. ②⑤D. ④⑤7、对于可逆反应：2AB 3(g) A 2(g)＋3B 2(g) ΔH > 0，下列图象中正确的是（ ）A. B. C. D.8、在一密闭容器中，反应a A(g)b B(g)＋c C(g)达到平衡后，保持温度不变，将容器体积增加一倍，最终测得A 的物质的量的浓度变为原来的50%，则( )A ．平衡向正反应方向移动B ．a >b ＋cC ．物质B 的质量分数增大D ．以上判断都错误9、探究浓度对化学平衡的影响,实验如下:I.向5mL 0.05mol/L 3FeCl 溶液中加入5mL 0.05mol/L KI 溶液(反应a),平衡后分为两等份 II.向一份中加入饱和KSCN 溶液,变红(反应b);加入4CCl ,振荡、静置,下层显极浅的紫色 III.向另一份中加入4CCl ,振荡、静置,下层显紫红色 结合实验,下列说法不正确是( ) A.反应a 为:3+-2+22Fe +2I 2Fe +I ƒ B.II 中,反应a 进行的程度大于反应b C.比较氧化性:II 中,3+2I >Fe D.比较水溶液中2+(Fe ):c II<III10、温度为T 时，向2.0L 恒容密闭容器中充入1.0mol PCl 5，反应PCl 5(g)PCl 3(g)+ Cl 2(g)经过一段时间后达到平衡。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2) 若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 例1 (1)已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a ，1)，D (－a ，0)四点，若直线AB 与直线CD 平行，则a ＝________.答案 3解析 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a3，当2－2a ＝－a ，即a ＝2时，k AB ＝－23，CD 的斜率不存在．∴AB 和CD 不平行；当a ≠2时，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a.由k AB ＝k CD ，得－a 3＝12－a，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0＋13－3＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13，k CD ＝1－04－1＝13，∴AB 与CD 重合．∴当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________． 答案 垂直解析 将点A (4，－1)的坐标代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝－12，则12·l l k k ＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2. 反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直：已知两直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且C 1B 2－C 2B 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 答案 －3(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －1解析 因为直线x ＋my ＋6＝0与(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m m －2＝0，2m ≠6m －2，解得m ＝－1.二、两直线的交点与距离问题1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．例2 (1)若点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 的值为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3答案 C解析 ∵点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，∴|1－a ＋1|2＝322，即|a －2|＝3，解得a ＝－1或a ＝5，∴实数a 的值为－1或5.(2)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 反思感悟跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A ．2 3 B. 2 C ．2 2 D.322答案 D解析 根据a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，可得a ＋b ＝－1，ab ＝－2， ∴a ＝1，b ＝－2或a ＝－2，b ＝1，∴|a －b |＝3， 故两条直线之间的距离d ＝|a －b |2＝32＝322.(2)已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即直线l 过点(1,2)．设点Q (1,2)，因为|PQ |＝1－02＋2－42＝5＞2，所以满足条件的直线l 有2条．故选C.方法二 依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ∈R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.由题意得|12－8λ＋3λ－8|2＋λ2＋3－2λ2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0，故选C.三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 例3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． (1)证明 直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线恒过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交． (2)解 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－64－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.反思感悟 直线与圆问题的类型(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 跟踪训练3 已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l 1的方程．解 (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a ，－a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2， 解得a ＝－2.因为圆心C (－2,0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0， 设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1， 所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 四、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 例4 已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．解 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝－2－42＋2＋22＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练4 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ， B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0解析 AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0. ①求证：两圆相交；②求两圆公共弦所在直线的方程．①证明 圆C 1的方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆C 2的方程可化为x 2＋(y －1)2＝5， ∴C 1(2，－1)，C 2(0,1)，两圆的半径均为5， ∵|C 1C 2|＝2－02＋－1－12＝22∈(0,25)，∴两圆相交．②解 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， (x 2＋y 2－4x ＋2y )－(x 2＋y 2－2y －4)＝0，即x －y －1＝0.1．(2019·天津改编)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相切，则a 的值为________． 答案 34解析 由已知条件可得圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(2,1)，半径为2，由直线和圆相切可得|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34. 2．(2017·北京改编)在平面直角坐标系中，点A 在圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则||AP 的最小值为________． 答案 1解析 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改编)已知点C 在直线l ：x ＝－1上，点F (1,0)，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A . 若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°， 所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3， 所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.4．(2019·江苏改编)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA .规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由． 解 (1)如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为BD ＝12，AC ＝6，所以OH ＝9，直线l 的方程为y ＝9，点A ，B 的纵坐标分别为3，－3. 因为AB 为圆O 的直径，AB ＝10， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.从而A (4,3)，B (－4，－3)，直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为－43，直线PB 的方程为y ＝－43x －253.所以P (－13,9)，|PB |＝－13＋42＋9＋32＝15.所以道路PB 的长为15(百米)．(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (－4,0)，则EO ＝4<5， 所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知D (－4,9)，又A (4,3)， 所以线段AD ：y ＝－34x ＋6(－4≤x ≤4)．在线段AD 上取点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，因为|OM |＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<32＋42＝5，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径． 因此Q 选在D 处也不满足规划要求． 综上，P 和Q 均不能选在D 处．。
第二章 综合训练
第二章综合训练一、填空题.1.建筑结构预定功能包括____________、___________、____________。
2.结构极限状态包括两类，分别是____________、____________。
3.结构上的作用按时间变异分为____________、____________、____________三类。
4.结构和结构构件在规定的时间内，规定的____________，完成预定功能的____________，称为结构的可靠性。
5.结构在规定的时间内，规定的条件下，完成____________的概率，称为结构可靠度。
6.设计基准是为确定可变作用及与时间有关的材料性能及取值而选用的____________。
7.设计使用年限是设计规定的一个期限，在这一规定的时期内，结构或结构构件只需进行____________，而不需进行____________就能按预期目的使用,完成预期的功能。
8.《建筑结构可靠度设计统一标准》根据建筑物的____________，即根据结构破坏可能产生的____________的严重性，将建筑物划分为____________个安全等级。
9.荷载代表值主要有____________、____________、频遇值和____________。
10.钢筋和混凝土的强度设计值由其强度标准值除以相应的____________而得到。
二、单项选择题1．地震力属于（）。
A 永久作用B 可变作用C 偶然作用D 静态作用2．地基的不均匀沉降属于（）。
A 直接作用B 间接作用C 永久荷载D 可变荷载3.抗力是指结构或结构构件具有承受作用效应的( ).A 能力B 承载力C 刚度D 抗裂度4.下列关于永久荷载分项系数的取值的叙述,哪一个是错误的( ).γ取1.2A 可变荷载控制下,Gγ取1.35B 永久荷载控制下,Gγ=1.0C 永久荷载对结构有利时取GD 为保证安全,永久荷载分项系数取值不能小于1.05．结构在规定时间内,在规定的条件下,完成预定功能的概率称为( )。
第二章 2.1 2.1.3 方程组的解集
2.1.3 方程组的解集课标要求素养要求1.了解方程组及其解集的定义.2.掌握求方程组解集的常用方法.3.了解方程组中方程个数、未知数个数对方程组解集的影响.通过求方程组解集，提升数学运算素养.教材知识探究我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________.提示 法一由题意得⎩⎨⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.法二 100－81＝19(只)，81÷3＝27(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元). 因为95－73＝22(元).所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)， 鸡翁：19－11＝8(只).方程组的解集 (1)概念一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集. (2)解法求方程组解集的依据还是等式的性质等，常用的方法是消元法. (3)方程组的解集当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.教材拓展补遗[微判断]1.若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.(√)2.二元方程的解集是无限集.(×)提示 (x －1)2＋(y －1)2＝0的解集为{(x ，y )|(1，1)}. 3.二元一次方程组的解集可能是空集.(√) [微训练]1.若a ＋b ＋5＋|2a －b ＋1|＝0，则(b －a )2 019＝________. 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋5＝0，2a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3.∴(b －a )2 019＝(－3＋2)2 019＝(－1)2 019＝－1. 答案 －12.二元一次方程组⎩⎨⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解集为{(x ，y )|(2，1)}，则2m －n 的算术平方根为________.解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.∴2m －n ＝4，∴2m －n ＝2.答案 23.下列说法正确的是________(填序号).①二元一次方程只有一个解；②二元一次方程组有无数个解；③二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解；④三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成.解析 二元一次方程有无穷多个解，①不正确；二元一次方程组有一个解或无穷多个解或无解，②不正确；由方程组解集的定义知③正确；三元一次方程组中并非每一个方程均为三元一次方程，④不正确. 答案 ③ [微思考]1.常见的消元法有哪两种？ 提示 加减消元和代入消元.2.解二元二次方程组的基本思路是什么？ 提示 “消元”与“降次”.题型一 二元一次方程组解的个数【例1】 已知方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝7，ax ＋2y ＝c ，试确定a ，c 的值，使方程组(1)有一个解；(2)有无数个解；(3)没有解.解 (1)当1×2－a ≠0即a ≠2时，方程组有一个解.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧1×2－a ＝0，1×c －7×2＝0即a ＝2且c ＝14时，方程组有无穷多解.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧1×2－a ＝0，1×c －2×7≠0即a ＝2且c ≠14时，方程组无解.规律方法 对于二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，(1)当A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1＝0(或B 1C 2－B 2C 1＝0)时，有无穷多解. (2)当A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)时，无解. (3)当A 1B 2－A 2B 1≠0时，有唯一解. 特别地，若A 2B 2C 2≠0，则当A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2时，有无穷多解；当A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2时，无解；当A 1A 2≠B 1B 2时，有唯一解.【训练1】 (1)与二元一次方程5x －y ＝2组成的方程组有无数多个解的方程是( ) A.10x ＋2y ＝4 B.4x －y ＝7 C.20x －4y ＝3D.15x －3y ＝6(2)方程组⎩⎨⎧mx ＋my ＝m －3x ，4x ＋10y ＝8，有唯一解，则m 的取值范围是________.解析 (1)满足A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2的方程为15x －3y ＝6.故选D.(2)方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋3）x ＋my －m ＝0，2x ＋5y －4＝0，由题意得m ＋32≠m5，∴m ≠－5.答案 (1)D (2)(－∞，－5)∪(－5，＋∞)题型二 二元(三元)一次方程组的解法【例2】 已知抛物线经过A (－2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C (0，2)三点，求抛物线的表达式.解 法一 设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧0＝4a －2b ＋c ，0＝14a －12b ＋c ，2＝c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5，c ＝2.故抛物线的表达式为y ＝2x 2＋5x ＋2.法二 由题意可设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，把(0，2)代入，得2＝a .∴抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即为y ＝2x 2＋5x ＋2.规律方法 (1)消元法是解二元(三元)一次方程组的基本方法，要根据方程组的特点确定用加减消元法还是用代入消元法. (2)待定系数法是求表达式的常用方法.【训练2】 a ，b ，c 取什么值时，x 3－ax 2＋bx ＋c ＝(x －1)·(x －2)(x －3)恒成立？ 解 ∵(x －1)(x －2)(x －3)＝(x －1)(x 2－5x ＋6)＝x 3－6x 2＋11x －6， ∴要使x 3－ax 2＋bx ＋c ＝x 3－6x 2＋11x －6恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－6，b ＝11，c ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，c ＝－6. 题型三 求二元二次方程组的解集 【例3】 求下列方程组的解集： (1)⎩⎨⎧y ＝x ＋1，①x 2＋y 2＝13；②(2)⎩⎨⎧x 2＋xy －2y 2＝0，x 2＋2xy ＋y 2－x －y －2＝0. 解 (1)把①代入②得x 2＋(x ＋1)2＝13， 整理得x 2＋x －6＝0，解得x 1＝－3，x 2＝2. 把x 1＝－3代入①，得y 1＝－2， 把x 2＝2代入①，得y 2＝3，所以原方程组的解集为{(x ，y )|(－3，－2)，(2，3)}. (2)方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋2y ）＝0，（x ＋y －2）（x ＋y ＋1）＝0，即为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x ＋y －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x ＋y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|（1，1），⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，（4，－2），（－2，1）.规律方法 1.对形如⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，Dx 2＋Exy ＋Fy 2＋Gx ＋Hy ＋K ＝0的方程组可用代入法.2.对形如⎩⎪⎨⎪⎧A 1x 2＋B 1xy ＋C 1y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，A 2x 2＋B 2xy ＋C 2y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的方程组可通过“降次”转化为1中的形式求解.【训练3】 求下列方程组的解集：(1)⎩⎨⎧x ＋y ＝7，xy ＝12； (2)⎩⎨⎧x 2－4xy ＋4y 2＋x －2y －2＝0，3x ＋2y －11＝0.解 (1)法一 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，①xy ＝12，②由①得，y ＝7－x ，代入②整理得，x 2－7x ＋12＝0.解得x 1＝3或x 2＝4，分别代入①得y 1＝4或y 2＝3， ∴方程组的解集为{(x ，y )|(3，4)，(4，3)}.法二 由题意知x ，y 是方程z 2－7z ＋12＝0的两根， 即为(z －3)(z －4)＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.∴原方程组的解集为{(x ，y )|(3，4)，(4，3)}.(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4xy ＋4y 2＋x －2y －2＝0 ①3x ＋2y －11＝0 ②中，①可化为(x －2y )2＋(x －2y )－2＝0，即(x －2y ＋2)(x －2y －1)＝0. ∴x －2y ＋2＝0或x －2y －1＝0.原方程组等价于(ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，3x ＋2y －11＝0或(ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝0，3x ＋2y －11＝0，由(ⅰ)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝178，由(ⅱ)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫94，178，（3，1）.一、素养落地1.通过求方程的解集提升数学运算素养.2.消元与降次是求方程组解集的基本方法. 二、素养训练1.某年级学生共有246人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的是( ) A.⎩⎨⎧x ＋y ＝246，2y ＝x －2 B.⎩⎨⎧x ＋y ＝246，2x ＝y ＋2 C.⎩⎨⎧x ＋y ＝246，y ＝2x ＋2D.⎩⎨⎧x ＋y ＝246，2y ＝x ＋2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝246，y ＝2x －2.答案 B2.三个二元一次方程2x ＋5y －6＝0，3x －2y －9＝0，y ＝kx －9有公共解的条件是k ＝( ) A.4 B.3 C.2D.1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y －6＝0，3x －2y －9＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，代入y ＝kx －9，得0＝3k －9.∴k ＝3.答案 B3.已知a －3b ＝2a ＋b －15＝1，则代数式a 2－4ab ＋b 2＋3的值为________. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝1，2a ＋b －15＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝2，∴a 2－4ab ＋b 2＋3＝72－4×7×2＋22＋3＝0. 答案 04.从方程组⎩⎨⎧4x －3y －3z ＝0，x －3y ＋z ＝0(xyz ≠0)中，可得x z ＝________，yz ＝________.解析 方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝3z ，x －3y ＝－z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43z ，y ＝79z .∴x z ＝43，y z ＝79. 答案 43 795.求方程组⎩⎨⎧4x 2－9y 2＝15，2x －3y ＝5的解集.解 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－9y 2＝15①2x －3y ＝5②，①式可化为(2x －3y )(2x ＋3y )＝15.③把②代入③，易得2x ＋3y ＝3，于是原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝3，2x －3y ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－13.所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎝ ⎛2，－13.基础达标一、选择题1.下列方程组中，只有一个解的是( ) A.⎩⎨⎧x ＋y ＝1，3x ＋3y ＝0 B.⎩⎨⎧x ＋y ＝0，3x ＋3y ＝－2C.⎩⎨⎧x ＋y ＝1，3x －3y ＝4 D.⎩⎨⎧x ＋y ＝1，3x ＋3y ＝3解析 A 、B 无解，D 有无穷多解，C 只有一个解. 答案 C2.如果⎩⎨⎧x －y ＝a ，3x ＋2y ＝4的解是正数，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝a ，3x ＋2y ＝4解得⎩⎨⎧x ＝4＋2a 5，y ＝4－3a 5.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＞0，4－3a ＞0，解得－2＜a ＜43. 答案 C3.已知方程组⎩⎨⎧x －y ＝5，ax ＋3y ＝b －1有无数多个解，则a ，b 的值分别为( )A.a ＝－3，b ＝－14B.a ＝3，b ＝－7C.a ＝－1，b ＝9D.a ＝－3，b ＝14解析 检验满足a 1＝3－1＝b －15的只有a ＝－3，b ＝－14.答案 A4.已知⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2与⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－5都是方程y ＝kx ＋b 的解，则k 与b 的值分别为( )A.k ＝12，b ＝－4 B.k ＝－12，b ＝4 C.k ＝12，b ＝4D.k ＝－12，b ＝－4解析 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－5，分别代入y ＝kx ＋b ，得－2＝4k ＋b ①，－5＝－2k＋b ②.解①②组成的方程组得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝－4.答案 A5.关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m的解是方程3x ＋2y ＝34的一组解，那么m 的A.2B.－1C.1D.－2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7m ，y ＝－2m ，代入3x ＋2y ＝34可解得m ＝2. 答案 A二、填空题6.已知方程12x ＋3y ＝5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为⎩⎨⎧x ＝4，y ＝1，这个方程可以是________. 解析 设所写出的二元一次方程为y ＝kx ＋b (k ≠0).把(4，1)代入y ＝kx ＋b ，得1＝4k ＋b ，令b ＝0，则k ＝14，∴这个方程可以是y ＝14x ，即x －4y ＝0.答案 x －4y ＝0(答案不唯一)7.关于x ，y 的方程3kx ＋2y ＝6k －3，对于任何k 的值都有相同的解，则方程的解集为________.解析 方程可化为k (3x －6)＋2y ＋3＝0，由题意⎩⎪⎨⎪⎧3x －6＝0，2y ＋3＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－32.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32 8.方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝a ，xy ＝b 的一个解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，那么这个方程组的另一个解是________. 解析 由题意，得a ＝5，b ＝6，x ，y 是方程z 2－5z ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.答案 ⎩⎨⎧x ＝3，y ＝29.在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时y ＝－7，当x ＝1时，y ＝－9，当x ＝－1时y ＝－3，求a ，b ，c 的值.解把(0，－7)，(1，－9)，(－1，－3)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－7＝c ，－9＝a ＋b ＋c ，－3＝a －b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝－7.10.已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝10，ax ＋by ＝1与方程组⎩⎨⎧bx ＋ay ＝6，2x －y ＝5有相同的解，求出这个解及a ，b 的值.解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝10，2x －y ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，即为方程组的解，把它代入ax ＋by ＝1及bx ＋ay ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋3b ＝1，3a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3.能力提升11.已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧3x －4y ＝5①，5x －6y ＝－9②，（n －8m ）x －8y ＝10③，5x ＋（10m ＋2n ）y ＝－9④有解，求m 2＋n 2的值. 解 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝5，5x －6y ＝－9解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－26，代入③④得 ⎩⎪⎨⎪⎧（n －8m ）×（－33）＋8×26＝10，5×（－33）＋（10m ＋2n ）×（－26）＝－9.即⎩⎪⎨⎪⎧n －8m ＝6，n ＋5m ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－913，n ＝613.∴m 2＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－9132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6132＝117169. 12.求下列方程组的解集：(1)⎩⎨⎧3x ＋y －2z ＝2，2y ＋3z ＝0，2x －y ＋z ＝11. (2)⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，y 2＋z 2＝4，z 2＋x 2＝5. (3)⎩⎨⎧x 2－5xy ＋6y 2＝3，x －2y ＝1.解(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －2z ＝2①，2y ＋3z ＝0②，2x －y ＋z ＝11③，①×2－③×3，得5y －7z ＝－29④，解由②④组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋3z ＝0，5y －7z ＝－29得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，z ＝2.把y ＝－3，z ＝2代入①得，3x －3－2×2＝2，∴x ＝3.∴原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(3，－3，2)}.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3①，y 2＋z 2＝4②，z 2＋x 2＝5③，①＋②＋③得2(x 2＋y 2＋z 2)＝12，即x 2＋y 2＋z 2＝6④，④－①得z 2＝3，∴z ＝±3，④－②得x 2＝2，∴x ＝±2，④－③得y 2＝1，∴y ＝±1.∴原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(2，1，3)，(－2，1，3)，(2，－1，3)，(2，1，－3)，(－2，－1，3)，(－2，1，－3)，(2，－1，－3)， (－2，－1，－3)}.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5xy ＋6y 2＝3①，x －2y ＝1②，由①得(x －2y )(x －3y )＝3，把②代入上式，得x －3y ＝3③，故原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1，x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，∴原方程组的解集为{(x ，y )|(－3，－2)}.。
2022届高考语文二轮复习精准突破测试题：第二章 文学类文本阅读训练 专题三 Word版含答案
专题三精准理解散文中重要词句的内涵一、阅读下面的文字，完成文后题目。
暮雨乡愁张清华①一个人在外面待得久了，方知古人在诗歌里所写的那些思乡的愁绪，并非尽是“强说”的装饰之辞。
平林漠漠烟如织，寒山一带难过碧。
日暮时分，烟波江上的愁思不知不觉地就布满开来。
海德堡冬日的白昼格外短促，刚刚还是中午，一转瞬就到了黄昏。
薄暮乍起，惨淡的云如烟如雾地浮起来，涅卡河边的那些形体巨大的柳树在冷风中瑟缩着它们的枝条，几天前还挂满了深黄的枯叶，而今已如此寥落，还有那些枝条如乱箭般高插云霄的杨树，在冬日的天空下也显得格外苍凉凄楚。
这些带着东方颜色的草木，好像特殊能够勾起人思乡的情怀。
还有河边的那群大雁，它们散落在草地上，整理着羽毛，在风中发着咕咕的悲鸣，看样子这个冬天它们是不预备离开这里了。
眼前的这一切明明是典型的中国式的、在那么多古典诗词里被反复吟咏描画过的意境，而今却原封不动地搬到了迢迢万里的西洋夷域，怎不让人生出人面桃花、物是人非的莫名心绪。
②人们总是把乡愁简洁地理解为对家的依恋或对故地的追忆，其实这样的理解未免太狭隘了。
事实上，乡愁是一种真正的无望，一种生命里同来俱在的愁思。
愁不是空间的，而是时间的，它的方向是遥远的过去；乡愁不是恋物，而是自恋，它所牵挂的不是那片事实上经常显得很抽象的祖居之地，而是哀伤自己的生命与韶光。
古往今来那么多思乡的诗篇，细细想来，原来都是歌者在哀叹岁月的逝水对自己的无情抛掷。
海德格尔说：“家乡处于大地的中心。
”看起来这是一个空间的理念，但细想这家乡仍不过是指人“长大的地方”，由于那里印下了稚儿的脚印，他的生命中最初和最美的部分抛洒在了那里。
生命的家宅，记忆的归宿，稚儿离开了那里，是由于童年那奇特的时间已挥手远去，他已踏上被命运抛离的注定远游他乡的不归途！这真真正正是永世的分别，便是“去年今日此门中，人面桃花相映红”的情景，一旦你回来追寻，也早已是“上穷碧落下黄泉，两处茫茫皆不见”的难过之地。
2021届浙江省数学学案第二章第3节基本不等式ab≤a+b2含解析
2021届浙江省高考数学一轮学案：第二章第3节基本不等式：ab≤a＋b2含解析第3节基本不等式：错误!≤错误!考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
知识梳理1.基本不等式：错误!≤错误!（1）基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件:当且仅当a＝b时取等号。
(3）其中错误!称为正数a，b的算术平均数，错误!称为正数a，b的几何平均数。
2.几个重要的不等式（1)a2＋b2≥2ab（a,b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2）ab≤错误!错误!(a，b∈R),当且仅当a＝b时取等号。
（3)错误!≥错误!错误!(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号。
（4）错误!＋错误!≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2错误!(简记：积定和最小）。
(2)如果和x＋y是定值s,那么当且仅当x＝y时,xy有最大值是错误!（简记：和定积最大)。
［常用结论与易错提醒]1。
对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤错误!错误!≤错误!，错误!≤错误!≤错误!（a〉0,b〉0）等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2。
使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可。
3。
连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致。
4。
基本不等式的一般形式：错误!(a1＋a2＋a3＋…＋a n）≥错误!（其中a1,a2，a3，…,a n∈(0，＋∞)，当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝a n时等号成立）。
诊断自测1。
判断下列说法的正误。
(1）当a≥0，b≥0时，错误!≥错误!。
（)(2）两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥错误!成立的条件是相同的。
（）（3）函数y＝x＋错误!的最小值是2。
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训练3化学平衡状态
[基础过关]
一、化学平衡状态的建立与特征
1．在一定条件下，使NO和O2在一密闭容器中进行反应，下列说法中不正确的是() A．反应开始时，正反应速率最大，逆反应速率为零
B．随着反应的进行，正反应速率逐渐减小，最后为零
C．随着反应的进行，逆反应速率逐渐增大，最后不变
D．随着反应的进行，正反应速率逐渐减小，最后不变
2．哈伯因发明了由氮气和氢气合成氨气的方法而获得1918年诺贝尔化学奖。
现向一密闭容器中充入1 mol N2和3 mol H2，在一定条件下使该反应发生：N2＋3H2高温、高压
2NH3，
催化剂下列有关说法正确的是() A．达到化学平衡时，N2将完全转化为氨
B．达到化学平衡时，N2、H2和NH3的物质的量浓度一定相等
C．达到化学平衡时，N2、H2和NH3的物质的量浓度不再变化
D．达到化学平衡时，正、逆反应速率都为零
3．14CO2与碳在高温条件下发生反应：14CO2＋C2CO，达到平衡后，平衡混合物中含14C的粒子有() A．14CO2B．14CO2、14CO
C．14CO2、14CO、14C D．14CO
4．在密闭容器中进行反应X2(g)＋Y2(g)2Z(g)，已知X2、Y2、Z的起始浓度分别为0.1 mol·L －1、0.2 mol·L－1、0.2 mol·L－1，在一定条件下，当反应达到平衡时，各物质的浓度有可能是() A．Z为0.2 mol·L－1
B．Y2为0.35 mol·L－1
C．X2为0.3 mol·L－1
D．Z为0.4 mol·L－1
二、化学平衡状态的判断
5．在一定温度下，向a L密闭容器中加入1 mol O2和2 mol NO，发生如下反应：O2(g)＋2NO(g)2NO2(g)，此反应不一定达平衡的是() A．容器内压强不随时间变化
B．容器内各物质的浓度不随时间变化
C．容器内O2、NO、NO2的浓度之比为1∶2∶2
D．单位时间内生成1 mol O===O，同时生成2 mol NO2
6．可逆反应N2＋3H22NH3的正、逆反应速率可用各反应物或生成物浓度的变化来表示。
下列各关系中能说明反应已达到平衡状态的是()
A．3v正(N2)＝v正(H2)
B．v正(N2)＝v逆(NH3)
C．2v正(H2)＝3v逆(NH3)
D．v正(N2)＝3v逆(H2)
7．一定条件下，在体积为1 L的密闭容器中，1 mol X和1 mol Y进行反应：2X(g)＋Y(g)Z(g)，下列叙述能证明该反应已达到化学平衡状态的是() A．X的百分含量不再发生变化
B．c(X)∶c(Y)∶c(Z)＝2∶1∶1
C．容器内原子总数不再发生变化
D．同一时间内消耗2n mol X的同时生成n mol Z
8．恒温恒容的情况下，反应A2(g)＋B2(g)2AB(g)达到平衡状态的标志是() A．容器内气体的密度不随时间而变化
B．容器内的总压强不随时间而变化
C．单位时间内生成2n mol AB的同时，生成n mol的B2
D．A2、B2、AB的反应速率比为1∶1∶2的状态
9．下列说法中，可以证明反应N2＋3H22NH3已达到平衡状态的是()
①1个N≡N键断裂的同时有3个H—H键形成
②N2、H2、NH3的分子数之比为1∶3∶2
③1个N≡N键断裂的同时有6个N—H键形成
④N2、H2、NH3的浓度不再变化
A．①④B．②③C．①③D．②④
[能力提升]
10．在两个恒容的密闭容器中进行下列两个可逆反应：
甲：C(s)＋H2O(g)CO(g)＋H2(g)；
乙：CO(g)＋H2O(g)CO2(g)＋H2(g)
现有下列状态：①混合气体平均相对分子质量不再改变
②恒温时，气体压强不再改变③各气体组成浓度相等
④反应体系中温度保持不变⑤断裂氢氧键速率是断裂氢氢键速率的2倍⑥混合气
体密度不变⑦单位时间内，消耗水蒸气质量与生成氢气质量比为9∶1
其中能表明甲、乙容器中反应都达到平衡状态的是() A．①②⑤B．③④⑥C．⑥⑦D．④⑤
11．在一定条件下，可逆反应A2(g)＋B2(g)2C(g)达到平衡时，各物质的平衡浓度c(A2)＝0.5 mol·L－1、c(B2)＝0.1 mol·L－1、c(C)＝1.6 mol·L－1，若用a、b、c分别表示A2、B2、C的初始浓度(mol·L－1)，则：
(1)a、b应满足的关系是___________________________________________________；
(2)a的取值范围是________________________________________________________。
12．一定温度下，在2 L的恒容密闭容器内发生的反应中M、N的物质的量随反应时间变化的曲线如图所示。
请回答下列问题：
(1)该反应的化学方程式为_________________________________________________。
(2)在t2时刻存在的等量关系是______________，此时反应是否达到化学平衡状态？
________(填“是”或“否”)。
(3)在t3时刻v正________v逆(填“>”、“<”或“＝”)，理由是________________。
[拓展探究]
13．698 K时，向V L的密闭容器中充入2 mol H2(g)和2 mol I2(g)，发生反应：H2(g)＋I2(g)2HI(g)ΔH＝－26.5 kJ·mol－1，测得各物质的物质的量浓度与时间变化的关系如图所示。
请回答下列问题：
(1)V＝__________。
(2)该反应达到最大限度的时间是________，该时间内平均反应速率v(HI)＝
______________。
(3)该反应达到平衡状态时，________(填“吸收”或“放出”)的热量为__________。