七年级下册第一单元《平行线》探究题

七年级下册第一单元《平行线》探究题一．解答题（共15小题）1．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为；②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．2．已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2=；（2）∠1+∠2+∠3=；（3）∠1+∠2+∠3+∠4=；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=．3．如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．4．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．5．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC=70°．（1）求∠EDC的度数；（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．6．已知直线l1∥l2，点A是l1上的动点，点B在l1上，点C、D在l2上，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E（不与点B，D重合）．（1）若点A在点B的左侧，∠ABC=80°，∠ADC=60°，过点E作EF∥l1，如图①所示，求∠BED的度数．（2）若点A在点B的左侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图②所示，求∠BED的度数；（直接写出计算的结果）（3）若点A在点B的右侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图③所示，求∠BED的度数．7．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d 与直线a、b分别相交于A、B两点．（1）如图1，当点P在线段AB上（不与A、B两点重合）运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为．8．如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）①∠ABN的度数是；②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠；（2）求∠CBD的度数；（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（4）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是．9．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45（1）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图②，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角尺OMN绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边MN恰好与边CD平行；在第秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）10．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．（1）如图（1），当动点P落在第①部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是（1）如图（2），当动点P落在第②部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是（3）如图（3），当动点P落在第③部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是（4）选择以上一种结论加以证明．11．如图1，将两根笔直细木板MN、EF用图钉固定并平行摆放，将一根橡皮筋拉直后用图钉分别固定在MN、EF上，橡皮筋的两端点分别记为点A、点B．（1）图1中，若∠1=110°，则∠2=度．（直接写出结果，不需说理）（2）P为橡皮筋上一点，利用橡皮筋的弹性拉动橡皮筋，使A、P、B三点不在同一直线上，然后用图钉固定点P．①如图2，若点P在两细木棒所在直线之间，且∠1+∠2=90°，试判断线段AP与BP所在直线的位置关系，并说明理由；②如图3，若点P在两细木棒所在直线的同侧，且∠1+∠2=90°，∠APB=28°，试求∠1、∠2的度数．（3）P1、P2为AB上两点，拉动橡皮筋并固定如图4，若∠1+∠2=90°，则∠AP1P2+∠BP2P1=度．（直接写出结果，不需说理）12．已知，如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明（温馨提示：添加适当辅助线）（1）在图1中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：．（2）在图2中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：．（3）在图3中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：．（4）在图4中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：．（5）在图中，求证：．13．学习平行线性质后，老师让学生完成教材第135页练习中第2题，并针对这道题做深入的探究，看有什么新发现：题目：如图，AB∥DE，BC∥EF．求证：∠B=∠E．下面是小明和小红探究完成这道题的过程．请补充完整：（1）小明发现，利用平行线性质，这道题很容易证明．小明利用的平行线性质可能是．（2）小红说她的方法和小明的不一样，小红利用的平行线性质可能是．（3）继续探究后，小明说：“我发现这道题可以用文字语言这样叙述：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．”小红针对小明的叙述做深入探究后说：“针对这道题你的说法是对的，因为这道题给出了图形，如果没有给出图形，你说的“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等是不准确的，我发现它还存在另外一种情况．”你认为小红的说法是否正确？若正确，请就小红说的“还存在另外一种情况”画出图形，给出证明，并补充修改小明给出的文字语言叙述．若不正确，请说明理由．14．已知，如图，l1∥l2．（1）如图1，过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的等量关系是：∠APB=∠A+∠B．（2）如图2，请你写出∠APB，∠A，∠B之间的等量关系，并证明．（3）如图3，请你直接写出∠P1，∠P2，∠P3，∠P4，∠P5之间的等量关系为：．15．几何问题中，当图形的位置改变时，与之相关的某些数量关系也会随之发生变化，完成探究：（1）若AB∥CD，同一平面内另一点E在AB与CD之间时，如图1，求证：∠B+∠D=∠E；（2）若AB∥CD，同一平面内另一点E在AB的上面时，如图2，试探究∠B，∠D，∠E之间的关系式并证明你的结论；（3）若AB∥CD，同一平面内另一点E在CD的下面时，如图3，直接写出∠B，∠D，∠E之间的关系式；（4）若AB∥CD，同一平面内另一点E在AB与CD之间时，如图4，直接写出∠B、∠D、∠E之间的关系式．七年级下册第一单元《平行线》探究题参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．（2016春•周口期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为135°；②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①首先计算出∠DCB的度数，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先计算出∠DCB的度数，再计算出∠DCE即可；（2）根据（1）中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根据图中的角的和差关系进行推理即可；（3）根据平行线的判定方法可得．【解答】解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=45°，∴∠DCB=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°，故答案为：135°；②∵∠ACB=140°，∠ACD=90°，∴∠DCB=140°﹣90°=50°，∴∠DCE=90°﹣50°=40°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；（3）存在，当∠ACE=30°时，AD∥BC，当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，当∠ACE=120°时，AD∥CE，当∠ACE=135°时，BE∥CD，当∠ACE=165°时，BE∥AD．【点评】此题主要考查了角的计算，以及平行线的判定，关键是理清图中角的和差关系．2．（2016春•乐业县期末）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2=180°；（2）∠1+∠2+∠3=360°；（3）∠1+∠2+∠3+∠4=540°；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n﹣1）180°．【分析】（1）中，根据两条直线平行，同旁内角互补作答；（2）过点E作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；（3）分别过点E，F作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；（4）同样作辅助线，运用（n﹣1）次平行线的性质，则n个角的和是（n﹣1）180°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°；∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°；（4）中，根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．【点评】注意此类题要构造平行线，运用平行线的性质进行解决．3．（2016春•广水市期末）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=∠AOC，计算即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE=∠EOF，∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠FOB=∠AOB，∴∠FOB=∠OBC，∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，∴∠COE=∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．4．（2016春•大同期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，可得：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2．（2）关系：∠3=∠2﹣∠1；过P作直线PQ∥l1∥l2，则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，∴∠3=∠2﹣∠1．（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1∥l2；同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．5．（2016春•吴中区校级期末）AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC=70°．（1）求∠EDC的度数；（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠EDC=∠ADC，然后代入数据计算即可得解；（2）根据角平分线的定义表示出∠CBE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCD=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可；（3）根据角平分线的定义求出∠ADE、∠ABE，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°，∴∠EDC=∠ADC=35°；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABC=n°，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=n°，∴∠CBE+∠BED=∠EDC+∠BCD，即n°+∠BED=35°+n°，解得∠BED=35°+n°；（3）如图，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠ADC=35°，∠ABE=∠ABC=n°，∵AB∥CD，∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣70°=110°，在四边形ADEB中，∠BED=360°﹣110°﹣35°﹣n°=215°﹣n°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．（2016春•大冶市期末）已知直线l1∥l2，点A是l1上的动点，点B在l1上，点C、D在l2上，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E（不与点B，D重合）．（1）若点A在点B的左侧，∠ABC=80°，∠ADC=60°，过点E作EF∥l1，如图①所示，求∠BED的度数．（2）若点A在点B的左侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图②所示，求∠BED的度数；（直接写出计算的结果）（3）若点A在点B的右侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图③所示，求∠BED的度数．【分析】（1）根据BE、DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，得出∠ABE=∠ABC，∠CDE=∠ADC，再由平行线的性质得出∠BEF=∠ABE，同理可得出∠DEF=∠CDE，再由∠BED=∠BEF+∠DEF即可得出结论；（2）过点E作EF∥AB，同（1）的证明过程完全相同；（3）过点E作EF∥L1，根据BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线可知∠ABE=∠ABC=α°，∠CDE=∠ADC，再由EF∥L1可知∠BEF=（180﹣α）°．根据L1∥L2可知EF∥L2，故∠DEF=∠CDE=30°，所以∠BED=∠BEF+∠DEF．【解答】解：（1）∵BE、DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠ABE=∠ABC=×80°=40°，∠CDE=∠ADC=×60°=30°．∵EF∥L1，∴∠BEF=∠ABE=40°．∵L1∥L2∴EF∥L2∴∠DEF=∠CDE=30°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=40°+30°=70°；（2）BE、DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠ABE=∠ABC=α°，∠CDE=∠ADC=×60°=30°．∵EF∥L1，∴∠BEF=∠ABE=α°．∵L1∥L2，∴EF∥L2，∴∠DEF=∠CDE=30°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=α°+30°，即∠BED=（α+30）°；（3）过点E作EF∥L1，∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，∴∠ABE=∠ABC=α°，∠CDE=∠ADC=×60°=30°．∵EF∥L1，∴∠BEF=（180﹣α）°．又∵L1∥L2∴EF∥L2∴∠DEF=∠CDE=30°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=（180﹣α+30）°=（210﹣α）°．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线，再由平行线的性质及三角形外角的性质即可得出结论．7．（2016春•高阳县期末）已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点．（1）如图1，当点P在线段AB上（不与A、B两点重合）运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为∠1=∠2+∠3；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为∠2=∠1+∠3．【分析】（1）过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行解题；（2）过点P作b的平行线PE，由平行线的性质可得出a∥b∥PE，由此即可得出结论；（3）设直线AC与DP交于点F，由三角形外角的性质可得出∠1+∠3=∠PFA，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥a，则∠1=∠CPE．∵a∥b，PE∥a，∴PE∥b，∴∠2=∠DPE，∴∠3=∠1+∠2；（2）如图2，过点P作PE∥b，则∠2=∠EPD，∵直线a∥b，∴a∥PE，∴∠1=∠3+∠EPD，即∠1=∠2+∠3．故答案为：∠1=∠2+∠3；（3）如图3，设直线AC与DP交于点F，∵∠PFA是△PCF的外角，∴∠PFA=∠1+∠3，∵a∥b，∴∠2=∠PFA，即∠2=∠1+∠3．故答案为：∠2=∠1+∠3．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线，利用平行线的性质解答是解答此题的关键．8．（2016秋•德惠市期末）如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）①∠ABN的度数是120°；②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN；（2）求∠CBD的度数；（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（4）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是30°．【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得；（2）由（1）知∠ABP+∠PBN=120°，再根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=120°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB=2：1；（4）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根据∠ABN=120°，∠CBD=60°可得答案．【解答】解：（1）①∵AM∥BN，∠A=60°，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=120°；②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，故答案为：120°，∠CBN；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∴∠ABN=180°﹣60°=120°，∴∠ABP+∠PBN=120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=120°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；（3）不变，∠APB：∠ADB=2：1．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB：∠ADB=2：1；（4）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，由（1）可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，∴∠ABC+∠DBN=60°，∴∠ABC=30°，故答案为：30°．【点评】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．（2016春•万州区期末）如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45（1）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图②，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角尺OMN绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第5或17秒时，边MN恰好与边CD平行；在第11或23秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；（2）作出图形，然后分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转角÷速度计算即可得解．【解答】解：（1）∵∠BON=∠N=30°，∴MN∥BC，∴∠CEN=180°﹣∠DCO=180°﹣45°=135°；（2）如图，MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）=75°，或270°﹣（60°﹣45°）=255°，所以，t=75°÷15°=5秒，或t=255°÷15°=17秒；MN⊥CD时，旋转角为90°+（180°﹣60°﹣45°）=165°，或360°﹣（60°﹣45°）=345°，所以，t=165°÷15°=11秒，或t=345°÷15°=23秒．故答案为：5或17；11或23．【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键在于（3）分情况讨论，作出图形更形象直观．10．（2016春•孝南区期末）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．（1）如图（1），当动点P落在第①部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是∠PAC+∠APB+∠PBD=360°（1）如图（2），当动点P落在第②部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是∠PAC+∠PBD=∠APB（3）如图（3），当动点P落在第③部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是∠PAC=∠APB+∠PBD（4）选择以上一种结论加以证明．【分析】（1）过点P作PE∥AC，根据平行线的性质即可得出结论；（2）过点P作PE∥AC，根据AC∥PE可得出∠APE=∠CAP，再由PE∥BD可得出∠EPB=∠PBD，故可得出结论；（3）延长BA，由三角形外角的性质可得出∠PBD=∠PBA+∠ABD，∠PAC=∠PAF+∠CAF，再由平行线的性质得出∠ABD=∠CAF，进而可得出结论；（4）证明（1）即可．【解答】解：（1）如图（1），过点P作PE∥AC，则∠PAC+∠APE=180°．∵AC∥BD，∴PE∥BD，∴∠BPE+∠PBD=180°，∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．故答案为：∠PAC+∠APB+∠PBD=360°；（2）如图（2），过点P作PE∥AC，则∠APE=∠CAP，∵AC∥BD，PE∥AC，∴PE∥BD，∴∠EPB=∠PBD，∴∠PAC+∠PBD=∠APB．故答案为：∠PAC+∠PBD=∠APB；（3）如图（3），延长BA，则∠PBD=∠PBA+∠ABD，∠PAC=∠PAF+∠CAF，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CAF，∴∠PAC﹣∠PBD=∠PAF﹣∠PBA，而∠PBA+∠APB=∠PAF，∴∠APB=∠PAC﹣∠PBD，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．故答案为：∠PAC=∠APB+∠PBD；（4）例如（1），过点P作PE∥AC，则∠PAC+∠APE=180°．∵AC∥BD，∴PE∥BD，∴∠BPE+∠PBD=180°，∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线，利用平行线的性质求解是解答此题的关键．11．（2016春•宿迁校级期末）如图1，将两根笔直细木板MN、EF用图钉固定并平行摆放，将一根橡皮筋拉直后用图钉分别固定在MN、EF上，橡皮筋的两端点分别记为点A、点B．（1）图1中，若∠1=110°，则∠2=70度．（直接写出结果，不需说理）（2）P为橡皮筋上一点，利用橡皮筋的弹性拉动橡皮筋，使A、P、B三点不在同一直线上，然后用图钉固定点P．①如图2，若点P在两细木棒所在直线之间，且∠1+∠2=90°，试判断线段AP与BP所在直线的位置关系，并说明理由；②如图3，若点P在两细木棒所在直线的同侧，且∠1+∠2=90°，∠APB=28°，试求∠1、∠2的度数．（3）P1、P2为AB上两点，拉动橡皮筋并固定如图4，若∠1+∠2=90°，则∠AP1P2+∠BP2P1=270度．（直接写出结果，不需说理）【分析】（1）根据MN∥EF即可得出∠1+∠2=180°，结合∠1=110°即可求出∠2的度数；（2）①过点P作PC∥MN，根据MN∥EF即可得出PC∥MN∥EF，进而得出∠APC=∠1，∠BPC=∠2，再根据角与角之间的关系即可得出∠APB=∠1+∠2=90°，由此即可得出AP⊥BP；②过点P作PD∥MN，同理可得出∠APC=∠1，∠BPC=∠2，根据角与角之间的关系即可得出∠APB=∠2﹣∠1=28°，再结合∠1+∠2=90°，即可求出∠1、∠2的度数；（3）过点P1作P1C∥MN，过点P2作P2D∥MN，由MN∥EF即可得出P1C∥MN ∥EF∥P2D，从而可得出∠1=∠AP1C，∠2=∠BP2D，∠CP1P2+∠DP2P1=180°，再根据角与角之间的关系即可算出∠AP1P2+∠BP2P1的度数．【解答】解：（1）∵MN∥EF，∴∠1+∠2=180°，∵∠1=110°，∴∠2=70°．故答案为：70．（2）①AP⊥BP，理由如下：在图2中，过点P作PC∥MN，∵MN∥EF，∴PC∥MN∥EF，∴∠APC=∠1，∠BPC=∠2．∵∠APB=∠APC+∠BPC，∠1+∠2=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BP．②在图3中，过点P作PD∥MN，∵MN∥EF，∴PD∥MN∥EF，∴∠DPA=∠1，∠DPB=∠2，∴∠APB=∠DPB﹣∠DPA=∠2﹣∠1=28°．又∵∠1+∠2=90°，∴∠1=31°，∠2=59°．（3）在图4中，过点P1作P1C∥MN，过点P2作P2D∥MN，∵MN∥EF，∴P1C∥MN∥EF∥P2D，∴∠1=∠AP1C，∠2=∠BP2D，∠CP1P2+∠DP2P1=180°．又∵∠1+∠2=90°，∴∠AP1P2+∠BP2P1=∠AP1C+∠CP1P2+∠BP2D+∠DP2P1=（∠AP1C+∠BP2D）+（∠CP1P2+∠DP2P1）=90°+180°=270°．故答案为：270．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是：（1）找出∠1+∠2=180°；（2）①求出∠APB=∠1+∠2=90°；②找出∠APB=∠2﹣∠1=28°；（3）根据平行线的性质找出∠1=∠AP1C，∠2=∠BP2D，∠CP1P2+∠DP2P1=180°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或）互补的角是关键．12．（2016春•建昌县期末）已知，如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明（温馨提示：添加适当辅助线）（1）在图1中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．（2）在图2中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：∠APC=∠PAB+∠PCD．（3）在图3中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：∠PAB=∠APC+∠PCD．（4）在图4中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：∠PCD=∠APC+∠PAB．（5）在图2中，求证：∠APC=∠PAB+∠PCD．【分析】（1）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；（3）由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；（4）由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PAB=∠APC+∠PCD；（4）∠PCD=∠APC+∠PAB．（5）在图2中，求证：∠APC=∠PAB+∠PCD．证明：过P点作PE∥AB，∴∠1=∠PAB．又∵AB∥CD，PE∥CD，∴∠2=∠PCD，∴∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，而∠APC=∠1+∠2，∴∠APC=∠PAB+∠PCD．故答案为：（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PAB=∠APC+∠PCD；（4）∠PCD=∠APC+∠PAB．（5）在图2中，求证：∠APC=∠PAB+∠PCD．【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．13．（2016春•怀柔区期末）学习平行线性质后，老师让学生完成教材第135页练习中第2题，并针对这道题做深入的探究，看有什么新发现：题目：如图，AB∥DE，BC∥EF．求证：∠B=∠E．下面是小明和小红探究完成这道题的过程．请补充完整：（1）小明发现，利用平行线性质，这道题很容易证明．小明利用的平行线性质可能是两直线平行，内错角相等（答案不唯一）．（2）小红说她的方法和小明的不一样，小红利用的平行线性质可能是两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．（3）继续探究后，小明说：“我发现这道题可以用文字语言这样叙述：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．”小红针对小明的叙述做深入探究后说：“针对这道题你的说法是对的，因为这道题给出了图形，如果没有给出图形，你说的“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等是不准确的，我发现它还存在另外一种情况．”你认为小红的说法是否正确？若正确，请就小红说的“还存在另外一种情况”画出图形，给出证明，并补充修改小明给出的文字语言叙述．若不正确，请说明理由．【分析】（1）、（2）根据平行线的性质即可得出结论；（3）根据题意画出图形，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）两直线平行，内错角相等（答案不唯一）．（2）两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．（3）小红的说法正确，另外一种情况如图所示：证明：∵AB∥CD，∴∠B+∠CMB=180°．∵BE∥DF，∴∠CMB=∠D，∴∠B+∠D=180°．补充修改小明的文字语言叙述为：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的基本性质是解答此题的关键．14．（2016春•昌平区期末）已知，如图，l1∥l2．（1）如图1，过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的等量关系是：∠APB=∠A+∠B．（2）如图2，请你写出∠APB，∠A，∠B之间的等量关系，并证明．（3）如图3，请你直接写出∠P1，∠P2，∠P3，∠P4，∠P5之间的等量关系为：∠P2+∠P4+∠P5=∠P1+∠P3+180°．【分析】（1）过P作PE∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；（2）过点P作PQ∥l1，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；（3）分别过P2，P3，P4作P2A∥l1，P3B∥l1，P4C∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．【解答】解：（1）过P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴l2PE∥l1，∴∠A=∠1，∠B=∠2，∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B；（2）等量关系为：∠APB﹣∠A+∠B=180°，证明：过点P作PQ∥l1，∵PQ∥l1，∴∠A=∠1，∵l1∥l2，∴PQ∥l2，∴∠2+∠B=180°，∴∠2=180°﹣∠B，∵∠2=∠APB﹣∠1，∴∠APB﹣∠1=180°﹣∠B，∵∠A=∠1，∴∠APB﹣∠A=180°﹣∠B，∴∠APB﹣∠A+∠B=180°；（3）如图3，分别过P2，P3，P4作P2A∥l1，P3B∥l1，P4C∥l1，∵l1∥l2，∴l1P2A∥P3B∥P4C，∴∠P1=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6+∠P5=180°，∴∠P2+∠P4+∠P5=∠P1+∠P3+180°．故答案为：∠P2+∠P4+∠P5=∠P1+∠P3+180°．【点评】本题考查了培训的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15．（2016春•仙桃期末）几何问题中，当图形的位置改变时，与之相关的某些数量关系也会随之发生变化，完成探究：（1）若AB∥CD，同一平面内另一点E在AB与CD之间时，如图1，求证：∠B+∠D=∠E；（2）若AB∥CD，同一平面内另一点E在AB的上面时，如图2，试探究∠B，∠D，∠E之间的关系式并证明你的结论；（3）若AB∥CD，同一平面内另一点E在CD的下面时，如图3，直接写出∠B，∠D，∠E之间的关系式；（4）若AB∥CD，同一平面内另一点E在AB与CD之间时，如图4，直接写出∠B、∠D、∠E之间的关系式．【分析】（1）过点E作EF∥AB，可得到EF∥CD，结合平行线的性质可证得结论；（2）先根据三角形内角与外角的关系求出∠1=∠E+∠B，再根据AB∥CD即可解答；（3）先根据三角形内角与外角的关系求出∠1=∠E+∠B，再根据AB∥CD即可解答；（4）过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥EF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠B+∠BED+∠D=360°；【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D；（2）∠B+∠E=∠D；证明：∵∠1是△EFB的外角，∴∠1=∠ABE+∠BED，∵AB∥CD，∴∠1=∠CDE，∴∠CDE=∠ABE+∠BED；（3）∠B=∠D+∠E，理由：∵∠1是△EFD的外角，∴∠1=∠E+∠D，∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∴∠B=∠E+∠D；（4）∠B+∠D+∠E=360°．理由如下：过点E作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B+∠BEF=180°，∠FED+∠D=180°，∴∠B+∠BED+∠D=360°，即∠B+∠D+∠E=360°；【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作辅助线．第41页（共41页）。