数学分析ch12-2多元复合函数的求导法则
cos(u cos(u
v) v)
cos(u v) cos(u v)
cos cos
2s 2s
cos 2t cos 2t
。
一阶全微分的形式不变性
以下总假设讨论的函数满足相应的可微条件。 设 z f (x, y) 为二元函数，那么当 x, y 为自变量时，
d z z d x z d y 。
x x[u(s,t),v(s,t)],
y
y[u(s, t ), v(s, t )],
(s,t) Dg 。
如果 f 和 g 分别在 Df 与 Dg 上具有连续导数，那么由定理 12.2.1
x (s,t) x (u, v) u (s,t) x (u, v) v (s,t),
s
u s
v s
x (s,t) x (u, v) u (s,t) x (u, v) v (s,t),
x u
z y
y u
2x y
1
x2 y2
2
2(u 2v) 2u v
2(u 2v)2 (2u v)2
2(u 2v)(u 3v) (2u v)2
。
z v
z x
x v
z y
y v
2x y
(2)
x2 y2
1
4(u 2v) (u 2v)2 2u v (2u v)2
(2v u)(9u 2v) (2u v)2
§2 多元复合函数的求导法则
链式规则 设 z f (x, y), (x, y) Df 是区域 Df R2 上的二元函数，而
g : Dg → R2 ,
(u, v) (x(u, v), y(u, v))
是区域 Dg R2 上的二元二维向量值函数。如果 g 的值域 g(Dg ) Df ， 那么可以构造复合函数
z f g f [x(u, v), y(u, v)], (u, v) Dg 。 复合函数有如下求偏导数的法则。
定理 12.2.1（链式规则） 设 g 在 (u0 , v0 ) Dg 点可导，即 x x(u,v) ， y y(u, v) 在 (u0 , v0 ) 点 可 偏 导 。 记 x0 x(u0 , v0 ), y0 (u0 , v0 ) ， 如 果 f 在 (x0 , y0 ) 点可微，那么
并且有 lim x2 y 2 0 。于是当 u 趋于 0 时， u 0
(x, y)
x 2 y 2
u
(x, y)
x
2
y
2
u
u u u
也趋于 0，所以
z u
(u0 ,v0 )
lim
u0
f
(x(u0
u,v0 ), y(u0
u,v0 )) u
f
(x(u0 ,v0 ), y(u0 ,v0 ))
z u
(u0 ,
v0 )
z x
(x0 ,
y0
)
x u
(u0 ,
v0
)
z y
( x0 ,
y0 )
y u
(u0 ,
v0
)
；
z v
(u0 ,
v0
)
z x
(x0 ,
y0
)
x v
(u0
,
v0
)
z y
( x0 ,
y0
)
y v
(u0 , v0 )
。
证 只证明第一式。由于 f 在 (x0 , y0 ) 点可微，因此
d z ( f g)(x) d x f ( y)g(x) d x f ( y)(g(x) d x) f ( y) d y 。 这说明一阶全微分的形式不变性是普遍成立的。
要注意的是，全微分的形式不变性在高阶微分时是不成立的。例
如函数 z f (x, y) ，当 x, y 为自变量时，
d2 z 2 z dx2 2 2 z dxdy 2 z dy2 ，
z d x z d y 。
x y
这说明了无论 x, y 是自变量，还是中间变量，一阶微分具有相同 的形式，这就是一阶全微分的形式不变性。
对于多元函数 z f ( y) ，其中 y ( y1, y2, , ym )T 。当 y 为自变量时， 一阶全微分形式为
d z f ( y) d y 。 而当 y 为中间变量 y g(x)（ x (x1, x2, , xn )T ）时，d y g(x) d x 。由定 理 12.2.2，
由链式规则，
u 2x, v yz 。
x
x
w w u w v 2x w yz w 。
x u x v x u v
注意到 w 和 w 仍是复合函数，于是由
u v
u 2z, v xy ，
z
z
再运用链式规则就得到
2w zx
z
w x
z
2x
w u
yz
w v
2x
z
w u
y
w v
yz
。
例 12.2.4 设 z (2x y) x2y ，计算 z , z 。
x y
解 设 u 2x y, v x 2y ，则 z uv 。于是
z z u z v vuv1 2 uv ln u 1 x u x v x
2(x 2 y)(2x y)x2 y1 (2x y)x2 y ln(2x y)
1 r2
u
2
。
设
f : Df →R2,
(u,v) (x(u,v), y(u,v)),
是区域 Df R2 上的二元二维向量值函数。又设 g : Dg → R2 ,
(s,t) (u(s,t), v(s,t))
是区域 Dg R2 上的二元二维向量值函数。如果 g 的值域 g(Dg ) Df ， 则可以构造复合向量值函数 f g 。具体写出来就是
x y
而当 x, y 为中间变量时，如
x x(u, v), y y(u, v),
这时 d x xu d u xv d v, d y yu d u yv d v ，
那么由链式规则得
d z z d u z d v u v
( f x xu f y yu ) d u ( f x xv f y yv ) d v f x (xu d u xv d v) f y ( yu d u yv d v)
f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
f x
(x0
,
y0
)x
f y
(x0
,
y0
)y
(x,
y)
x 2 y 2 ,
其 中 (x, y) 满 足 lim (x, y) 0 。 定 义 (0,0) 0 ， 那 么 上 式 当 ( x ,y )0
(x, y) (0,0) 时也成立。
t
u
t
v t
y (s,t) y (u, v) u (s,t) y (u, v) v (s,t),
s
u s
v s
y (s,t) y (u, v) u (s,t) y (u, v) v (s,t)。
t
u
t
v t
写成矩阵形式就是
x (s,t)
s
y s
(s,
t
)
x (s,t) x (u, v)
2 ln(2 x
y)
。
例 12.2.5 设 w f (x2 y 2 z 2 , xyz) ， f 具有二阶连续偏导数，计
算 w , 2w 。
x zx
解 将 w f (x2 y 2 z 2 , xyz) 看成复合函数
显然
w f (u, v),
u x2 y 2 z 2 , v xyz.
将 x, y 看成中间变量，就得到
u u x u y u cos u sin.
r x r y r x
y
u u x u y r sin u r cos u .
x y
x
y
将第一式乘 r 后的平方加上第二式的平方，再乘以1/ r 2 ，即得到
u x
2
u y
2
u r
2
设 x x(u0 u, v0 ) x(u0 , v0 ) ， y y(u0 u, v0 ) y(u0 , v0 ) ，
由于 x x(u, v) ， y y(u,v) 在 (u0 , v0 ) 点可偏导，所以成立
x x
lim
u0
u
u (u0 , v0 ),
lim
u0
y u
y u
(u0 , v0 ) ，
f212fu(uv,v)，
如此等等，则上面的结果可表示为
w x2xf1yzf2
z2wx4xzf112y(x2z2)f12xy2zf22yf2。
例 12.2.6
已知
u
u(x,
y)
为可微函数，试求
u x
2
u y
2
在极坐标
下的表达式。
解 直角坐标与极坐标有如下关系：
x r cos , y r sin ，
lim f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
u0
u
f lium0 x
(x0 ,
y0
)
x u
f y
(x0 ,
y0 )
y
u
lim
u 0
(x, y) x 2 u
y 2
f x
(x0 ,
y0)Leabharlann x u(u0 ,v0
)
f y
(x0 ,
y0
)
y u
(u0 ,
v0
)
。
定理 12.2.2（链式规则） 设 g 在 x0 Dg 点可导，即 y1, y2 ,, ym 在 x0 点可偏导，且 f 在 y0 g(x0 ) 点可微，则
多元复合函数的求导法则
解: 如左图，有 z z x , z z x z dy s x s t x t y dt
z
xy
st t
注：在应用链法则时，有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要
注意防止记号的混淆.
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如, z f (x, y), y (x,t)
d(uv) vdu u d v
d(u v) du d v
d
u v
v
d
u v2
u
d
v
用链法则求复合函数偏导数时，首先要分清自变量
和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性， 可以不再 考虑这种区别，使计算变得方便。
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例 8. 求 z (x2 y2 )xy 的全微分和偏导数. 解: 设 u (x2 y2 ) v xy 则 z uv
x
dx
t
dt
x
dx
z
dz
f y
t
z
f z
dz
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例10. 已知 解: 由条件 又因为 所以
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求 两边求微分, 得
解: 解法一，dz z dx z dy
代入
dt x dt y dt
(2xy 3y4)et (x2 12xy3)cost
(2et sin t 3sin4 t)et (e2t 12et sin3 t)cost 解法二， 先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e2t sin t 3et sin4 t， 所以
多元多重复合函数的求导法则
多元多重复合函数的求导法则多元多重复合函数是多元函数中重要的一类函数，常用来描述多元关系，其中常用求导法则如下： 1. 链式法则：链式法则是求导最基本的法则，其定义为：若函数y=f(x)是关于变量x的函数，而z=F(y)是关于y的函数，则关于x的F(y)的导数由z的导数乘以y的导数的乘积来决定，即：∂z/∂x = (∂z/∂y) *(∂y/∂x) 2. 偏导数法则：偏导数法则认为多元函数是关于各独立变量变化而变化，即每个变量是由与它独立变量组成的函数组合而成。
这时，只要将函数分解为每个独立变量的函数，分别求出偏导数后，组合即可得到多元函数的极限导数。
3. 偏导数链式法则：偏导数链式法则是将链式法则与偏导数法则相结合而推出的求多元复合函数极限的法则，其定义为：若函数u=f(x,y,z)是三元函数，而v=F(u,z)是关于u，z的多元函数，则u的偏导数即得到v的偏导数，即：∂v ∂x = (∂v/∂u)(∂u/∂x) + (∂v/∂z)(∂z/∂x) 4.Derivative of a composite function：This rule states that for a function y = f(x) composed of two functions u = g(x) and v = h(x), then the derivative of y with respect to x is equal to the product of the derivatives of u and v with respect to x. This can be written as y'(x) = u'(x)·v'(x) 以上是多元多重复合函数常用的求到法则，而求多元复合函数极限的步骤可由偏导数链式法则推导而得。
首先，求出函数中每个变量的偏导数，然后分别乘以各自的函数值，最后将结果进行相乘组合计算即可得到多元复合函数的极限值。
第四节 多元复合函数的求导法则
x
x
= sin 2 x − e .
3
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理 设 z = f ( u , v ) 具 有连续偏导数 , u = ϕ ( x , y ) , 可偏导, v = ψ ( x , y ) 可偏导, 则复合函数 z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )] 可偏导, 可偏导, 且有
dz ∂z duu dt ∂v dt ∂w dt
z
u v w
t
dz 称为全导数 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
2
dz . 例1 设 z = u − v , u = sin x , v = e , 求 dx
2
x
dz ∂z du ∂z d v 解 = ⋅ + ⋅ dx ∂u dx ∂v d x
例10
xy
0
e
−t 3
d t ( x > 0, y > 0)
求
解
∂F ∂F . , ∂x ∂y
u −t 3
F
u
x y
令 u = xy , 则 F (u ) = ∫ e d t 0
∂F d F ∂u y 1 −( −u3 = = e =e ⋅ ∂x d u ∂x 2 xy 2
关于 u 的 一元函数
xy ) 3
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ = ⋅ + ⋅ , + ⋅ . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
链式法则如图示
u
x
z
v
y
5
类似地, 类似地, 设 z = f ( u , v , w ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x, y) , w = ω( x, y) ,则复合函数 z = f [ϕ ( x, y ),ψ ( x, y ), ω ( x, y )] 的偏导数为
高数第四节-多元复合函数的求导法则
u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数求导法则的解题思路及方法
实例二：乘积法则的应用
总结词
乘积法则是求多元复合函数导数的常用方法之一，适 用于多个因子的乘积形式。
详细描述
乘积法则指出，若$z = uv$，则$frac{dz}{dx} = u cdot frac{du}{dx} + v cdot frac{dv}{dx}$。在解题过程中， 将复合函数表示为乘积形式，然后分别对各个因子求导， 最后将求得的导数相乘。
理解题目要求
在解题前，需要仔细阅读题目， 理解题目的要求和条件，明确解 题的目标。
分析函数结构
在解题过程中，需要仔细分析复 合函数的构成，明确内层函数和 外层函数，以便正确应用求导法 则。
逐步求导
在求导过程中，需要按照求导法 则逐步对复合函数进行求导，注 意每一步的运算和符号。
对实际解题方法的思考
详细描述
根据多元函数的对称性质，如轮换对称、反对称等，可以 简化求导过程，避免重复计算。
参数法
总结词
将多元复合函数中的参数视为自变量，对参数求导后再 与原函数求导数。
详细描述
首先将多元复合函数中的参数视为自变量，然后对参数 进行求导，得到参数的导数，最后将参数的导数与原函 数进行链式求导，得到多元复合函数的导数。
06 总结与思考
求导法则的总结
链式法则
对于复合函数，求导时需要将外层函数的导 数乘以内层函数的导数。
商的导数法则
对于两个函数的商，其导数为商的分子与分 母的导数的商。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其导数为两个函数的 导数的乘积。
幂函数导数法则
对于幂函数，其导数为幂函数与指数的乘积。
对解题思路的反思
。
04 实际解题方法
Байду номын сангаас
多元复合函数的求导法则
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铃
设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
eusin v x eucos v 1exy[x sin(xy)cos(xy)]
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
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uv
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铃
例5 设uf(x y)具有连续的偏导数 把 ( u )2 ( u )2转换成
x y
极坐标系中的形式 解 uf(x y)f(cos sin)F( )
其中 xcosθ ysinθ x2 y 2 arctan y x
v et u (sin t) cos t etcos tetsin tcos t et(cos tsin t)cos t
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铃
例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数
2w w 求 及 x xz
解 令uxyz vxyz 则wf(u v)
而 zx sin y 求
2ze x
2
2
2
u u 和 x y
解 u f f z 2xex 解
2
y2 z2
y2 z2
2x sin y
第四节多元复合函数的求导法则
第四节多元复合函数的求导法则多元函数是指含有多个自变量的函数，多元复合函数则是由多个函数相互组合而成的复合函数。
在求多元复合函数的导数时，我们需要运用多元复合函数的求导法则。
多元复合函数的求导法则有以下几种情况：1.复合函数的链式法则：设有两个变量x和y，其中y=f(u)是自变量u的函数，u=g(x)是自变量x的函数，则函数y=f(g(x))就是一个多元复合函数。
根据链式法则，该函数的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx2.高阶多元复合函数的求导：对于高阶多元复合函数，我们需要运用多次链式法则来求导。
例如，考虑一个三元复合函数z=f(y),y=g(x),x=h(t)，其中t是自变量。
根据链式法则，可以得到如下公式：dz/dt = dz/dy * dy/dx * dx/dt这里 dz/dy 表示 z 关于 y 的导数，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，dx/dt 表示 x 关于 t 的导数。
3.多元复合函数中的偏导数：对于多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用偏导数的链式法则。
偏导数的链式法则可以表示为：∂z/∂x=(∂z/∂y)*(∂y/∂x)其中∂z/∂y表示z关于y的偏导数，∂y/∂x表示y关于x的偏导数。
同样地，对于高阶多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用多次链式法则来求解。
总结起来，多元复合函数的求导法则主要有链式法则和偏导数的链式法则。
通过这些法则，我们可以方便地求解多元复合函数的导数。
在实际应用中，求多元复合函数的导数常常用于最优化问题、概率统计、机器学习等领域。
这些领域中的问题往往涉及多个变量，而多元复合函数的导数可以帮助我们了解函数随变量的变化趋势，从而得出一些有用的结论。
7(4)多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则
三、全微分形式不变性
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数, 则有 z z 全微分 dz du dv; u v 当u ( x , y ), v ( x , y )时, 则有全微分 z z dz dx dy , x y z vv v z z zu u u z z vu dx dy dx dy y ux u y v v y x u v xy x z z du d v . u v
z z u z v z z u z v z , . x u x v x y u y v y
u x v y
8
多元复合函数的求导法则
4. z f [u, v, w)], u ( x, y), v ( x, y), w ( x, y )
纯偏导
z 2 z z 2 z f yx ( x , y ) f xy ( x , y ), x y xy y x yx
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
16
多元复合函数的求导法则
11
多元复合函数的求导法则
思考题解答
f ( tx , ty , tz ) t k f ( x , y , z )
k f ( tx , ty , tz ) t f ( x, y, z ) 令 u tx , v ty , w tz , 则
k f ( u , v , w ) t f ( x , y , z ), 两边对t求导,得 f u f v f w kt k 1 f ( x , y , z ) u t v t w t f f f t kt k 1 f ( x , y , z ) t x t y t z u v w k t k f ( x , y , z ) kf ( u, v , w ) f f f z) u kf (x u, y v, w x y v w z y z v u w x f f f (C ) x y z kf ( x , y , z ); x y z
微积分-多元函数部分(多元复合函数的求导法则、方向导数与梯度)
方向导数的最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |
f x
2
f y
2
.
P
当f 不为零时，
都可定出一个向量f
i
f
j ，这向量称为函数
x y
z f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为
gradf
( x,
y)
f x
i
f y
j.
设e
cosi
sin
j 是方向
l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos ,sin }
x y
故有方向导数
cos sin
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0
f cos f sin .
x
y
20
例 1 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1）
沿与 x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并
例1. 设 z eu sin v , u x y , v x y
求 z . x
z
解： z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
uv x yx y
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]
但z f (0 x,0) f (0,0) lim (x)2 lim x 不存在
x
x
x0 x
x0 x
类似: