弹塑性力学-02(张量初步)
合集下载
1-张量及应力应变概念 同济大学弹塑性力学
u
u2(uy) x2=y
图1.1 位移矢量的分解
3
u ux ex u y ey uz ez u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
(1-1)
指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不
同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示， 这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉 丁字母i，j，k，· · · 均表示三维指标，取值1，2，3，例如， 采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的 记法称为指标符号。 指标符号的正确用法： (1) 三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。 指标符号可缩写成xi ，其中x1= x， x2= y， x3= z。
这里， m I1 3，我们定义 m ij 为球应力张量，又称球形 应力张量，简称为球张量，球形应力张量表示各向均匀受 m 又常写作 p 。而 Sij 力状态，有时也称静水压力状态， 则称为偏斜应力张量，简称为应力偏量。将原应力状态减 去静水压力即可得到应力偏量状态。球张量引起物体的体 积改变，而应力偏量则引起物体的形状改变。
z n
同理，可以得到张量方程：
pi ij n j
τyx γ
px x
σx β
y
(1-7)
α
如果作用在这个倾斜 面上只有正应力，而没有
τzx
剪应力，则倾斜面上的总应力就是主应力，倾斜面的方 向就是主应力方向，用ζ表示，它在各坐标轴上的投影 (1-8)
为：
pi ni
1.4 主应力分布图
1.3 应力张量的分解
(1) ii 11 22 33 3 (2) ij ij 1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
弹塑性力学PPT课件
早期研究： • 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为
Mohr- Coulomb准则； • 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移
面概念； • 1903年Kötter建立滑移线方法； • 1929年Fellenius提出极限平衡法； • 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； • 1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； • 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。
.
5
1.1 基本概念
• 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是 研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。 应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建 筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。
• 目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时 的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定 一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步 研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力 学问题打下必要的理论基础。
在加载过程中必须对其历史进行记录。
.
18
1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设
和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
.
.
6
弹塑性力学的基本假设
• （1）物体是连续的，其应力、应变、位移 都可用连续函数表示。
• （2）变形是微小的，忽略变形引起的几何 变化。
• 即连续介质和小变形假设。
.
7
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点:
• 应力－应变之间具有一一对应的关系，
弹塑性力学-02(张量初步)
若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具 有两个或多个方向性
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
弹塑性力学PPT课件
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
弹塑性力学第1,2章
2.2 张量的计算
①张量的下标记号法： A点坐标x，y，z : F矢量力 Fx，Fy，Fz:
xi
i 1,2,3
fi
i 1,2,3
二阶张量应力可以表示为： ij ( i , j 1,2,3 ) x xy xz 11 12 13 yx y yz 22 23 21 31 32 33 zx zy z 二阶张量应变可以表示为：
ij ij i1 i1 i2 i2 i3 i3
11 11 21 21 31 31
12 12 22 22 32 32 13 13 23 23 33 33
ai， i
a1 a2 a3 ai x1 x2 x3 xi
张量的内积
A ai i i 张量A与张量B内积：
1 2 m
B bj1 j2 jn
A B
从张量A中和张量B中各取1个下标，约定求和一次成
为一个（m+N-2）阶的张量的运算称之为张量内积。 两个一阶张量的内积
A ai B bi
A B= A B cos A B
A B=ai bi a1b1 a2b2 a3b3
弹塑性力学的分析方法和体系
求解的基本方程： ①力的平衡方程式 ②几何方程或称之为变形协调方程 ③物理方程 弹塑性力学问题最后归结为在给定边界条件下求解这 三大基本方程的问题。 弹性力学与塑性力学的最大区别，本构关系不同。
弹塑性力学的主要内容
1.弹塑性本构关系 本构关系是材料本身固有的一种物理关系，指材 料内任一点的应力和应变之间的关系 弹性本构关系 塑性本构关系 广义虎克定律 增量理论和全量理论
弹塑性力学
张量场的右梯度
S∇ = T
Tijk = Sij,k
2→3
16
笛卡儿张量简介(II)
四、笛卡儿张量场 • 几个常用的积分公式
Vu
Sn
u 在V+S上连续可微
∫V ∇ ⋅udV = ∫S n ⋅udS ∫ ∫ V ui,idV = S niuidS
∫V ∇ o UdV = ∫S n o UdS
广义Gauss公式
8
笛卡儿张量简介(II)
3. 二阶张量 • 张量的不变量
笛卡儿张量简介(II)
3. 二阶张量 • 二阶对称张量的主方向和主值
三维二阶对称张量的独立不变量只有3 个，
三维二阶反对称张量的独立不变量只有1 个
9
10
笛卡儿张量简介(II)
4. 各向同性张量
T = αδ ij ei e j
⎜⎛α 0 0 ⎟⎞ ⎜0 α 0⎟ ⎜⎝ 0 0 α ⎟⎠
n个指标，n个坐标转换系数，n阶张量
2
笛卡儿张量简介(II)
商法则：如果它与一个矢量点积得到的是一个 n - 1阶张量，则该指标符号表示的是一个n 阶 张量。也可表示成，如果它连续和n 个矢量点 积得到一个标量，则该量是一个n 阶张量。
3
笛卡儿张量简介(II)
• 三、张量 2. 张量代数
4
笛卡儿张量简介(II)
பைடு நூலகம்
0 →1 1→ 0
矢量场的旋度 curlu = ω = eieijk ∂ juk = ∇ × u ωi = eijk ∂ juk
1→1
12
2
笛卡儿张量简介(II)
四、笛卡儿张量场 • 标量场与矢量场的微分
∇ ⋅ u = (ei∂i ) ⋅ (u j e j ) = (ei ⋅ e j )∂iu j = ∂iui = ui,i ∇ × u = (ei∂i ) × (u j e j ) = (ei × e j )∂iu j = ek ekij∂iu j = ek ekiju j,i
弹塑性力学课件
i,j
任晓丹 第二讲：张量分析基础
矩阵的标量函数
aij bij = A : B
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
矩阵
矩阵的向量函数 y1 = f1 (B) y2 = f2 (B) y3 = f3 (B)
线性函数
∑ 1 y1 = ∑i,j aij bij y2 = i,j a2 bij ∑ ij 3 y3 = i,j aij bij
标量
标量 x, y, x1 , y1 , ...... 标量函数 y = f(x), y1 = g(x1 ), ...... 线性标量函数 (线性变换) f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 )
线性函数的表示 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = ax
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
向量
向量 x = [x1 , x2 , x3 ]T , y = [y1 , y2 , y3 ]T
向量的标量函数 y = f(x) = f(x1 , x2 , x3 )
线性函数 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 =
任晓丹 第二讲：张量分析基础
矩阵的标量函数
aij bij = A : B
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
矩阵
矩阵的向量函数 y1 = f1 (B) y2 = f2 (B) y3 = f3 (B)
线性函数
∑ 1 y1 = ∑i,j aij bij y2 = i,j a2 bij ∑ ij 3 y3 = i,j aij bij
标量
标量 x, y, x1 , y1 , ...... 标量函数 y = f(x), y1 = g(x1 ), ...... 线性标量函数 (线性变换) f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 )
线性函数的表示 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = ax
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
向量
向量 x = [x1 , x2 , x3 ]T , y = [y1 , y2 , y3 ]T
向量的标量函数 y = f(x) = f(x1 , x2 , x3 )
线性函数 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 =
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
指标分两类：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某
项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标， 简称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦 （Einstein A.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内 遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：
3
agb a1b1 a2b2 a3b3 aibi
位张量，其三个主对角分量均为1，其他分量均为0。
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K 阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 j 代
表的是截面上应力的分解方向。
内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积
表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例
如：
S jkm Aijk Bim
17
对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。
Rijl Aijk Blk S jkm
1
i j (i, j 1, 2, 3)
其中 是应力张量的名称，9个分量都用同一名称；右下角的i
和j称为指标，指标的数目等于张量的阶数，即张量所具有的方 向性的数目；后面括号标明了指标的取值范围，即张量所在空 间的维数，对三维空间每个方向性有三个分量，每个指标可以 取值为1或2或3。
当式中的i和j相互独立地分别1，2，3取时可以得到9种排列， 于是用一个符号 ij 就全面地表示了应力张量的9个分量。通常 约定：在笛卡儿直角坐标系中一律采用位于右下角的“下指 标”；三维空间的指标用拉丁字母表示；二维空间的指标用希 腊字母表示。按此约定，本书对用拉丁字母或希腊字母表示的 指标不再用括号加注取值范围。
21
考虑三维空间中的张量函数
Tmn x1, x2, x3
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因 为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。在 公式推导过程中，要根据所描述问题本来的运算规律来 合理选择和及时更换指标的名称。
12
练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
aijbic j
ijij
aijbic j=a1 jb1c j a2 jb2c j a3 jb3c j
1 E
[
33
(11
22 )];
以指标符号表示下列运动方程
31
1
E
31;
G
2u1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
2
x1
u1 x1
u2 x2
u3 x3
Sij
1 2
Tij Tji
;
Aij
1 2
Tij Tji
上两式的运算也称为对称化和反对称化。
19
球形张量与偏斜张量 任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张 量 P 和偏斜张量 D 之和：
Sij Pij Dij
球形张量
Pij ij ;
1 3
Sii
这里的 是张量 S 三个主对角分量之平均值； ij 是单
=a11b1c1 a21b2c1 a31b3c1 a12b1c2 a22b2c2 a32b3c2 a13b1c3 a23b2c3 a33b3c3
13
练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
aijbic j
ijij
ijij= 1 j 1j 2 j2j 3 j 3j = 11 11 21 21 31 31
T =A
Tij Aij
15
并积 两个同维同阶（或不同阶）张量A和B的并积（或称外 积）T是一个阶数等于A、B阶数之和的高阶张量，其分量 由A、B两个张量的分量两两相乘而得。以A、B分别为三阶 和二阶张量为例：
Tijklm Aijk Blm
其中指标的顺序不能任意调换。
缩并 若高阶张量的指标符号中出现一对哑标，则该对指标就
3
a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 aibici aibici i 1
若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明 对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以 示不计其数。
i 例如方程 ci aibi di
是自由指标
11
综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
Tmn, ji
22
作业
以指标符号表示虎克定律
11
1 E
[11
( 22
33 )];
12
1
E
12 ;
22
1 E
[ 22
( 33
11)];
23
1
E
23;
33
失去了方向性，张量被缩并为低二阶的新张量。例如，三阶张
量 Tiji 中的第一和第三指标为哑标，则它被缩并为一个矢量：
S j Tiji
16
S j Tiji
若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。
j i 例如， Ri Tijj 是一个保留了 方向性的矢量，而上述 S j Tiji
是一个保留了 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的
点积 是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后
张量B的第一指标缩并的结果，记为AgB 。其指标符号为：
AgB = Aijk Bkm
两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。
线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的 特例
18
转置 张量指标的顺序一般不能任意调换，若将张量 T（指
标符号为 Tij ）的两个指标位置相互对换，则得到一个新
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
ds2 d xid xi
多变量函数的全微分可写成
df
f xi
d xi
i 1, 2,..., n
多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和
33
aij xi x j aij xi x j
i1 j1
这里共有九项求和。
10
对于不符合“成对准则”的特殊情况需要做特殊处理。例如， 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应 加求和号。或者，在多余指标下加一横，表示该多余指标不 计指标数。例如：
指标符号与张量运算
为了推导简洁，采用了张量指标符号及相应的运算。 这里作一简介—指标符号与求和约定
张量是具有多重方向性的物理量，有多个分量。 例如弹性力学中的应力张量和应变张量在三维空间中 都有9个分量。张量可以用指标符号来简洁地表示， 指标符号由一个名称和一组指标组成，例如应力张量 可以记为：
i j (i, j 1, 2, 3)
张量T *（指标符号为 T ji ），称为张量 T 的转置张量。
若转置张量与原张量相等，即 Tji Tij ，则为对称张量。
若转置张量等于原张量的负值，即 称张量。
Tji ，T则ij 为反对
加法分解 任意二阶张量 T 均可唯一地分解成对称张量 S
和反对称张量A之和：
Tij Sij Aij
i 1
3
引进对哑标的求和约定代替叠加号
agb aibi
i 1
除哑标外，在表达式或方程的某项中非成对出现（即出现一
次或重复出现三次及三次以上）的其他指标都是自由指标。 例如，采用哑标后，线性变换写成
3
x1' a11x1 a12 x2 a13x3 a1 j x j ; x2' a21x1 a22 x2 a23x3 a2 j x j ; x3' a31x1 a32 x2 a33x3 a3 j x j ;
例如，原来记为ai、b j 和 ck 的三个矢量
满足矢量和关系 c a b
当用指标符号表示此求和关系时不能直接代入写为
ck ai bj
而应根据“合矢量的分量等于分矢量对应分量之和”的规则 把指标换成同名，写成
ci ai bi 或 ck ak bk
7
反之，若要把曾记为 ai 和 bi 的两个矢量的分量逐个地两
若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具 有两个或多个方向性
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
指标分两类：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某
项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标， 简称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦 （Einstein A.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内 遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：
3
agb a1b1 a2b2 a3b3 aibi
位张量，其三个主对角分量均为1，其他分量均为0。
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K 阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 j 代
表的是截面上应力的分解方向。
内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积
表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例
如：
S jkm Aijk Bim
17
对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。
Rijl Aijk Blk S jkm
1
i j (i, j 1, 2, 3)
其中 是应力张量的名称，9个分量都用同一名称；右下角的i
和j称为指标，指标的数目等于张量的阶数，即张量所具有的方 向性的数目；后面括号标明了指标的取值范围，即张量所在空 间的维数，对三维空间每个方向性有三个分量，每个指标可以 取值为1或2或3。
当式中的i和j相互独立地分别1，2，3取时可以得到9种排列， 于是用一个符号 ij 就全面地表示了应力张量的9个分量。通常 约定：在笛卡儿直角坐标系中一律采用位于右下角的“下指 标”；三维空间的指标用拉丁字母表示；二维空间的指标用希 腊字母表示。按此约定，本书对用拉丁字母或希腊字母表示的 指标不再用括号加注取值范围。
21
考虑三维空间中的张量函数
Tmn x1, x2, x3
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因 为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。在 公式推导过程中，要根据所描述问题本来的运算规律来 合理选择和及时更换指标的名称。
12
练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
aijbic j
ijij
aijbic j=a1 jb1c j a2 jb2c j a3 jb3c j
1 E
[
33
(11
22 )];
以指标符号表示下列运动方程
31
1
E
31;
G
2u1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
2
x1
u1 x1
u2 x2
u3 x3
Sij
1 2
Tij Tji
;
Aij
1 2
Tij Tji
上两式的运算也称为对称化和反对称化。
19
球形张量与偏斜张量 任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张 量 P 和偏斜张量 D 之和：
Sij Pij Dij
球形张量
Pij ij ;
1 3
Sii
这里的 是张量 S 三个主对角分量之平均值； ij 是单
=a11b1c1 a21b2c1 a31b3c1 a12b1c2 a22b2c2 a32b3c2 a13b1c3 a23b2c3 a33b3c3
13
练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
aijbic j
ijij
ijij= 1 j 1j 2 j2j 3 j 3j = 11 11 21 21 31 31
T =A
Tij Aij
15
并积 两个同维同阶（或不同阶）张量A和B的并积（或称外 积）T是一个阶数等于A、B阶数之和的高阶张量，其分量 由A、B两个张量的分量两两相乘而得。以A、B分别为三阶 和二阶张量为例：
Tijklm Aijk Blm
其中指标的顺序不能任意调换。
缩并 若高阶张量的指标符号中出现一对哑标，则该对指标就
3
a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 aibici aibici i 1
若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明 对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以 示不计其数。
i 例如方程 ci aibi di
是自由指标
11
综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
Tmn, ji
22
作业
以指标符号表示虎克定律
11
1 E
[11
( 22
33 )];
12
1
E
12 ;
22
1 E
[ 22
( 33
11)];
23
1
E
23;
33
失去了方向性，张量被缩并为低二阶的新张量。例如，三阶张
量 Tiji 中的第一和第三指标为哑标，则它被缩并为一个矢量：
S j Tiji
16
S j Tiji
若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。
j i 例如， Ri Tijj 是一个保留了 方向性的矢量，而上述 S j Tiji
是一个保留了 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的
点积 是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后
张量B的第一指标缩并的结果，记为AgB 。其指标符号为：
AgB = Aijk Bkm
两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。
线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的 特例
18
转置 张量指标的顺序一般不能任意调换，若将张量 T（指
标符号为 Tij ）的两个指标位置相互对换，则得到一个新
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
ds2 d xid xi
多变量函数的全微分可写成
df
f xi
d xi
i 1, 2,..., n
多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和
33
aij xi x j aij xi x j
i1 j1
这里共有九项求和。
10
对于不符合“成对准则”的特殊情况需要做特殊处理。例如， 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应 加求和号。或者，在多余指标下加一横，表示该多余指标不 计指标数。例如：
指标符号与张量运算
为了推导简洁，采用了张量指标符号及相应的运算。 这里作一简介—指标符号与求和约定
张量是具有多重方向性的物理量，有多个分量。 例如弹性力学中的应力张量和应变张量在三维空间中 都有9个分量。张量可以用指标符号来简洁地表示， 指标符号由一个名称和一组指标组成，例如应力张量 可以记为：
i j (i, j 1, 2, 3)
张量T *（指标符号为 T ji ），称为张量 T 的转置张量。
若转置张量与原张量相等，即 Tji Tij ，则为对称张量。
若转置张量等于原张量的负值，即 称张量。
Tji ，T则ij 为反对
加法分解 任意二阶张量 T 均可唯一地分解成对称张量 S
和反对称张量A之和：
Tij Sij Aij
i 1
3
引进对哑标的求和约定代替叠加号
agb aibi
i 1
除哑标外，在表达式或方程的某项中非成对出现（即出现一
次或重复出现三次及三次以上）的其他指标都是自由指标。 例如，采用哑标后，线性变换写成
3
x1' a11x1 a12 x2 a13x3 a1 j x j ; x2' a21x1 a22 x2 a23x3 a2 j x j ; x3' a31x1 a32 x2 a33x3 a3 j x j ;
例如，原来记为ai、b j 和 ck 的三个矢量
满足矢量和关系 c a b
当用指标符号表示此求和关系时不能直接代入写为
ck ai bj
而应根据“合矢量的分量等于分矢量对应分量之和”的规则 把指标换成同名，写成
ci ai bi 或 ck ak bk
7
反之，若要把曾记为 ai 和 bi 的两个矢量的分量逐个地两
若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具 有两个或多个方向性
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。