弹塑性力学-02(张量初步)
2
指标分两类：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某
项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标， 简称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦 （Einstein A.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内 遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：
3
agb a1b1 a2b2 a3b3 aibi
位张量，其三个主对角分量均为1，其他分量均为0。
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K 阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 j 代
表的是截面上应力的分解方向。
内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积
表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例
如：
S jkm Aijk Bim
17
对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。
Rijl Aijk Blk S jkm
1
i j (i, j 1, 2, 3)
其中 是应力张量的名称，9个分量都用同一名称；右下角的i
和j称为指标，指标的数目等于张量的阶数，即张量所具有的方 向性的数目；后面括号标明了指标的取值范围，即张量所在空 间的维数，对三维空间每个方向性有三个分量，每个指标可以 取值为1或2或3。
当式中的i和j相互独立地分别1，2，3取时可以得到9种排列， 于是用一个符号 ij 就全面地表示了应力张量的9个分量。通常 约定：在笛卡儿直角坐标系中一律采用位于右下角的“下指 标”；三维空间的指标用拉丁字母表示；二维空间的指标用希 腊字母表示。按此约定，本书对用拉丁字母或希腊字母表示的 指标不再用括号加注取值范围。
21
考虑三维空间中的张量函数
Tmn x1, x2, x3
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因 为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。在 公式推导过程中，要根据所描述问题本来的运算规律来 合理选择和及时更换指标的名称。
12
练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
aijbic j
ijij
aijbic j=a1 jb1c j a2 jb2c j a3 jb3c j
1 E
[
33
(11
22 )];
以指标符号表示下列运动方程
31
1
E
31;
G
2u1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
2
x1
u1 x1
u2 x2
u3 x3
Sij
1 2
Tij Tji
;
Aij
1 2
Tij Tji
上两式的运算也称为对称化和反对称化。
19
球形张量与偏斜张量 任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张 量 P 和偏斜张量 D 之和：
Sij Pij Dij
球形张量
Pij ij ;
1 3
Sii
这里的 是张量 S 三个主对角分量之平均值； ij 是单
=a11b1c1 a21b2c1 a31b3c1 a12b1c2 a22b2c2 a32b3c2 a13b1c3 a23b2c3 a33b3c3
13
练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
aijbic j
ijij
ijij= 1 j 1j 2 j2j 3 j 3j = 11 11 21 21 31 31
T =A
Tij Aij
15
并积 两个同维同阶（或不同阶）张量A和B的并积（或称外 积）T是一个阶数等于A、B阶数之和的高阶张量，其分量 由A、B两个张量的分量两两相乘而得。以A、B分别为三阶 和二阶张量为例：
Tijklm Aijk Blm
其中指标的顺序不能任意调换。
缩并 若高阶张量的指标符号中出现一对哑标，则该对指标就
3
a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 aibici aibici i 1
若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明 对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以 示不计其数。
i 例如方程 ci aibi di
是自由指标
11
综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
Tmn, ji
22
作业
以指标符号表示虎克定律
11
1 E
[11
( 22
33 )];
12
1
E
12 ;
22
1 E
[ 22
( 33
11)];
23
1
E
23;
33
失去了方向性，张量被缩并为低二阶的新张量。例如，三阶张
量 Tiji 中的第一和第三指标为哑标，则它被缩并为一个矢量：
S j Tiji
16
S j Tiji
若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。
j i 例如， Ri Tijj 是一个保留了 方向性的矢量，而上述 S j Tiji
是一个保留了 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的
点积 是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后
张量B的第一指标缩并的结果，记为AgB 。其指标符号为：
AgB = Aijk Bkm
两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。
线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的 特例
18
转置 张量指标的顺序一般不能任意调换，若将张量 T（指
标符号为 Tij ）的两个指标位置相互对换，则得到一个新
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
ds2 d xid xi
多变量函数的全微分可写成
df
f xi
d xi
i 1, 2,..., n
多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和
33
aij xi x j aij xi x j
i1 j1
这里共有九项求和。
10
对于不符合“成对准则”的特殊情况需要做特殊处理。例如， 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应 加求和号。或者，在多余指标下加一横，表示该多余指标不 计指标数。例如：
指标符号与张量运算
为了推导简洁，采用了张量指标符号及相应的运算。 这里作一简介—指标符号与求和约定
张量是具有多重方向性的物理量，有多个分量。 例如弹性力学中的应力张量和应变张量在三维空间中 都有9个分量。张量可以用指标符号来简洁地表示， 指标符号由一个名称和一组指标组成，例如应力张量 可以记为：
i j (i, j 1, 2, 3)
张量T *（指标符号为 T ji ），称为张量 T 的转置张量。
若转置张量与原张量相等，即 Tji Tij ，则为对称张量。
若转置张量等于原张量的负值，即 称张量。
Tji ，T则ij 为反对
加法分解 任意二阶张量 T 均可唯一地分解成对称张量 S
和反对称张量A之和：
Tij Sij Aij
i 1
3
引进对哑标的求和约定代替叠加号
agb aibi
i 1
除哑标外，在表达式或方程的某项中非成对出现（即出现一
次或重复出现三次及三次以上）的其他指标都是自由指标。 例如，采用哑标后，线性变换写成
3
x1' a11x1 a12 x2 a13x3 a1 j x j ; x2' a21x1 a22 x2 a23x3 a2 j x j ; x3' a31x1 a32 x2 a33x3 a3 j x j ;
例如，原来记为ai、b j 和 ck 的三个矢量
满足矢量和关系 c a b
当用指标符号表示此求和关系时不能直接代入写为
ck ai bj
而应根据“合矢量的分量等于分矢量对应分量之和”的规则 把指标换成同名，写成
ci ai bi 或 ck ak bk
7
反之，若要把曾记为 ai 和 bi 的两个矢量的分量逐个地两
若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具 有两个或多个方向性
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
指标分两类：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某
项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标， 简称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦 （Einstein A.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内 遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：
3
agb a1b1 a2b2 a3b3 aibi
位张量，其三个主对角分量均为1，其他分量均为0。
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K 阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 j 代
表的是截面上应力的分解方向。
内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积
表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例
如：
S jkm Aijk Bim
17
对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。
Rijl Aijk Blk S jkm
1
i j (i, j 1, 2, 3)
其中 是应力张量的名称，9个分量都用同一名称；右下角的i
和j称为指标，指标的数目等于张量的阶数，即张量所具有的方 向性的数目；后面括号标明了指标的取值范围，即张量所在空 间的维数，对三维空间每个方向性有三个分量，每个指标可以 取值为1或2或3。
当式中的i和j相互独立地分别1，2，3取时可以得到9种排列， 于是用一个符号 ij 就全面地表示了应力张量的9个分量。通常 约定：在笛卡儿直角坐标系中一律采用位于右下角的“下指 标”；三维空间的指标用拉丁字母表示；二维空间的指标用希 腊字母表示。按此约定，本书对用拉丁字母或希腊字母表示的 指标不再用括号加注取值范围。
21
考虑三维空间中的张量函数
Tmn x1, x2, x3
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因 为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。在 公式推导过程中，要根据所描述问题本来的运算规律来 合理选择和及时更换指标的名称。
12
练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
aijbic j
ijij
aijbic j=a1 jb1c j a2 jb2c j a3 jb3c j
1 E
[
33
(11
22 )];
以指标符号表示下列运动方程
31
1
E
31;
G
2u1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
2
x1
u1 x1
u2 x2
u3 x3
Sij
1 2
Tij Tji
;
Aij
1 2
Tij Tji
上两式的运算也称为对称化和反对称化。
19
球形张量与偏斜张量 任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张 量 P 和偏斜张量 D 之和：
Sij Pij Dij
球形张量
Pij ij ;
1 3
Sii
这里的 是张量 S 三个主对角分量之平均值； ij 是单
=a11b1c1 a21b2c1 a31b3c1 a12b1c2 a22b2c2 a32b3c2 a13b1c3 a23b2c3 a33b3c3
13
练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
aijbic j
ijij
ijij= 1 j 1j 2 j2j 3 j 3j = 11 11 21 21 31 31
T =A
Tij Aij
15
并积 两个同维同阶（或不同阶）张量A和B的并积（或称外 积）T是一个阶数等于A、B阶数之和的高阶张量，其分量 由A、B两个张量的分量两两相乘而得。以A、B分别为三阶 和二阶张量为例：
Tijklm Aijk Blm
其中指标的顺序不能任意调换。
缩并 若高阶张量的指标符号中出现一对哑标，则该对指标就
3
a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 aibici aibici i 1
若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明 对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以 示不计其数。
i 例如方程 ci aibi di
是自由指标
11
综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
Tmn, ji
22
作业
以指标符号表示虎克定律
11
1 E
[11
( 22
33 )];
12
1
E
12 ;
22
1 E
[ 22
( 33
11)];
23
1
E
23;
33
失去了方向性，张量被缩并为低二阶的新张量。例如，三阶张
量 Tiji 中的第一和第三指标为哑标，则它被缩并为一个矢量：
S j Tiji
16
S j Tiji
若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。
j i 例如， Ri Tijj 是一个保留了 方向性的矢量，而上述 S j Tiji
是一个保留了 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的
点积 是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后
张量B的第一指标缩并的结果，记为AgB 。其指标符号为：
AgB = Aijk Bkm
两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。
线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的 特例
18
转置 张量指标的顺序一般不能任意调换，若将张量 T（指
标符号为 Tij ）的两个指标位置相互对换，则得到一个新
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
ds2 d xid xi
多变量函数的全微分可写成
df
f xi
d xi
i 1, 2,..., n
多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和
33
aij xi x j aij xi x j
i1 j1
这里共有九项求和。
10
对于不符合“成对准则”的特殊情况需要做特殊处理。例如， 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应 加求和号。或者，在多余指标下加一横，表示该多余指标不 计指标数。例如：
指标符号与张量运算
为了推导简洁，采用了张量指标符号及相应的运算。 这里作一简介—指标符号与求和约定
张量是具有多重方向性的物理量，有多个分量。 例如弹性力学中的应力张量和应变张量在三维空间中 都有9个分量。张量可以用指标符号来简洁地表示， 指标符号由一个名称和一组指标组成，例如应力张量 可以记为：
i j (i, j 1, 2, 3)
张量T *（指标符号为 T ji ），称为张量 T 的转置张量。
若转置张量与原张量相等，即 Tji Tij ，则为对称张量。
若转置张量等于原张量的负值，即 称张量。
Tji ，T则ij 为反对
加法分解 任意二阶张量 T 均可唯一地分解成对称张量 S
和反对称张量A之和：
Tij Sij Aij
i 1
3
引进对哑标的求和约定代替叠加号
agb aibi
i 1
除哑标外，在表达式或方程的某项中非成对出现（即出现一
次或重复出现三次及三次以上）的其他指标都是自由指标。 例如，采用哑标后，线性变换写成
3
x1' a11x1 a12 x2 a13x3 a1 j x j ; x2' a21x1 a22 x2 a23x3 a2 j x j ; x3' a31x1 a32 x2 a33x3 a3 j x j ;
例如，原来记为ai、b j 和 ck 的三个矢量
满足矢量和关系 c a b
当用指标符号表示此求和关系时不能直接代入写为
ck ai bj
而应根据“合矢量的分量等于分矢量对应分量之和”的规则 把指标换成同名，写成
ci ai bi 或 ck ak bk
7
反之，若要把曾记为 ai 和 bi 的两个矢量的分量逐个地两
若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具 有两个或多个方向性
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
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1-张量及应力应变概念 同济大学弹塑性力学
u
u2(uy) x2=y
图1.1 位移矢量的分解
3
u ux ex u y ey uz ez u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
(1-1)
指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不
同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示， 这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉 丁字母i，j，k，· · · 均表示三维指标，取值1，2，3，例如， 采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的 记法称为指标符号。 指标符号的正确用法： (1) 三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。 指标符号可缩写成xi ，其中x1= x， x2= y， x3= z。
这里， m I1 3，我们定义 m ij 为球应力张量，又称球形 应力张量，简称为球张量，球形应力张量表示各向均匀受 m 又常写作 p 。而 Sij 力状态，有时也称静水压力状态， 则称为偏斜应力张量，简称为应力偏量。将原应力状态减 去静水压力即可得到应力偏量状态。球张量引起物体的体 积改变，而应力偏量则引起物体的形状改变。
z n
同理，可以得到张量方程：
pi ij n j
τyx γ
px x
σx β
y
(1-7)
α
如果作用在这个倾斜 面上只有正应力，而没有
τzx
剪应力，则倾斜面上的总应力就是主应力，倾斜面的方 向就是主应力方向，用ζ表示，它在各坐标轴上的投影 (1-8)
为：
pi ni
1.4 主应力分布图
1.3 应力张量的分解
(1) ii 11 22 33 3 (2) ij ij 1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
弹塑性力学PPT课件
早期研究： • 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为
Mohr- Coulomb准则； • 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移
面概念； • 1903年Kötter建立滑移线方法； • 1929年Fellenius提出极限平衡法； • 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； • 1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； • 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。
.
5
1.1 基本概念
• 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是 研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。 应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建 筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。
• 目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时 的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定 一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步 研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力 学问题打下必要的理论基础。
在加载过程中必须对其历史进行记录。
.
18
1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设
和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
.
.
6
弹塑性力学的基本假设
• （1）物体是连续的，其应力、应变、位移 都可用连续函数表示。
• （2）变形是微小的，忽略变形引起的几何 变化。
• 即连续介质和小变形假设。
.
7
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点:
• 应力－应变之间具有一一对应的关系，
弹塑性力学-02(张量初步)
若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具 有两个或多个方向性
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
弹塑性力学PPT课件
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
弹塑性力学第1,2章
2.2 张量的计算
①张量的下标记号法： A点坐标x，y，z : F矢量力 Fx，Fy，Fz:
xi
i 1,2,3
fi
i 1,2,3
二阶张量应力可以表示为： ij ( i , j 1,2,3 ) x xy xz 11 12 13 yx y yz 22 23 21 31 32 33 zx zy z 二阶张量应变可以表示为：
ij ij i1 i1 i2 i2 i3 i3
11 11 21 21 31 31
12 12 22 22 32 32 13 13 23 23 33 33
ai， i
a1 a2 a3 ai x1 x2 x3 xi
张量的内积
A ai i i 张量A与张量B内积：
1 2 m
B bj1 j2 jn
A B
从张量A中和张量B中各取1个下标，约定求和一次成
为一个（m+N-2）阶的张量的运算称之为张量内积。 两个一阶张量的内积
A ai B bi
A B= A B cos A B
A B=ai bi a1b1 a2b2 a3b3
弹塑性力学的分析方法和体系
求解的基本方程： ①力的平衡方程式 ②几何方程或称之为变形协调方程 ③物理方程 弹塑性力学问题最后归结为在给定边界条件下求解这 三大基本方程的问题。 弹性力学与塑性力学的最大区别，本构关系不同。
弹塑性力学的主要内容
1.弹塑性本构关系 本构关系是材料本身固有的一种物理关系，指材 料内任一点的应力和应变之间的关系 弹性本构关系 塑性本构关系 广义虎克定律 增量理论和全量理论
弹塑性力学
张量场的右梯度
S∇ = T
Tijk = Sij,k
2→3
16
笛卡儿张量简介(II)
四、笛卡儿张量场 • 几个常用的积分公式
Vu
Sn
u 在V+S上连续可微
∫V ∇ ⋅udV = ∫S n ⋅udS ∫ ∫ V ui,idV = S niuidS
∫V ∇ o UdV = ∫S n o UdS
广义Gauss公式
8
笛卡儿张量简介(II)
3. 二阶张量 • 张量的不变量
笛卡儿张量简介(II)
3. 二阶张量 • 二阶对称张量的主方向和主值
三维二阶对称张量的独立不变量只有3 个，
三维二阶反对称张量的独立不变量只有1 个
9
10
笛卡儿张量简介(II)
4. 各向同性张量
T = αδ ij ei e j
⎜⎛α 0 0 ⎟⎞ ⎜0 α 0⎟ ⎜⎝ 0 0 α ⎟⎠
n个指标，n个坐标转换系数，n阶张量
2
笛卡儿张量简介(II)
商法则：如果它与一个矢量点积得到的是一个 n - 1阶张量，则该指标符号表示的是一个n 阶 张量。也可表示成，如果它连续和n 个矢量点 积得到一个标量，则该量是一个n 阶张量。
3
笛卡儿张量简介(II)
• 三、张量 2. 张量代数
4
笛卡儿张量简介(II)
பைடு நூலகம்
0 →1 1→ 0
矢量场的旋度 curlu = ω = eieijk ∂ juk = ∇ × u ωi = eijk ∂ juk
1→1
12
2
笛卡儿张量简介(II)
四、笛卡儿张量场 • 标量场与矢量场的微分
∇ ⋅ u = (ei∂i ) ⋅ (u j e j ) = (ei ⋅ e j )∂iu j = ∂iui = ui,i ∇ × u = (ei∂i ) × (u j e j ) = (ei × e j )∂iu j = ek ekij∂iu j = ek ekiju j,i
弹塑性力学课件
i,j
任晓丹 第二讲：张量分析基础
矩阵的标量函数
aij bij = A : B
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
矩阵
矩阵的向量函数 y1 = f1 (B) y2 = f2 (B) y3 = f3 (B)
线性函数
∑ 1 y1 = ∑i,j aij bij y2 = i,j a2 bij ∑ ij 3 y3 = i,j aij bij
标量
标量 x, y, x1 , y1 , ...... 标量函数 y = f(x), y1 = g(x1 ), ...... 线性标量函数 (线性变换) f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 )
线性函数的表示 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = ax
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
向量
向量 x = [x1 , x2 , x3 ]T , y = [y1 , y2 , y3 ]T
向量的标量函数 y = f(x) = f(x1 , x2 , x3 )
线性函数 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 =
任晓丹 第二讲：张量分析基础
矩阵的标量函数
aij bij = A : B
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
矩阵
矩阵的向量函数 y1 = f1 (B) y2 = f2 (B) y3 = f3 (B)
线性函数
∑ 1 y1 = ∑i,j aij bij y2 = i,j a2 bij ∑ ij 3 y3 = i,j aij bij
标量
标量 x, y, x1 , y1 , ...... 标量函数 y = f(x), y1 = g(x1 ), ...... 线性标量函数 (线性变换) f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 )
线性函数的表示 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = ax
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
向量
向量 x = [x1 , x2 , x3 ]T , y = [y1 , y2 , y3 ]T
向量的标量函数 y = f(x) = f(x1 , x2 , x3 )
线性函数 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 =
弹塑性力学(浙大课件)_图文
物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
(a)
显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中
的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。
若设偏应力状态 ：
由于:
主方向的方向余弦为l1’,l2’,l3’，则由式(1.9)同样得
(b)
显然，方向余弦l1’,l2’,l3’将由式(b)中
的任意两式和l1’2+l2’2+l3’ 2=1所确定
。
可见式(a)与式(b)具有相同的系数， 且已知l12+l22+l32= l1’2+l2’2+l3’ 2=1
I2’应用较广,又可表达为:
(1.52)
1.3 应变张量
等效应变(应变强度):
(1.54)
等效剪应变(剪应变强度):
(1.55)
1.4 应变速率张量
一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，
而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则:
设应变速率分量为:
质点的运动速度分量
1.4 应变速率张量
斜截面外法线n的方向余弦:
令斜截面ABC 的面积为1
(1.3)
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
(a)
显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中
的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。
若设偏应力状态 ：
由于:
主方向的方向余弦为l1’,l2’,l3’，则由式(1.9)同样得
(b)
显然，方向余弦l1’,l2’,l3’将由式(b)中
的任意两式和l1’2+l2’2+l3’ 2=1所确定
。
可见式(a)与式(b)具有相同的系数， 且已知l12+l22+l32= l1’2+l2’2+l3’ 2=1
I2’应用较广,又可表达为:
(1.52)
1.3 应变张量
等效应变(应变强度):
(1.54)
等效剪应变(剪应变强度):
(1.55)
1.4 应变速率张量
一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，
而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则:
设应变速率分量为:
质点的运动速度分量
1.4 应变速率张量
斜截面外法线n的方向余弦:
令斜截面ABC 的面积为1
(1.3)
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
《弹塑性力学》课件
结构弹塑性分析的方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等数值计算 方法。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。