【VIP专享】弹性力学_张量38
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弹性理论第三讲—张量理论2_573905609
一、张量代数
6、内积：并积加缩并的运算称为内积。 A Aijk ei e j e k
B Blmel e m
S Aijk ei e j e k Blmel e m Aijk Blm jm e i e k e l Aijk Blj ei e k el Sikl ei e k el Sikl Aijk Blj
12
直角坐标系
张量分量的转换规律，张量方程 小结： 1. 张量的性质； 2. 张量分量的转换规律； 3. 张量方程。
张量代数，商判则
13
张量代数，商判则
一、张量代数
1、相等： T = S Tij Sij T A Tij Aij 2、和、差： T = A B Tij Aij Bij 3、数积：
自由指标的阶数＝张量的阶数 自由指标的取值范围＝张量的维数
9
张量分量的转换规律，张量方程
二、张量分量的转换规律
2）张量分量的转换规律：
作用：判定某个数的集合是否为张量？ 可否满足分量转换规律是判别某个数的集 合是否表示一个张量的基本准则。 矢量a: ( a1 , a2 , a3 ) 数集： ( a1 , a , a3 )
10、各向同性张量：全部分量均不因坐标改 变而改变。
单位张量、球形张量、置换张量
31
常用特殊张量，主方向和主分量
Aijk Bkj ei Ti Aijk Bkj
18
张量代数，商判则
一、张量代数
9、并矢量：将k个独立矢量写在一起，称为并 矢量。 T abc ai b j ck ei e j e k
Ti ai b j ck
并矢量形成一个k阶张量
19
张量代数，商判则
弹性力学课件
弹性力学:梁的深度并不远小于 梁的跨度，而是同等大小的，那 么，横截面的正应力并不按直线 分布，而是按曲线变化的。
M (x) Iz
y
q
y h
(4
y2 h2
3) 5
这时，材料力学中给出的最大正 应力将具有很大的误差。
结构力学：研究杆系结构，弹性力学通常并不研究 杆件系统，但在20世纪50年代中叶发展起来的有限 单元法中(基于弹性力学的理论)，把连续体划分成 有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法 、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构 力学结合综和应用的良好效果。
zx
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y 轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
x 正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
连接前后两面中心的直线 z
ab作为矩轴，列出力矩平 衡方程，得
z
用各部分的长度和角度来表
C
z
示。
zx
zy
PA=x, PB=y , PC=z
线应变：单位长度的伸缩或相
yx y
yzP
xzxy x zy
x xz xy zx
对伸缩,亦称正应变. 用 表示 O A
z
x
切应变：各线段之间的直角的
改变.用 表示
yz
yx
y B
y
x: x方向的线段PA的线应变。z
第一章 绪论
§1.1 弹性力学的内容 §1.2 弹性力学的几个基本概念 §1.3 弹性力学的基本假定
§1.1 弹性力学的内容
M (x) Iz
y
q
y h
(4
y2 h2
3) 5
这时，材料力学中给出的最大正 应力将具有很大的误差。
结构力学：研究杆系结构，弹性力学通常并不研究 杆件系统，但在20世纪50年代中叶发展起来的有限 单元法中(基于弹性力学的理论)，把连续体划分成 有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法 、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构 力学结合综和应用的良好效果。
zx
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y 轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
x 正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
连接前后两面中心的直线 z
ab作为矩轴，列出力矩平 衡方程，得
z
用各部分的长度和角度来表
C
z
示。
zx
zy
PA=x, PB=y , PC=z
线应变：单位长度的伸缩或相
yx y
yzP
xzxy x zy
x xz xy zx
对伸缩,亦称正应变. 用 表示 O A
z
x
切应变：各线段之间的直角的
改变.用 表示
yz
yx
y B
y
x: x方向的线段PA的线应变。z
第一章 绪论
§1.1 弹性力学的内容 §1.2 弹性力学的几个基本概念 §1.3 弹性力学的基本假定
§1.1 弹性力学的内容
弹性力学基础讲解
弹性力学基础讲解一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ??-?=→?'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=??=→?F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=??=→?F s 0lim 。
弹性力学附录_张量
定一单位矩阵：
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
i j 可起到换下标的作用
ija j i1a1 i2a2 i3a3 a (i)(i) i ai
ikTk j i iTij Tij
t t
xz yz
t zx t zy z
可表示为 ij （i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22,33,12, 21, 23,32,31,13 ij (i, j 1,2,3)
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例： ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33
ijij i1i1 i2i2 i3i3
1111 12 12 13 13 2121 22 22 23 23 3131 3232 3333
ai，i
出
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi
i1
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示双（多） 重求和
双重求和 S aij xi xj
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
i j 可起到换下标的作用
ija j i1a1 i2a2 i3a3 a (i)(i) i ai
ikTk j i iTij Tij
t t
xz yz
t zx t zy z
可表示为 ij （i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22,33,12, 21, 23,32,31,13 ij (i, j 1,2,3)
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例： ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33
ijij i1i1 i2i2 i3i3
1111 12 12 13 13 2121 22 22 23 23 3131 3232 3333
ai，i
出
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi
i1
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示双（多） 重求和
双重求和 S aij xi xj
弹性力学-第二章 张量基础知识
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0
弹性力学第二章
强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)
附录 弹性力学参量的张量记法
应力分量：
可表示为：
缩写为
其中，如
同理，应变分量可缩写为：
向量
表示为
三阶线性方程组 可表示为 缩写为
二. 爱因斯坦求和约定
在如前述表达式的某项中，某指标重复出现一次，则 表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，重复指标 称为哑指标（简称哑标）；
非重复指标表示要把该项在该指标的取值范围内遍历 列出，非重复指标出称为自由指标（简称自由标）。 例：
在Descartes坐标系下具有相同性质的一组物理量，可 用一带下标的字母表示。如 位移分量 u、v 、w可表示为 u1 、u2、u3，缩写为 ui（i =1, 2, 3） 坐标 x、y、z可表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为 xi（i =1, 2, 3） 单位矢量 可表示为 ，缩写为 （i =1, 2, 3）
附录： 弹性力学参量的张量记法
前面给出的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位 移分量，其表示方法引用的是记号法； 这是一种公认的弹性力学参量表示方法。 上世纪二十年代起，数学理论中的张量记法（指标表示法） 开始出现在力学文献及教科书中。
张量记法书写简洁，便于力学问题的理论推导。
一. 指标符号
求和指标
j求和
j-求和指标 i-自由指标
i历列
说明：
（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例:
（2）哑标的有效范围仅限于本项。
（3）多重求和可采用不同的哑标表示。例:
（4）哑标可局部地成对替换。 （5）自由指标必须整体换名。 （6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混 淆，应声明对该指标不求和。例:
三. 求导数的简记方法
微分算符简记法 例:
历列
历列共27项 求和
徐芝纶版弹性力学第五章精品课件张量分析
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定义：
ei j k
1 1 0
ei j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 ... 0
a11
比较：
a12 a22 a32
a13 a23 ei j k a1i a2 j a3k erst a1r a2 s a3t a33
A a21 a31
特别地：
e1 e2 e12 k ek e123e3 e3
2
两个任意矢量的叉积
a b ai ei b j e j aib j ei e j aib j ei j k ek ei j k aib j ek c ( A2 5)
共27个分量，亦称为排列符号、置换符号
ei j k e j k i ek i j ei k j ek j i e j i k
e123 e231 e312 1
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13
e213 e132 e321 1
由此得
( A1 8)
ei j k ei j s jj ks js kj 3 ks ks 2 k s ei j k ei j k jj kk jk kj 3 3 jj 6
§A－2 矢量的基本运算
矢量a 分量ai
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
3.混合积
1
基矢量混合积
(ei e j ) ek ei j r er ek ei j r δr k ei j k
三．Ricci 符号
定义：
ei j k
1 1 0
ei j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 ... 0
a11
比较：
a12 a22 a32
a13 a23 ei j k a1i a2 j a3k erst a1r a2 s a3t a33
A a21 a31
特别地：
e1 e2 e12 k ek e123e3 e3
2
两个任意矢量的叉积
a b ai ei b j e j aib j ei e j aib j ei j k ek ei j k aib j ek c ( A2 5)
共27个分量，亦称为排列符号、置换符号
ei j k e j k i ek i j ei k j ek j i e j i k
e123 e231 e312 1
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13
e213 e132 e321 1
由此得
( A1 8)
ei j k ei j s jj ks js kj 3 ks ks 2 k s ei j k ei j k jj kk jk kj 3 3 jj 6
§A－2 矢量的基本运算
矢量a 分量ai
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
3.混合积
1
基矢量混合积
(ei e j ) ek ei j r er ek ei j r δr k ei j k
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应变张量
x xy xz
yx
y
yz
可表示为
zx zy z
ij（i=1,2,3; j=1,2,3）
微分符号：
f f ,
x1 x2
f , x3
f xi
f ,i
(i f )
(i 1,2,3)
2 f 2 f 2 f 2 fBiblioteka x12,x22
,
x32
, x1 x2
f ,ij
(i, j 1,2,3)
aibi xi
i1
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和
双重求和 S aij xi xj
33
S
aij xi xj 展开式（9项）
i1 j1
S a11x1x1 a12 x1x2 a13x1x3
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
* 1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）
*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出
n
a b x 是违约的，求和时要保留求和号 ii i
应力张量
tyxx
t xy y
t t
xz yz
t zx t zy z
可表示为 ij （i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22,33,12, 21, 23,32,31,13 ij (i, j 1,2,3)
约定： i, j,k, 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3. 在该约定
下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
n阶张量可表示为
a (i i1i2i3...in 1 1,2,3;i2 1,2,3; ;in 1,2,3)
哑标：在表达式的某项中，若某指标重复出现两 次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。 该重复指标称为“哑标”或“伪标”。
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定：
张量基本知识
第一章 张量代数
1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
1.1 基本概念
1. 标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选
择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量
无下标。
2体. ）矢、量位：移有u大、小力，F又等有。方矢向量性可的用物一理个量方。向如来矢确径定r（。或黑
于是引入二阶基：
e1 e2 e1e2
每个分量用一个标量
t xye1 e 2
xx e1 e1
（具有两个下标）与两 个并在一起基矢量（并
t xz e1 e3
矢）表示，称为二阶张
量。
11e1
e1
12
e1e2
......
33
e3
e3
3
3
ij
ei
ej
i1 j 1
从数学上说，可引入e1 e2 L en n 阶基， n阶基中有3n
点的坐标(x,y,z) （矢径） x1, x2 , x3 xi (i 1,2,3) 点的位移(u,v,w) u1,u2 ,u3 ui (i 1,2,3)
点的速度 vx , v y , vz v1, v2 , v3 vi (i 1,2,3)
应力（张量）： x , y , z ,t xy ,t yx ,t yz ,t zy ,t zx ,t xz 11, 22 , 33 , 12 , 21, 23 , 32 , 31, 13 ij (i, j 1,2,3)
ai1i2i3 ...in
1.2.2求和约定 （ Einstein求和约定）
rr
r r1e1
r r2e2
r r3e3
3
r ri ei
r ri ei
i 1
矢量点积的实例
设 a, b 为两矢量，其分量分别记为 ai , bi ，则：
3
a b a1b1 a2b2 a3b3 aibi aibi i 1
个基矢。
与 n 阶基相关连的量称为 n 阶张量。
n 0时为标量；n 1时为矢量；n 2 时为二阶张量（简
称张量）。
故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。标量由1个分量 组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成；
三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成。
1.2 张量表示
1.2.1.下标记号法——张量的最简洁的一种表示方法
在 n 方向（ n 为作用面的法矢），应力矢
pn n
为 pn ；
而在 n方向，应力矢为 pn .
这说明应力矢本身有方向，而且还与其
n
作用面方向有关，必须用两个方向才能
p n
描述应力矢。
常用的应力单元体也是如此：
每一个应力分量也必须用两个方向才能描述，第一个 方向为应力作用面的方向，第一个方向为应力作用的 方向。
3
r r1e1 r2 e2 r3e3 ri ei
i 1
（3）分量记法： 将矢量用其全部分量的集合 来表示
r（ r1、r2、r3 )
（4）矩阵记法：
r {r },{ri }
3,张量：有大小，并具有多重方向性的量（可描
述更复杂的物理量）。 如应力 、应变。
有些量不能只利用一个方向来确定。如应力： 它与两个方向有关
x3
3
r r1e1 r2 e2 r3e3 ri ei
r
其中
e1
、e2
、e3
i 1
为坐标的基矢量（单位
向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的
投影（分量），都有一个下标。
x1
e3
e1
e2
x2
记法：
（1）实体记法：
r
（或黑体字母）
r
（2）分解式记法：同时写出矢量的分量和相应 分解分量的基。
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例题： ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33
ijij i1i1 i2i2 i3i3 1111 12 12 13 13 2121 22 22 23 23 3131 3232 3333