高等弹性力学+张量

所谓1，2，3的偶排列，是指对有序数组1，2，3逐次对换两 个相邻的数字而得到的排列，反之为奇排列，因此 ：
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置换符号的作用可以简化公式书写，如： 1． 三阶行列式：
A11 A12 A13 A A21 A22 A23 eijk Ai1 A j 2 Ak 3 eijk A1i A2 j A3k A31 A32 A33
3 u u1 e1 u 2 e2 u 3 e3 u i ei i 1
其 e1 e2 e3 为坐标的基方向（单位向量），r1、r2、r3为
r在坐标轴的投影（分量），都有一个下标。
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§1
张量的定义
张量：有大小，并具有多重方向性的量。如应力 、应变。 在三维笛卡儿（Descartes）坐标系中，一个含有三个与 坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 例如，对于位移分量u，v，w可以表示为u1, u2, u3，缩写 记为ui，i=1, 2, 3。对于坐标x, y, z可以表示为xi。对于一 个含有九个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。 例如九个应力分量或应变分量（由于对称，实际独立的仅 有六个）可以分别表示为ij和ij，其中11, 22分别表示x
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e1
e2
e3
习题： 1、用求和约定改写下式：； ( a ) d dx1 dx2 dx3 x1 x 2 x3
(b)
( x1 ) 2 ( x2 ) 2 ( x3 ) 2
2、将求和约定表达式写成展开形式：
(a)
aij b jk
(b)
cijj
3、证明：
(a)
d ii d ij 3
(b)
eijk ai a j 0
(c)
d ij eijk 0
22
23
1
§2
张量的求和约定
由于张量是由许多分量所组成的有序整体，所以就有必要 引入某些必不可少的约定，以简化其表达和运算形式。在张量 表达式中，有大量的求和符号 ，均表示分别对i，j，k由1 到3求和，例如：
在求和符号内，求和元素下标均出现两次。因此，对求和公 式的写法进行简化。 求和约定：凡是张量表达式中，同一项内的一个下标出现两 次，则对此下标从1到3求和（平面问题从1到2求和）。
反之，如z ‘ 为已知矢量，而ai为与坐标有关的三个标量，使 一次形式 在坐标变换时保持不变。根据矢量定义， 则ai 也是矢量。
1
§1
张量的定义
推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。设 (z 1, z 2, z3)和(h 1, h 2, h3)是矢量，aij是与坐标 有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式：
标量：只有大小、没有方向性的物理 量，与坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑体）、位 移 、力 等。 矢量也可以用它的标量表示：
x3
r
e3
x1 x2
e1
e2
3 r r1e1 r2e2 r3e3 ri ei i 1
（共六项，三项为正，三项为负）。 2. 基向量的叉积：右手系
e1 e2 e3 e123e3
e2 e1 e3 e213e3
任意基向量的叉积可写为
ei e j eijkek ekijek
3．向量叉积的展开式：
a ai ei
保持不变，则称由两个下标i，j确定的九个量的集合 aij为二阶 张量。 aij中的每一个分量被称作张量（对于指定的坐标系） 的分量。 根据上述定义，可以推导出坐标变换时张量分量的变换规 律。由题设条件，当坐标变换时，有：
1
§1
张量的定义
代入坐标变换关系，则：
注意到：
回代可得： 上式给出了二阶张量的变换关系。以此可以作为判别一个具有 两个下标的九个量 aij是否为张量。应力分量ij和应变分量ij 都是满足这一变换规律的，因此，它们分别组成了二阶张量。
利用偏导数的下标记法，弹性力学中常用的偏导数 均可缩写表示。如：
1
§3
偏导数的下标记法
可以证明，上述每一个偏导数所组成的集合都是张量。（利 用坐标变换证明，略）
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§4
特殊的张量符号
克罗内克尔记号： 张量分析时经常需要某种代换运算， 因 此引入克罗内克尔（Kronecker Delta）记号 dij 。其定义为，
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二阶对称张量 反对称张量
Tij Tji
Tij T ji
任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对 称张量和一个分对称张量之和。
张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶
以上高阶张量。
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§4 置换符号：
特殊的张量符号
在张量分析中，除了克罗内克尔记号dij 之外，还有一个替代 符号，称为置换符号eijk 它定义为
显然，克罗内克尔记号表示单位矩阵的各个元素。
2
克罗内克尔记号满足张量变换关系，也是二阶张量，它有以下运 算规律。
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§4
特殊的张量符号
如果 dij 符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子 的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成dij的另 一个指标，而 dij 自动消失。dij 也称为换标符号。
解析定义： 为了给张量一个确切的定义，首先讨论矢量定义。在坐标系 Ox1x2x3中。矢量OP的三个分量z 1， z 2， z3可以缩写作z i，同 一矢量OP在新坐标系Ox'1x'2x'3中，写作z '1， z '2， z '3，缩写 为z 'i。设坐标系Ox1x2x3与Ox'1x'2x'3的夹角方向余弦如下表所示
1
§1
张量的定义
方向余弦ni'j 的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标 对应于原坐标轴。则矢量在新老坐标系中的关系为
或者
上式可以缩写为：
或者
1
§1
张量的定义
考察矢量 A(a1, a2, a3)和OP(z 1, z 2, z3) ，作它们 的标量积，则：
显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标 变换，则：
这种出现两次，而求和之后不再出现的下标，称为哑标。
1
§2
张量的求和约定
根据求和约定，张量表达式中的求和符号可以省略，缩写 为 。上式中的k 和i 均为哑标。显然，哑标是 可以互换的。求和定约同样可以用于二阶，三阶或更高阶 的张量求和。例如 ：
一个张量表达式中如果出现非重复的下标或者表达式中的某一项 出现非重复的下标号，称为自由标。 一个自由标表示三个张量分量或表达式。例如下标 i 为 ui的 自由标，表示张量的三个分量。而xi=cijyj中，j为哑标，表示需 要从1到3求和，而i为自由标，表示：
, xy（就是xy)； 11 , 22分别表示x, xy等。简单的定义：所 谓张量就是一个物理量或几何量，它由在某些参考坐标系中一 定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定 的变化法则变换。
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1
§1
张量的定义
同样，一个含有27个独立变量的集合可以用三个下标表示；而 含有81个独立变量的集合可以用四个下标表示，依次可以类推。
1
§2
张量的求和约定
上式说明自由标的个数表示了张量表达式所代表的方程数。
1
§3
偏导数的下标记法
在弹性力学中，经常可见到诸如位移分量， 应力分量和应变分量等张量对坐标 xi 的偏导数， 为表达张量的偏导数的集合体，引入逗号约定。 逗号约定: 为了缩写含有对一组直角坐标xi 取偏 导数的表达式，我们规定当逗号后面紧跟一个下 标i时，表示某物理量对xi 求偏导数。即：
张
§1 §2 §3 张量的定义
量
张量的求和约定 偏导数的下标记法
§4
特殊的张量符号
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由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较繁杂， 推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近几十年弹性 力学的论述及方程列式采用指标符号表示。为了这一原因， 这里也简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是在笛 卡尔坐标系中采用。力学中常用的物理量
b bje j
而
c a b ck ek
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekijek
则：
ck eijk ai b j ekijai b j
c a b a1 a2 a3 eijk ai b j ek b1 b2 b3