张量弹性力学2
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弹塑性力学-02(张量初步)
S jkm Aijk B im
17
对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。
R ijl Aijk B lk S jkm
点积 是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后 张量B的第一指标缩并的结果，记为 A B 。其指标符号为：
A B = Aijk B km
两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。 线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的 特例
i 1 3
i i i
abc i
i
i
若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明 对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以 示不计其数。 例如方程 c i a ib i d i
i
是自由指标
11
综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
'Байду номын сангаас
x 2 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 a 2 j x j ;
'
x 3 a 3 1 x1 a 3 2 x 2 a 3 3 x 3 a 3 j x j ;
'
再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：
x i a ij x j
'
这里 j 是哑标， i 是自由指标。自由指标可以轮流取该指 标范围内的任何值，关系式将始终成立。
例如， R i Tijj 是一个保留了 i 方向性的矢量，而上述 S j Tiji 是一个保留了 j 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的 例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 j 代 表的是截面上应力的分解方向。 内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积 表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例 如：
张量弹性力学2
23
2 3
2
消去l2
2 2 ; l2 ; l3 0 2 2
12
1 2
2
因为：1
2 3
max 3 1 min 2
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
•
3
八面体（每个坐标象限1个面）
2 1
沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的 八个面组成的图形，称为八面体。
代入
S N 1 11l1 12l2 13l3 S N 2 21l1 22l2 23l3 S l l l 31 1 32 2 33 3 N3
( 11 )l1 12l2 13l3 0 21l1 ( 22 )l2 23l3 0 l l ( )l 0 32 2 33 3 31 1
(1.3)
SNi ij l j
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N S N 1l1 S N 2l2 S N 3l3
2 11l12 22l2 33l32 2 12l1l2 2 23l2l3 2 31l3l1
SOBC 1 cos( n, x1 ) l1 SOAC 1 cos( n, x2 ) l2 S OAB 1 cos( n, x3 ) l3
3 S N 1 11l1 12l2 13l3 1 j l j j 1 3 S N 2 21l1 22l2 23l3 2 j l j j 1 3 S N 3 31l1 32l2 33l3 3 j l j j 1
弹塑性力学第二章 矢量和张量概述
U (V W ) (U V )W
(2.16) （2.17）
矢量方程
通过方程来表示（矢量）物理量的关系或几何事实
如，一个质点受力 条件为
F , F ,..., F
(2)
(1)
(2)
( n)
作用，质点的平衡
F
(1)
F
... F
i y
( n)
0
n i z
在直角坐标系Oxyz中，用投影表示
U V u1v1 u 2 v2 u3 v3 ui vi ui vi u k vk
i 1
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新 矢量，即 (w , w , w ) (u v , u v , u v )
C
X’
D
B x
A
可以表示为
' i
x ij x j
(i, j 1,2)
(a)
11 ij 21
12 cos sin 22 sin cos
Gi xi
（i=1,2,3）
这里的三个导数可以看成是矢量的三个分量，即 G grad ( , , ) x1 x2 x3 这里 ( , , ) 表示梯度算子。
x1 x2 x3
需要强调指出， 是垂直于空间曲面
( x1 , x2 , x3 ) c
则有如下平移公式
x x ' h x ' x h 或 y y ' k y ' y k
若原点保持不动,新坐标系由Ox和Oy沿逆时针方向旋转 角得到
(2.16) （2.17）
矢量方程
通过方程来表示（矢量）物理量的关系或几何事实
如，一个质点受力 条件为
F , F ,..., F
(2)
(1)
(2)
( n)
作用，质点的平衡
F
(1)
F
... F
i y
( n)
0
n i z
在直角坐标系Oxyz中，用投影表示
U V u1v1 u 2 v2 u3 v3 ui vi ui vi u k vk
i 1
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新 矢量，即 (w , w , w ) (u v , u v , u v )
C
X’
D
B x
A
可以表示为
' i
x ij x j
(i, j 1,2)
(a)
11 ij 21
12 cos sin 22 sin cos
Gi xi
（i=1,2,3）
这里的三个导数可以看成是矢量的三个分量，即 G grad ( , , ) x1 x2 x3 这里 ( , , ) 表示梯度算子。
x1 x2 x3
需要强调指出， 是垂直于空间曲面
( x1 , x2 , x3 ) c
则有如下平移公式
x x ' h x ' x h 或 y y ' k y ' y k
若原点保持不动,新坐标系由Ox和Oy沿逆时针方向旋转 角得到
弹性理论第三讲—张量理论2_573905609
一、张量代数
6、内积：并积加缩并的运算称为内积。 A Aijk ei e j e k
B Blmel e m
S Aijk ei e j e k Blmel e m Aijk Blm jm e i e k e l Aijk Blj ei e k el Sikl ei e k el Sikl Aijk Blj
12
直角坐标系
张量分量的转换规律，张量方程 小结： 1. 张量的性质； 2. 张量分量的转换规律； 3. 张量方程。
张量代数，商判则
13
张量代数，商判则
一、张量代数
1、相等： T = S Tij Sij T A Tij Aij 2、和、差： T = A B Tij Aij Bij 3、数积：
自由指标的阶数＝张量的阶数 自由指标的取值范围＝张量的维数
9
张量分量的转换规律，张量方程
二、张量分量的转换规律
2）张量分量的转换规律：
作用：判定某个数的集合是否为张量？ 可否满足分量转换规律是判别某个数的集 合是否表示一个张量的基本准则。 矢量a: ( a1 , a2 , a3 ) 数集： ( a1 , a , a3 )
10、各向同性张量：全部分量均不因坐标改 变而改变。
单位张量、球形张量、置换张量
31
常用特殊张量，主方向和主分量
Aijk Bkj ei Ti Aijk Bkj
18
张量代数，商判则
一、张量代数
9、并矢量：将k个独立矢量写在一起，称为并 矢量。 T abc ai b j ck ei e j e k
Ti ai b j ck
并矢量形成一个k阶张量
19
张量代数，商判则
哈工大弹塑性力学02_张量概念
哈工大 土木工程学院
……
12 / 48
02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
哈工大 土木工程学院
2 / 48
02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
哈工大 土木工程学院
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
……
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02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
哈工大 土木工程学院
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02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
哈工大 土木工程学院
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用PPT课件
精选课件 31
符号ij 与erst
➢ erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
➢ 定义(笛卡尔坐标系)
1
e rst
1
0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
或
erst
1rssttr
2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到精的选(课2件,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
精选课件 29
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
3
➢ 分解式记法： uu1e1u2e2u3e3 uiei i1
➢ 分量记法： u i
精选课件
Appendix A.1
8
张量基本概念
➢ 指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
d s2 d x 1 2 d x 22 d x 32
可简写成： ds2 dxi dxi
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分： f
d f xi d xi
精选课件 24
符号ij 与erst
➢ erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
➢ 定义(笛卡尔坐标系)
1
e rst
1
0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
或
erst
1rssttr
2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到精的选(课2件,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
精选课件 29
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
3
➢ 分解式记法： uu1e1u2e2u3e3 uiei i1
➢ 分量记法： u i
精选课件
Appendix A.1
8
张量基本概念
➢ 指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
d s2 d x 1 2 d x 22 d x 32
可简写成： ds2 dxi dxi
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分： f
d f xi d xi
精选课件 24
弹性力学附录_张量
定一单位矩阵：
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
i j 可起到换下标的作用
ija j i1a1 i2a2 i3a3 a (i)(i) i ai
ikTk j i iTij Tij
t t
xz yz
t zx t zy z
可表示为 ij （i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22,33,12, 21, 23,32,31,13 ij (i, j 1,2,3)
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例： ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33
ijij i1i1 i2i2 i3i3
1111 12 12 13 13 2121 22 22 23 23 3131 3232 3333
ai，i
出
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi
i1
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示双（多） 重求和
双重求和 S aij xi xj
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
i j 可起到换下标的作用
ija j i1a1 i2a2 i3a3 a (i)(i) i ai
ikTk j i iTij Tij
t t
xz yz
t zx t zy z
可表示为 ij （i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22,33,12, 21, 23,32,31,13 ij (i, j 1,2,3)
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例： ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33
ijij i1i1 i2i2 i3i3
1111 12 12 13 13 2121 22 22 23 23 3131 3232 3333
ai，i
出
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi
i1
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示双（多） 重求和
双重求和 S aij xi xj
弹性力学-第二章 张量基础知识
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0
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几个基本概念
张量的概念
只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量 物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： 标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
(1.3)
SNi ij l j
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N S N 1l1 S N 2l2 S N 3l3
2 11l12 22l2 33l32 2 12l1l2 2 23l2l3 2 31l3l1
23
2 3
2
消去l2
2 2 ; l2 ; l3 0 2 2
12
1 2
2
因为：1
2 3
max 3 1 min 2
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
•
3
八面体（每个坐标象限1个面）
2 1
沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的 八个面组成的图形，称为八面体。
(1.20)
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
• 八面体面上的正应力为:
代入
S N 1 11l1 12l2 13l3 S N 2 21l1 22l2 23l3 S l l l 31 1 32 2 33 3 N3
( 11 )l1 12l2 13l3 0 21l1 ( 22 )l2 23l3 0 l l ( )l 0 32 2 33 3 31 1
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
M=rn=3n
几个基本概念
下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区 别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。
( x, y, z) ( x1, x2 , x3 ) xi (i 1, 2,3)
简化后得
3 J1 2 J 2 J 3 0
(1.14)
J1 11 22 33 kk
是关于λ 的三次方程，它的三个根，即为三个主 应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。
式中:
11 12 22 23 33 31 1 J2 ( ii kk ik ki ) 21 22 32 33 13 11 2
•
八面体的法线方向余弦：
l1 l2 l3
2 l12 l2 l32 1
l1 l2 l3 1/ 3
或
(1.19)
arccos(l1 ) arccos(l2 ) arccos(l3 ) 54 44'
•
八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：
P 1 1l1 1 / 3, P 2 2l2 2 / 3, P 3 3l3 3 / 3
采用张量下标记号
(1.8)
( ij dij )l j 0
Kroneker delta记号
(1.9)
1.1 应力张量
dij记号：Kroneker-delta记号
1, i j d ij 0, i j
采用张量表示
1 0 0 d ij 0 1 0 0 0 1
(1.10)
方向余弦满足条件：
2 l12 l2 l32 1
(1.11)
lili 1
(1.12)
联合求解 l1,l2,l3：
( 11 )l1 12l2 13l3 0 l ( )l l 0 21 1 22 2 23 3 31l1 32l2 ( 33 )l3 0 2 2 2 l l l 1 1 2 3
11 12 13 J 3 21 22 23 ij 31 32 33
(1.15)
主应力大小与坐标选择无关，故 J1,J2,J3也必与坐标选择无关。
J1 , J 2 , J 3 : 应力不变量
1.1 应力张量
若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：
J1 1 2 3
过C点可以做无 穷多个平面K 不同的面上的应 力是不同的
到底如Байду номын сангаас描绘一 点处的应力状态?
1.1 应力张量
C
z
zx zy yz x y xz yx
B
y
一点的应力状态可由过该点的微小
正平行六面体上的应力分量来确定。
z
yx xz
x xy xz ij yx y yz zx zy z
弹塑性力学基础
1.1 应力张量
1.2 偏量应力张量
1.3 应变张量 1.4 应变速率张量
1.5 应力、应变 Lode参数
1.1 应力张量
1).一点的应力状态
～力学的语言
z
n
C
A
pn n lim A 0 A
正应力
n
ps n lim A0 A
剪应力
y
O
x
SOBC 1 cos( n, x1 ) l1 SOAC 1 cos( n, x2 ) l2 S OAB 1 cos( n, x3 ) l3
3 S N 1 11l1 12l2 13l3 1 j l j j 1 3 S N 2 21l1 22l2 23l3 2 j l j j 1 3 S N 3 31l1 32l2 33l3 3 j l j j 1
消去l3：
2 2 2 2 2 2 2 2 N (12 3 )l1 ( 2 3 )l2 3 [(1 3 )l12 ( 2 3 )l2 3 ]2
由极值条件
n 0及 n 0 l1 l2
1 2 l1 ( 1 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l2 ( 1 3 )] 0 2
l1 0 及l2 0
它们分别作用在 与相应主方向成 45º的斜截面上
第一组解：l 2 ; l 0 ; l 1 2 3
2
2 2
13
1 3
2
l1 0 及l2 0
第二组解： l1 0 ; l2 第三组解： l1
2 2 ; l3 2 2
J 2 ( 1 2 2 3 3 1 )
J 3 1 2 3
(1.16)
主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：
1
2 3
2
, 2
3 1
2 3
, 3
1 2
2
(1.17)
3
1
1
2 1
1
主剪应力面(1 )
2
1.1 应力张量
几个基本概念
求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程 N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） S Ni ij l j i1l1 i 2l2 i 3l3
(1.5)
斜截面OABC上的剪应力:
2 2 2 2 N SN S S 1 N2 N3 N
(1.6)
1.1 应力张量
3).主应力及其不变量
主平面:剪应力等于零的截面
主应力--λ :主平面上的正应力
S N 1 l1 S N 2 l2 (1.7) S l 3 N3
1 l2 ( 2 3 )[( 1 3 )l ( 2 3 )l ( 2 3 )] 0 2
2 1 2 2
1.1 应力张量
最大最小剪应力：
1 2 l1 ( 1 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l2 ( 1 3 )] 0 2 1 l2 ( 2 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l22 ( 2 3 )] 0 2
(i :自由下标，j : 哑标，i, j 1, 2,3）
dij记号：Kroneker-delta记号
1, i j d ij 0, i j
1 0 0 张量表示：d ij 0 1 0 0 0 1
几个基本概念
张量的计算:
1 、张量的加减 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为： 2 、张量的乘法 第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到 一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。
数学上，在坐标变换时，服从一 定坐标变换式的九个数所定义的 量叫做二阶张量。
1.1 应力张量
2).一点斜面上的应力(不计体力)
斜截面外法线n的方向余弦:
cos( n, x1 ) l1 cos( n, x2 ) l2 cos( n, x ) l 3 3
令斜截面ABC 的面积为1
11 12 13 ij 22 23 21 31 32 33
下标1、2、3表示坐标x1、x2、x3 即x、y、z方向
张量的概念
只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量 物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： 标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
(1.3)
SNi ij l j
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N S N 1l1 S N 2l2 S N 3l3
2 11l12 22l2 33l32 2 12l1l2 2 23l2l3 2 31l3l1
23
2 3
2
消去l2
2 2 ; l2 ; l3 0 2 2
12
1 2
2
因为：1
2 3
max 3 1 min 2
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
•
3
八面体（每个坐标象限1个面）
2 1
沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的 八个面组成的图形，称为八面体。
(1.20)
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
• 八面体面上的正应力为:
代入
S N 1 11l1 12l2 13l3 S N 2 21l1 22l2 23l3 S l l l 31 1 32 2 33 3 N3
( 11 )l1 12l2 13l3 0 21l1 ( 22 )l2 23l3 0 l l ( )l 0 32 2 33 3 31 1
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
M=rn=3n
几个基本概念
下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区 别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。
( x, y, z) ( x1, x2 , x3 ) xi (i 1, 2,3)
简化后得
3 J1 2 J 2 J 3 0
(1.14)
J1 11 22 33 kk
是关于λ 的三次方程，它的三个根，即为三个主 应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。
式中:
11 12 22 23 33 31 1 J2 ( ii kk ik ki ) 21 22 32 33 13 11 2
•
八面体的法线方向余弦：
l1 l2 l3
2 l12 l2 l32 1
l1 l2 l3 1/ 3
或
(1.19)
arccos(l1 ) arccos(l2 ) arccos(l3 ) 54 44'
•
八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：
P 1 1l1 1 / 3, P 2 2l2 2 / 3, P 3 3l3 3 / 3
采用张量下标记号
(1.8)
( ij dij )l j 0
Kroneker delta记号
(1.9)
1.1 应力张量
dij记号：Kroneker-delta记号
1, i j d ij 0, i j
采用张量表示
1 0 0 d ij 0 1 0 0 0 1
(1.10)
方向余弦满足条件：
2 l12 l2 l32 1
(1.11)
lili 1
(1.12)
联合求解 l1,l2,l3：
( 11 )l1 12l2 13l3 0 l ( )l l 0 21 1 22 2 23 3 31l1 32l2 ( 33 )l3 0 2 2 2 l l l 1 1 2 3
11 12 13 J 3 21 22 23 ij 31 32 33
(1.15)
主应力大小与坐标选择无关，故 J1,J2,J3也必与坐标选择无关。
J1 , J 2 , J 3 : 应力不变量
1.1 应力张量
若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：
J1 1 2 3
过C点可以做无 穷多个平面K 不同的面上的应 力是不同的
到底如Байду номын сангаас描绘一 点处的应力状态?
1.1 应力张量
C
z
zx zy yz x y xz yx
B
y
一点的应力状态可由过该点的微小
正平行六面体上的应力分量来确定。
z
yx xz
x xy xz ij yx y yz zx zy z
弹塑性力学基础
1.1 应力张量
1.2 偏量应力张量
1.3 应变张量 1.4 应变速率张量
1.5 应力、应变 Lode参数
1.1 应力张量
1).一点的应力状态
～力学的语言
z
n
C
A
pn n lim A 0 A
正应力
n
ps n lim A0 A
剪应力
y
O
x
SOBC 1 cos( n, x1 ) l1 SOAC 1 cos( n, x2 ) l2 S OAB 1 cos( n, x3 ) l3
3 S N 1 11l1 12l2 13l3 1 j l j j 1 3 S N 2 21l1 22l2 23l3 2 j l j j 1 3 S N 3 31l1 32l2 33l3 3 j l j j 1
消去l3：
2 2 2 2 2 2 2 2 N (12 3 )l1 ( 2 3 )l2 3 [(1 3 )l12 ( 2 3 )l2 3 ]2
由极值条件
n 0及 n 0 l1 l2
1 2 l1 ( 1 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l2 ( 1 3 )] 0 2
l1 0 及l2 0
它们分别作用在 与相应主方向成 45º的斜截面上
第一组解：l 2 ; l 0 ; l 1 2 3
2
2 2
13
1 3
2
l1 0 及l2 0
第二组解： l1 0 ; l2 第三组解： l1
2 2 ; l3 2 2
J 2 ( 1 2 2 3 3 1 )
J 3 1 2 3
(1.16)
主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：
1
2 3
2
, 2
3 1
2 3
, 3
1 2
2
(1.17)
3
1
1
2 1
1
主剪应力面(1 )
2
1.1 应力张量
几个基本概念
求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程 N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） S Ni ij l j i1l1 i 2l2 i 3l3
(1.5)
斜截面OABC上的剪应力:
2 2 2 2 N SN S S 1 N2 N3 N
(1.6)
1.1 应力张量
3).主应力及其不变量
主平面:剪应力等于零的截面
主应力--λ :主平面上的正应力
S N 1 l1 S N 2 l2 (1.7) S l 3 N3
1 l2 ( 2 3 )[( 1 3 )l ( 2 3 )l ( 2 3 )] 0 2
2 1 2 2
1.1 应力张量
最大最小剪应力：
1 2 l1 ( 1 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l2 ( 1 3 )] 0 2 1 l2 ( 2 3 )[( 1 3 )l12 ( 2 3 )l22 ( 2 3 )] 0 2
(i :自由下标，j : 哑标，i, j 1, 2,3）
dij记号：Kroneker-delta记号
1, i j d ij 0, i j
1 0 0 张量表示：d ij 0 1 0 0 0 1
几个基本概念
张量的计算:
1 、张量的加减 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为： 2 、张量的乘法 第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到 一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。
数学上，在坐标变换时，服从一 定坐标变换式的九个数所定义的 量叫做二阶张量。
1.1 应力张量
2).一点斜面上的应力(不计体力)
斜截面外法线n的方向余弦:
cos( n, x1 ) l1 cos( n, x2 ) l2 cos( n, x ) l 3 3
令斜截面ABC 的面积为1
11 12 13 ij 22 23 21 31 32 33
下标1、2、3表示坐标x1、x2、x3 即x、y、z方向