附录 弹性力学参量的张量记法
弹性力学02
a a1b1 a2b2 a3b3 b
爱因斯坦求和约定： 如果在 表达式的某项中，其指标重复出现两次，表示要将 该项在该指标取值范围内遍历求和。该重复指标称为哑指标 （哑标）用哑标代替 。
因为ai bi bi ai 所以点积矢量 a b b a
b a b j e j ai ei b j ai e j ei e jik ai b j ek eijk ai b j ek a b
几何意义：面元矢量。大小等于由此两矢量构成的平行四边形 面积。方向为面元法线，右手自 a 至 b ，大拇指方向。 4. 矢量的混合积 标量 a , b, c a c a b b c 若交换相邻两矢量顺序，混合积的值反号。 a, b, c b, a, c a b c为右手系时，混合积为此三矢量构成的平行六面体体积
ij a jk aik , ij aik a jk ij akj aki , ij aki akj ij ij ik , ij jk kl akj
erst 1 1 0
（二）置换符号 erst定义为
当r，s，t为正序排列时 当r，s，t为正序排列时 当r，s，t两个指标相同时
ai bi a j b j a1b1 a2b2 a3b3 a a b cos b
3. 两矢量叉积 a b ai ei b j e j aib j ei e j aib j eijk ek
kr is js ks it jt kt
张量1-1
u1
u2 v2
u3 v3 ijk uiv j wk w3
U (V W ) v1
w1 w2
用置换符号展开三阶行列式，令：
1 a1 a a12
a1 2 2 a2
3 a2
1 a3 2 1 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 a3 a1 a2 a3 a12 a2 a3 a13a1 a a a a a a a a 2 3 1 2 3 1 2 3 1 a2 a3 3 a3
Txx Txy Txz bx 0 x y z Tyx x Tyy y Tyz z by 0
Tzx Tzy Tzz bz 0 x y z
写出其指标记法
Tij j
bi 0
Tji, j bi 0
ij 2G ij kkij
缩并
ii 2G ii kk ii 2G ii 3 kk (2G 3 ) kk 哑标与求和无
关，可用任意 字母代替
为平均应力应变之间的关系 G、λ称 (Lame,G) 常数
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
1
123 1
3
2
132 1
叉积U×V可表成：
e1 v1 e2 v2 e3 v3 U V u1 u2 u3 ijk u j vk
如i=1时：
1 jk u j vk 123u2v3 132u3v2 u2 v3 u3v2
U (V W ) 可表成：
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 12 xy 12 2G 2G 11 22 33
超声学-弹性力学的基本方程
三个应变主轴相互垂直
1. 广义虎克定律 17世纪, Hooke发现:
2.弹性常数个数
函数一阶近似
11 Ee11
ij ij (ekl ) ij Cijklekl eij Sijkl kl
Cijkl
81
斜 单斜 正交/斜方 四方 三角 六角 立方 各向同性
eij=eji
]
1 2 [ui, jui,k
u j,k
uk, j
jk
jk
]
1 2 [ui, jui,k
u j,k
uk, j ]
这两个式子请记住！
线性小位移: eij是对称的
eij
1 2 (ui, j
u j,i )
6个独立分量
e11
1 2
( u1 x1
u1 x1
)
u1 x1
,
e22
u2 x2
,
e33
u3 x3
1 (u2 2 x3
u3 ) x2
u 2 x3
tan 23
23
u3 x2
tan 32
32
e23
1 2
(
23
32 )
i j
面积(体积)不变,形状改变
X3
四边形，底、高不变
M
M’
du2
dx3
23
P P’
X2
x3
du2
P’
du3 x2
法向应变不为零,切向应变为零面 元的法向, 应变主轴, 主应变
1 2
dx2
( 32
32
x2
dx2 )dx2dx1
1 2
dx3
32dx2dx1
弹性力学应力张量的定义
弹性力学应力张量的定义
一个任意形状的三维物体，受到任意外力F作用，如下图所示。
●9这个应力分量可以简记为：
⎤
⎡⎥⎥⎤⎢⎡131211σσσττσxz xy x ⎥⎥⎥⎦
⎢⎢
⎢⎣=⎥⎦⎢⎢⎣=3332
31232221σσσσσσστττστσz zy zx yz y yx ij 这9个应力分量的整体构成了一个二阶对称张量，称
为应力张量。
其中，是弹性力学中应用非常广泛的一种张3311,,σσ 量记法，采用该记法能够极大地方便复杂弹性力学公式的书写和记忆。
●后面将证明，这9个应力分量（只有6个独立）可以表示出弹性体内任一点M 的所有截面上的应力。
也就是σ说，在弹性力学里，将采用上面的作为应力的度量。
ij
●类似地，可以定义出弹性力学里的应变张量和位移矢量。
{}
T
xy xz yz z y x ij τττσσσσ=6个独立的应力分量{}
T
xy xz yz z
y x ij εεεεεεε=6个独立的应变分量{}
T
w v u u i =3个独立的位移分量
●弹性力学的主要任务就是建立这15个变量所应满足的关系式（方程式），并用这些控制方程去求解实际一些弹性体的受力和变形。
为了加深对某一点M过任一微分面的应力矢量的理解。
特别地，让我们来看如下特例中定义的，过同一点的、不同方向截面的应力矢量：。
弹性力学-02-2
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程： 说明： 1.方程表示了各向同性材料的应 力与应变的关系，称为广义 Hooke定义。也称为本构关系或 物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
二. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力;
q 称为体积应变
三. 物理方程的其他表示形式
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
向量
表示为
三阶线性方程组
可表示为 缩写为
2.爱因斯坦求和约定
在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把 该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标 （简称哑标） 例
求和指标
j求和指标
i非大于1的指标，求和约定无效。 例：
2. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部 各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束， 则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边 界条件，就一定是问题的真解。
3.圣维南原理:
提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
例题：（习题2-11）
已知位移分量 由几何方程得
第2章 张量分析(6.8)
第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。
如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。
R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。
设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。
3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。
基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。
于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。
设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。
② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。
弹塑性力学-09张量概念及其基本运算
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。 求导数。 对张量的坐标参数求导数时， ◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ 的方式来表示。 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 A′ j ， 的方式来表示 i 就表示对一阶张量 A 的每一个分量对坐标参数 i xj求导。 求导。
的作用与计算示例如下： δij 的作用与计算示例如下：
(1) δii = δ11 +δ22 +δ33 = 3 (2) (3) (4) (5) (6)
2 2 2 δijδij = (δ11) + (δ22) + (δ33 ) = 3 δijδ jk = δi1δ1k +δi 2δ2k +δi 3δ3k = δik aijδij = a11δ11 + a22δ22 + a33δ33 = aii aiδij = a1δ1 j + a2δ2 j + a3δ3 j = aj (即a1,或a2 ,或a3 ) σijl j − λli = σijl j − λδijl j = (σij − λδij )l j
4.张量的基本运算 4.张量的基本运算
张量的加减： A、张量的加减： 张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵， 张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如： 张量矩阵
a11 a12 a13 aij = a21 a22 a23 a31 a32 a33
凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减) 凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)， 并得到同阶的张量， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。 相同的诸分量之代数和。 即：
ai bjk = cijk
弹性力学 复习资料(全) 同济大学
第五章
线性弹性本构关系
不考虑热效应，克定律。 1、应变能密度和本构关系： ★格林公式 ij
W ，其中 W 是应变能，指外力在准静态过程中所做的功全部转化为由 ij
于变形而储存在弹性体内的能量。 2、广义胡克定律： ij Eijkl kl ，其中 Eijkl 为一个四阶张量，称为弹性系数或弹性模量张量。 4、各向同性弹性体：材料沿所有方向的弹性性质都是相同的，在数学上，即应力应变关系 的分量形式与坐标系无关。 令 C12 , C11 C12 / 2 ，称为 Lame（拉梅）系数
第八章 平面问题的极坐标解答
ui ui , 在S（位移边界）上 u
3、叠加原理：基本方程和边界条件都是线性的，叠加原理成立。对于大变形问题、材料非 线性问题和边界条件非线性的小变形问题，叠加原理不成立。 4、解的存在性和唯一性：逆解法和半逆解法。 5、★位移解法：以位移作为基本未知函数，在基本方程中消去应变张量和应力张量，可导 出仅用位移表示的方程组。 ,i 2ui fi 0 Lame Navier方程：
u v 1 u v ， y ， xy x y 2 y x
1 x x 1 y E1 1 物理方程： y y 1 x E1 1 1 xy xy E1
4
同济大学 弹性力学复习资料
1150899 陈力畅
第七章 平面问题的直角坐标解答
1、平面应变问题： u u x, y ，v v x, y ，w 0 等截面柱形物体；柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于 Oxy 平面，且它们的分 布沿 z 方向不变。 几何方程： x
第六章
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
应力分量：
可表示为：
缩写为
其中，如
同理，应变分量可缩写为：
向量
表示为
三阶线性方程组 可表示为 缩写为
二. 爱因斯坦求和约定
在如前述表达式的某项中，某指标重复出现一次，则 表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，重复指标 称为哑指标（简称哑标）；
非重复指标表示要把该项在该指标的取值范围内遍历 列出，非重复指标出称为自由指标（简称自由标）。 例：
在Descartes坐标系下具有相同性质的一组物理量，可 用一带下标的字母表示。如 位移分量 u、v 、w可表示为 u1 、u2、u3，缩写为 ui（i =1, 2, 3） 坐标 x、y、z可表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为 xi（i =1, 2, 3） 单位矢量 可表示为 ，缩写为 （i =1, 2, 3）
附录： 弹性力学参量的张量记法
前面给出的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位 移分量，其表示方法引用的是记号法； 这是一种公认的弹性力学参量表示方法。 上世纪二十年代起，数学理论中的张量记法（指标表示法） 开始出现在力学文献及教科书中。
张量记法书写简洁，便于力学问题的理论推导。
一. 指标符号
求和指标
j求和
j-求和指标 i-自由指标
i历列
说明：
（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例:
（2）哑标的有效范围仅限于本项。
（3）多重求和可采用不同的哑标表示。例:
（4）哑标可局部地成对替换。 （5）自由指标必须整体换名。 （6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混 淆，应声明对该指标不求和。例:
三. 求导数的简记方法
微分算符简记法 例:
历列
历列共27项 求和
求和
Байду номын сангаас和
历 列
历列
求和
四. 克罗内克(Kroneker)符号
对单位矢量 因 称 定义 相互垂直，则 为Kroneker符号
显然
具有如下重要性质 故又称为换名算子（换下标名）