第8章超静定结构的计算方法

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超静定次数的确定

将复铰结点A 拆开，在刚结点B 处插入一个单铰并切断一个链杆，复铰A相当于两个单铰的作用，共去除六个约束，即n = 6。
结构力学电子教案
第八章
力法
第11页
对于框架，可采用下式计算超静定次数
n= 3 c−h
式中 c 为框格数，h 为单铰数先将结构中每个框格都看作是无铰的，每个单铰的存在就减少1次超静定。
结构力学电子教案
第八章
力法
第1页
§8-1 超静定结构的概述和超静定次数的确定一．超静定结构的一般概念
超静定结构的两个特征： 1. 几何特征：超静定结构是具有多余约束的几何不变体系。
结构力学电子教案
第八章
力法
第2页
P
必要约束：多余约束：
X1
多余约束力
X1
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第八章
力法Biblioteka 第3页思考：结构力学电子教案
第八章
力法
第12页
例1：
(a) (b)
框格数c = 2
单铰数h = 2
框格数c = 4 单铰数h = 6
n = 3×2-2 = 4
n = 3×4-6 = 6
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第八章
力法
第13页
例2：
n=2
X1 X2
X1 X2
X3
X4
n=4
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力法
第14页
n=3
X1 X3 X2
X1 X2
X3 X4
n = 4+6-2=8
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第八章
力法
第8页
（2）撤去两杆间的一个单铰或撤去一个铰支座，等于去除两个约束。

超静定结构的计算

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第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下，构显由的[然图于变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束，都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余约第束五处节沿“多支余座未移知动力时方静向定所结引构起的的位位移移计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力方正向值的，已否知则实取际负位值移。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取

结构力学超静定结构计算)

0 0
(0)
(0)
0
00
0
绘M 图
17.67
3.17
(12)
D
A
B
C
1.9
M 图(kN·m)
21.6
【例】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。
M
A
B
M/2
解：运算过程如图所示
运算过程
M图(kN·m)
本节小结
一、转动刚度S：
远端固定：S = 4i 远端铰支：S = 3i 远端滑动 S = i 远端自由 S = 0
锁住1结点，用单结点的力矩分配法，对2结点的不平衡力矩进行分配。
第八章渐近线法及其他算法简述
§1 力矩分配法的基本概念 §2 多结点的力矩分配 §3 对称结构的计算 §4 无剪力分配法 §5 力矩分配法与位移法联合应用
渐近法有力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等，它们都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的物理概念生动形象，每轮计算都是按相同步骤进行，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。因此，在结构设计中得到广泛应用。在连续梁及无侧移刚架中应用十分广泛。
超静定结构的计算方法: 力法、位移法
力法计算步骤
位移法计算步骤
1、选取基本体系
1、设基本未知量
2、列力法方程
2、列杆端弯矩方程
3、计算系数及自由项 3、列位移法方程
4、解方程 5、作内力图
4、解方程 5、求杆端弯矩
6、做内力图
为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程中进行力矩的分配与传递。

材料力学第8章-能量法3-1

d
FN dx d(l) = EA
0 N
Mdx d EI
0
Tdx d GI p
0 S 0
1 F d l M d F d T d
F FN T T M M dx dx dx EA EI GI p
0 N 0 0
2.力和位移应理解为广义力和广义位移。
能量法/虚功原理单位力法图乘法
上节回顾
1、可能内力,可能位移,虚位移 2、虚功原理
在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所作的功。
W Wi
* e
e

*
外力虚功
内力虚功

l
W
Fi
5 M a 3
0 1c
2 Fa a
M
0 2c
3 a 2
Fa a 3 2 2 0 M 3c a 3
能量法/虚功原理单位力法图乘法
A
EI1
a
C
EI 2
a
F B
1
2Fa Fa

1

2a 5a/3
2
3a/2
-

2a/3
3
根据图乘法，自由端的挠度为：
1 1 0 0 yB 1M1c 2 M 2c EI 3M 30c EI1 2 1 Fa a 5 3 1 Fa a 2a a Fa a a EI1 2 3 2 EI 2 2 3
能量法/超静定问题力法例如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
第八章
一、杆件的应变能

结构力学上第8章位移法

(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个图中的附加刚臂和链杆中一定有约束反力产生，而三个图中的反力加起来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×4－2×6=0，铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B

结构力学(龙驭球)第八章

第八章位移法总结
(2) 利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程； (3) 解方程求出结点位移； (4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。
2.基本体系法基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典型方程。步骤： (1) 确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量； (2) 由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程 kijj+Fi p=0 (i,j=1,2,…,n)； (3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位位移Δj =1下的弯矩图 M 及荷载作用下的弯矩图MP j
BB3= ⊿B sin45°= ⊿2
第八章位移法总结
A
(b ) F B C F
2 EI l
1P
l/ 2
(c)
2P
k
M
P
F 4i k F (2) 作M2图。由以上叙述可知BC 杆两端有相对侧移BB3 ， EI 2 因此在图f中 l (d ) 6(e ) i

B
2 EI l l/ 2 M
1 1 F /5 6 A 3 F /5 6 B
(b ) F B l/ 2 C F B
(c ) F C D 3 F /2 8
(d )
解：本题中刚架ECFHG是基本部分，CBA是附属部分。首先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故可将CBA化为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所示。
第八章位移法总结
(4) 从材料性质看，只能用于弹性材料。
第八章位移法总结
2、位移法基本未知量的选取原则位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数加上独立结点线位移数。 (1) 独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生角位移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数等于全部刚结点和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结点的角位移不作为基本未知量。例如图a中，A为刚结点， B为半铰结点，故有两个独立角位移；而图b中B为刚结点，A为铰结点，故只取B 点转角为独立角位移。

超静定问题——精选推荐

西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室第八章简单的超静定问题§8-1 概述静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的全部未知的约束反力或内力FAB2A F1BααC平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程独立平衡方程数：超静定结构(静不定结构): 仅凭静力学平衡方程不能求解全部未知内力或反力的结构。

超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数。

BD C A 132FααF F CF B F A BC ABCADA FααF N1y xF N3F N2BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1y xF N3F N2•习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。

•超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。

•注意：从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的。

超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问题。

F F CF B F A BC A•补充方程的数目=多余未知力的数目=多余约束数。

•根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的力的补充方程。

•补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧与关键。

此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。

BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1yxF N3F N2§8.2 拉压超静定问题1拉压超静定问题解法例两端固定的等直杆AB ，在C 处承受轴向力F 如图，杆的拉压刚度为EA ，求杆的支反力.解：一次超静定问题=−+F F F B A F BA F AB ablFC (1) 由节点A 的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程（2）变形：补充方程(变形协调条件)可选取固定端B 为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力F B ，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构--称为原超静定结构的基本静定系或相当系统注意原超静定结构的 B 端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在B 点的位移为零。

第八章位移法

当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时，其杆端弯矩为
6i F ΔAB M AB l 6i F M BA 4i B 2i A ΔAB M BA l M AB 4i A 2i B
转角位移方程
第8章位移法
三、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
EI FP B
FP
EI EI
EI
EI
3、图示结构，各杆长为l，用位移法求解时，典型方程的系数r11= ，自由项R1P= 。
FPl FP
4、已知刚架的弯矩图如图所示，各杆 EI为常数，杆长l=4m，则结点B的转角 ΦB= 。 30
30
l
l/2
l/2
第8章位移法
例8-2 求图a所示刚架的支座A产生转角，支座B产生竖向位移 3 Δ l 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。
由
M M1Z1 M
第8章位移法
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0
M12 M13 0
如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0
FS13 FS24 0
φA P q βAB φA FSAB FSBA l EI t1˚C t2˚C
MAB
A
B ΔAB
B'
EI EI F M 3 3 Δ M AB A AB l l2 M BA 0
EI 令：i 称为“线刚度”、 AB 称为 “ 旋转角 ” ，则： l l
一、杆端力的表示方法和正负号的规定

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约束。
三次超静定拱
X1
X2
X3
e）
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3）撤除一个固定铰支座或撤除一个内部单铰，相当于解除两个多余约束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4）撤除一个固定端支座或切断一个刚性连接，相当于解除三个多余约束。
三次超静定刚架
F
超静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。解2 (1) 属于一次超静定梁，得到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时，基本结构在Xj 单独作用
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1）撤除一根支承链杆二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a）
或切断
一根结构内部
X2
X1
b）二次超静定排架
链杆相
当于解除一个一次超静定组合结构
X1
X2
多余约
束。
X1
d） f）
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2）将刚性连接改为单二次超静定梁
铰连接，
相当于解除一
X2
a）
X1
个多余
(8-2)
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二、力法典型方程 n次超静定结构的力法典型方程
11X 1+12 X 2+…+1n X n+1F=0
21 X 1+22 X 2+…+2n X n+2F=0
……………………………… (8-3)
n1 X 1+n2 X 2+…+nn Xn+nF=0
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可以将链杆支承B视为多余约束，撤除后以多余约束力X1代替如图b所示静定梁为原超静定梁的基本结构因原结构中多余约束支座B的限制，则变形协调条件为
a) b) 基本结构
q
原结构 B
A
EI l
X1 B X1
11
c)
A EI
多余约束反力作用下的变形 q d)
1=BV=0
(8-1)
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A
EI
B
l 11 3EI
ql Δ1F 8EI
4
3
X1=1
d)
B EI
1F
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A
3ql X1 8
11
11 X1+1F=0
e)
a)
q A EI B
3ql X1 8
FQ图
5ql 8
＋
3ql 8
－
M图
ql 2 8
a) b) B EI
q
CX1 EI
X2
l
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
（3）求系数和自由项 c) X1=1
例8-2
ql2/2 e) X2=1 l M2图 ql2/2
基本结构 A 原结构
l
d) l
M1图 l
M F图
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（3）求系数和自由项
X3 X2 X2 X3 X3 X1 X2
三次超静定拱
X1
X1
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二、力法典型方程
11 X1+1F=0
一次超静定结构的力法典型方程
(8-1)
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图a所示为二次超静定刚
架，撤除固定铰支座C，并用
i 为基本结构在多余
h
a) b) B EI EI A
q
22
4l 3 3EI
l3 12 21 2 EI
ql 4 Δ1F 4 EI
5ql 4 Δ1F 8EI
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
（4）解方程
l3 l3 ql 4 X1 X2 0 3EI 2 EI 4 EI l3 4l 3 5ql 4 X1 X2 0 2 EI 3EI 8EI
方向的位移
1F为基本结构在荷载作用下在X1作用处沿
X1方向的位移
11为基本结构在多余约束力X1作用下在X1
作用处沿X1方向的位移
11 为多余约束力X1=1时，基本结构在多余
约束力X1作用下在X1作用处沿X1方向的位移
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变形协调条件
1=BV=0
叠加原理
1=11+1F=0 11=11 X1 11 X1+1F=0
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二、力法典型方程
根据位移的计算，可得 ij=ji。因此，副系数只需要求其中一半即可。iF表示基本结构在荷载作用下，
在多余约束力Xi的作用处沿Xi的方向所产生的位移，其
值可能为正、为负或为零，称为自由项。
力法典型方程中所有的系数和自由项均可利用上
一章讲述过的静定结构位移公式求得。
位移法。由于超静定结构的计算量很大，因此还有
其他实用计算方法，包括电算方法，但都是建立在
这两种基本方法的基础之上。
本章只介绍力法、位移法和力矩分配法。
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第1节
一、力法原理
力
法
二、力法典型方程
三、力法应用举例
例8-1 例8-2
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一、力法原理
力法是计算各种类型超静定结构的最基本方法，是
将超静定结构的多余约束用对应的约束力来代替，称为多余约束力，这时的多余约束力是未知的。这样原来的
超静定结构转换成静定结构，这个静定结构称为基本结
构；由于原结构中的多余约束，原结构在多余约束处的
变形和位移受到限制，这个限制称为变形协调条件。根
据变形协调条件可建立求解多余约束力的方程，这个方程称为补充方程或力法典型方程。通过求解力法的典型方程，求出多余约束力。这样，超静定结构的计算便可以转化为静定结构的计算。
X1=1
1 1 Fl l 5l 5Fl 3 Δ1F EI 2 2 2 6 48EI
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11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项 A
l/2
F C l/2
B
l3 11 3EI 5Fl 3 Δ1F 48EI
（4）解方程
11F/16
+ FQ图
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图示结构在任意荷载作用
下
图a为二次超静定梁
图b为一次超静定桁架
a）
b）
上一页下一页
图示结构在任意荷载作
用下，图c为三次超静
定刚架，图d为一次超
静定组合结构。
c）
d）
上一页下一页
图示结构在任意荷载作
用下
e）
图e为三次超静定拱
图f为二次超静定排架。
f）
上一页下一页
由于多余约束的存在，超静定结构相对静定结构可提高结构的强度、刚度及稳定性，因而在建筑工程中，超静定结构有着广泛的应用。超静定结构的内力计算基本的方法分为两种，一是力法，二是
下在Xi作用处沿Xi方向的位移。
ij=ij Xj
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
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(8-2)
二、力法典型方程一次超静定结构的力法典型方程
11 X1+1F=0
二次超静定结构的力法典型方程
(8-1)
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
－
5F/16
3Fa/16 M图
X1
11
Δ1F
5Fl 3 3EI 5F 3 16 48EI l
（5）画内力图 5Fa/32
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例8-2 试绘出图a所示超静定刚架的
内力图。已知刚架各杆EI均为常数。解 (1)属于二次超静定刚架，得到基本结构如图b所示。 (2)建立力法典型方程
第8章
超静定结构的计算方法
第1节力法
第2节对称性的利用第3节位移法
第4节力矩分配法
第5节超静定结构特性
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第8章
超静定结构的计算方法
前面讨论了静定结构的内力计算，本章将讨论超
静定结构的内力计算。超静定结构的几何特征是：体
系几何不变、且有多余约束。多余约束的个数即为结
构的超静定次数。
c)
X1=1
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI 3 1 l l 2 4l 22 l l l l EI 2 3 3EI